Última atualização 07/08/2006
ÁREA1 – FACULDADE DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA
Engenharia de Produção, Engenharia Elétrica e Engenharia de Computação
Disciplina: Álgebra Linear
Professor(a): _____________________________ Data _____ / _____ / _____
Aluno(a): ___________________________________________ Turma______
1a. Lista de Exercícios
O início da teoria das matrizes remonta um artigo
de Arthur Cayley (1821-1895). Nesse artigo Cayley
fez questão de salientar que, embora logicamente a
idéia de matriz preceda a de determinante,
historicamente ocorreu o contrário: de fato, os
determinantes já eram usados há muito na resolução
de sistemas lineares. (Hygino H. Domingues)
A teoria dos determinantes teve origem em meados
do século XVIII, quando eram estudados processos
para resolução de sistemas lineares. Hoje em dia,
embora não sejam um instrumento prático para
resolução de sistemas, os determinantes são
utilizados, por exemplo, para sintetizar certas
expressões matemáticas complicadas. (Gelson Iezzi &
Samuel Hazzan)
Álgebra Linear – Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes
Questão 1.
Considere as matrizes
( )
A = aij
2 x2
i + j , i = j
0, i ≠ j
, tal que aij = 
( )
B = bij
e
, tal que bij = 2i − 3 j .
2 x2
Determine A + B .
x − 2 y  1
 1
 =
x
+
18
4   y − 3x

Questão 2.
Determine o produto x . y para que se tenha 
Questão 3.
Considere as seguintes matrizes: A = 
y + 1
.
4 
1 2 
 5 0
1 − 3 4 
1 2
 , B = 
 , C = 
 , D = 

3 − 4
− 6 7
 2 6 − 5
3 4
5 4 
 .
e E = 
 6 11
a) Determine 5 A − 2 B e 2 A + 3B .
b) Determine A 2 = AA e AC.
c) Mostre que as matrizes D e E comutam (isto é, DE = ED) e A e B não comutam (isto é, AB ≠ BA).
2x
1 
 0
 2

Determine, se possível, x ∈ℜ para que a matriz  x
0 − 4 x  seja:
 x + 1 x3
0 

Questão 4.
a) simétrica.
b) anti-simétrica.
1 2
 . Ache uma matriz B = bij
3 6
(observe que AB = 0 não implica A = 0 ou B = 0 ).
Questão 5.
Seja A = 
( )2 x3 , com todos os elementos distintos, tal que AB = 0 .
Questão 6.
 2 −1 1 


Considere A =  − 3 4 − 3 . Mostre que


 − 5 5 − 4
A é idempotente, isto é, que A 2 = A .
Questão 7.
 1 −1 1 


Considere B =  − 3 3 − 3 . Mostre que B é nilpotente, isto é, que


 − 4 4 − 4
Questão 8.
Sejam
( A .X )
t
−1
( )
= B −1
Questão 9.
A + B .X = C .
−1
 1 3
− 1 0 
 e B = 
 .
A −1 = 
0 1
 2 − 1
Determine,
se
B n = 0 para algum inteiro n ≥ 2 .
possível,
a
matriz
X
tal
que
.
4 
 1
 2 
 − 1 − 2
 . Determine, se possível, a matriz X
 , B =   e C = 
− 4 − 8
 − 1
− 3 − 5
Sejam A = 
tal que
2
Álgebra Linear – Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes
Questão 10.
Usando escalonamento, resolva os seguintes sistemas de equações lineares:
2 x + y − 2 z = 10

a) 3 x + 2 y + 2 z = 1
5 x + 4 y + 3 z = 4

x + y + z = 4

d) 2 x + 5 y − 2 z = 3
x + 7 y − 7 z = 5

Questão 11.
 x − y + 2 z − w = −1
2 x + y − 2 z − 2 w = −2

c) 
− x + 2 y − 4 z + w = 1
3x − 3w = −3
x + 2 y − z = 0

b) 2 x − y + 3 z = 0
4 x + 3 y + z = 0

x + y + z + t = 0
x + y + z − t = 4

f) 
 x + y − z + t = −4
 x − y + z + t = 2
 x − 2 y + 3z = 0
2 x + 5 y + 6 z = 0
e) 
i + j , i < j

Considere a matriz A = aij
, tal que aij = 2i − j , i = j . Determine X na equação AX = B ,
3 x3
 j − i, i > j

( )
 − 2
 
onde B =  − 2 .
 
 − 2
Questão 12.
Discuta em função de k os seguintes sistemas lineares:
− 4 x + 3 y = 2

a) 5 x − 4 y = 0
2 x − y = k

Questão 13.
− x − 2 y − kz = 1

b) S : kx − y + z = 2
x + y + z = 0

Calcule o determinante das matrizes abaixo:
1 3 4 


b)  5 2 − 3


1 4 2 
 3 − 1

a) 
4 2 
1

3
d) 
2

0
3 2 0

1 0 2
3 0 1

2 1 3
Questão 14.
2 x − 5 y + 2 z = 0

c)  x + y + z = 0
2 x + 0 y + kz = 0

0

0
e) 
a

1
 − 1 − 4 − 6


c)  0 − 2 − 5


0 − 3
 0
1

0
f)  0

0

0
a b 1

1 0 0
a 0 b

b a 0
2 3 4
a 1 2
0 b 1
0 0 c
0 0 0
5

3
2

1

d
Resolva os seguintes sistemas pela regra de Cramer.
2 x + y + 2 z = 4

a)  x + 2 y + z = −1
3 x + 5 y + 2 z = 1

x + 3 y − z = 0

b) 2 y + 2 z = 0
x + y + z = 0

x + y − z = 0

c) 2 x + y + z = 1
3 x − y + z = 1

− 1 − 4 2 1   a  − 32

  

d)  2 − 1 7 9   b  =  14 
− 1 1 3 1   c   11 

  

 1 − 2 1 − 4  d   − 4 
3
Álgebra Linear – Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes
Questão 15.
Usando operações elementares sobre linhas, determine se as matrizes abaixo são inversíveis e, em
caso afirmativo, determine a sua inversa.
 1 3

a) A = 
 2 7
 2 5 − 1


b) B =  4 − 1 2 


1
0 4
1 −1 2 


c) C =  3 2 − 4


 0 1 − 2
Questão 16.
 x + 2 y + 3z = 5

Resolva o sistema 2 x + 5 y + 3 z = 3 , usando inversão de matrizes.
 x + 8 z = 17

Questão 17.
Determine a corrente elétrica em cada um dos trechos indicados nos circuitos ilustrados a seguir:
b)
a)
Questão 18.
Deseja-se construir um circuito como o mostrado na figura:
Dispõe-se de uma tabela de preços de vários tipos de resistências; assim como as correntes máximas que elas suportam sem
queimar.
Resistências
R3 = 50Ω
R5 = 100Ω
R1 = 20Ω
R2 = 30Ω
R4 = 40Ω
0,5 A
$10,00
$10,00
$15,00
$15,00
$20,00
Corrente 1,0 A
$15,00
$20,00
$15,00
$15,00
$25,00
máxima
3,0 A
$20,00
$22,00
$20,00
$20,00
$28,00
5,0 A
$30,00
$30,00
$34,00
$34,00
$37,00
Que tipo devemos escolher as resistências para que o circuito funcione com segurança e a sua fabricação seja a de menor
custo possível? Qual é esse custo mínimo?
4
Álgebra Linear – Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes
Numa equação química balanceada o número de cada átomo nos reagentes deve ser igual nos produtos.
Por exemplo, 2 H 2 + O2 → 2 H 2 O . Um dos métodos para encontrar uma reação balanceada é por
tentativa e erro. Usando os métodos de resolução de sistemas lineares podemos resolver essa questão facilmente. Assim em
cada caso a seguir, encontre a equação química balanceada (mínima).
Questão 19.
(a) NH 3 + O2 → N 2 + H 2O .
(b) C 5 H 11 OH + O 2 → H 2 O + CO 2
(c) C4 H 10 + O2 → CO2 + H 2O .
Observação.
NH 3 = amônia ,
O2 = oxigênio ,
N 2 = nitrogênio ,
H 2O = água , CO2 = dióxido de carbono ,
C6 H 12O6 = gli cos e e C4 H 10 = gás bu tan o .
Questão 20.
Análise de redes. Uma rede é constituída por um número finito de nós, em que fluem os fluxos, entrando
e/ou saindo. E em cada nó, o fluxo de entrada é igual ao de saída. Exemplo:
↑ 20
f1
f2
→
←
f 1 + f 2= 15 + 20
↓ 15
Com estas considerações, determine os possíveis fluxos da rede de encanamento de água mostrado na figura a seguir, onde o
fluxo é medido em litros por minuto.
↓5
A
f1
→
20 ↓ f 4
f3
→
10
→
→
D
B
10
→
↓ f2 5
←
C
↓30
5
Álgebra Linear – Matrizes, Sistemas Lineares e Determinantes
Respostas
Q1..
 1 − 4


1 2 
Q2..
10
Q3.
a) 
b) 
Q4..
a) x = 0
b) x = −2
− 6
9
 7 − 6  5

 e
 − 9 22   − 5 − 33 32 
4
 − 5 10   17
 e

27
−
34
−
12
13

 

Q5.
4
6
 2
 . Existem outras.
B=
 − 1 − 2 − 3
Q8.
−1 0 


 − 5 − 1 2 x 2
Q9.
(1
3 )1 x 2
Q10. a) ( x , y , z) = (1,2 ,−3)
d) não existe solução.
b) (− α ,α ,α );α ∈ R
c) (α − 1,2 β , β ,α );α , β ∈ R
e) (−3α ,0,α );α ∈ R
f) ( x , y , z , t ) = (1,−1,2 ,−2)
 − 1
Q11. X =  1 
 − 1
 
Q12. a) Se k ≠ −6 o sistema é impossível;
Se k = −6 o sistema é possível determinado.
b) Se k = 0 o sistema é impossível;
Se k ≠ 0 e k ≠ 1 o sistema é possível determinado;
Se k = 1 o sistema é possível indeterminado.
c) Se k = 2 o sistema é possível indeterminado;
Se k ≠ 2 o sistema é possível determinado.
Q13. a) 10
c) − 6
b) 49
Q14. a) ( x , y , z) = ( 5,−2 ,−2)
b) ( x , y , z ) = ( 0,0,0)
 7 − 3

− 2 1 
Q15. a) A −1 = 
Q16..
 16

b) B −1 =  2 27

 − 8 27
c) ( x , y , z ) = (1 4 ,1 8 ,3 8)
16
− 1 27
4 27
−1 6

4 27 

11 27
f) abcd
d) (a ,b ,c , d ) = (5 ,8 ,3 ,−1)
c) C não é inversível.
(x, y, z ) = (1,−1,2)
Q17. a) (i1 ,i2 ,i3 ) = (− 1,3,−2 )
Q18.
e) a2 + b2
d) 48
(i1 , i2 , i3 , i4 , i5 ) = (3,68; 1,61;
Q19. a) ( 4 ,3,2 ,6 )
b) (i1 , i 2 , i3 , i4 ) = (− 2 ,1,−1,2 )
0,16; 1,45; 2,07 ) . O custo mínimo é $ 115,00.
b) ( 2 ,15 ,12 ,10 )
c) ( 2 ,13,8 ,10 )
Q20. ( 15 − f 4 , 5 − f 4 , 20 + f 4 , f 4 ) , onde 0 ≤ f 4 ≤ 5 .
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