Álgebra Linear e Geometria Analítica PROF. BENFICA [email protected] www.marcosbenfica.com LISTA 1 Matrizes 1) Determine as matrizes (2x2) cujos elementos foram dados abaixo:
⎧2, se i ≠ j
⎪
a) aij = ⎨
⎪i + j, se i = j
⎩
⎧2i − 3 j , se i ≥ j
⎪
b) bij = ⎨
⎪i 2 − j , se i < j
⎩
⎧i ², ⇔ i ≠ j
2) Construa a matriz A = (aij)2x2 tal que aij = ⎨
⎩i + j , ⇔ i = j
3) Escreva a matriz A = (aij) em cada caso:
⎧3i + j ⇔ i = j
a) A é do tipo 2 x 3 e aij = ⎨
⎩i − 2 j ⇔ i ≠ j
⎧2i ⇔ i < j
⎪
b) A é quadrada de ordem 4 e aij = ⎨i − j ⇔ i = j
⎪2 j ⇔ i > j
⎩
⎧0 ⇔ i ≠ j
c) A é do tipo 4 x 2 e aij = ⎨
⎩3 ⇔ i = j
d) A é quadrada de ordem 3 e aij = 3i-j+2.
4) Determine a matriz A = (aij)3x3 tal que aij = i – j.
5) Construa as seguintes matrizes:
⎧1, se i = j
A = (aij)3x3 tal que aij = ⎨
⎩0, se i ≠ j
⎧i + 2j, se i ≠ j
B = (bij)3x3 tal que bij = ⎨
⎩i - 3j, se i = j
⎧1, se i = j
6) Construa a matriz A = (aij)3x2 tal que aij = ⎨ 2
⎩i , se i ≠ j
1 ⎧i + j, se i = j
7) Seja a matriz A = (aij)3x4 tal que aij = ⎨
, então a22 + a34 é igual a:
⎩2i − 2 j , i ≠ j
a) Determine a soma dos elementos da 3º coluna da matriz A = (aij)3x3 tal que aij = 4 + 3i –i.
b) Determine a soma dos elementos da diagonal principal com os elementos da diagonal
secundária da matriz A = (aij)3x3.
⎧i + j , se i ≤ j
8) Dada a matriz A = (aij)4x4 em que aij = ⎨
, determine a soma dos elementos a23
⎩i. j , se i > j
+a34.
9) Seja a matriz A = (aij)5x5 tal que aij = 5i – 3j. Determine a soma dos elementos da diagonal
principal dessa matriz.
10) Determine a soma dos elementos da matriz linha (1x5) que obedece a lei: aij = 2i2 – 7j.
⎛ a + 4
11) Determine a e b para que a igualdade ⎜⎜
⎝10
⎛ 2
⎜
12) Sejam A = ⎜ 4
⎜ 0
⎝
3 ⎞
⎟
- 1⎟ e B =
2 ⎟⎠
b 3 ⎞
⎟ =
7 ⎟⎠
⎛ 2a b ⎞
⎜⎜
⎟⎟ seja verdadeira.
⎝10 7 ⎠
⎛ − 2 0 ⎞
⎜
⎟
- 1 ⎟ , determine (A + B)t.
⎜ 7
⎜ 8
5 ⎟⎠
⎝
⎛ 3 1 ⎞
13) Dadas as matrizes A = ⎜⎜
⎟⎟ e B =
⎝ 4 - 2 ⎠
⎛ x + y
⎜⎜
⎝1
x - y ⎞
⎟⎟ , determine x e y para que A = Bt.
- 2 ⎠
⎡− 1 4 5 ⎤ ⎡3 5 2 ⎤
14) Resolva a equação matricial: ⎢0 2 7 ⎥ + ⎢− 1 5 3⎥ = x +
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢⎣1 - 1 - 2⎥⎦ ⎢⎣4 2 2⎥⎦
⎡2 7 2 ⎤
⎢8 - 1 - 3⎥ .
⎢
⎥
⎢⎣− 1 9 5 ⎥⎦
⎛ 2 x ⎞ ⎛ − 4 - 4 ⎞
⎛ − 1 2 ⎞
15) Determine os valores de x e y na equação matricial: ⎜⎜
⎟⎟ + ⎜⎜
⎟⎟ = 2.⎜⎜
⎟⎟ .
⎝ y 3 ⎠ ⎝ − 7 5 ⎠
⎝ − 3 4 ⎠
⎛ x ⎞
⎛1 0 ⎞ ⎛ 0 1 - 1⎞ ⎜ ⎟
16) Se o produto das matrizes ⎜⎜
⎟⎟.⎜⎜
⎟⎟ = ⎜ y ⎟ é a matriz nula, qual o valor de x + y?
⎝ − 1 1⎠ ⎝1 0 2 ⎠ ⎜1 ⎟
⎝ ⎠
⎛ 3 - 1⎞ ⎛ x ⎞
⎛1 ⎞
17) Se ⎜⎜
⎟⎟.⎜⎜ ⎟⎟ = 4.⎜⎜ ⎟⎟ , determine o valor de x + y.
⎝1 3 ⎠ ⎝ y ⎠
⎝ 2 ⎠
⎡0
18) Dadas as matrizes A = ⎢
⎣2
a) A + B
3 ⎤
, B=
- 5⎥⎦
b) A + C
⎡− 2 4 ⎤
⎢0 - 1⎥ e C =
⎣
⎦
⎡4 2 ⎤
⎢− 6 0⎥ , calcule:
⎣
⎦
c) A + B + C
2 ⎡1 - 1 0 ⎤
19) Dada a matriz A = ⎢2 3 4 ⎥ , obtenha a matriz x tal que x = A + At.
⎢
⎥
⎢⎣0 1 - 2⎥⎦
20) Sendo A = (aij)1x3 tal que aij = 2i – j e B = (bij)1x3 tal que bij = -i + j + 1, calcule A + B.
⎡m 2m ⎤ ⎡n - n ⎤ ⎡7
21) Determine os valores de m, n, p e q de modo que: ⎢
⎥ + ⎢
⎥ = ⎢
⎣ p p ⎦ ⎣q - 3q ⎦ ⎣1
⎛ x
22) Determine os valores de x, y, z e w de modo que: ⎜⎜
⎝ z
1 ⎤
⎡2
⎡0
23) Dadas as matrizes A = ⎢
, B = ⎢
⎥
⎣2
⎣− 3 4⎦
- 1⎤
⎡3
e C = ⎢
⎥
5 ⎦
⎣6
8 ⎤
.
5⎥⎦
y ⎞ ⎛ − 2 3 ⎞ ⎛ − 1 0 ⎞
⎟ − ⎜
⎟ = ⎜
⎟ .
w ⎟⎠ ⎜⎝ 4 - 1⎟⎠ ⎜⎝ 8 - 5 ⎟⎠
0⎤
, calcule:
1 ⎥⎦
b) A – Bt – C
a) A – B
⎛ 0 4 - 2 ⎞
⎛ − 3 6 9 ⎞
⎛ 0 - 1 0 ⎞
24) Dadas as matrizes A = ⎜⎜
⎟⎟ , B = ⎜⎜
⎟⎟ e C = ⎜⎜
⎟⎟ , calcule o resultado
⎝ 6 2 8 ⎠
⎝12 - 6 0 ⎠
⎝1 - 1 2 ⎠
das seguintes operações:
1
⎛ 1
⎞
a) 2A – B + 3C
b) A − ⎜ B + C ⎟
2
⎝ 3
⎠
25) Efetue:
⎛ 5 - 3 ⎞ ⎛ 3 ⎞
a) ⎜⎜
⎟⎟.⎜⎜ ⎟⎟
−
1
4
⎝
⎠ ⎝ − 2 ⎠
2 ⎞ ⎛ 2
⎛ 5
b) ⎜⎜
⎟⎟.⎜⎜
−
1
4
⎝
⎠ ⎝ 0
⎡2 - 1
26) Dada a matriz A = ⎢1 0
⎢
⎢⎣0 0
⎛ 3
27) Sendo A = ⎜⎜
⎝ 5
a) AB
2 ⎞
⎟ e B =
1 ⎟⎠
b) AC
- 1⎞
⎟
3 ⎟⎠
⎛1 0 0 ⎞ ⎛ 2 2 1 ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟
c) ⎜1 1 0 ⎟.⎜1 2 2 ⎟
⎜ 0 1 1⎟ ⎜ 2 1 2 ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠
0⎤
0 ⎥⎥ , calcule A2.
1⎥⎦
⎛ 3 - 1⎞
⎛1 ⎞
⎜⎜
⎟⎟ e C = ⎜⎜ ⎟⎟ , calcule:
⎝ 2 0 ⎠
⎝ 4 ⎠
c) BC
28) Considere as matrizes A = (aij) e B (bij) quadradas de ordem 2, com aij = 3i + 4j e bij = -4i –
3j. Sabendo que C = A + B, determine C2.
29) Determine x e y tais que:
⎡2 x + y ⎤ ⎡11⎤
⎢2 x − y ⎥ = ⎢ 9 ⎥
⎦ ⎣ ⎦
a) ⎣
⎡ x ²
⎢
b) ⎣ x
y ⎤ ⎡ 1 − 1⎤
=
y ² ⎥⎦ ⎢⎣− 1 1 ⎥⎦
3 ⎡ 3
30) Determine o valor de x ∈ R na matriz A para que A = At, sendo A = ⎢
⎣21x
⎡2 1 ⎤
⎡ 0 1⎤
⎢
⎥
31) Sendo A = 0 − 1 e B = ⎢ 7 3⎥ , determine A + B.
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢⎣3 2 ⎥⎦
⎢⎣− 4 5⎥⎦
x ² ⎤
.
x ⎥⎦
⎡a 3 2a ⎤ ⎡b − 3 − 1⎤ ⎡2 0 5⎤
32) Determine a, b e c para que ⎢
⎥ + ⎢1 4
⎥ = ⎢3 4 1⎥ .
c
0
−
2
3
⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎦
33) Dadas as matrizes
2
3 ⎤
⎡ 1
⎡1 0 0⎤
⎡ 0 − 1 1⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
M = ⎢− 1 0 − 2⎥ N = ⎢0 1 0⎥ P = ⎢⎢− 2 0 1⎥⎥
⎢⎣ 4 − 3 5 ⎥⎦
⎢⎣0 0 1⎥⎦
⎢⎣ − 3 2 0⎥⎦
,
e
calcule X, de modo que:
a) X – M = N – P
b) P + X = M – N
c) X + (M – P) = N
⎡a 0 ⎤
⎡1 b⎤
34) Dadas as matrizes A = ⎢
e B = ⎢
⎥
⎥ , determine a e b, de modo que A.B = I, onde I
⎣ 0 a ⎦
⎣b 1⎦
é a matriz identidade.
⎡− 1 2⎤
⎡1 − 3⎤ ⎡ 9 − 23⎤
35) Calcule a e b de modo que a ⎢
+ b ⋅ ⎢
⎥
⎥ = ⎢
⎥ .
⎣ 3 0⎦
⎣2 − 1⎦ ⎣− 2 − 5 ⎦
36) Considere as seguintes matrizes:
⎡2 0⎤
A = ⎢
⎥
⎣6 7 ⎦ ,
⎡− 6 4
D = ⎢⎢ 1 1
⎢⎣− 6 0
⎡0 4 ⎤
B = ⎢
⎥ C
⎣2 − 8⎦ ,
0⎤
⎡ 6
⎥
4⎥ E = ⎢⎢ − 1
⎢⎣− 6
6⎥⎦
e
⎡− 6 9 − 7⎤
= ⎢
⎥
⎣ 7 − 3 − 2⎦ ,
9 − 9⎤
0 − 4⎥⎥
0 − 1⎥⎦
Se for possível, calcule:
a) AB – BA
b) 2C – D
c) (2Dt – 3Et)t
d) D² - DE
⎡ 0 1⎤
37) Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M = ⎢
⎥ então AB =
⎣− 1 0⎦
BA.
4