Condições de Otimalidade para
Problemas Vetoriais de
Programação Infinita
Valeriano A. de Oliveira∗ & Marko A. Rojas-Medar†
23 de janeiro de 2007
Considere o seguinte problema vetorial de programação innita:
Minimizar f (x) = (f1 (x), . . . , fp (x))
sujeito a
gα (x) ≤ 0, α ∈ A,
hβ (x) = 0, β ∈ B,
onde fj , j = 1, . . . , p, gα , α ∈ A, e hβ , β ∈ B , são funções reais denidas
em um espaço de Banach X e A e B são conjuntos de índices.
Usamos a teoria dada em Ben-Tal e Zowe [1] para obter condições de
otimalidade para o problema acima. Obtivemos condições necessárias de otimalidade de primeira e segunda ordens para soluções fracamente ecientes.
Também, estudamos qualicações de restrições e obtivemos uma caracterização do tipo Kuhn-Tucker para soluções fracamente ecientes. Além disso,
obtivemos condições sucientes para eciência fraca e eciência própria via
invexidade.
Martin [3] generalizou o conceito de invexidade introduzindo a noção de
KT-invexidade. Esta nova noção de invexidade, além de continuar sendo
uma condição suciente para a otimalidade global de todo ponto de KuhnTucker, se torna também uma condição necessária para tal. Martin mostra
então que todo ponto de Kuhn-Tucker é um minimizador global (do problema de programação matemática) se e somente se o problema é KT-invexo.
∗
†
DMA-IMECC-UNICAMP, [email protected]
DMA-IMECC-UNICAMP, [email protected]
1
Posteriormente, Osuna-Gómez et al. [4] zeram um estudo semelhante para
problemas vetoriais.
Neste trabalho, generalizamos para o problema acima a noção de KTinvexidade e estabelecemos um resultado similar ao de Osuna-Gómez et al.
[4].
Além disso, zemos um estudo relacionando o conjunto das soluções propriamente ecientes do problema vetorial com o conjunto das soluções ótimas
de um problema escalar associado, generalizando um resultado dado em Georion [2] para problemas de programação matemática.
Referências
[1] A. Ben-Tal and J. Zowe. A unied theory of rst and second order
conditions for extremum problems in topological vector spaces. Math.
Programming Study, 19:3976, 1982.
[2] A. M. Georion. Proper eciency and the theory of vector maximization.
J. Math. Anal. Appl., 22:618630, 1968.
[3] D. H. Martin. The essence of invexity. J. Optim. Theory Appl., 47:6576,
1985.
[4] R. Osuna-Gómez, A. Ruán-Lizana, and P. Ruíz-Canales. Invex functions and generalized convexity in multiobjective programming.J. Optim.
Theory Appl., 98(3):651661, 1998.
2