Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Esquações Lineares e Matrizes Alex Erickson Ferreira Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM 18 de março de 2012 Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Equações Lineares e Matrizes Esquema da Assunto 1 Sistema Lineares 2 Matrizes 3 Produto escalar e Multiplicação de Matrizes 4 Transformações Matriciais 5 Soluções de Sistemas de Equações Lineares 6 Inversa de uma matriz Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Sistemas Lineares Sistemas Lineares Definição Uma equação linear é uma equação do tipo a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn = b (1) que expressa b em função de várias variáveis x1 , x2 , x3 , . . . , xn e das constantes conhecidas a1 , a2 , . . . , an . Várias aplicações são modeladas por uma ou mais equações lineares e, o objetivo é encontrar possı́veis valores para x1 , x2 , . . . , xn chamadas de incógnitas que satisfazem a equação (1). Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Sistemas Lineares Sistemas Lineares Definição - solução Uma solução de uma equação linear (1) é uma sequência n de números s1 , s2 , . . . , sn que tem como propriedade satisfazer a expressão (1) quando x1 = s1 , x2 = s2 , . . ., xn = sn são sustituı́das nessa expressão. Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Sistemas Lineares Sistemas Lineares Definição - solução Uma solução de uma equação linear (1) é uma sequência n de números s1 , s2 , . . . , sn que tem como propriedade satisfazer a expressão (1) quando x1 = s1 , x2 = s2 , . . ., xn = sn são sustituı́das nessa expressão. Podem existir três situações numa equação linear em termos de resolução da mesma: solução única, infinitas soluções ou não ter solução. Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Sistemas Lineares Sistemas Lineares Definição Um sistema de equações lineares com m equações e n incógnitas (x1 , x2 , . . . , xn é um conjunto de equações representado, convenientemente, na forma a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn a21 x2 + a22 x2 + · · · + a2n xn .. . = = b1 b2 am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Sistemas Lineares Sistemas Lineares Sistemas Lineares Os dois ı́ndices i e j significam, respectivamente, que estamos lidando com a i-ésima equação associado com a j-ésima variável. Desta forma a i-ésima equação é ai1 x1 + ai2 x2 + · · · + ain xn = bi Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Sistemas Lineares Sistemas Lineares Sistemas Lineares Os dois ı́ndices i e j significam, respectivamente, que estamos lidando com a i-ésima equação associado com a j-ésima variável. Desta forma a i-ésima equação é ai1 x1 + ai2 x2 + · · · + ain xn = bi Uma solução de um sistema linear é uma sequência de n s1 , s2 , · · · , sn que satisfazem cada equação do sistema quando as variáveis assumem seus valores respectivamente. Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Sistemas Lineares Sistemas Lineares Para encontrar a solução de sistema linear, devemos utilizar uma técnica denominada método de eliminação. Esta técnica permite eliminar gradativamente as incógnitas de um sistema até transformá-lo num sistema equivalente ao sistema original. Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Sistemas Lineares Sistemas Lineares Para encontrar a solução de sistema linear, devemos utilizar uma técnica denominada método de eliminação. Esta técnica permite eliminar gradativamente as incógnitas de um sistema até transformá-lo num sistema equivalente ao sistema original. Assim como numa equação, uma sistema linear pode ter solução ou não, bem como infinitas(ou finitas) soluções. E a técnica do método de eliminação nos permite identificar cada situação desta. Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Sistemas Lineares Sistemas Lineares Para encontrar a solução de sistema linear, devemos utilizar uma técnica denominada método de eliminação. Esta técnica permite eliminar gradativamente as incógnitas de um sistema até transformá-lo num sistema equivalente ao sistema original. Assim como numa equação, uma sistema linear pode ter solução ou não, bem como infinitas(ou finitas) soluções. E a técnica do método de eliminação nos permite identificar cada situação desta. Um sitema pode ter quantidades diferentes de equações em relação as incógnitas, ou seja, m < n, m > n, ou o caso clássico m = n. Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Sistemas Lineares Sistemas Lineares O método de eliminação consiste em realizar repetidamente as seguintes operações: 1 Trocar de posição as duas equações. 2 Multiplicar uma equação por uma constante diferente de zero. 3 Adicionar um múltiplo de uma equação à outra. Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Sistemas Lineares Sistemas Lineares Exemplo -1 Considere o sistema linear x + 2y + 3z 2x − 3y + 2z 3x + y − z = 6 = 14 = −2 Encontre a solução deste sistema utilizando o método de eliminação. Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Sistemas Lineares Sistemas Lineares Exemplo - 2 Considere o sistema linear x + 2y − 3z 2x + y − 3z = −4 = 4 Encontre a solução deste sistema utilizando o método de eliminação. Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Sistemas Lineares Sistemas Lineares Exemplo - 3 Uma refinaria produz combustı́vel com alto e baixo teores de enxofre. Cada tonelada de combustı́vel com baixo teor de enxofre precisa de 5 minutos no setor de mistura e 4 minutos no setor de refino; cada tonelada de combustı́vel com alto teor de enxofre precisa de 4 minutos no setor de mistura e 2 no setor de refino. Se o setor de mistura está disponı́vel por 3 horas e o setor de refino por 2 horas, quantas toneladas de cada tipo de combustı́vel devem ser produzidas para que os setores não fiquem ociosos? Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Matrizes Matrizes Definição Uma matriz A m × n é um arranjo retangular de mn números reais (ou complexos) distribuı́dos em m linhas horizontais e n colunas verticais. a11 a12 · · · a1j · · · a1n a21 a22 · · · a2j · · · a2n .. .. .. .. . . · · · . · · · . A= ai1 ai2 · · · aij · · · ain .. .. .. .. . . ··· . ··· . am1 am2 · · · amj · · · amn Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Matrizes Simbologia e dimensão A dimensão ou ordem de uma matriz é dada pelo número de linhas(m) e colunas(n) que esta possui. Geralmente, representamos a ordem de uma matriz na forma m × n Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Matrizes Simbologia e dimensão A dimensão ou ordem de uma matriz é dada pelo número de linhas(m) e colunas(n) que esta possui. Geralmente, representamos a ordem de uma matriz na forma m × n Uma matriz n × 1 ou 1 × n são chamadas de matrizes coluna ou linha, respectivamente. A matriz coluna, em especial, é chamada de vetor de dimensão n ou simplesmente vetores. a1 a2 ~a = . ~b = b1 b2 · · · bn .. an Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Matrizes Matrizes especiais Matriz diagonal Uma matriz quadrada A = [aij ] em que todas as entradas fora da diagonal principal é zero, isto é, aij = 0 para i 6= j, é chamada matriz diagonal. −3 0 0 A= 0 1 0 0 0 2 Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Matrizes Matrizes especiais Matriz diagonal Uma matriz quadrada A = [aij ] em que todas as entradas fora da diagonal principal é zero, isto é, aij = 0 para i 6= j, é chamada matriz diagonal. −3 0 0 A= 0 1 0 0 0 2 Exemplo de aplicação Mecanismos de busca para encontrar informaçõese acessar a Internet utilizam matrizes para rastrear as localizações da informação, tipo de informação em uma localização, palavras-chaves e sites da Web que se interligam. Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Matrizes Matriz Escalar Uma matriz diagonal em que todos os termos da diagonal principal são iguais, ou seja, aij = c para i = j e aij = 0 para i 6= j, é chamada matriz escalar. 1 0 0 I = 0 1 0 Matriz Identidade 0 0 1 Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Matrizes Operações matriciais Adição de Matrizes Se A = [aij ] e B = [bij ] são matrizes m × n, então a soma de A e B é a matriz C = [cij ], m × n, definida por cij = aij + bij Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n). Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Matrizes Operações matriciais Adição de Matrizes Se A = [aij ] e B = [bij ] são matrizes m × n, então a soma de A e B é a matriz C = [cij ], m × n, definida por cij = aij + bij A= Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes (1 ≤ i ≤ m, 1 −2 4 2 −1 3 B= 1 ≤ j ≤ n). 0 2 −4 1 3 1 Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Matrizes Operações matriciais Adição de Matrizes Se A = [aij ] e B = [bij ] são matrizes m × n, então a soma de A e B é a matriz C = [cij ], m × n, definida por cij = aij + bij A= A+B = Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes (1 ≤ i ≤ m, 1 −2 4 2 −1 3 B= 1 ≤ j ≤ n). 0 2 −4 1 3 1 1 + 0 −2 + 2 4 + (−4) 2 + 1 −1 + 3 3+1 = 1 0 0 3 2 4 Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Matrizes Observações importantes A soma matricial só é permitida com matrizes de mesma dimensão. E o resultado, consequentemente, possui a mesma dimensão das matrizes somadas. Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Matrizes Observações importantes A soma matricial só é permitida com matrizes de mesma dimensão. E o resultado, consequentemente, possui a mesma dimensão das matrizes somadas. A adição matricial satisfaz as propriedades: A + (B + C ) = (A + B) + C Associatividade A + B = B + A Comutatividade Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Matrizes Multiplicação por um escalar Se A = [aij ] é uma matriz m × n e k é um número real, então a multiplicação por um escalar de A por k, kA, é a matriz B = [bij ], m × n, onde bij = kaij Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Matrizes Multiplicação por um escalar Se A = [aij ] é uma matriz m × n e k é um número real, então a multiplicação por um escalar de A por k, kA, é a matriz B = [bij ], m × n, onde bij = kaij (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) Pode-se definir a diferença de A e B fazendo A + (−1)B Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Matrizes Transposta de uma matriz Se A = [aij ] é uma matriz m × n, então a matriz n × m, AT = [aijT ], onde aijT = aji (1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m) é chamada de matriz transposta de A. Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Matrizes Exemplos das operações matriciais Adição - Produção Um fabricante de uma determinado produto produz três modelos A, B e C. Cada modelo é produzido parcialmente na fábrica F1 e finalizado na fábrica F2 . O custo total de cada produto é composto pelo custo de produção e pelo custo de transporte. Portanto, o custo de cada fábrica, em dólares, pode ser descrito pelas matrizes F1 e F2 , 3 × 2: Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Matrizes Fábrica 1 - F1 Modelo A Modelo B Modelo C Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Custo de Produção 32 50 70 Custo de transporte 40 80 20 Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Matrizes Fábrica 1 - F1 Modelo A Modelo B Modelo C Custo de Produção 32 50 70 Custo de transporte 40 80 20 Fábrica 2 - F2 Modelo A Modelo B Modelo C Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Custo de Produção 40 50 130 Custo de transporte 60 50 20 Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Matrizes A matriz F1 + F2 fornece o total de custos de produção e transporte de cada produto. Por exemplo, o total dos custos de produção e transporte de um produto do modelo B é de $100 e $130 dólares, respectivamente. Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Matrizes A matriz F1 + F2 fornece o total de custos de produção e transporte de cada produto. Por exemplo, o total dos custos de produção e transporte de um produto do modelo B é de $100 e $130 dólares, respectivamente. Produto por um escalar - Produção Suponha que a fábrica F1 , por se localizar num local diferente, anuncia que houve um aumento de 20% nos seus custos, com isso seus novos valores de produção e transporte são Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Matrizes A matriz F1 + F2 fornece o total de custos de produção e transporte de cada produto. Por exemplo, o total dos custos de produção e transporte de um produto do modelo B é de $100 e $130 dólares, respectivamente. Produto por um escalar - Produção Suponha que a fábrica F1 , por se localizar num local diferente, anuncia que houve um aumento de 20% nos seus custos, com isso seus novos valores de produção e transporte são 32 40 38, 4 48 F1 = 1.2 50 80 = 60 96 70 20 84 24 Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Matrizes Fábrica 1 - F1 Modelo A Modelo B Modelo C Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Custo de Produção 38,4 60 84 Custo de transporte 48 96 24 Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Matrizes Produto Escalar e Multiplicação matricial Produto Escalar - definição O produto escalar ou produto interno dos vetores de dimensão n ~a e ~b é a soma dos produtos dos elementos correspondentes. Logo, se a1 b1 ~a = a2 e ~b = b2 .. .. .a .b n Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes n Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Matrizes Produto Escalar e Multiplicação matricial Produto Escalar - definição O produto escalar ou produto interno dos vetores de dimensão n ~a e ~b é a soma dos produtos dos elementos correspondentes. Logo, se a1 b1 ~a = a2 e ~b = b2 .. .. .a .b n n então ~a · ~b = a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn = n X ai b i i=1 Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Matrizes Multiplicação matricial Definição Se A = [aij ] é uma matriz m × p e B = [bij ] é uma matriz p × n, então o produto de A e B, representado por AB, é a matriz m × n C = [cij ], definida por cij = ai1 b1j +ai2 b2j +· · ·+aip bpj = p X aip bpj (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) k=1 Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Matrizes Multiplicação matricial Definição Se A = [aij ] é uma matriz m × p e B = [bij ] é uma matriz p × n, então o produto de A e B, representado por AB, é a matriz m × n C = [cij ], definida por cij = ai1 b1j +ai2 b2j +· · ·+aip bpj = p X aip bpj (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n) k=1 Observações importantes Nem sempre AB = BA, isso acontece quando n 6= m. Mesmo quando BA é definida, AB e BA podem ter tamanhos diferentes. Se AB e BA são do mesmo tamanho, elas podem ser Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM diferentes. Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Matrizes Exemplo -Produto matricial Ecologia/Poluição Um fabricante produz dois tipos de produtos, P e Q, em cada uma das duas fábricas, X e Y. Ao fabricar estes produtos, os poluentes dióxido de enxofre, óxido nı́trico e material particulado são produzidos. As quantidades de poluentes produzidas são dadas (em quilogramas) pela tabela seguinte: Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Matrizes Exemplo -Produto matricial Ecologia/Poluição Um fabricante produz dois tipos de produtos, P e Q, em cada uma das duas fábricas, X e Y. Ao fabricar estes produtos, os poluentes dióxido de enxofre, óxido nı́trico e material particulado são produzidos. As quantidades de poluentes produzidas são dadas (em quilogramas) pela tabela seguinte: Tabela 1 Poluentes Produto P Produto Q Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Dióxido S2 300 200 Óxido Nı́trico 100 250 Mat. part 150 400 Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Matrizes Leis estaduais e federais exigem que estes poluentes sejam removidos. O custo diário da remoção de cada quilograma de poluente é dado (em dólares) pela tabela seguinte: Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Matrizes Leis estaduais e federais exigem que estes poluentes sejam removidos. O custo diário da remoção de cada quilograma de poluente é dado (em dólares) pela tabela seguinte: Tabela 2 Custo Dióxido S2 Óxido nı́trico Mat. part Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Fábrica X 8 7 15 Fábrica Y 12 9 10 Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM Esquema do Assunto Sistemas Lineares Matrizes Matrizes Leis estaduais e federais exigem que estes poluentes sejam removidos. O custo diário da remoção de cada quilograma de poluente é dado (em dólares) pela tabela seguinte: Tabela 2 Custo Dióxido S2 Óxido nı́trico Mat. part Fábrica X 8 7 15 Fábrica Y 12 9 10 Qual o significado dos elementos de AB? Alex Erickson Ferreira Esquações Lineares e Matrizes Departamento de Matemática e Estatı́stica - DME/UFVJM
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