22
Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada
cidade, com um grupo de 500 crianças de 3 a 12 anos
de idade. Para esse grupo, em função da idade x da
criança, concluiu-se que o peso médio p(x), em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz A, onde
A=
[
1
3
–1
0
0
2
1
–x
2
––
3
]
Com base na fórmula p(x) = det A, determine:
a) o peso médio de uma criança de 5 anos;
b) a idade mais provável de uma criança cujo peso é 30 kg.
Resolução
Sendo A =
[
1
3
–1
0
0
2
1
–x
2
––
3
]
, então
det A = 2x + 8
Como o “peso” (massa) médio, em quilogramas, é
dado por p(x) = det A, onde x é a idade da criança:
a) p(5) = 2 . 5 + 8 = 18
b) p(x) = 30 ⇒ 2x + 8 = 30 ⇔ x = 11
Resposta: a) 18 kg
b) 11 anos
OBJETIVO
U N E S P - ( P r o v a d e C i ê n c i a s B i o l ó g i c a s ) D e z e m b r o /2 0 0 4
23
O gráfico representa uma função f que descreve, aproximadamente, o movimento (em função do tempo t em
segundos) por um certo período, de um golfinho que
salta e retorna à água, tendo o eixo das abscissas coincidente com a superfície da água.
a) Sabendo que a parte negativa do gráfico de f é constituída por segmentos de retas, determine a expressão matemática de f nos instantes anteriores à saída
do golfinho da água. Em que instante o golfinho saiu
da água?
b) A parte positiva do gráfico de f é formada por parte
3
de uma parábola, dada por f(t) = – ––– t2+ 6t – 9.
4
Determine quantos segundos o golfinho ficou fora
da água e a altura máxima, em metros, atingida no
salto.
Resolução
a) 1) A expressão matemática de f nos instantes anteriores à saída do golfinho da água é do tipo
f(t) = at + b
2) Os pontos (0, –4) e (1, –2) pertencem a f e portanto
f(0) = a . 0 + b = –4 ⇔ a = 2 ⇔ f(t) = 2t – 4
{ f(1)
{ b = –4
= a . 1 + b = –2
3) O instante em que o golfinho sai da água é aquele em que f(t) = 0. Assim sendo:
f(t) = 2t – 4 = 0 ⇒ t = 2
b) A parte positiva do gráfico de f é formada por parte
3
da parábola, dada por f(t) = – ––– . t2 + 6t – 9.
4
Assim:
OBJETIVO
U N E S P - ( P r o v a d e C i ê n c i a s B i o l ó g i c a s ) D e z e m b r o /2 0 0 4
3
1) f(t) = 0 ⇒ – ––– t2 + 6t – 9 = 0 ⇔ t = 2 ou t = 6
4
2) O golfinho ficou fora da água durante
(6 – 2) segundos = 4 segundos
3
3) f(4) = – ––– . 42 + 6 . 4 – 9 ⇔ f(4) = 3 ⇒ V (4; 3)
4
4) A altura máxima, em metros, atingida no salto é a
ordenada do vértice da parábola que é 3.
Respostas:
OBJETIVO
a) f(t) = 2t – 4 para 0 ≤ t ≤ 2; 2 s
b) 4 s; 3 m
U N E S P - ( P r o v a d e C i ê n c i a s B i o l ó g i c a s ) D e z e m b r o /2 0 0 4
24
Numa plantação de certa espécie de árvore, as medidas
aproximadas da altura e do diâmetro do tronco, desde
o instante em que as árvores são plantadas até completarem 10 anos, são dadas respectivamente pelas
funções:
altura: H(t) = 1 + (0,8).log2 (t + 1)
diâmetro do tronco: D(t) = (0,1). 2
t
––
7
com H(t) e D(t) em metros e t em anos.
a) Determine as medidas aproximadas da altura, em
metros, e do diâmetro do tronco, em centímetros,
das árvores no momento em que são plantadas.
b) A altura de uma árvore é 3,4 m. Determine o diâmetro aproximado do tronco dessa árvore, em centímetros.
Resolução
a) A medida da altura dessa espécie de árvore, em
metros, no momento em que é plantada é
H(0) = 1 + (0,8) . log2(0 + 1) = 1 + 0,8 . 0 = 1
A medida do diâmetro do tronco, em centímetros, no
momento em que a árvore é plantada é
100 . D(0) = 100 . (0,1) . 2
0
––
7
= 100 . 0,1 . 1 = 10
b) H(t) = 1 + (0,8) . log2 (t + 1) e H(t) = 3,4 ⇒
⇒ 3,4 = 1 + (0,8) . log2(t + 1) ⇔ log2(t + 1) = 3 ⇔
⇔t+1=8⇔t=7
Para t = 7 o diâmetro, em centímetros, é dado por
100 . D(7) = 100 . (0,1) . 2
Respostas:
OBJETIVO
7
––
7
= 100 . (0,1) . 2 = 20
a) altura: 1 metro;
diâmetro: 10cm
b) 20cm
U N E S P - ( P r o v a d e C i ê n c i a s B i o l ó g i c a s ) D e z e m b r o /2 0 0 4
25
Em um camping, sobre uma área plana e horizontal,
será montada uma barraca com a forma e as dimensões dadas de acordo com a figura.
Em cada um dos quatro cantos do teto da barraca será
amarrado um pedaço de corda, que será esticado e
preso a um gancho fixado no chão, como mostrado na
figura.
a) Calcule qual será o volume do interior da barraca.
b) Se cada corda formará um ângulo α de 30º com a
lateral da barraca, determine, aproximadamente,
quantos metros de corda serão necessários para
fixar a barraca, desprezando-se os nós. (Use, se
3 = 1,73).
necessário, a aproximação 兹苵苵
Resolução
a) Admitindo-se que o interior da barraca forme um
prisma pentagonal reto, de base ABCDE, cuja altura mede 4m, e que ABDE é retângulo, tem-se:
1) A área Sb da base ABCDE, equivalente a dois trapézios retângulos, é, em m2, tal que
(2,5 + 2) . AH
(2,5 + 2) . HE 4,5
Sb = –––––––––––– + –––––––––––– = ––– (AH + HE) =
2
2
2
4,5
4,5
= ––– . AE = ––– . 4 = 9
2
2
2) O volume do interior da barraca é, em m3, igual a:
V = Sb . AG = 9 . 4 = 36
b) No triângulo retângulo ABF tem-se
4 兹苵苵苵
3
2
2
AB
BF = –––––– ⇔ BF = ––––––– = ––––––– = ––––––– ≅
3
cos 30°
cos α
兹苵苵苵
3
––––
2
4 . 1,73
–––––––– ⇔ BF ≅ 2,307m. Assim, para as amar3
ras serão necessários 4 . BF ≅ 9,23m.
b) 9,23m.
Respostas: a) 36m3;
≅
OBJETIVO
U N E S P - ( P r o v a d e C i ê n c i a s B i o l ó g i c a s ) D e z e m b r o /2 0 0 4
Matemática
Apesar do pouco rigor na descrição do sólido apresentado na questão 25, a Unesp elaborou uma boa
prova de Matemática para a área de biológicas.
Questões de poucos cálculos, assuntos tradicionais,
mas que permitem selecionar candidatos melhor preparados.
OBJETIVO
U N E S P - ( P r o v a d e C i ê n c i a s B i o l ó g i c a s ) D e z e m b r o /2 0 0 4