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MATEMÁTICA – XXIII
FUNÇÃO EXPONENCIAL e GEOMETRIA ESPACIAL
1. (Unifesp 2011) – A figura 1 representa um cabo de aço preso nas extremidades de duas
hastes de mesma altura h em relação a uma plataforma horizontal. A representação dessa
situação num sistema de eixos ortogonais supõe a plataforma de fixação das hastes sobre o
eixo das abscissas; as bases das hastes como dois pontos, A e B; e considera o ponto O,
origem do sistema, como o ponto médio entre essas duas bases (figura 2). O comportamento
x
 1
do cabo é descrito matematicamente pela função f  x   2x    , com domínio [A, B].
2
a) Nessas condições, qual a menor distância entre o cabo e a plataforma de apoio?
b) Considerando as hastes com 2,5 m de altura, qual deve ser a distância entre elas, se o
comportamento do cabo seguir precisamente a função dada?
4x  x 2
 1
2. (Epcar (Afa) 2011) – Dada a expressão  
, em que x é um número real qualquer,
3
podemos afirmar que
a) o maior valor que a expressão pode assumir é 3.
b) o menor valor que a expressão pode assumir é 3.
1
.
81
1
d) o maior valor que a expressão pode assumir é
.
27
1
e) o menor valor que a expressão pode assumir é .
9
c) o menor valor que a expressão pode assumir é
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3. (Ufba 2011) – Considere-se uma barraca de camping que tem a forma de uma pirâmide
retangular com arestas laterais congruentes e altura igual a um metro.
Assim sendo, é correto afirmar:
(01) A projeção ortogonal do vértice da pirâmide sobre o plano da base coincide com o centro
da base.
(02) Se a altura e as medidas dos lados da base da pirâmide forem aumentadas em 10%,
então o volume aumentará 33,1%.
(04) Se o piso da barraca tem área máxima entre as áreas de todos os retângulos com
perímetro igual a 8 metros, então o piso tem a forma de um quadrado.
(08) Se a base da pirâmide tem a forma de um quadrado com lados medindo 2 metros, então o
4
volume é igual a metros cúbicos.
3
(16) Suponha-se que a barraca está montada sobre um terreno horizontal, e sua base é um
quadrado com lados medindo 2 metros. Se, em determinado instante, os raios solares
formam um ângulo de 45º com o solo, então algum ponto da barraca será projetado pelos
raios solares num ponto do solo situado fora da região coberta pelo piso da barraca.
4. (Ufba 2011) – Considere uma pirâmide triangular regular de altura h, contida no interior de
uma esfera de raio r.
Sabendo que um dos vértices da pirâmide coincide com o centro da esfera, e os outros vértices
são pontos da superfície esférica, determine, em função de h e r, a expressão do volume da
pirâmide.
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
a) A menor distância entre o cabo e a plataforma de apoio é dada por:
0
 1
f(0)  20     1  1  2 m.
2
b) A distância entre as hastes é 2B, pois O é o ponto médio de AB. Logo,
B
 1
f(B)  2,5  2B     2,5
2
 22B  2,5  2B  1  0
 (2B  1,25)2  1,5625  1  0
 (2B  1,25)2  0,5625
 2B  1,25  0,75
2B  2
 ou

2B  0,5
B 1
ou .
B  1
Como B  0, segue que 2B  2  1  2 m.
Resposta da questão 2:
[C]
4x  x2
1
 1
Como  1, a expressão  
assume seu menor valor quando 4x  x2 assume seu valor
3
3
máximo. Desse modo, segue que para x  2 a expressão
4x  x2  4  (x  2)2
4
1
 1
assume valor máximo igual a 4 e, portanto,   
é o valor mínimo procurado.
81
3
Resposta da questão 3:
(01) Verdadeira, pois todas as arestas laterais são iguais.
(02) Verdadeira, V =
1
1
2
Ab.(1,1) . h1, 1 = 1,331 .Ab.h.
3
3
(04) Verdadeira, de todos os retângulos com mesmo perímetro o de área máxima é um
quadrado.
(08) Verdadeira, V =
1 2
4
2 .1= .
3
3
o
(16) Falsa, pois o ângulo entre a face lateral e a base também é de 45 .
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Resposta da questão 4:
h +m =r  m =r –h
2
m=
a=
2
2
2
2
2 a 3
.
3 2
3m
3
a = 3m  a = 3.(r – h )
2
2
2
2
2
Calculando o volume V da pirâmide, temos:
V=
1
1
3
1
3
(r 2  h2 ). 3.h
.Ab .h  .a2 .
.h  .3.(r 2  h2 ).
.h 
3
3
4
3
4
4
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