VICE-REITORIA ACADÊMICA
COORDENAÇÃO GERAL DE ENSINO - CGE
COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA - CEAD
CURSO DE GRADUAÇÃO - SEMIPRESENCIAL
Rio de Janeiro
2007
_________________________________________________________
Todos os direitos reservados à UCB - Universidade Castelo Branco
Sumário
Apresentação
Orientações Gerais
Orientações para o Auto-estudo
Programa da Disciplina
Contextualização da Disciplina
UNIDADE 1 - VETORES E COORDENADAS
2
UNIDADE 2 - RETAS EM R
UNIDADE 3 - VETORES E COORDENADAS EM R
3
3
UNIDADE 4 - RETAS EM R
UNIDADE 5 - PARALELISMO E PERPENDICULARISMO ENTRE RETAS
3
UNIDADE 6 - NOÇÕES DE SUPERFÍCIES E CURVAS EM R
Auto-avaliação Final
Gabarito
Referências Bibliográficas
2
Ementa:
Vetores; retas, distâncias em R2; vetores, retas e planos,
distâncias em R3; noções sobre superfícies e curvas no
espaço.
Objetivo geral: Apresentar técnicas e estratégias para resoluções de problemas
matemáticos utilizando a representação cartesiana.
LIVROS-TEXTO:
MEDEIROS, Luiz e outros. Álgebra vetorial e geométrica. Rio de Janeiro:
Campus, 1980.
BOULOS, Paulo & CAMARGO, Ivan de. Geometria analítica: um tratamento
vetorial. São Paulo: Mac Graw-Hill, 1987.
WINTENLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica
STREINBRUCK, Geometria Analítica
3
QUADRO-SÍNTESE DO CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
Unidades do programa
1 - Vetores
Objetivo
• Identificar a definição de vetor e
suas operações.
2 - Retas (R2)
• Escrever as equações das retas;
• Identificar
seus
elementos
principais.
3 - Vetores em R3
• Caracterizar os vetores no espaço
tridimensional e suas operações.
4 - Retas e planos
• Escrever as equações das retas e
dos
planos,
identificando
seus
principais elementos.
5 - Relações gerais entre retas e • Identificar
planos
as
relações
de
perpendicularismo e paralelismo.
4
Contextualização da Disciplina
Muitos alunos da área de Ciências Exatas estudam a Geometria Analítica
sem saber a importância deste curso em áreas afins.
A Geometria Analítica vem de certa forma, viabilizar cálculos e estratégias
que a Geometria Euclidiana não proporciona de forma satisfatória.
Muitos dos fenômenos físicos podem ser mais bem estudados quando
seus elementos são dispostos num sistema de coordenadas. Estas mesmas
coordenadas auxiliam, de forma contundente, os estudos de Engenharia na área
computacional, seja na modelagem, seja no estudo de mapeamento de terrenos.
Estas são apenas algumas das aplicações da Geometria, criada por René
Descartes que, além de grande matemático, foi um filósofo importante.
Espero que você aproveite bem este curso que, com certeza, serão de
grande valia para seus estudos e sua vida futura.
5
UNIDADE 1 - VETORES E COORDENADAS
Objetivo específico:
• Identificar a definição de vetor e suas operações.
Observe a seguinte situação:
Dois amigos se encontram e um deles pergunta:
- Olá! Onde você está morando agora?
- Eu estou morando na Rua dos Amores. Vá me visitar,
tchau!
O amigo convidado deve ter pensado: “Ora! Como vou visitá-lo se não sei
o número da sua casa?”
Você acha que ele tem razão? O número da casa realmente é
necessário?
Vamos ver outro exemplo:
Se eu pedir para você colocar uma borboleta colada num retângulo a 2,0
cm da base, exatamente onde você irá colocar a borboleta?
Pense um pouco: Se eu pedir a mesma coisa para um amigo seu e se ele
estiver junto com você, onde ele vai colocar o borboleta?
Observe o quadro abaixo:
6
As duas borboletas estão exatamente a 2,0 cm da base do retângulo.
Quem colou na posição correta?
Devo confessar que dei poucas informações a você. Se eu informasse a
que distância, do lado esquerdo ou direito, deveria ser colada a borboleta, com
certeza o local estaria bem delimitado.
Da mesma forma que no exemplo anterior, nós localizamos pontos da
Matemática através de duas informações que você já deve ter estudado como
pares ordenados, representados pelas letras (x,y).
A função, pois, do par ordenado é de localização precisa de um ponto nos
eixos cartesianos. Aliás, você já parou para pensar porque o plano xy é
chamado de cartesiano? Cartesiano se originou do nome de um brilhante
matemático francês: René Descartes. Ele é considerado o pai da geometria
analítica.
7
VETORES NO r²
I – Segmentos Orientados
Sejam A e B dois pontos quaisquer. Chamamos de segmento orientado
AB ao segmento no qual distinguimos um sentido de leitura.
r
B
A
AB (origem A, extremidade B)
Em todo segmento orientado AB , destacamos:
1) Direção: - é a reta r que contém A e B
2) Sentido: - da origem A para a extremidade B (orientação)
3) Módulo: - é a medida do comprimento do segmento.
ILUSTRAÇÕES:
2 cm
//
A
B
r
2 cm
//
C
s
D
2 cm
//
E
F
t
a) AB, CD e EF têm a mesma direção (estão situados em retas paralelas).
b) AB, CD e EF têm o mesmo sentido
c) AB, CD e EF têm o mesmo módulo
Neste caso, dizemos que os segmentos orientados são eqüipolentes. Então,
segmentos orientados são eqüipolentes se, e somente se, possuem a
mesma direção, mesmo sentido e mesmo módulo.
8
II – VETOR NO R²
Consideremos um segmento orientado AB e todos os seus segmentos
orientados equipolentes. Esse conjunto de segmentos é chamado de classe de
equivalência e essa classe é denominada vetor determinado por AB . Vetor é,
portanto, um conjunto de segmentos orientados equipolentes entre si.
As coordenadas de um vetor AB , em R 2 , podem ser determinadas
efetuando a diferença entre as coordenadas dos pontos B e A. Então,
AB
= B - A . Esta notação é chamada de notação de Grassman. Veja um exemplo:
Y
B
F
A
E
u
X
H
D
G
C
Fazendo, em cada caso, a extremidade menos a origem, temos:
a) A (3,3)
B (5,4)
b) C (2, - 4)
D (4, -3)
AB = B – A = (5 - 3, 4 - 1) = (2, 1)
CD = D – C = (4 – 2, - 3 - (-4) ) = (2, 1)
c) E (- 4, 2)
F (-4, 2)
d) G (- 3, - 4)
H (-1, -3)
FF = F – E = (-2 - (-4) , 3 – 2) = (2, 1)
GH = H – G = (-1 –( - 3) , -3 – (- 4) ) = (2, 1)
Notamos que o ponto (2, 1) ligado à origem (0, 0) nos dá um outro
segmento eqüipolente aos outros.
9
Esse vetor u = (2, 1), que representa todos os segmentos orientados de
sua classe, é chamado de vetor posição.
De um modo geral, ao se fazer a extremidade menos à origem,
encontramos o vetor associado à origem do segmento orientado, isto é, o vetor
posição.
III – VETOR NO R³
Sabemos que R³ = R x R x R, ou R³ = { (x, y, z) / x ∈ R, y ∈ R , z ∈ R}
A imagem geométrica dos elementos do R³ é representada em um
sistema de coordenadas cartesianas que é constituído por três eixos orientados
e graduados, não coplanares, concorrentes dois a dois em um ponto 0, que
chamamos de origem. Cada elemento do R³ é um terno ordenado de números
reais.
A (Xa, Ya, Za)
Xa – abscissa
Ya – ordenada
Za – cota (altura)
xy ⊥ xz ⊥ yz
Vejamos a locação de um ponto no R³.
Exemplo:
A (2, 3, 5)
Na prática, faz-se:
Z
Z
a)
5
b)
5
A
A
2
3
2
Y
3
Y
X
X
Dados A (Xa, Ya, Za) e B (Xa, Yb, Zb), as coordenadas do vetor AB são
encontradas de modo análogo ao do R 2 . Veja um exemplo:
10
Sejam A(1, 2, 4) e B(3, 5, 7). Então,
AB = B – A = ( Xb – Xa, Yb – Ya, Zb – Za) = (3 -1 , 5 - 2, 7 - 4) = (2, 3, 3)
Z
7
B
4
3
A
2
3
5
1
Y
2
X
MÓDULO DE UM VETOR
Sejam A (Xa, Ya) e B (Xb, Yb)
Y
Y
B
YB
ΔX = XB - XA
ΔY
YA
A
ΔY = YB- YA
ΔX
Y
XA
XB
X
X
X
A distância entre os pontos A e B é o módulo do vetor AB , isto é; d(A, B) = ⎮ AB ⎮
AB = B − A = Δy − Δx ⇒ AB = (Δx ) + (Δy ) 2 = x 2 + y 2
2
Então AB = Δx 2 + Δy 2 =
2
x 2 + y 2 ( u = ( x, y ) é o vetor posição)
NOTA:
Analogamente, em R 3 , se A(Xa, Ya, Za) e B(Xb, Yb, Zb), então
Ab = (Δx) 2 + (Δy ) 2 + (Δz ) 2 = x 2 + y 2 + z 2 .
Veja uns exemplos:
11
a) Se u = (3,4), então u = 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5
b) Se A= (2,-1,0) e B =(-1,,3, 1), então
AB = (−1 − 2) 2 + (3 − (−1)) 2 + (1 − 0) 2 = 9 + 16 + 1 = 26
OPERAÇÕES COM VETORES
•
ADIÇÃO:
1) Se u = (a, b)
u + v = (a + c, b + d)
v = (c, d)
2) Se u = (a, b, c)
u + v = (a + d, b + e, c + f)
v = (d, e, f)
ILUSTRAÇÃO:
y
u+v
b+d
d
b
c
a
x
a+c
Exemplos:
a) u = (-4, 2) e v = (1, -6) ⇒ u + v = (-4 + 1 , 2 +(-6)) = (-3 , -4)
b) a = (1, -4, 2) e b = (2, 3, -1) ⇒ a + b = (3, -1, 1)
•
MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR
Se u = (a, b) e α ∈ r, então, α u = (αa, αb)
Se u = (a, b, c) e α ∈ r, então, α u = (αa, αb, αc)
ILUSTRAÇÃO:
Y
Y
αu
− αa
u
b
a
αb
αa
X
αu
− αb
X
12
Exemplo: Se u = (1, 3) e α = 2, então α u = 2 (1, 3) = (2, 6)
PROJEÇÃO ORTOGONAL de um vetor sobre outro
u
u1 é a projeção de u sobre v
o
r
v
u1
Assim temos:
cosθ =
u1
u
•
então ⎮ u1 ⎮= ⎮ u ⎮. cosθ
Produto Escalar:
Sejam u e v dois vetores. Chamamos de produto escalar de u por v ,
representado por u . v ou < u . v >, ao número real definido por:
u . v = ⎮ u ⎮. ⎮ v ⎮cosθ
Exemplo:
Dados:
⎮ u ⎮ = 3;
⎮v⎮ = 4
u . v = 3. 4. cos60º = 3. 4 .
e
θ = 60º , temos:
1
⇒ u . v =6
2
NOTA: Os vetores unitários i , j , k .
a) no R²:
u = ( a, b)
y
u = ( a, b ) = ( a, 0 ) + ( 0, b )
i =(1,0) e j =(0,1)
u = ( a, b ) = a ( 1, 0 ) + b ( 0, 1)
j
b) no R³:
z
i = (1, 0, 0 )
x
i
j = (0, 1, 0)
k
k = ( 0, 0, 1)
u = (a, b) = a i + b j
u = ( a, b,c )
u =( a, b,c )= ( a, 0, 0) + ( 0, b, 0 ) + (0, 0, ,c)
u = ( a, b,c ) = a ( 1, 0, 0 ) + b ( 0, 1,0) + ( 0, 0, ,c)
j
u y= (a, b,c) = a i + b j +c k
i
x
13
Exemplo:
1) u = (2, -1, 4) ⇒ u = 2 i - j + 4 k
2) u = (2, 5) ⇒ u = 2 i - 5 j
EXPRESSÃO ANALÍTICA DO PRODUTO ESCALAR
Sejam u = (a, b) = a i + b j
v = ( c, d) = c i + d j
Então u . v = (a i + b j ) . (c i + d j ) = ac i i + ad i j + bc i j + bd j j
Mas
i . i = ⎮ i ⎮. ⎮ i ⎮. Cos0 = 1.1.1 =1
i . j = ⎮ i ⎮. ⎮ j ⎮. Cos90º = 1.1.0 = 0
Então
u . v = ac i i + bd j j ⇒ u . v = ac + bd
Logo,
u v = ac + bd
Exemplo:
u = ( - 1, 2 )
v = ( 4, 3)
u .v = - 4 + 6
uv =2
Nota:
A expressão analítica do produto escalar deduzida para o R² é
válida para o R³.
Exercícios de Fixação:
Unidade 1 - Parte 1
1 - Dados os pontos P (3,5) e Q (2,4), e os vetores u = (2,0) e v = (1,-1) , calcule:
14
a) 2P + 3Q =
b) -3P + P =
c) P + Q - 2Q =
d) u + v =
e) 3u - 4v =
2 - Calcule a distância entre os pontos P e Q:
3 - Calcule o comprimento do vetor u:
4 - Calcule o comprimento do vetor v:
5 – Represente, nos eixos cartesianos, os pontos P, Q e os vetores u e v.
Unidade 1 - Parte 2
1 - Dados os vetores u = (2,1), v = (-1,2) e w = (3,2), calcule o que se pede:
a) o módulo de u
b) o módulo de v
c) o módulo de w
d) u.v
e) <v.w>
f) o ângulo entre os vetores u e v
g) o ângulo entre os vetores u e w
2 - Calcule o valor da letra x em cada caso, de forma que o par de vetores seja
ortogonal:
a) u = (3, 5) e v = (x, 4)
b) w = (3, -4) e u = (2, x)
c) w = (x, 4) e v = (2, -7)
15
Exercícios de Auto-avaliação:
Os exercícios a seguir têm como finalidade verificar se você compreendeu
de forma satisfatória os conceitos de pontos, vetores e suas operações
fundamentais.
Caso tenha alguma dificuldade em resolvê-los, releia os pontos anteriores
e os livros indicados. Um bom trabalho!
1 - O triângulo com vértices A(1,5), B(4,2) e C(5,6) é isósceles?
2 - O triângulo com vértices A(-5,6), B(2,3) e C(5,10) é um triângulo retângulo?
3 - Encontre a distância entre os seguintes pares de pontos:
a) (3,4) e (3,6)
b) (2,5) e (2,-2)
c) (3,1) e (2,1)
d) (2,3) e (5,7)
e) (-2,4) e (3,0)
f) (1,0) e (2,5)
4 - Encontre o ponto P(x,y) tal que (2,4) é o ponto médio do segmento de reta
que liga (x,y) a (1,5).
(Sugestão: Ponto Médio = PM = média aritmética das coordenadas.)
5 - Um vetor u = (1,3) também pode ser representado da forma 1i + 3j, onde i e j
são indicadores unitários das componentes x e y dos eixos coordenados.
Se u = 3i + 4j e v = 2i - j, encontre a magnitude (módulo ou comprimento) de
u, v, u + v e u - v.
9 Utilizando os mesmos dados do exercício acima, calcule os produtos
escalares entre u e v.
9 Estes vetores são ortogonais? Se a resposta for negativa, calcule o
ângulo entre u e v.
16
EXERCÍCIOS
PARTE 1
r
1. Calcular o ângulo entre os vetores u = (1, 1, 4) e v (-1, 2, 2)
Resp.: 45°
2. Determine o ângulo interno B̂ do triângulo ABC onde, A (3, -3,3), B (2, -1, 2) e
C(1, 0, 2).
Resp.: 150°
3. Verifique se o triângulo de vértices A (2, 3, 1) , B (2, 1, -1) e C (2, 2, -2) é
retângulo.
4. Se u = (2, 1, - 1) forma um ângulo de 60° com o vetor AB onde A (3, 1, -2) e B
(4, 0, m), calcule m.
Resp.:-4
5. Qual
o
valor
de
m
para
os
vetores
r
r
r
r
u = mi + 5 j − 4 k e
r
r
r
r
v = (m + 1)i + 2 j + 4k sejam ortogonais?
Resp: m = -3 ou m = 2
r
6. Calcule n de modo que seja 30° o ângulo entre os vetores u = (1, n , 2) e j .
Resp.: n = ± 15
17
UNIDADE 2 - RETAS EM R2
Objetivo Específico:
• Escrever as equações das retas e identificar seus elementos principais.
Nesta unidade você vai conhecer um pouco mais sobre retas, ângulos e
coeficientes.
Y
Y1
P2 (X2, Y2)
α
P1 (X1, Y1)
Y2
X1
X
2
X
Observando a reta acima, chamamos a sua atenção para alguns detalhes:
1 - O ângulo que a reta faz com o eixo x é chamado inclinação da reta.
2 - A declividade da reta é medida por um número chamado coeficiente angular.
Este coeficiente angular que adotaremos pela letra m pode ser calculado
através da relação:
m = tg α =
catop Δy y 2 − y1
=
=
catadj Δx x 2 − x1
18
Vejamos alguns exemplos:
a) O coeficiente da reta que liga os pontos (1,2) e (4,6), é m =
6−2
4 −1 =
Logo: m = 4/3
b) o coeficiente angular da reta que liga os pontos (1,3) e (2,5) é
m=
(5 − 3) 2
= =2
(2 − 1) 1
Obs.: Se x1 = x2 então a reta é perpendicular ao eixo x.
De forma geral, podemos encontrar equações de retas através do
coeficiente angular.
Esta conta que fizemos para calcular o coeficiente angular é a mesma que
você já deve ter feito para calcular a tangente de ângulo.
Repare que se a reta fizer um ângulo obtuso com o eixo x, m será
negativo, pois a tangente é negativa.
Usando esta noção de coeficiente angular, apresentaremos a equação da
reta do seguinte modo:
y = mx + b
onde, m e o coeficiente angular e b o coeficiente
linear.
Esta expressão é chamada de equação reduzida da reta. Observe que b
representa a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo das ordenadas
(0,
b).
Mesmo que a reta não esteja desta forma, podemos reduzi-la de modo a
identificar seus coeficientes angular e linear.
Exemplo:
Para a reta r: 3x +5y - 2= 0, temos:
5 y = -3x +2 ⇒ y =
2
2
− 3x
−3
+ . Logo, m =
e b= .
5
5
5
5
19
Para cada uma das equações abaixo, temos os seguintes coeficientes
angulares:
a) r: 3y - 8x = 9
→
m = 8/3
b) s: x - 6y +3 =0
→
m = 1/6
c) t: -4y + 6x = -5
→
d) s: -3x -4y +2 = 9
→
m = -3/4
e) r: 4y -5x =3
→
m = 5/4
m = 3/2
Determinação da equação da reta em R2
Você poderia dizer se um ponto qualquer pertence a uma determinada
reta?
Exemplo:
Como saber se o ponto P(1,2) pertence à reta 3x + 4y = 2? É simples: se
o ponto (1,2) pertencer a esta reta, então quando substituirmos os valores de x e
y por 1 e 2, a equação deverá ser satisfeita. Veja!
3(1) + 4(2) = 3 + 8 = 11. O resultado deveria ser 2. Logo (1,2) não pertence a
esta reta. Já o ponto (2,-1) pertence, pois 3(2) + 4(-1) = 6 - 4 = 2.
Desta forma, dados dois pontos pertencentes a uma reta, podemos
calcular seu coeficiente angular m, seu coeficiente linear b e, por fim, a equação
da reta. Veja um exemplo:
5−2
= 3.
4−3
Então, sua equação tem a forma y = 3x + b. Para calcular b, basta substituirmos
A reta que liga os pontos (3,2) e (4,5) tem coeficiente m =
um dos pontos na equação: usando o ponto (3,2), temos 2 = 3 (3) + b, donde
2 = 9 + b, chegando a b = 2 – 9 = - 7. Se usarmos o ponto (4,5), temos 5 = 3 (4)
+ b, donde 5 = 12 + b. Logo b = 5 – 12 = - 7.
20
Concluímos, assim, que a equação da reta será:
y = 3x - 7
Tente visualizar bem este processo que sempre poderá ser usado por
você nos exercícios futuros.
A seguir, veja como identificar retas paralelas e perpendiculares.
Vamos tentar ainda resumir o assunto de paralelismo e perpendicularismo
deixando a leitura formal para você fazer no livro já indicado.
De forma geral, já vimos que o coeficiente angular de uma reta vale a
tangente do ângulo que esta reta faz com o eixo x. Ora, se dois ângulos são
iguais, suas tangentes também serão iguais.
Então duas retas paralelas farão o mesmo ângulo com o eixo x e, logicamente,
terão o mesmo coeficiente angular.
Exemplos:
As retas 3x + 5y – 3 = 0 e 3x + 5y + 4 = 0 são paralelas pois têm o
coeficiente angular -3/5.
As retas y = - 2x - 5 e 2x + y -3 = 0 são paralelas pois têm o mesmo
coeficiente angular m = -2.
Faça uma leitura atenta no texto indicado.
Havendo dúvidas, consulte o tutor da disciplina.
No mesmo texto, você deve ter observado que, quando duas retas são
perpendiculares, isto é, formam um ângulo de 90°, a relação entre
os
coeficientes angulares é dada da seguinte forma:
21
Se r é uma reta com coeficiente angular mr , s uma reta com coeficiente
angular ms e r e s são perpendiculares, então:
mr =
−1
−1
ou m s =
.
ms
mr
Ou ainda, mr . ms = -1
Exemplos:
As retas 3x + 4y = 2 e -4x + 3y = 3 são perpendiculares, pois os
coeficientes angulares são respectivamente -3/4 e 4/3.
Evidentemente -3/4 . 4/3 = -1.
Agora, faça os exercícios com muita atenção. Eles darão a medida exata
de sua evolução nesta matéria.
Exercícios de Fixação:
Unidade 2 - Parte 1
1 - Encontre o
coeficiente angular da
reta que tem equação 3x - 4y = 8.
Desenhe a reta. Os pontos (6,12) e (12,7) pertencem à reta?
2 - Verifique se os pontos A(1,-1), B(3,2) e C(7,8) são colineares, isto é, verifique
se a reta AB é a mesma reta AC.
3 - Encontre a equação reduzida de cada reta:
a) passa pelos pontos (4,2) e (1,7)
b) passa pelos pontos (-1,0) e (0,3)
c) passa pelo ponto (3,-4) e é paralela à reta de equação 5x - 2y = 4
d) passa pelo ponto (-2,5) e é perpendicular à reta com equação
4x
+ 8y = 3
e) passa pela origem e é perpendicular à reta com equação 3x - 2y = 1
22
4 - Encontre o coeficiente angular de cada reta abaixo:
a) y = 3x - 2
b) 2x - 5y = 3
c) y = 4x - 3
5 - Se o ponto (3,k) pertence à reta com coeficiente angular m = -2 e passa pelo
ponto (2,5), encontre k.
6 - O ponto (3,-2) pertence à reta que passa pelos pontos (8,0) e (-7,-6)?
7 - Sabendo que a distância entre um ponto P(x1,y1) à reta com equação
igual a ax + by = c é dada por: d =
ax1 + by1 + c
a2 + b2
, faça os exercícios a seguir:
a) Encontre a distância do ponto (-1,2) à reta 8x - 15y = 3
b) Encontre a distância do ponto (4,7) à reta 3x + 4y = 1
c) Encontre os valores de k para os quais a distância do ponto (-2,3) à reta
7x
-24y = k seja 3.
Exercícios-extras:
Determine se os seguintes pares de retas são paralelas, perpendiculares
ou nem um caso nem outro.
a) y = 3x + 2 e y = 3x - 2
b) y = 2x -4 e y = 3x + 5
c) 3x - 2y = 5 e 2x + 3y = 4
d) 6x + 3y = 1 e 4x + 2y = 3
e) x = 3 e y = -4
23
f) 5x + 4y = 1 e 4x + 5y = 2
g) x = -2 e x = 7
E então, após fazer toda esta bateria de exercícios, alguma dúvida ainda
persiste?
Nos casos de dúvidas, lembre-se de que o caminho é este:
1 - Tente resolvê-los através de uma nova leitura do material instrucional
e na bibliografia complementar;
2 - Persistindo as dúvidas, entre imediatamente em contato com o tutor da
disciplina que, certamente, ajudará você a compreender melhor o
conteúdo do programa.
24
UNIDADE 3 - PRODUTO VETORIAL
Dado dois vetores u e v , chamamos de produto vetorial de u por v ,
representado por u x v , o vetor caracterizado por:
1) Módulo: | u x v | = | u | . | v |. senθ
2) Direção: perpendicular ao plano definido por u e v .
3) Sentido: obedece a regra do parafuso.
v
v
θ
θ
u
u
(Sentido anti-horário)
(sentido horário)
v
α
θ
u x v ≠ v xu
Exemplo:
| u | = 2;
|v| = 3
e
θ = 60°
| u x v | = | u | . | v |. sen60° = 2 . 3 .
3
=3 3
2
25
EXPRESSÃO ANALÍTICA DO PRODUTO VETORIAL
Sejam u = (a, b, c)
v = (d, e, f)
i
j
k
, definimos : u x v = a b
d e
c
f
Exemplo:
Calcule o produto vetorial de u = (2, -1, 3) e v = ( -1, 2, 5)
i
j
k
u x v = 2 − 1 3 = - 11i − 13 j + 3k ;
−1 2 5
u x v = (-11, -13, 3)
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DO PRODUTO VETORIAL
B
v
C
h
Θ
A
D
u
A área do paralelogramo ABCD é:
A = base . altura ⇒ A = | u | . h
Mas senθ =
h
; então h = | v | . senθ
(1)
(2)
v
Substituindo (2) em (1), temos:
A = | u | . | v |. senθ = | u x v |
Conclusão: “O módulo do produto vetorial de u por v corresponde à área do
paralelogramo gerada por u e v ”.
26
Exemplo:
Calcule a área do paralelogramo gerado pelos vetores
a = ( -8, - 3, 3) e b = ( 4, 3, -2)
i
j
k
a x b = − 8 − 3 3 = −3i − 4 j − 12k = ( -3, - 4, -12)
4
3 −2
Área = | a x b | =
9 + 16 + 144 = 13
Exercícios de Fixação
1 - Dados os pontos A (3,1,-2), B (1,3,4), C (2,0,1) e D (1,3,5), defina
u = AB = B – A; v = AC = C - A, w = BC = C - B, t = CD = D - C e calcule:
a) 3u - 2v
b) u + v + w
c) u x v
d) <u, w>
e) <u, w x t>
f) ângulo entre u e v
g) ângulo entre u e w
h) ângulo entre v e w
i) <v, w>
j) u x (w x t)
l) <w, u x v>
Lembre-se sempre:
Havendo dúvidas, consulte o seu tutor.
É melhor dividir preocupações e dificuldades, a
enfrentá-las sem o devido apoio.
27
PRODUTO MISTO
Sejam u = (a1, a2, a3), v = (b1, b2, b3) e w = (c1, c2, c3). Chamamos de produto
misto de u , v , w , nesta ordem, o número real definido por
a1
a2
a3
[ u , v , w ] = u . ( v x w ) = b1
c1
b2
c2
b3
c3
Exemplo:
Dado u = ( -2, 1, 2), v = (1, -1, 1) e w = (1, 1, 1), Calcule:
−2
1
2
−1 1 = 8
1 1
a) u . ( v x w ) = 1
1
−1 1
1
b) [ u , v , w ] = − 2
1
1
2 = -8
1
1
INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DO MÓDULO DE u . ( v x w )
Sejam u , v e w três vetores quaisquer que determinam um
paralelepípedo de arestas concorrentes num mesmo ponto 0.
v x w
Sabe-se:
u
h
a) v x w é perpendicular ao plano determinado
por v e w .
Θ
w
b) | v x w | = área de paralelogramo gerado
por v e w
v
28
O volume de um paralelepípedo é
V = Área da base . altura
Área da base = | v x w | e cosθ =
h
u
Então h = | u | . cosθ
Então
V = I I v x w I . I u I cos θ I
Então
V = I | u | . | v x w | cos θ I . Observe que | u | . | v x w | cos θ é
igual ao produto escalar de u e ( v x w ), isto é, u . ( v x w ) que, por sua
vez, é igual ao produto misto de u , v e w . Logo,
V = |u .
( v x w )|
Conclusão: “O módulo do produto misto é igual ao volume do
paralelepípedo gerado por u , v e w .”
NOTA:
Se u . ( v x w ) = 0, os vetores u , v e w não geram um
paralelepípedo, isto é, são coplanares.
Exemplo:
1) Dados O (0, 0, 0);
A (1, 0, 2);
B (2, 0, 5)
e
C (0, 2, 5),
calcule o volume do paralelepípedo de aresta OA, OB e OC.
OA = (1, 0, 2)
1 0 2
OA . ( OB x OC ) = 2 0 5 = -2 ⇒ V = − 2 = 2
0 2 5
OB = (2, 0, 5)
OC = (0, 2, 5)
2) Determine o vetor da n para que os vetores
a = (n, 0, 2n) , b = (4, 1, 4) e c = (0, n², - n) sejam coplanares.
n
a . (b x c ) = 0 ⇒
0
4 1
0 n2
2n
1
4 = 0 ⇒ n = 0 ou n =
4
−n
29
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO
1) Dados os vetores os vetores u = (1, 2, -1) e v = (0, -1, 3). Calcule a área do
paralelogramo determinado pelos vetores 3 u e v - u .
Resp.: 3 35 u a
2) Calcule a área do triângulo de vértices A (1, -2, 1), B (2, -1, 4) e C (-1, -3, 3).
Resp.:
r
3
10
2
ua
r
3) Determine a de modo que os vetores u = (3, 1, -1) e v = (a, 0, 2) gerem um
paralelogramo de área 2 6 .
Resp: a = -4 ou a = -2
4) Verifique se os vetores
r
r
r
u = (3, -1, 4), v = (1, 0, -1).e w = (2, -1, 0) são
coplanares.
Resp.: não são coplanares
5) Determine m de modo que os vetores
r
r
r
u = (n, 2, -1), v = (1, -1, 3).e w = (0, -2, 4)
sejam coplanares.
Resp: m = 3
6) Verificar se os pontos A (1, 2, 4), B (-1, 0, -2), C (0, 2, 2) e D (-2, 1, -3) estão no
mesmo plano.
Resp.: são coplanares
30
UNIDADE 4 – A RETA EM R3
Sejam A (x1, y1, z1) um ponto de uma reata r e v = (a, b, c) um vetor paralelo à
reta r, como mostra a figura.
Z
r
P
Se P(x, y, z) ∈ r; então AP é paralelo a
A
v ; isto é, AP = α v
(1)
v
De (1), temos: P – A = α v
Y
(2)
Então (x, y, z) = ( x1, y1, z1) + α (a, b, c)
(3)
X
As equações (1), (2), (3) são chamadas de equações vetoriais da reta e
v = (a, b, c) é o vetor diretor da reta.
Exemplo:
Determine a equação vetorial da reta que passa pelo ponto A (1, 2, -1) e tem a
direção do vetor u = (2, 3, 2).
(x, y, z) = ( 1, 2, -1) + α (2, 3, 2)
Se desejarmos pontos de r, basta atribuirmos valores a α.
Se α = 1 ⇒ (x, y, z) = ( 3, 5, 1) ∈ r
Se α = - 1 ⇒ (x, y, z) = ( -1, -1, -3) ∈ r
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA
Da equação
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + α (a, b, c), temos:
(x, y, z) = (x1, y1, z1) + (α a, α b, α c)
(x, y, z) = (x1 + αa, y1 + αb, z1 + αc)
x = x1 + α a
Então
y = y1 + α b
São chamadas de equações paramétricas da reta r.
z = z1+ α c
EQUAÇÕES SIMÉTRICAS DA RETA
31
x = x1 + α a
Da equação
x - x1 = α a
y = y1 + α b
, temos:
z = z1+ α c
x − x1
=α ;
a
y - y1 = α b ⇒
z - z1 = α c
y − y1
=α ;
b
z − z1
=α
c
x − x1 y − y1 z − z1
=
=
. Essas são chamadas de equações simétricas
a
b
c
Então,
da reta r.
Exemplo:
Determine as equações paramétricas e simétricas da reta que passa pelos
pontos A (1, 0, 2) e B (3, 1, -1).
AB = (2, 1, -3)
⇒
a)
x=1+2t
t∈r
Y = 0+ 1 t
Z = 2 – 3t
b)
x −1 y z − 2
= =
2
1
−3
EQUAÇÕES DO PLANO
Consideremos um plano α que passa por um ponto A (x0, y0, z0) e é ortogonal
a um vetor n = (a, b, c).
n
α
P
A
Se P (x, y, z) é um ponto qualquer de α, temos:
AP = P – A ⇒
AP = ( x - x0, y - y0, z - z0)
Notamos que n e AP são ortogonais; então n . AP = 0.
Então
a (x - x0) + b( y - y0) + c ( z - z0) = 0
Então, ax + by + cz – a x0 – b y0 – c z0 = 0
32
d
Então, ax + by + cz + d = 0 . Esta equação é chamada de equação geral do plano.
Exemplo:
1) Dados M ( 2, 1, -1) e n = ( 3, -1, 4). A equação do plano α que passa por M e é
ortogonal ao vetor n , será:
3x – y + 4z + d = 0 ⇒
A ∈ α; então
3.2 – 1 + 4 (-1) + d = 0
⇒
d = -1
Logo,
3x – y + 4z – 1 = 0
2) A equação 2x + 3y + 2z – 6 = 0 representa um plano α no R³ . Um vetor normal a α é
u = ( 2, 3 2).
Vejamos uma “força” do plano α.
Z
X=0eY=0⇒Z=3
(0, 0, 3)
X=0eZ=0⇒Y=2
(0, 2, 0)
Y=0eZ=0⇒X=3
(3, 0, 0)
3
2
X
Y
3
Sejam P0 = (x0, y0, z0), P = (x, y, z) pontos de um plano contidos numa reta r e
u = (a, b, c) = P - P0.
O conjunto dos pontos P(x,y,z) é dado por:
(x, y, z) = (x0, y0, z0) + t (a, b, c) ⇒
x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct, -∞ < t < +∞.
33
Essas equações são chamadas de equações paramétricas da reta. A letra
t é chamada parâmetro e sua função é variar de valor percorrendo toda a reta r.
Assim, conforme t varia, P se move ao longo da reta e P0P torna-se todos os
múltiplos escalares de u. Desta forma se t=1, P0P=u, se t=2, P0P=2u e, assim,
sucessivamente.
Exemplo:
A equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P(1,4,-2) e tem a
direção do vetor u = (1,3,2) são : x = 1 + t, y = 4 + 3t, z = -2 + 2t.
Existem outras formas de representar as retas em R3.
Durante as aulas, leituras ou exercícios elas aparecerão.
Portanto, não se preocupe com isso agora.
Na próxima unidade, vamos tratar do paralelismo e do perpendicularismo
entre as retas. Não deixe para mais tarde o esclarecimento de dúvidas e
incertezas que possam ter aparecido nesta unidade. Procure o seu tutor. Ele terá
muita satisfação em atendê-lo. Embora seu estudo seja independente, você não
está só.
34
UNIDADE 5 - PARALELISMO E PERPENDICULARISMO ENTRE RETAS
Objetivo específico:
• Identificar as relações de perpendicularismo e paralelismo.
Nesta unidade, estaremos tratando das relações gerais entre retas e
planos. Duas retas r e s são denominadas paralelas se seus respectivos vetores
diretores u e v assim o forem. Isto é:
r: P = Po + tu e s: P = Po + tv, então r é paralela a s se u for paralelo a v.
O mesmo conceito pode ser aplicado ao perpendicularismo. Duas retas
serão perpendiculares se seus vetores diretores o forem.
Não se esqueça da ferramenta poderosa que você tem na sua mão
que é o produto escalar.
Ele será muito útil na verificação do ângulo entre as retas.
E lembre-se:
• Acabando de estudar cada unidade, anote os tópicos mais importantes e faça
uma revisão do que estudou;
• Faça resumos das unidades, usando, inclusive, as leituras complementares;
• Reveja sempre os itens anteriores antes de prosseguir às outras unidades, já
que o conteúdo é seqüencial.
35
Exercícios de Fixação:
Unidade 5 - Parte 1
1 - Verifique se as retas abaixo são paralelas:
a) P = (1,2,2) + t(3,5,7) e P = (7,12,16) + t(6,10,14)
b) P = (3,4,2) + t(1,0,7) e P = (6,8,9) + t(2,0,14)
2 - Encontre a equação paramétrica da reta r, em cada caso, passando por P1 e
P2.
a) P1 = (3,5,1), P2 = (2,0,7)
b) P1 = (2,0,5), P2 = (-1,0,0)
c) P1 = (4,-1,5), P2 = (6,2,-3)
3 - Verifique se as retas abaixo são perpendiculares:
P = (3,5,1) + t(1,0,2) e P = (1,2,5) + t(4,3,2)
Exercícios de Fixação:
Unidade 5 - Parte 2
1 - Encontre as equações dos planos passando pelos pontos pedidos:
a) A(0,0,0), B(1,1,1) e C(3,1,4)
b) Contém o ponto Q:(1,2,1)e a reta P = (3,1,5) + t(2,0,1)
2) Dê o vetor normal a cada plano indicado abaixo:
a) x + 3y - z = 5
n=
b) 2(x-1) + 7(y-3) - (z-1) = 0
c) 2x - y + z = 2
d) z = 1
n=
n=
n=
36
3 - Sejam as retas de equações r: x = 3 - 5t, y = 4 + 2t, z = 2 e s: x = 2+t,
y = 4t, z = 2t
a) r é paralela a s?
b) r é perpendicular a s?
c) Quais os valores de x,y,z na reta r, quando t = 3?
Paralelismo e perpendicularismo entre planos
Seguindo a mesma linha apresentada até agora, utilizaremos o fortíssimo
produto escalar para determinar ângulos entre planos, assim como relações de
paralelismo e perpendicularismo.
Evidentemente, usaremos como comparação os vetores normais
envolvidos.
Exemplos:
1 - O plano 3x -5y +3z -5 = 0 e o plano 2x + 6y -7z +3 = 0 não são ortogonais
porque se n1 = (3,-5,3) e n2 = (2,6,-7) forem respectivamente os vetores
normais de cada plano, temos:
<n1,n2> = <(3,-5,3),(2,6,-7)> = 3.2 - 5. 6 + 3.(-7) = 6 - 30 - 21 = -45 ≠ 0.
Logo, os vetores normais não são ortogonais. Logo, os planos não são
ortogonais.
2 - O plano 2x + 5y +3z = 3 e o plano 4x + 10y + 6z = 6 são paralelos, pois um
vetor normal é múltiplo escalar do outro:
(4, 10, 6) = 2(2, 5, 3)
37
Observação:
As relações entre retas e planos seguem esta linha de raciocínio. Identificando
os vetores da reta e do plano, faz-se a análise do paralelismo e
perpendicularismo entre retas e planos.
Veja os exemplos a seguir:
a) Mostre que a reta r: P = (1,3,2) + t (2,-1,4) é paralela ao plano
H: 3x + 2y -z -5 = 0
Solução: (2,-1,4) é ortogonal ao vetor n = (3, 2, -1), pois 2. 3 -1. 2 + 4.(-1) = 0.
Logo r é paralela a H.
b) Encontre a equação de uma reta r que passa por (3,1,2) e é ortogonal ao
plano H: x - y + z = 2.
Solução: n = (1, -1, 1) é um vetor normal não nulo para H. Então este é um vetor
ao longo de r e r tem equação P = (3, 1, 2) + t(1, -1, 1)
c) Encontre a equação de um plano H que passa por (1, 0, 5) e é ortogonal à
reta r: x = 1 - t, y = 2 + 2t, z = 3 + 5t.
Solução: u = (-1, 2, 5) é um vetor não nulo ao longo de r, logo um vetor normal
para H. Portanto, H tem equação
-(x - 1) + 2(y - 0) + 5(z - 5) = 0
Relações entre dois planos:
A interseção de dois planos deve ser uma reta. Reciprocamente, toda reta
pode ser representada como interseção entre dois planos.
Faça uma leitura complementar sobre este assunto na bibliografia indicada. Mas,
antes, observe o exemplo a seguir.
38
Exemplo: Represente r como a interseção de dois planos, se r tiver a equação
vetorial P = (1,2,1) + t(1,-1,3).
Solução: x = 1 + t, y = 2 - t, z = 1 + 3t. Portanto, x + y = 3, 3x – z = 2 são dois
planos que se interceptam na reta r dada.
Tente fazer os exercícios de fixação de modo atento e metódico.
Havendo dúvidas procure o tutor da disciplina.
Exercícios de Fixação:
Unidade 5 - Parte 3
1 - Encontre uma equação linear para um plano que satisfaça as condições
enunciadas:
a) Contém P(6,4,-2) e é ortogonal à reta que passa pelos pontos (7,-2,3) e
(1,4,-5).
b) Contém P(1,2,3) e é ortogonal à reta x = t, y = 2 - 2t, z = 1 + 3t.
c) Contém P(-1,2,3) e a reta x = 1 - t, y = 2, z = 3 - t.
d) Contém (1,2,1) e as retas P = (1,5,3) + t(1,0,2), P = (7,5,9) + t(3,1,4) são
paralelas.
2 - Encontre a reta em R3 tal que:
a) Contenha (-2,1,3) e seja ortogonal ao plano 2x + 3y + z = 1.
b) Esteja no plano x – y + z = 7, contenha (7,0,0) e seja ortogonal à reta
x = 1 + t, y = 1 + 2t, z = 1 + 3t.
39
IMPORTANTE:
Só veja as respostas quando estiver certo de haver esgotado
suas possibilidades. Confie em você.
Informações adicionais sobre R3
1 - Utilizando o conceito de produto vetorial, podemos definir algumas áreas
como sendo:
|u x v| = |u| |v| sen α = área do paralelogramo
1 |u x v| = 1 |u| |v| sen α = área do triângulo
2
2
Exercícios correlatos serão encontrados, oportunamente, nos livros
indicados na bibliografia.
UNIDADE 6 - NOÇÕES DE SUPERFÍCIES E CURVAS EM R3
Objetivo específico:
• Caracterizar as principais construções de superfícies e curvas no espaço.
Nas unidades anteriores foram abordadas noções sobre: vetores e
coordenadas; produto escalar; retas, ângulos e coeficientes; vetores no espaço
tridimensional; retas e planos em R3; paralelismo e perpendicularismo, entre
outras noções mais específicas.
40
Nesta unidade, chegamos ao final dos estudos de Geometria Analítica. E
esperamos que você tenha tido um bom aproveitamento. Mas, nunca é demais
lembrar que é importante, para uma efetiva aprendizagem, a busca de
referências em outros materiais e livros sobre a matéria que está sendo
estudada.
Por isso, estamos propondo que você desenvolva uma leitura
complementar no livro-texto, Geometria analítica: um tratamento vetorial, de
Paulo Boulos e Ivan de Camargo, Capítulo 22, Superfícies.
Os exercícios a serem resolvidos estão na página 311 a 329 do livro
citado acima. Deverão ser entregues ao tutor da disciplina. As respostas dos
mesmos estão na página 380. Esta unidade não está incluída na auto-avaliação
final.
Finalizando, lembramos a importância do hábito de se auto-avaliar.
Verifique se você se sente satisfeito com seus progressos no estudo e na
aprendizagem.
41
Auto-avaliação
1) A distância entre os pontos (4,-1) e (7,3) é:
2) Qual a natureza do triângulo cujos vértices são A(2,7), B(5,3), C(10,8)?
3) Qual a área do triângulo ABC de vértice A(0,0), B(a,a) e C( a,-a)?
4) Dar a equação da reta que tem para coeficiente angular 3 e para coeficiente
linear -4.
5) Achar a equação da reta que passa pelos pontos A(2,-1) e B(-3,4).
6) Qual o ponto de interseção das retas 3x + 4y - 10 = 0 e x +2y – 4 = 0?
7) Qual a distância da origem à reta x 2 + y 2 - 12 = 0?
8) Sabendo que as retas 2x - y =3 e 2x + ay = 5 são perpendiculares, qual o
valor da letra a?
9) Qual a natureza do triângulo cujos vértices são os pontos A(0,-4,2),
B
(-3,2,1) e C(3,-1,2)?
10) Quais os valores de x e y, se u (x, 3) e v (2, x + y) e u = v?
11) Calcule o produto escalar entre os vetores u (2, 5) e v (-3, 4)?
12) Qual o valor de k de modo que os vetores u(1, k , -3) e v(2, -5, 4) sejam
ortogonais?
13) Qual a norma do vetor v (2, 7)?
14) Calcule a equação do plano que passa por P(1, 2, 3) e é paralelo ao plano
3x - 2y + 4z - 5 = 0.
15) Calcule a área do triângulo cujos vértices são A(1,2,3), B(2,-1,1) e
C(-
2,1,-1).
16) Verifique se os planos 3x - 5y +z – 2 = 0 e x + y +2z =3 são perpendiculares.
17) Verifique se a reta x = t, y = 2 - 3t, z = -t é paralela ao plano x + y + z - 1= 0.
42
Gabarito
Exercícios de Fixação:
Unidade 1 - Parte 1
1) a) (12,22)
b) (-6, -10)
c) (1,1)
d) (3,-1)
e) (2,4)
2)
2
3) 2
4)
5)
2
Y
P (3, 5)
Q (2, 4)
U(2, 0)
Y
V (1, -1)
43
Exercícios de Fixação:
Unidade 1 - Parte 2
1)a)
5
b)
5
c)
13
d) 0
e) 1
f) 90°
g) arc cos
2) a) x =
b) x =
8
5 13
− 20
3
3
2
c) x = 1
Exercícios-extra:
Unidade 1
Apresente ao tutor.
Exercícios de Auto-avaliação:
Unidade1
1) d(AB) = 18 , d(AC) = 17 , d(BC) = 17 . Logo é isósceles.
2) d(AB) = 58 , d(BC) =
58 , d(AC) = 116 .Pela relação de Pitágoras, sim.
3) a)2
b)7
c)1
d) 5
44
e)
41
f)
26
4) (3,3)
5) |u| = 5, |v| =
5 , |u + v| =
34 , |u - v| =
v e o ângulo entre eles é arc cos
26 , <u,v>=2, u não é ortogonal a
2
5 5
OBSERVAÇÃO: O ideal é que você acerte todos os exercícios. Caso isso não
tenha ocorrido, reveja o capítulo ou consulte o tutor da disciplina. Depois, tente
refazê-los observando os pontos nos quais houve erros ou dúvidas anteriores.
Exercícios de Fixação:
Unidade 2
1) m=3/4, (6,12) não pertence à reta, mas (12,7) pertence.
2) a reta AB é coincidente à reta AC, pois tem o mesmo coeficiente angular,
logo os pontos são colineares.
3)a) y = -5x/3 + 26/3
b) y = 3x + 3
c) y = 5/2 x - 23/2
d) y = 2x + 9
e) y = - 2/3 x
4) a) m=3
b) m=2/5
c) m=4
5) k=3
6) sim
45
7) a) 41/17
b) 39/5
c) k=-11; k=-161
Exercícios-extra:
Unidade 2
a) paralelas; b) nem um caso nem outro; c) perpendiculares; d) paralelas;
e) perpendiculares; f) nem um caso nem outro; g) paralelas
Exercícios de Fixação:
Unidade 3
1 -a) (-4,8,12)
b) (-2,-2,6)
c) (12, 0 4)
d) -26
e) 4
f) com o professor
g) com o professor
h) com o professor
i) -7
j) (6,-18,8)
l) (-12,-40,36)
Exercícios-extra:
Unidade 3
Apresente ao tutor.
46
Exercícios de Fixação:
Unidade 5 - Parte 1
1) a)sim
b) sim
2) a) P=(3,5,1) + t(-1,-5,6)
b) com o professor
c) P=(4,-1,5) + t(2,3,-8)
3) <(1,0,2),(4,3,2)>=4 + 0 +4=8. Logo não são ortogonais.
Exercícios de Fixação:
Unidade 5 - Parte 2
1) a) com o professor
b) com o professor
2) a) n = (1,3,-1)
b) n = (2,7,-1)
c) n = (2,-1,1)
d) n = (0,0,1)
3) a) não
b) não
c) x=-12, y=10, z=2
Exercícios de Fixação:
Unidade 5 - Parte 3
1) a) 6(x-6) - 6(y - 4) + 8 (z + 2) =0
b) (x - 1) - 2(y - 2) + 3(z-3) = 0
c) y - 2 = 0
d) -2(x-1) + 2(y-2) + (z-1) =0
47
2) a) P= (-2,1,3) + t(2,3,1)
b) P=(7,0,0) + t (5,2,-3)
Auto-avaliação Final:
1) 5 unidades
2) escaleno
3) a2
4) y=3x-4
5) x+y-1=0
6) (2,1)
7) 6
8) a=4
9) isósceles
10) x=2; y=1
11) 14
12) k=-2
13)
53
14) 3x - 2y + 4z - 11= 0
15) 5
3
16) sim
17) não
Veja como você se saiu:
a) Mais de 12 acertos - Muito bom.
b) Entre 9 e 12 acertos - Pode melhorar. Releia o texto.
c) Menos de 9 acertos - Procure o tutor da disciplina para se orientar melhor a
respeito do programa.
48
Se você:
Concluiu o estudo deste guia;
Participou dos encontros;
Fez contatos com seu tutor;
Realizou as atividades previstas;
Então,
você está preparado(a) para
a prova presencial.
Parabéns e boa prova!
Referências Bibliográficas
MEDEIROS, Luiz e outros. Álgebra vetorial e geométrica. Rio de Janeiro:
Campus, 1980.
BOULOS, Paulo & CAMARGO, Ivan de . Geometria analítica: um tratamento
vetorial. São Paulo: Mac Graw-Hill, 1987.
49
Avaliação do Instrucional
Solicito-lhe a gentileza de responder a este questionário de avaliação de
nosso Instrucional de Geometria Analítica.
Lembre-se de que suas observações são muito importantes, porque
pretendemos aperfeiçoar nosso trabalho, e só você pode nos ajudar.
1. Você acha que ele foi útil para seu crescimento?
a. (
) muitíssimo
c. (
) pouco
50
b. (
) muito
d. (
) muito pouco
2. Ele está escrito em linguagem agradável e acessível?
a. (
) em seu todo
c. (
b. (
) em quase todas as partes d. (
) em algumas partes
) em poucas partes
3. Como convite ao raciocínio (à reflexão), este material pode ser
considerado:
a. (
) muito adequado
c. (
) pouco adequado
b. (
) adequado
d. (
) inadequado
4. Como provocação do debate em grupo, as questões propostas neste
Instrucional foram:
a. (
) muito pertinentes
c. (
) pouco pertinentes
b. (
) pertinentes
d. (
) impertinentes
Obrigado
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