Análise Epistemológico e Evolutivo das Seções Cônicas
César Saal Riqueros
Rubén Panta Pazos
Universidad Nacional de Ingeniería, FIEE,
Av. Túpac Amaru 210, Pabellón A,
Rimac, Lima 25, Perú.
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UNISC, Departamento de Matemática
Av Independência, 2293, Bairro Universitário,
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Desenvolve-se uma análise epistemológica das
seções cônicas, desde suas origens até a atualidade. A
primeira álgebra empregada pelos gregos foi a
“álgebra aritmética”, herdada dos babilônios, onde
foram misturadas grandezas, e assim as somas
incluiam áreas de retângulos e comprimentos. O
problema para rejeitar esta álgebra aritmética
elementar foi resolvido mediante o conceito do
número e grandezas continuas, o que afetou
sensivelmente aos pitagóricos.
Figura 1: Seções cônicas, interseções de cone e plano.
Cada etapa histórica possui diversos enfoques que
dependem com freqüência das orientações da élite
dominante. Neste trabalho são consideradas desde as
idéias originais das cônicas como interseções de um
plano com um cone circular dos gregos 1, passando
pelas idéias das curvas dadas em forma paramétrica
(pela necessidade do movimento, das trajetórias da
mecânica celeste), até os conceitos básicos da
geometria projetiva (uma única cônica generalizada),
os novos aportes em relação às cônicas no plano
complexo (teorema de Mardsen), e o estudo das
equações diferenciais parciais, etc.
Abordam-se os distintos enfoques epistemológicos:
platônico, formalista, construtivista, empirista,
humanista, principalmente.
Além disso, o avanço das novas ferramentas
computacionais tem permitido um desenvolvimento
dos enfoques da matemática computacional, mediante
o uso de sistemas de computação algébrica (MAPLE,
MathCad ou Derive). Sua utilização no ensino das
curvas cresceu em diversas universidades, mas
existem algumas críticas em relação a sua eficiência,
assim caso for mal administrada, em lugar de dar um
apoio efetivo ao ensino da matemática, até pode
distorcer as idéias matemáticas subjacentes. Nosso
interesse é acompanhar o estudo evolutivo com o
auxílio do enfoque da matemática computacional
O trabalho está organizado como segue: primeiro se
estabelecem as linhas principais do desenvolvimento
histórico das cônicas, analisando a epistemologia
envolvida no pensamento dos principais matemáticos
que contribuíram no estudo das cônicas. Depois,
damos uma síntese das principais ferramentas de tipo
computacional que são empregadas no estudo de
curvas de baixa ordem com variável real ou complexa
e que podem contribuir com eficiência no ensino e na
pesquisa das curvas de baixa ordem (hiper-cônicas,
etc). Finalmente, uma seção de aplicações das cônicas
é incluída 2, em algumas áreas fora da matemática.
Figura 3: Catedral de Rio de Janeiro.
Referências
[1] Howard Eves, Introdução à História da Matemática, Editora da
Unicamp, Campinas, (1997).
Figura 2: Teorema. de Mardsen: As raízes da derivada
de q(z) = (z – z1)(z – z2)(z – z3) são os focos da elipse
tangente aos lados do triângulo de vértices z1, z2, e z3.
[2] J. V.Martín Zorraquino, Francisco Granero Rodriguez, José
Luis Cano Martín, Applications of a New Property of Conics to
Architecture: An Alternative Design Project for Rio de Janeiro
Metropolitan Cathedral, Nexus Network Journal, vol. 3, no. 2,
(2001), www.nexusjournal.com/Mar-Gra-Can.html.