DISCURSIVAS DE MATRIZES – PROFESSOR MARCELO RENATO
1) (Unesp) Dadas as matrizes:
 log2 x log2 2x 
 4
 28 

A  
y  , B    e C   
y


 4
 10 
2 

a) Efetue o produto AB.
b) Determine os valores de x e y para que AB = C.
Resolução:
 log2 x log2 2x   4 

a) 
y      ?
 y
  4

2  

A
B
log2 x

 y

log2 x

 y

log2 x

 y

log2 (2x ) 4 log2 x (log2 2  log2 x ) 4
    
   
y
y
 4  y
 4
2
2



log2 (2x ) 4 log2 x (1  log2 x ) 4
    
   
y
y
 4  y
 4
2
2



log2 (2x ) 4 4  log x  4  (1  log x )
2
2
    
y

4y 2y
 4 

2

log2 x

 y

log2 x

 y

log2 (2x ) 4 4  log x  4  4  log x )
2
2
    
y

4y  2y
  4 

2

log2 (2x ) 4 4  8  log x )
2
    
y

6y
  4 

2

b) A  B  C
C
B
A
 
4  8  log2 x )
28

   
6y


10
4  8  log2 x  28  8  log2 x  24  log2 x  3  x  23
6y  10  y  5 / 3

 4  8  log2
Respostas: a) 
6y

x


b) x  8 e y 
5
3



 x8
 1 2
 :
2) (Fuvest-SP) Seja A  
 0 1
a) Determine A3  A.A.A .
b) Se A n denota o produto de A por A n vezes, determine o valor do número natural k, tal que:
2
AK  A 5K  A 6  I, onde I é a matriz identidade.
Resolução:
1
A1  
0
2

1 
2
1
A.A  A 2  
0
2  1

1   0

A

2  1 4
  

1   0 1 
2  1

1   0

A

4  1 6
 

1   0 1 
2  1

1   0

A

6  1 8
 

1   0 1 
3
1
A.A 2  A 3  
0
4
1
A.A 3  A 4  
0
1
Conclusão: A n  
0
 1 2.k 2 
2
2.n 
 1 10.k 
 1 12
 ; A 5.k  
  A k  
 e A 6  

0
0

1 
1
0
1 
1 







 1 2.k 2 
2
 1 10.k   1 12
 1 0
  
  
  

AK  A5K  A 6  I  
0

1
0
1
0 1 
0
1 













Ak
2
A 5.k
2.k 2  10.k  12  0  (2)
k 2  5.k  6  0
1
Respostas: a) 
0
6

1 
 k  2 ou k  3


b) k = 2 ou k = 3.
A6
I
3) (FGV-SP 2009-2)
1 
1
2
11
A. Determine a e b de forma que a matriz A  
 verifique que A  2A e depois calcule A .
2a 0,5 b
B. Nos meses de abril e maio, uma família adquiriu as mesmas quantidades de açúcar, arroz e feijão em um
mesmo supermercado, mas os preços sofreram uma leve alteração:
Mediante um produto de matrizes, expresse, por meio de uma matriz, quanto a família gastou em cada mês.
Resolução:
a) Verificando A 2  2A
1  1
1 
1 
1
1


  2 

2a 0,5 b 2a 0,5 b
2a 0,5 b
1  b / 2   2 2
 1  2a


2 
2a  ab 2a  b / 4 4a b
Resolvendo a igualdade: a = 0,5 e b = 2
1 1
Assim, A  

1 1
1 1
1

A
1
1


A 
A

1
1 1 1 1 2 2
21
2 2



  A   1 1
1 1 1 1 2 2
2 2 
2
A A


2
1 1 2 2 4 4
3 2



A  2
1 1 2 2 4 4
2
22 

22 
POR INDUÇÃO
A3
A 

3
1 1 4 4 8 8
23 
4 2




A  3
23 
1 1 4 4 8 8
2



A

n 1
n  1

2
2
n
n  1  1 1
An  
  A 2


n

1
n

1
2
1 1
2

Podemos afirmar que A11  210  A , ou seja, A11  1024  A .
b) Considerando G a matriz resultado do produto entre a matriz-quantidade e a matriz-preço:
 1,00 1,20 


G   4 5 6    2,50 2,00   G   34,50
 3,00 3,00 


Respostas: A) a = 0,5 e b = 2
B)
32,80
 34,50

maio
abril
32,80  .
 1
4) (UFES modificada) Considere a matriz A  
 3

a) Determine A12
 3 
.
1 
b) Determine A 2010 .
a)

A1  A1  A 2  



A1  A 2  A 3  


1
3
1
3
 3   1
 3    2
 2 3 






1   3
1  2 3
 2 
0 
 3    2
 2 3    8
  A 3   8  I2

 




 

0

8
1  2 3
2  

Consequentemente, A12  ( A 3 )4
A12  ( 8  I2 )4  A12  ( 8)4  ( I2 )4  A12  (23 )4  I  A12  212  I 
 4096
A12  
 0
b)
A 2010  A 3  670
A 2010  ( 8  I2 )670  A 2010  ( 8)670  ( I2 )670  A 2010  (23 )670  I  A 2010  22010  I
 22010
A 2010  
 0
0 
2

2010 
 4096
Respostas: 2 a) A12  
 0
0 
.
4096
 22010
2 b) A 2010  
 0
5) (ITA-SP/2000 modificada) considere as matrizes:
 1  1 3


M  0
1
0 , N 
2
3
1
1

3
1
0 
.
2

2010 
2
0
x
 
 

0 , P   1  e X   y 
0
z
1
 
 
2
2
2
1
Se X é a solução de ( M  N  X  P ), então determine o valor de x  y  z .
0
2
1
Resolução:
IDENTIDADE


1
M N X  P 
( M  M1)  N  X  M  P
N X  MP
1

N  X  3
1
0
2
1
1

M  P  0
2
1
1
3
2 x 
1  x  0  y  2  z 
 x  2z 
  




0  y   N  X  3  x  2  y  0  z  N  X   3 x  2y  ................... ( 1 )
 1  x  1  y  1  z 
 x  y  z
1 z 
3 0
1  0  1  1  3  0 
 1
  


 
0  1  M  P  0  0  1  1  0  0  M  P   1  ............................. ( 2 )
2  0  3  1  1  0
 3 
1 0
0 

4096
Fazendo-se ( 1 ) = ( 2 ):
 x  2z  1



 
 3 x  2y  1
 x  y  z  3  ( 2 )



 3 x  2y  1
(  ) 
 2x  2y  2z   6
 x  2z   1

  
N  X   3 x  2y    1   M  P
 x  y  z  3 
x  2z  1
3 x  2y  1
 2x  2y  2z   6
 x  2z   5
(  ) 
 x  3 e z  1
 x  2z  1
Em x  y  z  3   3  y  1  3  y  5
Assim: x  3 , y  5 e z  1
Então: x 2  y 2  z2  (3)2  ( 5 )2  ( 1 )2  x 2  y 2  z2  35
Resposta: 4) x2  y2  z2  35
6) (Davinci 2011) Resolva o sistema linear abaixo, nas incógnitas x e y, usando o conceito de matriz inversa:
2x  y  1
.

5x  3y  4
Resolução:
2
O sistema dado pode ser escrito na forma de equação matricial: 
5
 2 1  x   1 
    
Denominando as matrizes de: 
5 3   y   4 


  
B
A
1  x   1 
    
3   y   4 
C
A B  C
1
(
A
)

A  B  ( A 1)  C , onde “I” é a matriz identidade de ordem 2;
I
I  B  ( A 1)  C

B  ( A 1)  C ............................ ( 1 )
Calculando a matriz inversa da matriz “A”:
A  ( A 1)  I
2

5
1  a

3   c
b  1

d   0
0

1
 2a  c  1

 5a  3c  0
 2b  d  0

 5b  3d  1
 a3

 c  5
 b  1

 d2
 3
Logo, A 1  
 5
 1
 
2 
(1)
Em (1):
B  ( A 1)  C
( A 1)  C  B
 1  1   x 
 3

    
2   4   y 
 5
 3  4  x
 1

     
  5  8  y
 3
 x
   
 y
Assim: x = – 1 e y = 3 .
Resposta: S  { (  1 , 3 ) }
7) (IME-RJ) Determine uma matriz não singular P que satisfaça a equação matricial
6 0 
1
 , onde A  
P1  A  
 0  1
5
2
.
4 
Resolução:
6
P  P 1  A  P  

0
I
0
 
 1
2
6
A  P  
0
2 a

4   c
b  6

d   0
1

5
2   6a

4   6c
 b

 d 
a
0

 1
0

 1
1

5
6a  1 
6
I
2 A  P
0

A
0
 
 1
1
; b  2 
6
1

Resposta: P   6
5

6

 2
.
 4 

1

5
2 a  6  b  0

4   c  6  d  0
b  2 ; 6c  5 
c
a  0  b  ( 1) 

c  0  d  ( 1) 
5
; d  4 
6
d  4 .