O PAPEL DA GEOMETRIA NO TRATAMENTO DE TEMAS DE
ÁLGEBRA E ANÁLISE: ALGUNS EXEMPLOS
Suzana Metello de Nápoles*
Resumo:
Apresentamos três exemplos que evidenciam a mais valia que se pode obter na utilização de
aspectos de carácter geométrico para a exploração de técnicas e conceitos em Matemática.
O primeiro exemplo recorda um episódio marcante da história desta ciência: a constatação da
existência de grandezas incomensuráveis. Recorrendo apenas a argumentos geométricos,
justificaremos a impossibilidade de exprimir a raiz quadrada de 2 como razão de dois
números inteiros.
No segundo exemplo trataremos da resolução geométrica de equações de segundo grau.
Exploraremos geometricamente o facto da fórmula resolvente destas equações resultar de
completar algebricamente quadrados.
O terceiro exemplo contempla o conceito de logaritmo e pretende realçar como a sua
definição geométrica, estreitamente ligada ao conceito de área de uma figura plana, apresenta
consideráveis vantagens relativamente à definição usual de logaritmo como expoente.
É nosso objectivo mostrar como o estudo das conexões da geometria com outras áreas da
matemática pode proporcionar uma abordagem mais rica de muitos temas constantes dos
programas do ensino básico e secundário.
*
Professora auxiliar da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa. Colabora com os centros de Álgebra
(CAUL) e de Matemática e Aplicações Fundamentais (CMAF) da Universidade de Lisboa na área da
Comunicação da Matemática.
1
1. A irracionalidade da raiz quadrada de dois
Num triângulo rectângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos
quadrados dos comprimentos dos catetos.
Este famoso teorema, cuja descoberta é atribuída a Pitágoras, transtornou o que até então era
considerada a harmonia do universo. A constatação de que a diagonal de um quadrado é
incomensurável com o lado e que, consequentemente, a raiz quadrada de 2,
2 , não se pode
exprimir como um cociente de números inteiros abalou profundamento a crença pitagórica
segundo a qual no universo tudo estava relacionado com inteiros ou razões de inteiros.
Convencidos de que os deuses os castigariam caso eles divulgassem aquilo que lhes parecia
uma imperfeição divina, os pitagóricos tentaram ocultar a sua descoberta. Este facto teve
grandes repercussões na história da ciência que se fizeram sentir até finais do século XIX. De
cada vez que as necessidades do cálculo levavam a introduzir novos entes numéricos geravase uma enorme desconfiança à sua volta, o que levava a atribuir-lhes designações curiosas.
2 , não se podem exprimir como cociente de números
Assim, os números que, tal como
inteiros, que actualmente designamos por irracionais, eram designados por números
inexprimíveis e por números incalculáveis. Durante muitos séculos os números reais
(fraccionários e irracionais) foram apenas concebidos como medidas de grandezas e só nos
finais do século XIX, principalmente por obra dos mtemáticos alemães Dedekind e Cantor, se
construiu uma teoria dos números reais independente da geometria.
A demonstração da irracionalidade de
2 pode ser feita, por redução ao absurdo, com recurso
a argumentos geométricos1. A notável simplicidade daquela que apresentamos em seguida
permite adaptá-la como actividade para a sala de aula, por exemplo quando se estudam
questões envolvendo semelhança de triângulos.
1
2 foi sugerida por Aristóteles na obra Analytica Priora como um exemplo
A demonstração da irracionalidade de
da redução ao absurdo e apresentada por Euclides na obra Elementos. Euclides supôs, por absurdo, que
2 se podia
escrever como cociente de dois números naturais p e q, 2 = p q , em que a fracção p q é irredutível, isto é, não pode ser
simplificada (o que acontece quando p e q são primos entre si) . Nessas condições ( p / q ) 2 = 2 , pelo que p 2 tem de ser um
número par (porque p 2 = 2q 2 ) e, consequentemente, p também (porque se fosse ímpar o seu quadrado também o seria).
Mas se p é par existe um natural k tal que p = 2k e assim 4k 2 = 2q 2 . Então q 2 = 2k 2 e q também tem de ser par
(porque q 2 é par), o que é absurdo visto que
p
e
q , por serem primos entre si, não têm factores comuns.
A demonstração por redução ao absurdo com recurso a argumentos geométricos que apresentamos é da autoria do conhecido
matemático norte americano Tom Apostol e faz parte do vídeo “Os primórdios da História da Matemática” do mesmo autor.
2
O número
2 é a medida da hipotenusa de um triângulo rectângulo
2
1
isósceles com catetos iguais a 1.
Por absurdo, suponhamos que 2 se pode exprimir como cociente de
dois números inteiros e sejam p e q os menores inteiros tais que
2=
1
p
. Nestas condições q
q
é o menor número inteiro tal que q 2 é um inteiro.
Então, ampliando o triângulo rectângulo com catetos iguais a 1 pelo factor q, obtemos o
menor triângulo rectângulo cujos catetos e hipotenusa são números inteiros, q e q 2
respectivamente.
Vejamos como a partir deste triângulo se pode construir um mais pequeno com a mesma
propriedade, o que é absurdo.
A
Com centro A e raio q tracemos um arco de
circunferência. No ponto D em que este arco corta
a hipotenusa tracemos um perpendicular a esta e
q
seja E o ponto onde ela corta o cateto BC.
Os triângulos ABC e BDE são semelhantes (porque
q
têm dois ângulos iguais). Assim, BDE é um
triângulo rectângulo isóscelos com catetos inteiros
D
p-q
(iguais a p-q). Como EC = DE, a medida da sua
hipotenusa, igual a q-(p-q), também é um inteiro, o
B
E
C
que é absurdo.
2. Resolução geométrica de equações do segundo grau
A determinação das raízes de equações do segundo grau ou equações quadráticas,
ax 2 + bx + c , com a ≠ 0 , constitui um dos itens curriculares cuja abordagem está
praticamente circunscrita à aplicação de uma fórmula  a fórmula resolvente  seguida de
alguma manipulação algébrica.
3
Esta «fórmula mágica» não é mais do que o resultado de transformar a expressão
ax 2 + bx + c , com a ≠ 0 , num quadrado perfeito mais uma constante2. Mas um quadrado
perfeito pode ser interpretado geometricamente como a área de um quadrado. É neste
processo geométrico de completar quadrados, utilizado há mais de mil anos por AlKhwârizmî, que vamos trabalhar nos exemplos seguintes, na convicção que ele pode
constituir uma mais valia para a uma primeira abordagem do estudo das equações quadráticas.
Consideremos a equação x 2 + 4 x = 21 . Trata-se de uma equação da forma a 2 + bx + c = 0 ,
com a > 0 , b > 0 e c < 0 .
Para determinar x tal que x 2 + 4 x = 21 , desenhe-se um quadrado
de lado x e dois rectângulos de lados x e 2. Ajustem-se as três
2
2x
x
x2
4
figuras, e complete-se com um quadrado de lado 2 como se
indica na figura.
2x
Tendo em conta que x 2 + 4 x = 21 , a área da parte sombreada é
igual
a
21.
Então,
a
área
do
x 2 + 2 x + 2 x + 4 = x 2 + 4 x + 4 = 21 + 4
e
quadrado
x
deve
maior,
ser
tal
( x + 2 )2 ,
que
é
igual
a
(x + 2)2 = 25 = 5 2 .
Assim x + 2 = ± 5 3, sendo a raiz positiva desta equação dada por x = 5 − 2 = 3 e a raiz
negativa por x = −5 − 2 = −7 .
Seja agora a equação
x 2 + 6 = 5 x . Tem-se neste caso uma equação quadrática
a 2 + bx + c = 0 , com a > 0, b < 0 e c > 0 . É imediato que não podem existir soluções
negativas. Vamos procurar as soluções desta equação recorrendo a puzzles com quadrados e
rectângulos.
2
ax 2 + bx + c = 0 ⇔ ax 2 + bx +
Então
ax +
b
2 a
=±
b2 b2
b 2
b2 b2
−
+ c = 0 ⇔ ( ax +
) = ax 2 + bx +
=
−c.
4a 4a
4a 4 a
2 a
b2
−c ⇔
4a
ax = −
b
2 a
±
b 2 − 4ac
b
1
⇔ x=− ±
b 2 − 4ac .
2a 2a
4a
3
Ao escrevermos x + 2 = ±5 estamos a usar números negativos e manipulação algébrica. Mas para determinar a
raiz negativa desta equação poderiamos recorrer a uma interpretação geométrica análoga à anterior, observando
que se a é raiz negativa da equação x 2 + 4 x = 21 , então b = −a será raiz positiva da equação x 2 − 4 x = 21 .
4
Se x é uma raiz positiva da equação, tem-se necessáriamente que 5 > x ; com efeito se 5 ≤ x
seria x 2 ≥ 5 x e x 2 + 6 > 5 x . Tem assim sentido desenhar um quadrado de lado x dentro de
um rectângulo de lados 5 e x.
Comecemos por admitir que
5
> x . Consideremos um rectângulo com lados iguais a 5 e x,
2
que decompomos em três partes: um quadrado de lado x, o rectângulo B com lados x e
com lados x e
5
eA
2
5
− x.
2
Como x 2 + 6 = 5 x , o rectângulo de vértices
A
XYZW tem área igual a 6. Coloque-se em
cima do rectângulo B um rectângulo igual
U
T
R
W
Y
B
a A depois de o rodar de 90º como se
A
x
indica na figura. Como A tem lados x e
5
− x , a medida do segmento YT é igual a
2
X
V
5/2
Z
5/2
5
5
25
− x e XTUV é um quadrado de lado
e, portanto, com área igual a
. Então, a área do
2
2
4
rectângulo tracejado obliquamente é igual a
medida do segmento RU é igual a
25
1
1
− 6 = , pelo que o lado é igual a . Como a
4
4
2
5
5
1
5 1
− x , tem-se que − x = e, finalmente, x = − = 2 .
2
2
2
2 2
Como determinar a outra raiz? É perfeitamente legítimo dizer que o raciocínio anterior leva a
2
1
5

quantificam à área do quadrado tracejado obliquamente,
concluir que tanto  − x  como
4
2

pelo que
5
1
5 1
− x = ± , e a outra raiz da equação é x = + . Mas, ao considerar números
2
2
2 2
negativos, estamos mais uma vez a abandonar o raciocínio geométrico4 para a determinação
da segunda raiz.
4
Para determinar a outra raiz desta equação, que é positiva e maior ou igual a 5/2, poderiamos também recorrer a
um «puzzle» com quadrados e rectângulos, mas o processo complica-se consideravelmente.
5
Os exemplos apresentados mostram que, consoante os sinais dos coeficientes a, b e c da
equação ax 2 + bx + c = 0 com a ≠ 0 , é necessário recorrer a figuras diferentes. É essa
variedade de figuras que, apesar de constituir um desafio aliciante para quem começa a
resolver equações quadráticas, torna evidente a necessidade de um algoritmo que se possa
utilizar para quaisquer coeficientes.
3. Logaritmos e áreas
Na origem do conceito do logaritmo esteve um motivo muito prático: a simplificação dos
cálculos aritméticos. Mais precisamente, procurou-se um processo que permitisse transformar
produtos em somas.
No início do século XVII, o matemático escocês Napier construiu um sistema de logaritmos
constituído por uma tabela com duas colunas que associava a cada número positivo x na
primeira coluna um número L( x )  designado por logaritmo de x  na segunda coluna,
verificando as condições seguintes:
(i) x < y ⇒ L( x ) < L( y )
(ii) L(xy ) = L(x ) + L( y )
Para multiplicar dois números x e y somam-se os correspondentes valores L(x ) e L( y ) da
segunda coluna e procura-se na coluna da esquerda o número correspondente ao valor obtido,
que traduz o produto xy .
Na sequência da publicação em 1614 da tabela de Napier, o matemático inglês Briggs entrou
em contacto com Napier e propôs a construção de uma nova tabela  que foi trabalhada em
conjunto  tirando partido da utilização de um sistema numérico de base 10, o que facilita a
sua elaboração. O sistema de logaritmos assim criado contém os denominados logaritmos
decimais ou ordinários ou de base 10. De acordo com este sistema, se x = 10 y , então
L( x ) = y .
Considerando o número de Euler, e, define-se o logaritmo natural do número positivo x como
sendo o número y tal que x = e y .
6
Nos nossos dias a utilidade dos logaritmos para efectuar cálculos está ultrapassada. Mas a sua
importância mantêm-se bem viva, dado o papel da função logarítmica na modelação
matemática de situações reais. Quando se trabalham os logaritmos no ensino secundário a
definição com base numa função exponencial levanta dificuldades ao nível da compreensão
do conceito. A função logaritmo surge frequentemente num contexto de modelação, mas em
que se aplicam modelos previamente construídos, pelo que as questões se resumem a alguma
manipulação algébrica a par com a utilização de uma calculadora (em substituição das
tradicionais tabelas de logaritmos). Em resumo: usam-se logaritmos sem entender realmente o
que é um logaritmo. Saliente-se que eminentes matemáticos como Bento de Jesus Caraça e
José Sebastião e Silva alertaram para esta situação. Em [4] o matemático brasileiro Elon
Lages Lima propôs uma abordagem geométrica deste conceito, referindo que, «a definição
geométrica dos logaritmos apresenta uma vantagem incontestável de simplicidade conceptual
e técnica».
Mas a abordagem geométrica do conceito de logaritmo remonta também ao século XVII.
Surgiu em 1647 com a seguinte descoberta do Jesuíta belga St. Vincent:
«A área abaixo do ramo positivo da hipérbole y =
1
é um logaritmo»
x
Com este enunciado, pretende-se significar que a área da porção de plano do primeiro
quadrante limitada pelo gráfico da hipérbole
y=
1
, e por duas rectas verticais
x
correspondentes a abcissas positivas é um logaritmo, isto é, verifica as propriedades (i) e (ii).
Em que se baseia esta descoberta?
St. Vincent descobriu que se, para cada x > 1 , L( x ) designar a área da porção de plano A 1, x
do primeiro quadrante limitada pelo gráfico da
hipérbole y =
1
e pelas rectas verticais com
x
y=
1
x
abcissas 1 e x, então para quaisquer a ,b ∈ [1, + ∞ [
verifica-se a igualdade
L(ab ) = L(a ) + L(b ) .
1
x
7
Exemplifiquemos com a = 2 e b = 3 : Consideremos as regiões A 1,2 entre as rectas x = 1 e
x = 2 , e A 3, 6 entre as rectas x = 3 e x = 6 . A segunda região resulta da primeira contraindo
as ordenadas pelo factor 3 e dilatando as abcissas pelo factor 3. Com efeito, esta deformação
muda o ponto
 1
 1
em  3,  e  2, 
 3
 2
(1,1)
em
 1
 6,  . Então a área da região A 1,2 é igual à area
 6
A 1,2
da região A 3, 6 5.
1
A 3, 6
2
3
6
Mas a área de A 1,2 é dada por L(2) e a área de A 3,6 é dada por L(6) − L(3) . Então
L(6) − L(3) = L(2) e L(2 × 3) = L(2) + L(3) .
 área de A1, x ⇐ x > 1

⇐ x =1 .
Defina-se então em IR uma função L pondo L( x ) =  0
− área de A
1, x ⇐ 0 < x < 1

+
É imediato que a função assim definida verifica as condições (i) e (ii). Com recurso à
definição geométrica da função L demonstram-se naturalmente as propriedades de uma
função logarítmica (ver [1]).
Vamos verificar que, à semelhança do logaritmo natural, a função L satisfaz a dupla
desigualdade
x
≤ L( x + 1) ≤ x , ∀x ∈ ] − 1,+∞ [
x +1
É imediato que a dupla igualdade se verifica para x = 0 .
Da definição de L decorre facilmente a segunda
desigualdade, representada geometricamente nas
figuras seguintes correspondentes, respectivamente, a
x > 0 e x ∈ ] − 1,0 [ .
Com efeito, se x > 0 , a área do rectângulo
sombreado é igual a x e a área tracejada é igual a
L( x + 1) .
1
x+1
5
Observemos que os rectângulos com bases iguais a 1 e 3 e alturas 1 e 1/3 têm a mesma área. O mesmo acontece
para os rectângulos com bases iguais a 1 e 3 e alturas 1/3 e 1/6. Resta agora tomar subdivisões cada vez mais
finas do intervalo [1, 2] e as correspondentes do intervalo [3, 6]. (Para mais detalhes ver [2])
8
Se x ∈ ] − 1,0 [ , a área do rectângulo sombreado
é igual a −x e a área tracejada é igual a
− L( x + 1) . Então − x < − L( x + 1) e,
consequentemente, x > L( x + 1) .
x+1 1
Analisemos geometricamente a primeira desigualdade para x > 0 e x ∈ ] − 1,0 [ com base nas
duas figuras seguintes:
Se x > 0 a área do rectângulo sombreado é
igual a
x
e a área tracejada é igual a
x +1
x
L( x + 1) , pelo que
< L( x + 1) .
x +1
1
x +1
1
x+1
Se x ∈ ] − 1,0 ] a área do rectângulo
sombreado é igual a
−x
e a área
x +1
tracejada é igual a − L( x + 1) . Como
− L( x + 1) <
1
x +1
−x
tem-se que
x +1
x
< L( x + 1)
x +1
x+1 1
Com suporte na representação geométrica verificámos então que
x
≤ L( x + 1) ≤ x , ∀x ∈ ] − 1, + ∞ [
x +1
L( x + 1)
= 1 , uma vez que, para x ≠ 0 ,
x
x →0
Desta dupla desigualdade, resulta facilmente que lim
se tem
1
L( x + 1)
1
≤
≤ 1 e lim
= 1.
x +1
x
x →0 x + 1
9
O valor deste limite permite esclarecer a relação entra a função L e os logaritmos naturais.
Com efeito, sendo a função L : IR + → IR estritamente crescente em IR + e tal que
L( xy ) = L( x ) + L( y ) , a sua função inversa E : IR → IR + é tal que E ( x + y ) = E (x )E ( y ) .
L( x + 1)
= 1 e usando a mudança de variável u = L(x + 1) tem-se que
x
x →0
Tendo em conta que lim
E (u ) = x + 1 . Como u = L(x + 1) toma o valor zero quando x = 0 , resulta que
L( x + 1)
u
= lim
= 1.
x
x →0
u → 0 E (u ) − 1
lim
E (x + h ) − E (x )
E (h ) − 1
= lim E ( x )
= E (x ) ,
h
h
h→0
h→0
Então, para qualquer x em IR, tem-se que lim
Pelo que a função E diferenciável em IR e E ′( x ) = E ( x ), ∀x ∈ IR .
Assim, E ( x ) = e x + C , ∀x ∈ IR , com C constante. Mas sendo L(1) = 0 , tem-se que
1 = E (0) = 1 + C = 1 , pelo que C = 0 e E ( x ) = e x , ∀x ∈ IR .
Concluímos assim que a função L definida através de áreas planas é a função inversa da
função exponencial e podemos finalmente escrever que L(x ) = ln( x ) . Os logaritmos naturais
podem então ser formulados como áreas planas associadas à hipérbole y =
1
, formulação
x
essa que traz grandes vantagens, tanto no que respeita à compreensão do conceito como à sua
utilização prática.
Bibliografia:
[1] Barbosa, Luís A. Valentim, Logaritmos: Uma Visão Geométrica, Tese de Mestrado em
Matemática para o Ensino, DM-FC-UL, 2005.
[2] Edwards, C.H., Jr., The Historical Development of the Calculus, Springer-Verlag, 1979.
[3] Hairer, E., Wanner, G., Analysis by Its History, Springer-Verlag, 1996.
[4] Lima, Elon Lages, Logaritmos, SPM, 2008.
[5] Nogueira, J. Eurico e outros, Contar e Fazer Contas: Uma introdução à Teoria dos
Números, SPM-Gradiva, 2004.
[6] Teixeira, Paula e outros, Funções, 12ºano de escolaridade, Ministério da Educação –
Departamento do Ensino Secundário, 1999.
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