Exercício Resolvido com recurso ao Máxima
Josefa Bastos
Exercício
Um terreno triangular, apresentado em esquema na gura, tem as dimensões
que se indicam:
1. Mostre que, tomando para base do triângulo o lado que mede 39m, a sua
altura é igual a 40m.
2. Pretende-se construir uma cerca rectangular inscrita no terreno tal como
é sugerido na gura.
(a) Mostre que, designando por x a altura do rectângulo, o seu comprimento y é dado por:
y = 39 −
39
x
40
(b) Mostre que a área do rectângulo é dada, em metros quadrados, por:
A(x) = 39x −
39 2
x
40
(c) Quais deve ser as dimensões do terreno rectângular para que a sua
área seja igual a 300m2 (apresente o resultado em metros com aproximação às centésimas)?
1
Resolução
1. O triângulo da gura pode ser dividido em dois triângulos rectângulos.
Represente-se por h a altura do mesmo.
Segundo o Teorema de Pitágoras:
502 = h2 + x2
412 = h2 + (39 − x)2
É possivel resolver um sistema deste tipo, recorrendo ao maxima, tal como
pode ver-se na Figura
Como estamos a trabalhar com comprimentos de segmentos, h nao pode
assumir um valor negativo, assim temos
h = 40 ∧ x = 30
ou seja, tal como se pretendia mostrar h = 40m
2
2. .
(a) Do exercício anterior sabe-se que as dimensões são as seguintes:
Por observação do rectângulo inscrito no triângulo, é possível identicar triângulos semelhantes:
Os triângulos [P HB] e [LIB] bem como os triângulos [P HA] e [KJA]
são semelhantes.
Assim, são verdadeiras as relações:
40
x
=
9
a
40
x
=
30
b
3
Assim temos:
E consequentemente:
Assim:
E
y=−
39
39x − 1560
⇔ y = 39 − x
40
40
4
(b) A área do rectângulo é dada pelo produto das suas dimensões, assim:
Como:
−
39x2 − 1560x
39
= 39x − x2
40
40
Então:
A(x) = 39x −
39 2
x
40
(c) Para responder a esta questão é necessário resolver a equação
A(x) = 300
Para tal basta:
e para cada valor de x determinar o correspondente valor de y
5
Então as dimensões do rectângulo pode ser
10, 39 × 28, 87
ou
29, 61 × 10, 13
.
6