Universidade Federal de Alfenas
UNIFAL-MG
Introdução ao GeoGebra
Prof. Dr. José Carlos de Souza Junior
AGOSTO 2010
Sumário
1 Primeiros Passos com o GeoGebra
4
1.1
Conhecendo o Programa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2
Construções Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2
Lista de Figuras
1.1
Janela Gráfica do GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.2
Função Zoom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.3
Menu Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.4
Opção Mover . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.5
Janela de Álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.6
Entrada de Comandos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.7
Barra de Ferramentas do Geogebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.8
Construção de Pontos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.9
Opção Exibir Rótulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.10 Construção de Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.11 Passo 1 da Atividade 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.12 Passo 2 da Atividade 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.13 Passo 3 da Atividade 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.14 Passo 4 da Atividade 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.15 Passo 6 da Atividade 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.16 Paleta de Cores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.17 Passo 7 da Atividade 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.18 Barra de Navegação para Passos da Construção . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.19 Protocolo de Construção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.20 Passo 9 da Atividade 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.21 Passo 10 da Atividade 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3
Capı́tulo
1
Primeiros Passos com o GeoGebra
O GeoGebra é um programa computacional educativo livre que reúne Geometria,
Álgebra e Cálculo. Seu autor é o professor Markus Hohenwarter da Universidade de
Salzburgo na Áustria. Consiste em um sistema de geometria dinâmica que permite realizar
construções com pontos, vetores, segmentos, retas, seções cônicas e funções que podem ser
modificadas dinamicamente. Este software apresenta uma janela algébrica que permite
a inserção de equações e coordenadas para a construção de objetos diretamente, assim,
o GeoGebra tem a potência de trabalhar com variáveis vinculadas a números, vetores
e pontos. Este software é livre, qualquer pessoa pode obtê-lo por meio do endereço
eletrônico:
http://www.geogebra.org/cms/
Por tudo isso, acreditamos que o GeoGebra seja mais uma ferramenta didática que
mereça destaque nas salas de aula para inovar o processo ensino-aprendizagem.
1.1
Conhecendo o Programa
Vamos abrir e conhecer a tela do GeoGebra. A versão com a qual trabalharemos é
a versão 3 · 2 · 44 · 0, em Windows. A janela gráfica do GeoGebra é como uma folha de
caderno de desenho, na qual podemos desenhar os objetos geométricos e interagir com as
figuras.
4
1.1. CONHECENDO O PROGRAMA
5
Figura 1.1: Janela Gráfica do GeoGebra
Uma particularidade muito importante da janela gráfica do GeoGebra é a seguinte:
Clicando com o botão direito na tela de trabalho, abrimos um menu que apresenta a
função “Zoom”. Esta função permite ampliar ou reduzir os objetos da área de trabalho,
alterando o comprimento da unidade de escala.
Figura 1.2: Função Zoom
O Menu Principal é semelhante ao que aparece nos diversos aplicativos que usam a
plataforma Windowns de trabalho (por exemplo, o Microsoft Office). No item Arquivo
6
CAPÍTULO 1. PRIMEIROS PASSOS COM O GEOGEBRA
do Menu Principal, podemos abrir um novo arquivo, com a opção “Novo”. Com a opção
“Abrir”, abrimos a tela de um trabalho que já foi realizado no GeoGebra e foi salvo como
nomearquivo.ggb (a extensão dos arquivos de figuras do GeoGebra é .ggb). Para salvar
um trabalho, usamos as opções “Gravar”ou “Gravar como”, selecionando o destino e
escolhendo um nome para o trabalho. O Menu Principal aparece como segue:
Figura 1.3: Menu Principal
No item Editar do Menu Principal, temos a opção “Desfazer”, que desfaz o último
passo da construção realizada até então, e “Refazer”, que refaz o que foi desfeito com a
opção “Desfazer”. Neste item também aparecem as opções “Apagar”, que apaga os objetos
selecionados, e “Selecionar tudo”, que marca todo o trabalho e prepara para apagar
usando a opção “Apagar”. Em geral, não usamos esta opção, pois apaga tudo o que foi
feito até então. Mas é útil quando cometemos muitos erros e queremos apagar tudo para
recomeçar um novo trabalho.
No item Exibir do Menu Principal, temos a opção de exibir ou ocultar os eixos, a
malha, a janela de álgebra, entre outros.
Figura 1.4: Opção Mover
No lado direito da tela, conforme indicado na figura 1.4, aparece o comando que está
1.1. CONHECENDO O PROGRAMA
7
ativo e uma instrução de como proceder. Neste caso, está selecionada a opção “Mover”.
Figura 1.5: Janela de Álgebra
A janela de álgebra, indicada na figura 1.5, exibe todos os objetos construı́dos e suas
equações ou coordenadas. Podemos exibi-la ou ocultá-la por meio do item “Exibir”no
Menu Principal do GeoGebra, habilitando ou não a opção “Janela de álgebra”.
Figura 1.6: Entrada de Comandos
A entrada de comandos do GeoGebra indicada na figura 1.6 será importante no decorrer deste texto, pois com ela podemos realizar cálculos e construir objetos diretamente a
partir de equações ou coordenadas.
8
CAPÍTULO 1. PRIMEIROS PASSOS COM O GEOGEBRA
A figura 1.7 representa a barra de ferramentas do GeoGebra.
Figura 1.7: Barra de Ferramentas do Geogebra
Neste trabalho, vamos enumerar as janelas da barra de ferramentas do GeoGebra de
1 a 11, da esquerda para a direita.
A primeira opção chamada “Mover”apresenta uma flecha que chamaremos de
PONTEIRO e é usada para escolher e manipular objetos já construı́dos.
1.2
Construções Elementares
A seguir iremos propor uma série de atividades que visam uma maior familiarização
com o programa.
. . . Atividade 1.1 (Construção de pontos no Geogebra). Para representar um ponto
no GeoGebra, procedemos da seguinte forma: “Abra”o menu da segunda janela, a do
PONTO.
Abrir o menu de uma janela é feito da seguinte forma:
Leve o cursor (com o mouse) até a janela 2 e aperte o botão esquerdo do mouse
sem soltar. Aparecerá o menu dessa janela com as opções “Novo ponto”, “Interseção de
dois objetos”e “Ponto Médio ou Centro”. A escolha é feita com o movimento do mouse
deixando sua seleção destacada em azul. Soltando o mouse, a escolha é concluı́da. Comece
com a opção “Novo ponto”. Uma vez feita a escolha, o cursor se transforma no sinal “+”
pronto para desenhar na tela. Clicando com o mouse na tela, os pontos são construı́dos.
1.2. CONSTRUÇÕES ELEMENTARES
9
Figura 1.8: Construção de Pontos
No Menu Principal, no item “Opções”há a opção “Rotular”com as alternativas “Automático”, “Para Todos os Objetos Novos”, “Menos para Objetos Novos”e “Apenas para
Pontos Novos”. Se a opção “Automático”estiver marcada, então todos os rótulos dos
objetos aparecerão na tela logo após sua construção. Deixe esta opção selecionada, mas
quando não for útil a exibição de algum rótulo, clique com o botão direito sobre o objeto
nomeado e desabilite a opção “exibir rótulo”.
Figura 1.9: Opção Exibir Rótulo
10
CAPÍTULO 1. PRIMEIROS PASSOS COM O GEOGEBRA
? Observação 1.1. A partir de agora, a operação de “abrir menu de uma janela
#, na barra de ferramentas do GeoGebra e fazer a escolha de uma opção ####”será
denotada como: “Clique na Janela # e selecione a opção ####”.
. . . Atividade 1.2 (Construção de retas). Para representar uma reta no GeoGebra,
proceda de seguinte forma:
Clique na Janela 3 e selecione a opção “Reta definida por dois pontos”.
Com dois cliques de mouse uma reta é construı́da. O GeoGebra usa o princı́pio de
que “dois pontos distintos determinam uma única reta que os contém”.
Figura 1.10: Construção de Reta
... Atividade 1.3 (Familiarização com o Programa). A seguir daremos alguns passos
a serem seguidos nesta atividade, os quais visam proporcionar uma maior familiarização
com o programa.
Passo 1: Clique na Janela 2 e selecione a opção “Novo ponto”.
Mova o cursor até que ele esteja sobre a reta. Quando isso acontecer, a reta se
tornará mais escura e o programa exibirá sua descrição. Clique sobre ela várias vezes
para construir pontos pertencentes à reta.
Desfaça a construção desses pontos com o comando (Ctrl)+Z, até que restem somente
1.2. CONSTRUÇÕES ELEMENTARES
11
os pontos A e B e a reta a. Se por acidente você desfizer a construção de um destes três,
refaça a construção com o comando (Ctrl)+Y.
Figura 1.11: Passo 1 da Atividade 1.3
Passo 2: Esconda os eixos da tela com a opção “Eixos”no item “Exibir”no Menu
Principal. Logo após, construa outra reta de modo que ela se cruze com a primeira na
tela de trabalho.
Apesar de vermos que as retas se cruzaram num ponto, o ponto de interseção não foi
criado ainda.
Figura 1.12: Passo 2 da Atividade 1.3
Passo 3: Clique na Janela 2 e selecione a opção “Interseção de dois objetos”.
12
CAPÍTULO 1. PRIMEIROS PASSOS COM O GEOGEBRA
Clique sobre a primeira reta e depois sobre a segunda. Agora o ponto comum às duas
retas é exibido na tela.
Figura 1.13: Passo 3 da Atividade 1.3
Passo 4: Clique com o botão direito sobre uma das retas criadas e selecione a opção
“Renomear”. Será aberta uma caixa de edição para que possamos digitar o nome desejado;
mude o nome da reta e repita este procedimento para mudar o nome dos outros objetos.
Por exemplo, costuma-se usar letras maiúsculas A, B, C, etc. para os pontos e as letras
minúsculas m, n, r, s, etc. para as retas.
Figura 1.14: Passo 4 da Atividade 1.3
1.2. CONSTRUÇÕES ELEMENTARES
13
'
$
? Observações 1.1.
1. A criação de um ponto, digitando a letra correspondente a ele logo após a sua
construção sem mexer o mouse, permite nomeá-lo sem usar a opção anterior. O
mesmo vale para uma reta.
2. No Passo 2, se as retas não se cruzarem dentro da tela de trabalho, use a opção
“Deslocar eixos”da Janela 11 para movimentar a tela e ver onde elas se encontram. É muito improvável que numa construção aleatória se obtenham duas retas
paralelas.
3. O ato de etiquetar os objetos, principalmente os pontos, facilita as construções
futuras ou manipulações dos mesmos, sem o perigo de criar acidentalmente pontos sobre pontos já construı́dos ou manipular objetos errados. Esta observação
ficará clara quando o leitor perceber que cometeu erros no futuro.
&
Passo 5: Use o Ponteiro para mudar as posições das letras.
Ao aproximar o cursor dos objetos a serem manipulados, o cursor se transforma numa
mão que aponta e segura os objetos construı́dos até agora. Observe que os rótulos acompanham os objetos.
Passo 6: Clique sobre uma das retas com o botão direito e selecione “Propriedades”no
menu flutuante.
Figura 1.15: Passo 6 da Atividade 1.3
%
14
CAPÍTULO 1. PRIMEIROS PASSOS COM O GEOGEBRA
Abra a opção “Cor”. Uma paleta de cores aparecerá na tela. Selecionando uma cor
com o clique do mouse, mude a cor da reta. Abra depois a opção “Estilo”. Este menu
possibilita a mudança na espessura e no estilo do traço.
Para mudar a aparência de qualquer outro objeto construı́do, selecione-o na lista de
objetos à esquerda da caixa de diálogo.
Figura 1.16: Paleta de Cores
Passo 7: Clique na Janela 10 e selecione a opção “Inserir texto”.
O clique com o mouse numa área de trabalho abre uma caixa de edição de texto na
qual podemos escrever o tı́tulo do trabalho, justificativas das construções, observações etc.
Para alterar um texto já escrito, dê um duplo clique sobre o texto e então será aberta
uma caixa de diálogo para editá-lo. Para mudar a cor, abra o menu de Propriedades,
depois a opção “Cor”e selecione a cor. Para alterar a fonte ou o tamanho do texto use a
opção “Texto”, também no menu de Propriedades, escolha a fonte e o tamanho e clique
em “OK”e depois em “Fechar”.
Para alterar a posição do texto na tela, selecione a opção “Mover”(primeira janela),
clique sobre o texto, segure o botão do mouse, e arraste-o para o lugar na tela que desejar.
Quando soltar o mouse, o texto estará na posição escolhida.
No momento, podemos escrever “Atividades Introdutórias do GeoGebra”, por exemplo.
1.2. CONSTRUÇÕES ELEMENTARES
15
Figura 1.17: Passo 7 da Atividade 1.3
Passo 8: Selecione Exibir no Menu Principal e habilite a opção “Barra de navegação
para passos da construção”.
Aparece uma barra com a qual é possı́vel acompanhar a construção feita, passo a
passo, de todos os desenhos existentes na folha de trabalho e saber se um usuário (aluno
ou professor) está construindo corretamente ou não.
Figura 1.18: Barra de Navegação para Passos da Construção
Clicando no botão indicado na figura 1.18, abrimos o “Protocolo de construção”. Este
16
CAPÍTULO 1. PRIMEIROS PASSOS COM O GEOGEBRA
recurso descreve detalhadamente o que foi feito na construção, de maneira semelhante a
um roteiro que se escreve nas construções de Desenho Geométrico.
Figura 1.19: Protocolo de Construção
Estes recursos são excelentes aliados no estudo individual, quando se deseja recuperar
os passos de uma construção ou ainda detectar os erros cometidos. Ele também torna o
programa GeoGebra um auxiliar nas atividades de avaliação, quando um professor deseja
acompanhar o trabalho de um aluno.
Passo 9: Vamos salvar este trabalho.
Figura 1.20: Passo 9 da Atividade 1.3
1.2. CONSTRUÇÕES ELEMENTARES
17
Vá com o cursor e selecione Arquivo no Menu Principal.
Mantendo o botão esquerdo do mouse pressionado, arraste o mouse até a opção “Gravar
como”. Será aberta uma tela como na figura 1.20. Escolha o destino do arquivo na janela
“Gravar em”. Na janela “Nome de arquivo”, escreva, por exemplo “atividade 1”. Clicando em “Gravar”, o seu trabalho estará gravado no destino escolhido. Observe que o
tipo de arquivo deve estar indicando “GeoGebra arquivos (∗.ggb)”.
Passo 10: Para acessar este trabalho no futuro, abra a tela do GeoGebra.
Vá até o item Arquivo no Menu Principal e escolha “Abrir”. Na tela que se abrir,
escolha na janela “Ver em”o local onde foi salvo o trabalho e depois clique no arquivo
“atividade1”e em seguida em “Abrir”.
Figura 1.21: Passo 10 da Atividade 1.3
Passo 11: Para iniciar outro trabalho em uma outra janela, devemos escolher “Nova
janela”no item Arquivo do Menu Principal; isso abrirá uma tela nova. Se a opção
escolhida for “Novo”, o GeoGebra fechará o trabalho atual e iniciará um outro em branco.
Em todas as atividades manteremos ocultos a janela algébrica e os eixos. Para ocultálos use o item “Exibir”do Menu Principal.
Os primeiros passos foram dados. Agora podemos iniciar as atividades. À medida que
desenvolvermos a teoria apresentaremos outras funções destes programas.
Lembramos que os recursos computacionais devem ser utilizados como mediadores
tecnológicos de um processo de ensino/aprendizagem e o objetivo principal é sempre a
aquisição de conhecimento e compreensão maior da Matemática.