Geometria Analítica – Engenharia Química/Química Industrial 26
2 - Vetores
2.1 - Sistemas de coordenadas bi e tridimensionais
Para a representação de um ponto no plano são necessários dois números reais, que associados a dois eixos
coordenados (retas reais perpendiculares), constituem um par ordenado que indica a posição do ponto.
Se os eixos são denominados x e y, conforme na figura 1, o ponto A é definido pelo par ordenado (a, b).
Figura 2.1 – Par ordenado no plano
O par ordenado (a, b) corresponde as coordenadas do ponto A no plano xy situado no espaço bidimensional
(R 2 ) .
Para representar pontos no espaço tridimensional precisamos de três números reais e de três eixos coordenados
( R 3 ) . Geralmente chamamos estes eixos de x, y e z e são dispostos perpendicularmente entre si, x e y na
horizontal e z na vertical, cruzando-se mutuamente na origem 0. Um ponto P no espaço é definido por uma
tripla ordenada (a, b, c) de números reais, como na figura 2.2(a). Os três eixos coordenados determinam três
planos coordenados xy, xz e yz que dividem o espaço em oito octantes. O primeiro octante é aquele definido
pelos eixos positivos como mostrado na figura 2.2(b).
Figura 2.2(a): Ponto P no espaço tridimensional Figura 2.2(b): Planos coordenados
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Vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1
A representação dos pontos A (2, 1, 3) e C(-3, 2, 3) é a das figuras 2.3(a) e 2.3(b):
Figura 2.3(a): Representação do ponto A
Figura 2.3(b): Representação do ponto C
2.2 - Vetores
No nosso dia a dia estamos acostumados a diversas situações que na maioria das vezes passam despercebidas
quanto ao seu significado. Por exemplo, quando ligamos a televisão e assistimos os noticiários, o jornalista
informa que a temperatura mínima na cidade para o dia seguinte será de 17º C e máxima de 32º C ou quando
ouvimos sobre a pavimentação de uma rodovia de com 22 km de extensão, ou ainda, que o preço de 1 kg de
frango está 30% mais barato.
Nas três situações descritas abordamos as grandezas temperatura, comprimento e massa, que na física recebem
o nome de grandezas escalares.
Grandeza escalar é aquela que fica perfeitamente caracterizada por um número associado a uma unidade de
medida.
Vamos agora considerar outra situação: Se eu dissesse que viajei 200 km, provavelmente alguém perguntaria,
“para onde?”, ou seja, para que a informação fosse adequada deveríamos acrescentar, por exemplo, que
viajamos de Florianópolis a Joinville, teríamos uma direção norte-sul, um sentido de Florianópolis a Joinville, e
uma intensidade do deslocamento de 200 km. Esta situação é definida como grandeza vetorial, pois só falando
em 200 km a informação fica muito vaga.
Grandeza vetorial é aquela que fica caracterizada quando conhecemos sua direção, seu sentido e sua
intensidade.
Uma grandeza, que precisa ser caracterizada por uma direção, um sentido e um número chamado módulo (ou
intensidade) é chamada de vetor.
Vetor é ente matemático caracterizado por uma direção, um sentido e um módulo (ou intensidade).
→
Representamos vetor por um segmento orientado de reta AB , ou também por uma letra minúscula, com uma
r
r
flecha em cima v = AB = B − A . Na figura 4 representamos estas características.
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Figura 2.4: Características de um vetor
Agora vamos observar as situações representadas nas figuras 5(a) e 5(b). São segmentos orientados em
diferentes posições.
Situação 1
Situação 2
Figura 2.5(a): Segmentos orientados 1
Figura 2.5(b): Segmentos orientados 2
Observe que nas duas situações, os três segmentos têm mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido,
por isso, podemos dizer que estes segmentos são eqüipolentes.
Se estes segmentos representam vetores, são vetores iguais?
r r r
São sim. Vetores iguais são representados por segmentos eqüipolentes. Assim os segmentos a , b , c
r r r
representam vetores iguais, assim como d , e , f .
Observe agora a situação 3, na figura 2.6, onde também representamos segmentos orientados. Os segmentos
orientados têm o mesmo comprimento, mesma direção e sentidos contrários, e são denominados vetores
opostos.
Figura 2.6: Segmentos orientados 3
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Na situação 4, representada na figura 2.7, os segmentos orientados são somente paralelos, representando vetores
r r r
paralelos: a // b // c
Figura 2.7: Vetores paralelos
Observação: Quando a origem de um vetor coincide com a extremidade, é denominado vetor nulo e
representado por 0 ou AA , isto é, não possui direção, sentido ou intensidade.
r
Um vetor bastante utilizado é o chamado vetor unitário ou versor, cujo módulo é 1. Em geral, se a ≠ 0 , então o
r
r
vetor que tem a mesma direção e sentido de a e módulo 1 é o vetor unitário de a .
r
r
Exemplo 1: Na figura 2.8, representamos um vetor unitário v de um vetor u de módulo 4.
r
Figura 2.8: Vetor unitário v
r
r
r
r
Observação: Num vetor v , unitário, temos v = 1 . Na figura 8, u = 4 e v = 1 .
Os vetores podem ser representados e utilizados no
espaço bidimensional e tridimensional. Se a origem e a
extremidade de diversos vetores estão situadas num
mesmo plano ou não, estes são denominados coplanares
não coplanares, como na figura 2.9(a) e 2.9(b).
Figura 2.9(a): Vetores coplanares
ou
Figura 2.9(b): Vetores não coplanares
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Um pouco de História
Os Vetores surgiram no início do século XIX com trabalhos de Caspar Wessel (1745--1818), Jean Robert
Argand (1768--1822) e Carl Friedrich Gauss (1777--1855) que no estudo dos números complexos como pontos
no plano bidimensional os representaram como segmentos de reta orientados com representação bidimensional.
Diversos matemáticos e cientistas trabalharam na mesma época com este tipo de representação, sem a
denominação de vetores, mas como pares ordenados de números reais. Avanço significativo houve em 1827
com August Ferdinand Möbius quando publicou um pequeno livro, The Barycentric Calculus, no qual
introduziu diretamente segmentos de reta denotados por letras do alfabeto, vetores na essência, mas ainda não
no nome. No seu estudo de centros de gravidade e geometria projetiva, Möbius desenvolveu uma aritmética
destes segmentos de reta; adicionou-os e mostrou como multiplicá-los por um número real. Seus interesses
estavam em outro lugar, e ninguém se importou em notar a importância destes cálculos (Eves, 2002, p.491).
2.3 – Operações com Vetores
Nesta seção estaremos tratando das operações com vetores, especificamente, a adição e a subtração, produto de
vetores por números reais e a representação de vetores no plano e no espaço.
Quando operamos grandezas escalares, usamos apenas regras aritméticas e a unidade de medida da grandeza.
Exemplo 1: Grandezas como massa de um corpo, distância entre dois pontos e volume de um líquido, são
grandezas escalares e podem ser somadas aritmeticamente, mantendo a unidade de medida:
2 kg + 5 kg = 7 kg
2000 km + 3000 km = 5000 km
5 ml + 2 ml = 7 ml
Quando lidamos com grandezas vetoriais, o cálculo aritmético vem acompanhado com a interpretação e
representação gráfica, pois além do módulo, trabalhamos também com a direção e o sentido do vetor que
representa a grandeza.
Exemplo 2: Vamos considerar um carro que sai da cidade A e percorre 40 km em linha reta para o Sul,
atingindo a cidade B; em seguida, percorre mais 30 km, a partir da cidade B, para o Oeste, até chegar a cidade
C.. Qual é a distância que separa a cidade A da cidade C?
Para resolver a questão temos que considerar as referências dadas para os deslocamentos. Na figura 2.10,
representamos estes deslocamentos.
Figura 2.10: Deslocamento do carro
Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, temos que:
2
2
d 2 = ( AB ) + (BC ) ⇒ d 2 = 40 2 + 30 2 ⇒ d 2 = 1600 + 900 ⇒ d 2 = 2500 ⇒ d = 50 , logo a distância da
cidade A até a cidade C, é de 50km , na direção e sentido previstos.
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Observação: As grandezas vetoriais exigem a utilização de representações gráficas.
Para resolvermos problemas que envolvam adição de vetores vamos recorrer a duas regras conhecidas: a regra
do polígono e a regra do paralelogramo. Vamos ver como funcionam.
2.3.1 - Adição de Vetores
Regra do polígono
r
r
r
A soma de dois vetores u e v , representados na figura 2.11 se dá transportando o vetor u , mantendo sua
r
direção, sentido e comprimento, e, a partir da extremidade desse vetor, transportamos o segundo vetor v
r
mantendo também suas características. Ligamos a origem do primeiro vetor u com a extremidade do segundo
r
r
r r
vetor v e obtemos o vetor s , que é a adição de u e v .
r
r
Figura 2.11: Soma dos vetores u e v pela regra do polígono.
Observação: Para determinar a adição de mais vetores procede-se da mesma maneira, ligando cada um deles a
extremidade do anterior, mantendo o módulo, a direção e o sentido, até desenhar todos. O vetor resultante da
adição se obtém ligando a origem do primeiro com a extremidade do último vetor representado.
Regra do paralelogramo
Esta regra utiliza a representação de um paralelogramo construído sobre cada dois vetores a serem somados. Na
r
r
soma de dois vetores u e v transportamos os dois vetores, fazendo que suas origens coincidam e, pela
extremidade de cada um dos vetores, traça-se uma reta paralela ao outro, construindo um paralelogramo a partir
r
r r
de suas extremidades. A soma s de u e v é o vetor que corresponde a diagonal desse paralelogramo.
r
r
Figura 2.12: Soma dos vetores u e v pela regra do paralelogramo.
Observação: A diferença de vetores é definida através da operação soma, do primeiro vetor com o oposto do
r
r
r
r
r
r
r
r
r
segundo vetor. Se d é o vetor diferença entre a e b temos a operação d = a − b ⇒ d = a + ( −b ) ,
conforme representamos na figura 2.13.
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Figura 2.13: Subtração de vetores
Logo, para subtrairmos um vetor de outro, vamos somar o oposto desse vetor ao outro.
2.3.2 - Propriedades da Adição de Vetores
A adição de vetores apresenta algumas propriedades peculiares à adição de escalares.
r r
r
Sejam dados a , b , e c vetores quaisquer, então:
r r r r
r r r r r r
b) (a + b ) + c = a + (b + c ) (associativa)
r r r
c) a + 0 = a (elemento neutro)
r
r r
d) u + ( −u ) = 0 (elemento simétrico)
a) a + b = b + a (comutativa)
2.3.3 - Produto de um número real por um vetor
É possível multiplicar um vetor por um número real. O produto de um número real ou escalar diferente de zero
por um vetor mantém a mesma direção do vetor original, enquanto que a direção e o módulo dependem do
número real. O novo vetor diminui, aumenta de tamanho e até pode mudar o sentido se o número tiver sinal
negativo, preservando a mesma direção.
Exemplo 1
r
Seja a o vetor dado, podemos multiplicar este por números reais conforme representado na figura 2.14.
Figura 2.14: Produto de um vetor por um número real
r
r
A multiplicação de vetores também tem suas propriedades. Seja a e b vetores quaisquer e c e d números reais
temos:
r
r
r
r
a) c( a + b ) = ca + cb (distributiva)
r
r
r
b) (c + d ) a = ca + da (distributiva)
r
r
c) (cd ) a = c( da ) (associativa)
r r
d) 1 ⋅ a = a (elemento neutro)
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2.4 - Vetores como combinação linear dos vetores da base ortogonal i, j e k;
Até agora tratamos os vetores exclusivamente do ponto de vista geométrico, como segmento de reta orientado.
Os vetores também podem ser associados com os sistemas de coordenadas do plano ( R 2 ) e do espaço ( R 3 ) .
a) Vetores no plano ( R 2 )
Para representar vetores no plano, podemos utilizar como base os vetores cujas origens são a origem do plano
r
r
cartesiano xy e extremidades os pontos (1,0) e (0,1) , conhecidos respectivamente como vetores i e j , as
vezes simplesmente representados por i e j, conforme a figura 2.15.
r
r
Figura 2.15: Vetores da base ortogonal i e j
r
r
Observação: A base formada pelos vetores i e j é chamada de base canônica que é particularmente
importante por estar associada à representação cartesiana usual da geometria plana. Os vetores e os pares
ordenados compartilham os mesmos pontos do plano cartesiano.
r
r
r
Conhecidos os vetores i e j , de módulo 1, qualquer vetor v do plano cartesiano pode ser decomposto
r
r
r
r
r
r
segundo as direções de i e j , ou seja, temos que determinar dois vetores cujas direções sejam i e j , e cuja
r
soma seja v . Considerando a multiplicação de um vetor por um escalar (número real), podemos indicar o vetor
r r
r
v como a soma dos vetores i e j multiplicados pelos escalares a e b convenientes.
r
Temos então, o vetor v = ai + bj , que pode ser representado no plano usando as projeções ortogonais das
r
extremidades de v sobre os eixos coordenados x e y, determinando ali os componentes escalares a e b, da
representação vetorial. A figura 2.16 ilustra essa decomposição.
r
Figura 2.16: Componentes de um vetor v no plano
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r
r
Assim, qualquer vetor no plano xy pode ser expresso em função da base padrão i e j .
r
r
r
Um vetor bidimensional v = ai + bj pode ser representado genericamente por um par ordenado:
r r
r
r
r
v = ai + bj pode ser representado por v = (a, b) ou v = a, b
Exemplo 2
r
r
Vejamos a representação genérica de vetores com base ortogonal i e j para os vetores:
r
a) i = 1,0 = (1,0)
r
b) j = 0,1 = (0,1)
v
r
r
r
r
c) v = 2i + 3 j = 2,3 = (2,3)
d) u = −i +
3r
3
3

j = − 1, =  − 1, 
5
5
5

Exemplo 3
r
O vetor w =
r
3r
i + 2 j tem a representação gráfica conforme a figura 2.17(a) ou simplesmente como na figura
2
2.17(b):
Figura 2.17(a): Vetor no plano 1
Figura 2.17(b): Vetor no plano 2
r
r
Considerando esta modalidade de representação, a adição de dois vetores u = (a1 , b1 ) e v = (a 2 , b2 ) define-se
como:
r r
u + v = (a1 + a 2 , b1 + b2 )
r
A multiplicação de um vetor u = ( a, b) por um escalar c define-se como:
r
c ⋅ u = (ca, cb)
Exemplo 4
r
r
r
r
r
r
r
r r
r
r
r
r
Se u = 2i + 3 j e v = 4i − j , determine u + v , u − v , 2u , 2u + 3v .
r r
a) u + v
r
r
r r
r r
u + v = (2,3) + (4,−1) = (6,2) , ou seja, u + v = 6i + 2 j
r
r
b) u − v
r
r
r r
r r
u − v = (2,3) − (4,−1) = (−2,4) , ou seja, u − v = −2i + 4 j
r
c) 2u
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r
r
r
r
2u = 2 ⋅ (2,3) = (4,6) , ou seja, 2u = 4i + 6 j
r
r
r
r
r
r
d) 2u + 3v = 2 ⋅ ( 2,3) + 3 ⋅ ( 4,−1) = ( 4,6) + (12,−3) = (16,3) , ou seja, 2u + 3v = 16i + 3 j
r
r
Observação: A representação gráfica de u + v do exemplo 4 pode ser observada na figura 2.18.
Figura 2.18: Soma de dois vetores
Matemática e informática
Alguns softwares matemáticos permitem fazer cálculos com vetores e representá-los graficamente. Entre eles
estão o Derive, já comentado, e o GeoGebra, um software gratuito que relaciona a geometria plana com a
álgebra e o cálculo. O GeoGebra pode ser obtido fazendo download da versão 2.6b do site www.geogebra.at e é
constituído de duas janelas paralelas, uma gráfica e outra algébrica, e uma barra de entrada de dados na parte
inferior da interface. É um software de geometria dinâmica cuja principal característica é a possibilidade de
“arrastar” os objetos construídos (com o ponteiro) preservando suas propriedades e atualizando suas
características. Com vetores é possível, entre outras, representar, adicionar, subtrair e multiplicar vetores,
calcular vetor unitário e vetores perpendiculares. Para representar os vetores é conveniente exibir os eixos
coordenados e a malha, para melhor visualização.
Faça o download do programa, instale-o, faça a exploração básica de suas funções e utilize-o.
b) Vetores no espaço tridimensional ( R 3 )
Quando estivermos tratando com vetores no espaço tridimensional, vamos
utilizar como base os vetores cujas origens são a origem do plano cartesiano
xyz e extremidades os pontos (1,0,0) , (0,1,0) e (0,0,1) , constituindo os
r
r r
vetores i , j e k , denominada base canônica, representados na figura 2.22.
Alguns autores utilizam simplesmente i, j e k.
r r
r
Figura 2.22: Vetores da base ortogonal i , j e k
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r
r
r
r r
r r
r
i e j e k , ou seja, podemos determinar três vetores cujas direções sejam i , j e k , e cuja soma seja v .
r
Considerando a multiplicação de um vetor por um escalar (número real), podemos indicar o vetor v como a
r
r r
soma dos vetores i , j e k multiplicados pelos escalares a, b e c convenientes.
Assim como no plano, qualquer vetor v do espaço tridimensional pode ser decomposto segundo as direções de
r
r
r
r
Similar aos vetores no plano, temos o vetor v = ai + bj + ck , que pode ser representado no sistema cartesiano
r
xyz usando as projeções ortogonais das extremidades de v sobre os eixos coordenados x, y e z, determinando ali
os componentes escalares a, b e c, da representação vetorial.
A figura 2.23 ilustra essa decomposição.
r
Figura 2.23: Componentes de um vetor v no espaço tridimensional ( R 3 )
r r
r
Assim, qualquer vetor no espaço xyz pode ser expresso em função da base padrão i , j e k .
r
r
r
r
Um vetor tridimensional v = ai + bj + ck pode ser representado genericamente por uma tripla ordenada:
r
r r
r
r
r
v = ai + bj + ck pode ser representado por v = (a, b, c) ou v = a, b, c
As operações com vetores no ( R 3 ) são realizadas tal como no plano.
Exemplo 5
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r r
r
Dados os vetores s = 2i − j + 6k e w = i − 2 j − k , determine s + w , s − w , −
r
r
1r
w.
3
a) s + w
r
r
r
r r
r r
s + w = (2,−1,6) + (1,−2,−1) = (3,−3,5) , ou seja, s + w = 3i − 3 j + 5k
r
r
b) s − w
r
r r
r r r r
s − w = (2,−1,6) − (1,−2,−1) = (1,1,7) , ou seja, s − w = i + j + 7 k
1r
w
3
1r
1
1 2 1
1r
1r 2 r 1 r
− w = − ⋅ (1,−2,−1) = (− , , ) , ou seja, − w = − i + j + k
3
3
3 3 3
3
3
3
3
c) −
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r
r
r
r
r
r
r
Observação: Um vetor u = ai + bj do plano pode ser representado como um vetor w = ai + bj + ck do
espaço tridimensional considerando a componente c igual a zero. Afinal, o plano xy está contido no espaço xyz.
Exemplo 6
r
r
r r
r r
r r r
r
r
Determine u + w , u − 3w , sendo u = 3i + 5 j e w = −2i + j + 4k
r
r
a) u + w
r
r
r r
r r r
u + w = (3,5,0) + (−2,1,4) = (1,6,4) , ou seja, u + w = i + 6 j + 4k
r
r
b) u − 3w
r
r
r
r
r
r
r
u − 3w = (3,5,0) − 3 ⋅ (−2,1,4) = (3,5,0) − (−6,3,12) = (9,2,−12) , ou seja, u − 3w = 9i + 2 j − 12k
r
No início desta seção, descrevíamos que um vetor v de origem A e extremidade B pode ser expresso como uma
r
diferença: v = AB = B − A . Vamos analisar um exemplo.
Exemplo 7
r
r
Se v é um vetor com origem no ponto A(1, 4) e extremidade no ponto B(5, 6), determine o vetor v como a
r
diferença v = AB = B − A
r
v = AB = B − A
r
r
r
r
v = (5,6) − (1,4) = (4,2) , ou seja, v = 4i + 2 j
r
Graficamente, podemos observar na figura 2.24 que o vetor AB é o mesmo que o vetor v = AB = B − A , ou
r
seja, corresponde a um vetor de origem zero. O vetor v é representante do vetor AB .
Figura 2.24: Vetor representante
r
O que podemos então concluir? Ë fácil: o vetor v é o representante na origem do sistema, de qualquer vetor
r
que possui mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento de v .
→
Se considerarmos um outro vetor CD com origem no ponto C (5,3) e extremidade no ponto D (9,5) , temos
→
→
r
CD = D − C = (9,5) − (5,3) = (4,2) , portanto igual a v , que é representante também do vetor CD .
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2.5 - Módulo ou norma de um vetor
r
r
O módulo, ou magnitude, ou norma, ou comprimento de um vetor v , representado por v é o comprimento de
qualquer um dos seus representantes e é calculado pela fórmula da distância entre dois pontos no plano, ou seja,
a distância entre a origem 0 e a extremidade do vetor.
r r
r
Se v = ai + bj = (a, b) é um vetor bidimensional como na figura 2.25, e aplicando o teorema de
r
r2
Pitágoras no triângulo retângulo OAB formado, tem-se que: v = a 2 + b 2 , logo v = a 2 + b 2
r
r r
r
Se v = ai + bj + ck = (a, b, c) é um vetor tridimensional, como na figura 2.26, tem-se dois triângulos
retângulos: OAB e OBC. Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo OAB, obtém-se que
r2
2
2
OB = a 2 + b 2 e no triângulo OBC tem-se que v = OB + c 2 .
r2
Substituindo ter-se-á: v = a 2 + b 2 + c 2
r
E assim, v = a 2 + b 2 + c 2
Figura 2.25: Vetor bidimensional.
Figura 2.26: Vetor tridimensional
Exemplo 8
r
r
r
r
Se w = (1,4) e m = ( 2,−2,1) , calcule w e m .
r
w = 12 + 4 2 = 17
r
m = 2 2 + (−2) 2 + 12 = 9 = 3
2.6 - Vetor unitário ou versor de um vetor
Se tomarmos qualquer vetor diferente do vetor nulo, e dividirmos pelo seu módulo, teremos um novo vetor de
mesma direção e sentido, seu módulo será igual a 1. Este vetor representa a unidade do vetor considerado para o
r
r
v
problema. Assim para o vetor v , diferente do vetor nulo, o seu versor ou vetor unitário será r .
v
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Exemplo 9:
r
r v
r
r
Dado o vetor v = (−1,2,2) , o seu versor u = r pode ser obtido calculando primeiro o módulo do vetor v :
v
r
v = (−1) 2 + 2 2 + 2 2 = 1 + 4 + 4 = 9 = 3
r
r v (−1,2,2)  1 2 2 
Logo: u = r =
= − , , 
v
3
 3 3 3
r
Podemos verificar se o módulo do vetor obtido é realmente 1, calculando v :
2
2
2
r
1 4 4
9
 1  2  2
u = −  +   +   =
+ + =
= 1 =1
9 9 9
9
 3  3  3 
r
r r
Observação: Os vetores i , j e k são exemplos de versores ou vetores unitários.
Exemplo 10
r
r
Determine o versor u do vetor w = (1,4)
r
a) O módulo do vetor w = 12 + 4 2 = 17
r
r
r w
r w (1,4)  1
4 
Sendo u = r , temos que u = r =
= 
,
 .
w
w
17  17 17 
r
Se houver necessidade de conferir o módulo do vetor u obtido, fazemos:
2
2
r
 1   4 
1 16
17
u = 
 + 
 =
+
=
= 1 =1
17 17
17
 17   17 
2.7 – Produto de Vetores
Nesta seção trataremos dos produtos de vetores, denominados produto escalar, produto vetorial e produto misto,
bem como a interpretação geométrica destes produtos.
2.7.1 - Produto escalar
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Qual é o significado físico do produto escalar?
r
Segundo (Halliday, 2002) uma força f constante que atua sobre um corpo e este corpo sofre um deslocamento
r
r
r
d , o produto interno entre a força f e o deslocamento d , e se representa por w , é o trabalho w realizado para
mover o corpo.
r
O autor exemplifica com uma situação em que um corpo de massa m se move sob ação de uma força f , que
forma um ângulo α com a direção do movimento. O corpo parte da posição A para a posição B, conforme a
figura 2.27. Usando conceitos da Física estabelece que o trabalho (w) da força
r
f é dado por
r r
w = f ⋅ d cos α , que é caracterizado por um produto de dois vetores, denominado produto escalar.
Figura 2.27: Trabalho de uma força
r
r
Matematicamente o produto escalar ou interno de dois vetores u e v representa um número que é expresso
por:
r r r r
r
r
u • v = u ⋅ v ⋅ cos α , onde α é a medida do ângulo formado entre os vetores u e v , e 0 0 ≤ α ≤ 180 0 .
Graficamente pode ser representado como na figura 2.28.
Figura 2.28: Produto escalar
r
r
r
Podemos observar na figura 2.25 que v cos α é exatamente o comprimento da projeção do vetor v sobre u .
Propriedades do produto escalar
r r r
Quaisquer que sejam os vetores u , v , w e m ∈ R , temos:
I)
II)
III)
r r r r
u •v = v •u
r r r
r r r r
u • (v + w) = u • v + u • w
r r
r r
r
r
(mu ) • v = m(u • v ) = u • (mv )
Para realizar o produto escalar de dois vetores consideramos suas componentes cartesianas e as propriedades já
relacionadas, conforme apresentamos a seguir:
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Expressão cartesiana do produto escalar
r
r
r
r
r
r
r
r
Sejam os vetores u = a1i + b1 j + c1 k e v = a 2 i + b2 j + c 2 k , temos que:
r
r
r
r
r
r
r r
u • v = (a1i + b1 j + c1 k ) • (a 2 i + b2 j + c 2 k )
Aplicando a propriedade II, obtemos a expressão:
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r r
u • v = (a1i • a 2 i + a1i • b2 j + a1i • c 2 k ) + (b1 j • a 2 i + b1 j • b2 j + b1 j • c 2 k ) +
r
r
r
r
r
r
+ (c1 k • a 2 i + c1 k • b2 j + c1 k • c 2 k )
Considerando a propriedade III podemos organizar o produto agrupando escalar com escalar e vetor com vetor:
r r
r r
r r
r r
r r
r r
v r
u • v = a1 a 2 i • i + a1b2 i • j + a1c 2 i • k + b1 a 2 j • i + b1b2 j • j + b1c 2 j • k +
r r
r r
r r
c1 a 2 k • i + c1b2 k • j + c1c 2 k • k =
r r r
Resolvendo os produtos escalares com i , j e k sendo vetores unitários, obtemos:
r r rr
i • i = i i cos 0 0 = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1
r r r r
j • j = j j cos 0 0 = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1
r r r r
k • k = k k cos 0 0 = 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = 1
e ainda
r r r
i•j=i
r r r
j •k = j
r r r
i •k = i
r
r r
j cos 90 0 = 1 ⋅ 1 ⋅ 0 = 0 , consequentemente pela propriedade I, j • i = 0
r
r v
k cos 90 0 = 1 ⋅ 1 ⋅ 0 = 0 , consequentemente pela propriedade I, k • j = 0
r
r r
k cos 90 0 = 1 ⋅ 1 ⋅ 0 = 0 , consequentemente pela propriedade I, i • k = 0
Concluímos que a expressão cartesiana do produto escalar é:
r r
u • v = a1a 2 + b1b2 + c1c 2
Exemplo 1:
r
r r
r
Dados os vetores a = ( 2,−1,1) e b = (3,−2,4) , calcule a • b .
Para resolver basta utilizar a expressão cartesiana do produto escalar:
r r
a • b = 2 ⋅ 3 + (−1) ⋅ (−2) + 1 ⋅ 4 = 6 + 2 + 4 = 12
Exemplo 2:
r r
r
r
Dados os vetores u = (2,3) e v = (6,1) , calcule o produto escalar u • v .
Distância entre dois pontos
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A distância entre os pontos A( a1 , b1, , c1 ) e B(a 2 , b2 , c 2 ) do espaço pode ser definida como sendo o
→
comprimento do vetor AB conforme figura 2.30:
Figura 2.30: Distância entre dois pontos
→
O comprimento do vetor AB se obtém calculando o módulo da diferença entre os dois pontos:
→
d = AB = B − A
d = (a 2 − a1 , b2 − b1 , c 2 − c1 )
d = (a 2 − a1 ) 2 + (b2 − b1 ) 2 + (c 2 − c1 ) 2
Exemplo 2:
Calcule a distância entre os pontos A( −1,2,−1) e B ( 2,4,−2)
d = (2 − (−1)) 2 + (4 − 2) 2 + (−2 − (−1)) 2
d = 3 2 + 2 2 + (−1) 2 = 14
Ângulo entre dois vetores
r r
r r
Da definição de produto escalar temos que u • v = u v cos α .
r r
r r
u •v
Se u e v são diferentes do vetor nulo podemos isolar a expressão cos α e assim, cos α = r r , que nos
uv
permite determinar o ângulo existente entre os dois vetores.
Exemplo 3:
Calcular o ângulo entre os vetores:
r
r r
r
r
r
a) m = 3i − 2 j e n = 4i + 2 j
r
r
r
r
r
r
r
r
b) u = 2i + 5 j − 3k e v = i − 2 j − k .
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Resolvendo:
r r
r r
m•n
a) Como cos α = r r , precisamos calcular o produto escalar m • n , como no exemplo 1, e o módulo de
mn
r
r r
r
r
r
cada um dos vetores m = 3i − 2 j e n = 4i + 2 j :
r r
m • n = 3 ⋅ 4 + (−2) ⋅ 2 = 12 − 4 = 8
r
m = 3 2 + (−2) 2 = 13
r
n = 4 2 + 2 2 = 20
r r
m•n
Se cos α = r r , então
mn
8
cos α =
13 ⋅ 20
cos α ≅ 0,4961
Utilizando uma calculadora e calculando o inverso da função cosseno, temos:
α ≅ arctg (0,4961)
α ≅ 60,25 0
r r
u •v
r r
b) Como cos α = r r , calculamos inicialmente o produto escalar u • v e o módulo de cada um dos vetores
uv
r
r
r
r r
r
r r
u = 2i + 5 j − 3k e v = i − 2 j − k .
r r
u • v = 2 ⋅ 1 + 5 ⋅ (−2) + (−3) ⋅ (−1) = 2 − 10 + 3 = −5
r
u = 2 2 + 5 2 + (−3) 2 = 38
r
v = 12 + (−2) 2 + (−1) 2 = 6
r r
u •v
Se cos α = r r , então
uv
cos α =
−5
38 ⋅ 6
cos α ≅ −0,3311
Utilizando uma calculadora e calculando o inverso da função cosseno, temos:
α ≅ arctg (−0,3311)
α ≅ 109,330
Observação: Se dois vetores forem ortogonais, seu produto escalar será igual a zero, pois cos 90 o = 0 .
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Exemplo 4
r
r
Verifique se os vetores a = (−1,2,3) e b = ( 2,1,0) , são ortogonais?
v r
Resposta: Devemos verificar se a • b = 0
r r
a • b = −1.2 + 2.1 + 3.0 = −2 + 2 + 0 = 0 , logo os vetores são ortogonais.
Ângulos diretores
Um vetor forma ângulos com os eixos x, y, e z, chamados ângulos diretores, conforme a figura 2.31.
Figura 2.31: Ângulos diretores
r r
u •v
uv
Utilizando a formula do ângulo entre dois vetores, cos α = r r podemos deduzir que o ângulo formado pelo
r
r
r
vetor v = ( a, b, c) com o eixo x, é o mesmo que o ângulo formado entre o vetor v o vetor unitário i , conforme
figura 2.31.
r r
v • i (a, b, c) • (1,0,0) a
cos α = r r =
= r
r
v ⋅1
v
vi
r
r
O ângulo formado pelo vetor v com o eixo y, é o mesmo que o ângulo formado entre o vetor v o vetor unitário
r
j , conforme figura 2.31.
r r
v • j (a, b, c) • (0,1,0) b
cos β = r r =
= r
r
v ⋅1
v
v j
r
r
r
O ângulo formado pelo vetor v com o eixo z, é o mesmo ângulo formado entre o vetor v o vetor unitário k ,
conforme figura 2.31.
r r
v • k (a, b, c) • (0,0,1) c
cos δ = r r =
= r
r
v ⋅1
v
vk
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Exemplo 5.
r
r
r
r
Calcular o ângulo que o vetor m = 2i − 3 j + 4k forma com os eixos coordenados x, y e z.
r
Resolução: Devemos achar primeiramente o módulo do vetor m , para depois calcular os cossenos dos ângulos
α , β e δ e finalmente, os ângulos.
r
m = 2 2 + (−3) 2 + 4 2 = 29
x
2
cos α = r =
⇒ cos α = 0,371 ⇒ α = arccos 0,371 ⇒ α ≅ 68,2 o
m
29
y
−3
cos β = r =
⇒ cos β = −0,557 ⇒ β = arccos(−0,557) ⇒ β ≅ 123,8 o
m
29
z
4
cos δ = r =
⇒ cos δ = 0,743 ⇒ δ = arccos 0,743 ⇒ δ ≅ 42,0 o
m
29
2.7.2 - Produto vetorial
O que significa produto vetorial? Na física o produto vetorial representa o torque τ , para os engenheiros
significa momento. Torque é uma palavra que vem do latim e significa torcer, pode ser identificada como a ação
de girar ou de torcer de uma força.
Vamos partir da seguinte situação: Na hora que usamos o saca-rolha para abrir uma garrafa de vinho estamos
r
aplicando uma força f sobre ele, fazendo-o girar para penetrar na rolha conforme figura 2.32. Na figura, o
r
braço do saca-rolha, que vai do centro até a extremidade, é chamado de alavanca e corresponde a um vetor r .
r
r
Definimos o módulo do vetor torque τ como sendo o produto do vetor comprimento r e a intensidade da
r
r r
força f pelo seno do ângulo α formado entre f e r , sendo que
r r
f e r estão no mesmo plano.
r r
r
Assim sendo τ = r f senα .
r
r
r
r
r
r
O vetor torque τ é perpendicular a f e r . É expresso pela equação τ = r × f , a qual define como produto
vetorial.
Na situação inversa, de retirar o saca-rolha, a ação dos vetores se dá conforme a figura 2.33, ou seja,
r
r
r
τ = −r × f .
Figura 2.32: Forças num saca-rolha1
Figura 2.33: Forças num saca-rolha 2
A partir desta idéia, podemos definir produto vetorial ou externo.
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r
r
Dados dois vetores u e v , não paralelos entre si, o produto vetorial ou externo, é um terceiro vetor que
apresenta as seguintes características:
r r
r
r
1- A direção do vetor u × v é perpendicular aos vetores u e v ;
r r
r r
2- Os sentidos dos vetores u , v e u × v nesta ordem formam um triedro positivo; ou seja, se
r r
r
r
observado a partir de u × v ,conforme figura 2.34, u está situado a direta e v a esquerda.
r r
r r
r r
3- Seu módulo é u × v = u v sen α , onde α é a medida do ângulo entre u e v .
Figura 2.34: Produto vetorial
Produto vetorial nulo
r r
r
O produto vetorial é nulo, u × v = 0, quando um dos vetores for nulo ou quando os dois vetores forem
paralelos, isto é senα = 0 , ou seja, α = 00 ou 1800 .
Vetores paralelos
Podemos tratar da condição de paralelismo de dois vetores
r r
r r
r
r
r
r
condição u = mv , isto é, (a1 , b1 , c1 ) = m(a 2 , b2 , c 2 ) , ou (a1 , b1 , c1 ) = (ma 2 , mb2 , mc 2 ) .
Sejam u ≠ 0 e v ≠ 0 . Os vetores u = (a1 , b1 , c1 ) e v = ( a 2 , b2 , c 2 ) são paralelos, se acontecer a
Donde vem que: a1 = ma 2 , b1 = mb2 e c1 = mc 2 , consequentemente, m =
a1
b
c
; m = 1 e m = 1 , logo
a2
b2
c2
a1 b1 c1
=
=
é uma condição de paralelismo.
a 2 b2 c 2
Observação: Se uma das componentes do vetor for zero então para que os vetores sejam paralelos a
componente correspondente também terá que ser igual a zero.
Exemplo 1
r
r
Verificar se os vetores u = (2,−1,4) e v = (−6,3,−12) são paralelos?
Aplicando a condição
a1 b1 c1
2
−1
4
=
=
=
, obtemos
=
.
− 12
a 2 b2 c 2
−6
3
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Simplificando, resulta em
1 1 1
= = .
3 3 3
Verificada a igualdade, concluímos que os vetores são paralelos.
Exemplo 2
r
r
Qual dever ser o valor de x para que os vetores a = ( x,−2,0) e b = (4,−3,0) sejam paralelos?
Aplicando a condição
a1 b1 c1
x −2
=
=
, obtemos =
.
a 2 b2 c2
4 −3
Não consideramos a terceira componente dos dois vetores pelo fato de ambas serem iguais a zero.
Da igualdade obtida, podemos escrever:
x −2
=
4 −3
(−3) ⋅ x = (−2) ⋅ 4
− 3 x = −8
3x = 8
x=
8
3
Propriedades do Produto Vetorial
r r
r r
I) u × v = −(v × u ) (figura 2.35)
r r
r r r
r
II) m(u × v ) = (mu ) × v = u × (mv )
r r r
r r r r
III) u × (v + w) = u × v + u × w
r r
r r
Figura 2.35: Representação geométrica de u × v = −(v × u )
r r
r
Produto vetorial dos versores i, j e k
r r
r
Em particular os versores i, j e k , nesta ordem, formam um triedro positivo, representado na figura 2.36.
E como você pode identificar um triedro positivo?
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r
r
Digamos que fosse possível ficar em pé na posição do versor k , a sua direita estaria o versor i e a sua
r
esquerda o versor j .
Figura 2.36: Triedro positivo
Figura 2.37: Circunferência do produto vetorial
Na prática, podemos utilizar a circunferência ou a regra da mão direita para efetuar o produto externo de dois
desses versores.
Na circunferência, figura 2.37, o resultado é o versor faltante, de sinal positivo se no sentido anti horário,
negativo se no sentido horário.
Exemplo 3:
r r r
a) i × j = k
r
r
r
r
r
r
b) i × k = − j
c) k × j = −i
r r
r
d) k × i = j
Exemplo 4:
Casos particulares
r r
r r
r
r
r
r
Por serem paralelos i × i = 0 , j × j = 0 e k × k = 0 .
Regra da mão direita
Podemos também aplicar a regra da mão direita para determinar o sentido do produto
r
vetorial de dois vetores não nulos: colocamos a mão sobre o primeiro vetor u fechamos
r
para cima do vetor v , o polegar indica o sentido do vetor resultante do produto de
r r
u × v . Conforme a figura 2.38:
Figura 2.38: Regra da mão direita
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Expressão cartesiana do produto vetorial
r r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r r
u × v = (a1i + b1 j + c1 k ) × (a 2 i + b2 j + c 2 k )
r
r
Sejam os vetores u = a1i + b1 j + c1 k e v = a 2 i + b2 j + c 2 k , então:
Pela propriedade III, do produto vetorial, temos:
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r r
u × v = a1i × a 2 i + a1i × b2 j + a1i × c 2 k + b1 j × a 2 i + b1 j × b2 j + b1 j × c 2 k +
r
r
r
r
r
r
+ c1k × a 2 i + c1 k × b2 j + c1 k × c 2 k
Usando a propriedade II agrupamos escalar com escalar e vetor com vetor:
r r
r r
r r
r r
r r
r r
r r
u × v = a1 a 2 i × i + a1b2 i × j + a1c 2 i × k + +b1 a 2 j × i + b1b2 j × j + b1c 2 j × k +
r r
r r
r r
+ c1 a 2 k × i + c1b2 k × j + c1c 2 k × k =
Resolvendo os produtos escalares conforme os exemplos 3 e 4 desta seção:
r
r
r
r
r
r
r r
u × v = a1b2 k − a1c 2 j − b1 a 2 k + b1c 2 i + c1 a 2 j − c1b2 i =
Fatorando obtemos:
r
r
r
r r
u × v = (b1c 2 − c1b2 )i + (c1 a 2 − a1c 2 ) j + (a1b2 − a 2 b1 )k
r
r
A expressão obtida corresponde ao determinante de uma matriz formada pelos vetores u e v .
r r
u × v = a1
r
j
r
k
b1
c1
a2
b2
c2
r
i
Exemplo 5:
r
r
r r r
r
r
r r
r
Sendo dados os vetores u = 3i + 2 j − k e v = 2i − 4 j − 2k , calcule u × v .
r r
Inicialmente calculamos o determinante de u × v .
r
i
r r
u ×v = 3
r
j
2
r
k
r
r
r
r
r
r
r
r
r
− 1 = −4i − 2 j − 12k − 4k + 6 j − 4i = −8i + 4 j − 16k = (−8,4,−16)
2 −4 −2
Exemplo 6:
r
r r
Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 2a e a − b , sendo dados os vetores
r
r
a = (−1,2,3) e b = (2,0,−1) .
r
r
r
Iniciamos a resolução calculando os vetores 2a e a − b :
r
2a = 2(−1,2,3) = (−2,4,6)
r r
a − b = (−1,2,3) − (2,0,−1) = (−3,2,4)
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Como o produto vetorial é um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores que compõe o produto, conforme a
definição, podemos escrever:
r
i
r
r r
(2a ) × (a − b ) = − 2
r
j
4
−3
2
r
k
6 .
4
Resolvendo o determinante
r
r
r
r
r
r
r
r r
(2a ) × (a − b ) = 16i − 18 j − 4k + 12k − 12i + 8 j
r
r
r
r
r r
(2a ) × (a − b ) = 4i − 10 j + 8k = (4,−10,8)
r
r
r
r
r
r
Assim, o vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 2a e a − b é 4i − 10 j + 8k .
2.7.3 - Produto misto
r r
r
r r
r
Dados os vetores u , v e w , tomados nesta ordem, chama-se produto misto dos vetores u , v e w ao número real
r r r
r r r
u • (v × w) ou (u , v , w) .
r
r
r
r
r
rr
r
Podemos escrever que : u • (v × w) = u v × w ⋅ cos α onde 0 ≤ α ≤ 180 o .
r
r
r
r
r
r r
Note que, se o ângulo entre u e v × w for de 90 0 , já que v × w é perpendicular a v e w , os três vetores u , v
r
e w serão coplanares (vetores no mesmo plano). Podemos então deduzir que para três vetores serem coplanares
r r r
o produto misto u • (v × w) = 0 .
Figura 2.39: Produto misto
Expressão cartesiana do produto misto
r
r
r
r r
r
r
r
r
r
r
r
Sejam os vetores u = a1i + b1 j + c1 k , v = a 2 i + b2 j + c 2 k e w = x3 i + y3 j + z 3 k , então:
r
r
r
Para determinar u • (v × w) , determinamos por etapas o produto.
1ª etapa: Calculamos o produto vetorial
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r
r r
i
j k
r
r
r
r
r
r
r r
v × w = a 2 b2 c 2 = b2 c3 i + c 2 a3 j + a 2 b3 k − b2 a 3 k − c 2 b3 i − a 2 c3 j =
a3 b3 c3
r
r
r
r r
v × w = (b2 c3 − c 2 b3 )i + (c 2 a3 − a 2 c3 ) j + (a 2 b3 − b2 a 3 )k
2ª etapa: Calculamos o produto escalar
r
r
r
r
r
r
r r r
u • (v × w) = (a1i + b1 j + c1 k ) • (b2 c3 − c 2 b3 )i + (c 2 a3 − a 2 c3 ) j + (a 2 b3 − b2 a3 )k
r r r
u • (v × w) = a1 (b2 c3 − c 2 b3 ) + b1 (c 2 a3 − a 2 c3 ) + c1 (a 2 b3 − b2 a3 )
r r r
u • (v × w) = a1b2 c3 − a1c 2 b3 + b1c 2 a3 − b1 a 2 c3 + c1 a 2 b3 − c1b2 a3
[
]
r
r
r
Que é equivalente ao determinante da matriz composta pelos componentes dos três vetores u , v e w
envolvidos:
a1
r r r
u • (v × w) = a 2
a3
b1
b2
b3
c1
c2
c3
Exemplo 1
r
r r r
r
r
r r r r
r
Dados os vetores a = 2i + 3 j − 2k , b = i + 2 j − k e c = i − 3k , calcule:
r r
r r
r r
b) (a + b ) • (b × c )
r
a) a • (b × c )
Resolvendo:
r
r r
a) Devemos calcular o determinante conforme a definição a • (b × c ) .
2 3 −2
r r r
Assim sendo, a • (b × c ) = 1 2 − 1
1 0 −3
Calculando o determinante:
r r r
a • (b × c ) = 2.2.(−3) + 3.(−1).1 + (−2).1.0 − 1.2.(−2) − 0.(−1).2 − (−3).1.3 =
r r r
a • (b × c ) = −12 − 3 + 0 + 4 − 0 + 9 = 13 − 15 = −2
r
r
r r
b) (a + b ) • (b × c )
Primeiramente calculamos
r r
a + b = (2,3,−2) + (1,2,−1) = (3,5,−3)
r
r
r r
Calculamos o produto misto (a + b ) • (b × c ) usando o determinante da expressão cartesiana do produto misto.
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3 5 −3
r r
r r
(a + b ) • (b × c ) = 1 2 − 1
1 0 −3
Calculando:
r r
r r
(a + b ) • (b × c ) = 3 ⋅ 2 ⋅ (−3) + 5.(−1).1 + (−3).1.0 − 1.2.(−3) − 0.(−1).3 − (−3).1.5 =
r r
r r
(a + b ) • (b × c ) = −18 − 5 + 0 + 6 + 0 + 15
r r
r r
(a + b ) • (b × c ) = −2
r
r
r
2) Verificar se os vetores u = (−2,−1,1) , v = (−1,1,0) e w = (2,3,−2) são coplanares.
r r r
Devemos mostrar que o produto misto u • (v × w) = 0
− 2 −1 1
r r r
u • (v × w) = − 1 1
0 =
2
3 −2
= −2.1.( −2) + ( −1).0.2 + 1.(−1).3 − 2.1.1 − 3.0.( −2) − (−2).( −1).( −1) =
= 4+ 0−3− 2−0+ 2 = 6−5 =1
r
r
r
Logo, como u • (v × w) = 1 ≠ 0 , os vetores não são coplanares.
r
r r r
r r
r
r
r
r
r
r r r
r
r
a = −2i + 3 j − xk , b = −i + 2 j − 3k e c = 2i + j − k .
r r r
Se os três vetores são coplanares o produto misto a • (b × c ) = 0 . Podemos escrever:
3) Determine o valor do componente x do vetor a para que vetores a , b e c sejam coplanares, sendo dados
−2 3 −x
r r r
a • (b × c ) = − 1 2 − 3 = 0
2 1 −1
−2 3 −x
−1 2 − 3 = 0
2
1
−1
− 2 ⋅ 2 ⋅ (−1) + 3 ⋅ (−3) ⋅ 2 + (− x) ⋅ (−1) ⋅ 1 − 2 ⋅ 2 ⋅ (− x) − 1 ⋅ (−3) ⋅ (−2) − (−1) ⋅ (−1) ⋅ 3 = 0
4 − 18 + x + 4 x − 6 − 3 = 0
5 x − 23 = 0
5 x = 23
x=
23
5
Interpretação Geométrica do módulo do produto vetorial
A interpretação geométrica do módulo do produto vetorial pode ser entendida a partir de um paralelogramo
construído sobre dois vetores, conforme a figura 2.40.
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Figura 2.40: Interpretação do módulo do produto vetorial
O paralelogramo da figura 2.40, tem a área definida como o produto da medida da base b pela sua altura h, o
seja A p = b × h .
r
r
A base b do paralelogramo corresponde ao módulo do vetor u , ou seja, b = u , assim, a área pode ser:
r
r
h
Área ABCD = u h , onde senα = r ⇒ h = v senα
v
Substituindo, temos:
rr
Área ABCD = u v senα
r
r
A expressão obtida corresponde ao produto vetorial de dois vetores u e v , definido anteriormente,
r r r r
u × v = u v senα .
Concluímos que o módulo do produto vetorial de dois vetores corresponde área do paralelogramo obtido pelas
projeções paralelas aos vetores a partir dos seus vértices conforme a figura 2.40.
r r
Logo: Área ABCD = u × v
Exemplo 1:
r r r
r
Calcule a área do paralelogramo cujos lados são construídos com os vetores 3a e a + b , onde a = (−1,2,−3) e
r
b = (0,−1,−4) .
Como o módulo do produto vetorial de dois vetores corresponde a área do paralelogramo construído sobre estes
vetores, podemos considerar que:
r
r r
AP = (3a ) × a + b
(
)
r
r
r
Inicialmente determinamos os vetores 3a e a + b .
r
3a = 3 ⋅ (−1,2,−3) = (−3,6,−9)
r r
a + b = (−1,2,−3) + (0,−1,−4) = (−1,1,−7)
r r r
i
j k
r
r r
r
r
r
r
r r
(3a ) × (a + b ) = − 3 6 − 9 = −42i + 9 j + −3k + 6k + 9i + 21 j =
−1 1 − 7
r
r
r
= −33i + 30 j + 3k = (−33,30,3)
r
r
(r )
Como AP = (3a ) × a + b , precisamos ainda calcular o módulo do vetor obtido:
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r
r r
AP = (3a ) × a + b = (−33,30,3) = (−33) 2 + 30 2 + 3 2 = 1998 = 3 222
(
)
Logo, AP = 3 222 unidades quadradas
Exemplo 2:
Calcule a área do triangulo de vértices A(−1,2,0), B (1,−4,1) e C (0,−2,−3) .
O triângulo está situado no espaço tridimensional e pode ser representado de modo simplificado pela figura
2.41.
Figura 2.41: Triângulo de vértices ABC
Da geometria elementar sabemos que a área de um triangulo é igual a medida da área de um paralelogramo
dividido por dois, conforme a figura 2.42. Assim podemos propor que a área do triângulo ABC corresponde à
metade do módulo do produto vetorial dos dois vetores AB e AC que determinam o paralelogramo.
Logo, AABC =
AB × AC
2
Figura 2.42: Paralelogramo e triângulo
Como não temos os vetores, temos que determiná-los a partir dos pontos que determinam os vértices, ou seja,
AB e AC .
r
r r
AB = B − A = (1,−4,1) − (−1,2,0) = (2,−6,1) = 2i − 6 j + k
r
r
r
AC = C − A = (0,−2,−3) − (−1,2,0) = (1,−4,−3) = i − 4 j − 3k
Como AABC =
AB × AC
2
, calculamos inicialmente o produto vetorial AB × AC .
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r
r r
i
j
k
AB × AC = 2 − 6 1 =
1 −4 −3
r
r
r
r
r
r
= (−3) ⋅ (−6) ⋅ i + 1 ⋅ 1 ⋅ j + 2 ⋅ (−4) ⋅ k − 1 ⋅ (−6)k − (−4) ⋅ 1 ⋅ i − (−3) ⋅ 2 ⋅ j =
r
r
r
r r
r
r
r
r
= 18i + j − 8k + 4i + 6 j + 6k = 22i + 7 j − 2k = (22,7,−2)
Calculando o módulo do produto vetorial:
AB × AC = 22 2 + 7 2 + (−2) 2 = 537
Finalizando temos que a área do triângulo é
AABC =
AB × AC
2
=
537
u.a (unidades de área).
2
Interpretação geométrica do módulo do produto misto
A interpretação geométrica do módulo de um produto misto é desenvolvida a partir do cálculo do volume de um
paralelepípedo construído sobre os três vetores que o compõem, conforme a figura 2.43.
Figura 2.43: Interpretação do módulo do produto misto.
Para calcular o volume do paralelepípedo (V PP ) utilizamos, da geometria espacial, que V PP = Ab ⋅ h
Vimos anteriormente que a área da base do paralelepípedo, que é um paralelogramo, é dado pelo módulo do
r r
r r
produto vetorial dos vetores v e w , ou seja, Ab = v × w .
h
u
r
Na figura 2.43 observamos que cos α = r ⇒ h = u ⋅ cos α
r
r
r
rr
r
Como V PP = Ab ⋅ h , podemos escrever que V PP = v × w ⋅ u ⋅ cos α ou V PP = u v × w cos α .
r
r
r
rr
r
A expressão obtida é igual ao produto misto de três vetores, u • (v × w) = u v × w cos α , logo:
r r r
VPP = u • (v × w) , que corresponde ao volume do paralelepípedo.
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Exemplo 1:
r r r
r
r r
r
r
Calcular o volume do paralelepípedo construído sobre os vetores a = 2i + j + 3k , b = i − 2 j + 2k e
r
r r
r
c = 4i − 2 j + k .
r
r
r
O volume do paralelepípedo é dado pelo módulo do produto misto dos vetores a , b e c , ou seja,
r r r
V PP = a • (b × c ) .
r
r r
Inicialmente calculamos o produto misto a • (b × c ) .
2 1 3
r r r
a • (b × c ) = 1 − 2 2 = 2.(−2).1 + 1.2.4 + 3.1.(−2) − 4.(−2).3 − (−2).2.2 − 1.1.1 =
4 −2 1
r r r
a • (b × c ) = −4 + 8 − 6 + 24 + 8 − 1
r r r
a • (b × c ) = 29
r r r
Como V PP = a • (b × c )
VPP = 29 = 29 u.v (unidades de volume)
Exercicios
r r
r
1) Dados os vetores a , b e c , representados na figura abaixo, apresentar um representante de cada um itens
propostos:
r r
r r
r
b) a − 2b + c
a) a + b
r
r
2) Dados os pontos no R 3 como A(−1,4,5) , B (−3,2,1) e C (4,3,−1) , determinar o vetor 3 AC − 2 BC .
r
r
r
r
r
r
3) Dados os vetores u = (4,3,2) , v = (1,−2,1) e w = (0,1,4) , calcule as operações u − 2v + 3w e
r r
r r
2(u + v ) − (v − w) .
r
4)Sabendo que a =
r
r
r
r
22 , calcule o valor de m no vetor a = 3i + mj + 2k .
r
r
5) Qual deve ser o valor de x para que os vetores u = ( x,2,3) e v = (3,−2 x,4) sejam ortogonais?
6) Considere o triângulo ABC de vértices A(−3,−1,4) , B (−4,1,0) e C (3,−2,1) . Determine o ângulo interno ao
vértice C desse triângulo.
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7)Mostrar que cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 , sendo α , β e γ os ângulos diretores de um vetor.
8) Os ângulos diretores de um vetor podem ser 45 0 , 30 0 e 30 0 ?
r
9)Uma força f , cuja intensidade é igual a 4 N , desloca um carrinho por 8m , num plano horizontal, sem atrito.
r
r
A força f faz um ângulo de 60 0 com o deslocamento. Qual o trabalho realizado pela força f ?
r
r
r
10)Dados os vetores u = (−1,0,1) , v = (2,−1,1) e w = (1,−1,3) , calcule os produtos vetorial e produto misto
solicitados em cada item.
r
r
a) (3u ) × (2v )
r r
r r
b) (u + v ) • (v × w)
r r
r r
c) (u + v ) • (v − u )
r
r
r
r
r
r
r
r
11)Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores u = 2i + 2 j − 3k e v = 2i − j + k .
12) Calcule a área do triângulo ABC do exercício 6.
13)Verificar se os pontos A(1,3,2) , B (−1,1,0) , C (0,3,0) e D (−2,2,−1) estão no mesmo plano.
r
r
r
14)Dados os vetores a = (2, m,−1) , b = (1,−2,1) e c = (1,−1,2) . Calcular o valor de x para que o volume do
r r
r
paralelepípedo determinado por a , b e c seja igual a 9 u.v. (unidades de volume).
15)Calcular a intensidade do torque (ou momento) sobre o segmento OA = 0,20 m da figura a seguir quando
giramos a ferramenta apertando o parafuso.
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