O número de Ouro (Continuação)
O número φ (Fi) aparece em muitas construções geométricas. Tomemos, por exemplo,
um triângulo isósceles (dois ângulos iguais) em que o ângulo menor seja metade de
cada um dos ângulos maiores (iguais), ou seja, um ângulo tenha 36 graus e os outros
dois tenham 72 graus cada. O número de ouro aparece como o rácio de um lado maior
para o lado menor. Além disso, se dividirmos ao meio um dos ângulos maiores,
obtemos dois triângulos em que o menor é semelhante ao triângulo que se dividiu - os
lados estão na proporção dos do triângulo original e os ângulos são os mesmos.
A construção geométrica mais famosa, no entanto, é a do chamado rectângulo de ouro.
Trata-se de um rectângulo em que os lados estão na proporção dada pelo número Fi.
Tem-se especulado muito sobre as propriedades estéticas deste rectângulo de ouro. Há
quem diga que as suas proporções são tão perfeitas que ele tem sido seguido em obras
arquitectónicas antigas, como a fachada do célebre Parténon ateniense. Há também
quem diga que o número de ouro aparece na Grande Pirâmide do Egipto, sendo aí a
razão entre a altura de um triângulo lateral e metade da sua base. Como o mostrou
recentemente o matemático George Markov da Universidade do Maine
(www.umcs.maine.edu/~markov), essas especulações não têm uma base credível. O que
acontece é que todos esses monumentos têm tantas medidas possíveis de comparar que,
após várias tentativas, é sempre possível encontrar uma aproximação de algum número
interessante. Do que não restam dúvidas, contudo, é que o rectângulo de ouro é
particularmente belo e possui um aspecto esteticamente apelativo. Em vários estudos, as
pessoas chamadas a escolher um rectângulo entre vários escolhem maioritariamente o
rectângulo de ouro. Esta figura geométrica parece ser mais repousante para os olhos que
o rectângulo dado pelo papel A4, por exemplo.
Ambos esses rectângulos, contudo, permitem a sua divisão sucessiva em figuras sempre
semelhantes. Na figura junta, comparam-se esses processos de divisão sucessiva. No A4,
a divisão processa-se ao meio, gerando dois rectângulos com lados na mesma proporção
que os do rectângulo original. Na legenda da ilustração, aproveitamos para corrigir uma
gralha lamentável que se infiltrou em parte da legenda da semana passada (aí tinha
aparecido l2 em vez de l vezes raiz quadrada de 2).
Para dividir sucessivamente o rectângulo de ouro gerando sempre rectângulos
semelhantes, segue-se uma regra diferente da do A4. O rectângulo de ouro original
divide-se de forma a obter um quadrado e um rectângulo. Só há uma maneira de o fazer,
que é criar um quadrado com os lados iguais ao lado menor do rectângulo original (ver
figura). Acontece que a parte restante é ainda um rectângulo de ouro.
Dividindo sucessivamente um rectângulo de ouro com essa regra, encontram-se
rectângulos encaixados cada vez mais pequenos. Neles podemos inscrever uma espiral
que converge para um ponto chamado pólo e que se encontra na intersecção de duas
diagonais: a do rectângulo original e a do rectângulo de ouro resultante da primeira
subdivisão. A espiral inscrita na sucessão de rectângulos de ouro é chamada logarítmica
e reencontra-se nas situações mais diversas. Aparece em conchas de animais marinhos,
na trajectória de voo de falcões, em flores e em galáxias.
Uma das ocorrências mais espantosas do número de ouro encontra-se na disposição das
pétalas das rosas. Elas separam-se por ângulos que são partes fraccionárias de Fi. Essa
disposição permite arranjar as pétalas de forma compacta e maximizar a sua exposição à
luz. Tal como os matemáticos, a natureza parece fascinada pelo número de ouro.
Texto adaptado de um artigo de Nuno Crato