Prof. Paulo Cesar Costa
01. (UF-Uberlância) Um plano é determinado por:
a) uma reta e um ponto não pertencente a ela.
b) uma reta e um ponto a ela pertencente.
c) três pontos quaisquer.
d) duas retas quaisquer.
e) uma única reta.
02. (PUC) Em relação a um plano α, os pontos A e B estão no mesmo
semi-espaço e os pontos A e C estão em semi-espaços opostos. Em
relação ao plano β, os pontos A e B estão em semi-espaços opostos, bem
como os pontos A e C. Pode-se concluir que o segmento BC.
a) é paralelo a   .
b) encontra α e β.
c) encontra α, mas não β
d) encontra β, mas não α.
e) não encontra α nem β.
geometria espacial de posição
07. (PUC) Os planos α e β são paralelos. A reta r é perpendicular a α e a
reta s é perpendicular a β. Pode-se concluir que r e s.
a) não têm ponto comum.
b) são perpendiculares.
c) são reversas.
d) são ortogonais.
e) são coplanares.
08. (UEL) Dados os planos α e um ponto P não pertencentes a α, pelo
ponto P
a) passa apenas uma reta perpendicular a α.
b) passam infinitas retas perpendiculares a α.
c) passa apenas uma reta paralela a α
d) passa apenas um plano perpendicular a α
e) passam infinitos planos paralelos a α.
09.(PUC) Assinale a afirmação verdadeira:
03. (ITA) Qual das afirmações abaixo é verdadeira?
a) Três pontos, distintos dois a dois, determinam um plano.
b) Um ponto e uma reta determinam um plano
c) Se dois planos distintos têm um ponto em comum, tal ponto é único.
d) Se uma reta é paralela a um plano e não está contida neste plano,
então ela é paralela a qualquer reta desse plano.
e) Se α é o plano determinado por duas retas concorrentes r e s, então
toda reta m desse plano que é paralela à r, não será paralela à reta s.
04. (ITA) Quais as sentenças falsas nos itens abaixo?
I. Se dois planos são secantes, todas as retas de um deles sempre
interceptam o outro plano.
II. Se, em dois planos, num deles existem duas retas distintas paralelas
ao outro plano, os planos são sempre paralelos.
III. Em dois planos paralelos distintos, todas as retas de um são paralelas
ao outro plano.
IV. Se uma reta é paralela a um plano, em tal plano existe uma
infinidade de retas paralelas àquela reta.
V. Se uma reta é paralela a um plano, será paralela a todas as retas do
plano.
a) I; II; III.
b) I; II; V.
c) I, II, IV.
d) II; III; IV.
e) I; III; IV.
05. (UNESP) A sentença falsa a respeito de paralelismo é:
a) Uma reta a e um plano β, a  , são paralelos se e somente se existe
uma reta b em β tal que a e b são paralelas.
b) Se α e β são planos interceptando-se na reta r e a reta s é paralela a α e
a β, então também é paralela a r.
c) Se o plano α é paralelo a duas retas concorrentes do plano β, então α e
β são paralelos.
d) Por um ponto fora de um plano α passa um e apenas um plano
paralelo a α.
e) Se uma reta intercepta um plano α, existe um plano β paralelo a α, que
não é interceptado pela reta.
06. (PUC) Qual das propriedades abaixo é falsa?
a) As interseções de dois planos paralelos, com um terceiro plano, são
retas paralelas.
b) Se dois planos são paralelos distintos, toda reta contida em um deles é
paralelo ao outro plano.
c) Um plano β paralelo a outro plano α por um ponto A   é único.
d) Dois planos distintos paralelos a um terceiro são paralelos entre si.
e) Se dois planos são paralelos, todo plano perpendicular a um deles é
paralelo ao outro.
a) Dois planos paralelos a uma reta são paralelos entre si.
b) Dois planos perpendiculares a uma reta são perpendiculares entre si.
c) Duas retas perpendiculares a um plano são paralelas entre si.
d) Duas retas paralelas a um plano são paralelas entre si.
e) Dois planos perpendiculares a um terceiro são perpendiculares entre
si.
10. (ITA) Consideremos um plano α e uma reta r que encontra esse
plano num ponto P, que não é perpendicular a α. Assinale qual das
afirmações é verdadeira:
a) Existem infinitas retas de α perpendiculares a r pelo ponto P.
b) Existe uma e só uma reta de α perpendicular a r por P.
c) Não existe reta de α, perpendicular a r, por P.
d) Existem 2 retas de α perpendiculares a r, passando por P.
e) Nenhuma das afirmações acima é verdadeira.
11. (PUC) Nas afirmações abaixo, os entes geométricos se situam no
espaço tridimensional.
I) Duas retas que não possuem pontos comuns são sempre paralelas.
II) Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela a infinitas retas deste
plano.
III) Duas retas distintas, perpendiculares a um plano, são sempre
paralelas.
IV) Dois planos distintos, perpendiculares a um terceiro, são sempre
paralelos.
Somente estão corretas:
a) I e IV
b) II e III
c) I e II
d) III e IV
e) II, III e IV
12. (PUC) São dadas as proposições:
I) Uma reta é perpendicular a um plano quando ela é perpendicular a
todas as retas desse plano.
II) Se um plano é perpendicular a outro, então ele é perpendicular a
qualquer reta desse outro.
III) Se dois planos distintos são paralelos, então toda reta de um é
paralela ao outro.
É correto afirmar que
a) I, II e III são verdadeiras.
b) I, II e III são falsas.
c) apenas II é verdadeira.
d) apenas III é verdadeira
e) apenas II e III são verdadeiras.
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geometria espacial de posição
13. (VUNESP) Entre todas as retas-suporte das arestas de um certo
cubo, considere duas, r e s, reversas. Seja t a perpendicular comum a r e
a s. Então:
19. (CESGRANRIO) A é um ponto não pertencente a um plano α. O
número de retas que contém A e fazem um ângulo de 45º com α é igual
a:
a) t é a reta-suporte de uma das diagonais das faces do cubo.
b) t é a reta-suporte de uma das diagonais do cubo.
c) t é a reta-suporte de uma das arestas do cubo.
d) t é a reta que passa pelos pontos médios das arestas contidas em r e s.
e) t é a reta perpendicular a duas faces do cubo, por seus pontos médios.
a) 0
b) 1
c) 2
d) 4
e) infinito
14. (UFF-RJ) Considere um plano α, uma reta r concorrente com α, um
ponto P que não pertence a r nem a α, e as seguintes afirmações:
I. A reta s, que passa por P, intercepta α e é paralela a r, é única.
II. o plano β que contém P e r intercepta α.
III. Qualquer reta que passe por P e seja paralela a α intercepta r.
É correto afirmar que:
a) as afirmações I e III são verdadeiras.
b) as afirmações I e II são verdadeiras.
c) as afirmações II e III são verdadeiras.
d) todas as afirmações são verdadeiras.
e) todas as afirmações são falsas.
15. (FUVEST) É correta a afirmação:
a) Se dois planos forem perpendiculares, todo plano perpendicular a um
deles será paralelo ao outro.
b) Se dois planos forem perpendiculares, toda reta paralela a um deles
será perpendicular ao outro.
c) Duas retas paralelas a um plano são paralelas.
d) Se duas retas forem ortogonais, toda ortogonal a uma delas será
paralela à outra.
e) Se duas retas forem ortogonais, toda paralela a uma delas será
ortogonal ou perpendicular à outra.
20. (FUVEST) Os segmentos VA, VB e VC são arestas de um cubo.
Um plano α, paralelo ao plano ABC, divide esse cubo em duas partes
iguais. A interseção do plano α com o cubo é um:
a) triângulo.
b) quadrado.
c) retângulo
d) pentágono
e) hexágono
21. (FUVEST) Sejam r e s duas retas distintas. Podemos afirmar que
sempre
a) existe uma reta perpendicular a r e a s.
b) r e s determinam um único plano.
c) existe um plano que contém s e não intercepta r
d) existe uma reta que é paralela a r e a s.
e) existe um plano que contém r e um único ponto de s.
22. (PUC) Um aluno segura uma régua retilínea de comprimento d
paralelamente a uma superfície plana horizontal, a uma altura h, em um
dia de sol. Variando a altura h e mantendo a régua paralela à superfície,
ele verificará que a “sombra” s da régua na superfície é:
a) diretamente proporcional a h.
b) inversamente proporcional a h.
c) diretamente proporcional ao quadrado de h.
d) inversamente proporcional ao quadrado de h.
e) igual a d, qualquer que seja a altura h.
16. Em relação à interseção de dois planos, assinale a alternativa correta.
a) nunca será vazia.
b) Pode ser um segmento
c) Pode ser um ponto.
d) pode ser uma semi-reta.
e) pode ser uma reta.
23. (CESGRANRIO) Na figura, cada aresta do cubo mede 3cm.
Prolongando-se uma delas de 5cm, obtemos o ponto M. A distância, em
centímetros, de M ao vértice A, é:
17. (UFMT) Sobre geometria espacial de posição, assinale a afirmativa
correta.
a) Se dois planos são paralelos a uma reta, então são paralelos entre si.
b) Quatro pontos no espaço determinam um plano.
c) Três planos distintos podem se cortar, dois a dois, segundo três retas
duas a duas paralelas.
d) A interseção de dois planos secantes pode ser um único ponto.
e) Duas retas reversas determinam um plano.
a) 2 21
b)
c)
82
8 3
18. (FATEC) A reta r é a interseção dos planos α e β, perpendiculares
entre si. A reta s, contida em α, intercepta r no ponto P. A reta t,
perpendicular a β, intercepta-o no ponto Q, não pertencente a r.
d) 8 2
e) 9
Nessas condições, é verdade afirmar que:
24. (FUVEST) Qual a distância entre os centros de duas faces
adjacentes de um cubo de aresta 4?
a) r e s são perpendiculares.
b) s e t são paralelas entre si.
c) r e t são concorrentes.
d) s e t são reversas.
e) r e t são ortogonais.
a) 2
b) 2 2
c) 4
d) 4 2
e) 8
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25. (CESGRANRIO) Num cubo de aresta 10cm, ligam-se os pontos
médios de A e B dos segmentos MN e PQ, respectivamente, conforme se
mostra na figura. O comprimento do segmento AB mede:
5
b) 10 3
geometria espacial de posição
29. (FUVEST) Uma formiga resolveu andar de um vértice a outro do
prisma reto de bases triangulares ABC e DEG, seguindo um trajeto
especial. Ela partiu do vértice G, percorreu toda a aresta perpendicular à
base ABC, para em seguida caminhar toda a diagonal da face ADGC e,
finalmente, completou seu passeio percorrendo a aresta reversa a CG. A
formiga chegou ao vértice
a) 5
c) 10 2
7
5
d) 5
e) 7
26. (MACK) ABCD é um quadrado de lado a. Seja E o ponto médio do
lado AB e M um ponto do espaço tal que EM seja perpendicular ao
plano do quadrado. Sabendo que a reta MC faz com o plano do
quadrado um ângulo de 60º, a medida de EM é:
15
a)
a) A
b) B
c) C
d) D
e) E
30. (FATEC) Na figura a seguir tem-se : o plano α definido pelas retas c
e d, perpendiculares entre si; a reta b, perpendicular α em A, com
A  c; o ponto B, intersecção de c e d. Se X é um ponto de b, X  ,
então a reta s, definida por X e B,
a
2
b)
5
3
a
2
c) 4 3 a
d) 4 5 a
e) 3 5 a
27. (FEI) Sejam a e b duas retas ortogonais, perpendiculares à reta r em
A e B, respectivamente. Sejam M  a e N  b pontos distintos de A e
B. O ângulo MBN
a) é agudo.
b) não pode ser reto.
c) é reto
d) depende de M e N
e) Nenhuma das anteriores
28. (Unesp) Considere o cubo da figura adiante. Das alternativas a
seguir, aquela correspondente a pares de vértices que determinam três
retas, duas a duas reversas, é:
a) é paralela à reta c.
b) é paralela à reta b.
c) está contida no plano „.
d) é perpendicular à reta d.
e) é perpendicular à reta b.
31. (UFF) Marque a opção que indica quantos pares de retas reversas
são formados pelas retas suportes das arestas de um tetraedro.
a) Um par.
b) Dois pares.
c) Três pares.
d) Quatro pares.
e) Cinco pares.
32. (UEL) As afirmações seguintes podem ser verdadeiras ou falsas.
I . A projeção ortogonal de uma reta num plano é uma
reta.
II. Distância entre duas retas reversas é a
perpendicular comum a essas retas.
III. A distância entre dois planos só é definida se esses planos são
paralelos.
É correto afirmar que SOMENTE
a) (A,D); (C,G); (E,H).
b) (A,E); (H,G); (B,F).
c) (A,H); (C,F); (F,H).
d) (A,E); (B,C); (D,H).
e) (A,D); (C,G); (E,F).
a) II é verdadeira.
b) III é verdadeira.
c) I e II são verdadeiras.
d) I e III são verdadeiras.
e) II e III são verdadeiras.
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33. (UFSCAR) Considere um plano α e um ponto P qualquer do espaço.
Se por P traçarmos a reta perpendicular a α, a intersecção dessa reta com
α é um ponto chamado projeção ortogonal do ponto P sobre α. No caso
de uma figura F do espaço, a projeção ortogonal de F sobre α é definida
pelo conjunto das projeções ortogonais de seus pontos. Com relação a
um plano α qualquer fixado, pode-se dizer que:
a) a projeção ortogonal de um segmento de reta pode resultar numa
semi-reta.
b) a projeção ortogonal de uma reta sempre resulta numa reta.
c) a projeção ortogonal de uma parábola pode resultar num segmento de
reta.
d) a projeção ortogonal de um triângulo pode resultar num quadrilátero.
e) a projeção ortogonal de uma circunferência pode resultar num
segmento de reta.
geometria espacial de posição
38. (FUVEST-modificada) O segmento PA é perpendicular ao plano
que contém o triângulo equilátero ABC. Suponha que AB = 2AP e que
M seja o ponto médio do segmento BC. Determine o ângulo formado
pelos segmentos PA e PM.
a) 30º
b) 45º
c) 60º
d) 90º
e) 120º
39. (UEL) As retas r e s foram obtidas prolongando-se duas arestas de
um cubo, como está representado na figura a seguir.
34. (PUC) Um ângulo α é reto. Seja π um plano. Quantas das quatro
afirmações seguintes são corretas?
I) A projeção ortogonal de α sobre π é um ângulo reto.
II) Se um lado de α é paralelo a π, então a projeção ortogonal de α sobre
π é um ângulo reto.
III) a projeção ortogonal de α sobre π pode ser ângulo raso.
IV) a projeção ortogonal de α sobre π não pode ser um ângulo nulo.
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Sobre a situação dada, assinale a afirmação INCORRETA.
a) r e s são retas paralelas.
b) r e s são retas reversas.
c) r e s são retas ortogonais.
d) não existe plano contendo r e s.
e) r  s = .
35. (Sta. Casa-SP) Assinale a sentença verdadeira.
a) A projeção ortogonal de uma reta num plano é uma reta.
b) Dois planos que têm uma reta comum são secantes.
c) Se duas retas são ortogonais, então existe um único plano por uma
delas que é perpendicular à outra.
d) Se dois planos distintos são paralelos, então toda reta de um é paralela
a qualquer reta do outro.
e) Se uma reta é perpendicular a duas retas distintas de um plano, então
ela é perpendicular ao plano.
36. (MACK) Considerando-se as afirmações abaixo, assinale a
alternativa correta.
40. (UEL) A reta r é a interseção dos planos perpendiculares α e β. Os
pontos A e B são tais que A  α, A  , B  , B  . As retas AB e
r
a) são reversas.
b) são coincidentes.
c) podem ser concorrentes.
d) podem ser paralelas entre si.
e) podem ser perpendiculares entre si.
I) Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos são paralelos.
II) Dadas duas retas reversas, sempre existe reta que se apóia em ambas.
III) Se um plano é perpendicular a dois planos secantes, então é
perpendicular à interseção desses planos.
a) Somente a afirmação I é verdadeira.
b) Somente a afirmação II é verdadeira.
c) São verdadeiras as afirmações II e III, apenas.
d) Todas as afirmações são verdadeiras.
e) Nenhuma afirmação é verdadeira.
37. (UFGO) Sejam α, β e γ três planos tais que γ é perpendicular a α e o
ângulo entre α e β é 30º. Uma reta paralela a γ e perpendicular a α,
intercepta α e β, respectivamente nos pontos P1 e P2. Se a distância de P1
à interseção dos planos α e β é 1,5 metros, então a distância, em metros,
de P2 a esta mesma interseção é:
a) 3
b) 3
3 3
4
3
d)
4
c)
e)
3 2
2
01. A
02. C
03. E
04. B
05. E
06. E
07. E
08. A
09. C
10. B
11. B
12. D
13. C
14. B
15. E
16. E
GABARITO
17. C
18. E
19. E
20. E
21. A
22. E
23. B
24. B
25. A
26. A
27. C
28. E
29. E
30. D
31. C
32. B
33. E
34. B
35. C
36. C
37. B
38. C
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