X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
O ENSINO DE CÔNICAS ATRAVÉS DE UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA
UTILIZANDO O SOFTWARE GEOGEBRA
Nayane Carvalho Freitas
Universidade Estadual de Santa Cruz
[email protected]
Jésu Alves Marques Filho
Universidade Estadual de Santa Cruz
[email protected]
Ma. Rosane Leite Funato
Universidade Estadual de Santa Cruz
[email protected]
Resumo: Este mini-curso tem como objetivo contribuir no processo de ensino e
aprendizagem das seções cônicas, aprofundando e ampliando os conhecimentos teóricos
adquiridos por meio da utilização do software GeoGebra. Para que isso seja possível, será
aplicada neste mini-curso partes de uma sequência didática, previamente construída
durante uma pesquisa de iniciação científica, cujo objetivo foi realizar um estudo sobre as
seções cônicas utilizando o software livre GeoGebra. Apoiando-se na Teoria da
Instrumentação proposta por Rabardel (1995) durante a pesquisa foi realizado um estudo
do software supracitado, a fim de destacar suas potencialidades e entraves que podem
intervir no tratamento de problemas geométricos em torno das cônicas.
Palavras-chave: Cônica; GeoGebra; Sequência Didática.
INTRODUÇÃO
Este minicurso visa o estudo e a exploração das seções cônicas com o auxílio do
software GeoGebra para alunos do curso de matemática ou interessados da área que já
cursaram a disciplina Geometria Analítica. Para isso, será proposta a realização de
questões da sequência didática construída durante uma pesquisa de iniciação cientifica,
vinculada ao Grupo de Pesquisa em Ensino e Aprendizagem da Matemática em Ambiente
Computacional – GPEMAC da UESC, como alternativa metodológica para o ensino das
seções cônicas em ambiente computacional, para as instituições de ensino superior, sendo
destacadas, durante a elaboração da mesma, as potencialidades e os entraves do software
GeoGebra. Para fundamentar essa sequência didática, foram realizados estudos dos
seguintes referenciais teóricos: a Engenharia Didática e a Teoria da Instrumentação.
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A Engenharia Didática como metodologia abrange quatro etapas as quais permitem
a concepção de sequência de ensino, são elas: Análise Preliminar, Concepção e Análise a
priori, Experimentação, Análise a posteriori e Validação. Na análise preliminar é feito um
levantamento sobre tudo o que envolve o objeto matemático em estudo; a Concepção e
Análise a Priori consistem na elaboração de sequências didáticas que serão aplicadas na
fase experimental, tomando como base a análise preliminar e o referencial teórico; na
experimentação se aplica a sequência didática; na Análise a Posteriori é efetuada a
compreensão e a interpretação dos resultados obtidos na fase experimental e na Validação
é realizada a confrontação entre os dados obtidos na Análise a Priori e na Análise a
Posteriori, verificando se as hipóteses feitas no início da pesquisa foram confirmadas.
Tendo sido realizadas as Análises Preliminares e a Priori, durante a pesquisa de Iniciação
Científica, este mini curso visa apresentar parte da sequência didática construída na análise
a priori, permitindo que os participantes realizem algumas questões de cada sessão.
A Teoria da Instrumentação, segundo Henriques, Attie e Farias (2007, p.53),
“refere-se à aprendizagem da utilização de ferramentas tecnológicas, onde seu ponto de
partida é a idéia de que uma ferramenta não é, automaticamente um instrumento eficaz e
prático”. Nesse contexto, faz-se necessário distinguir duas palavras bastante empregadas
nessa teoria: ferramenta (artefato) e instrumento. A ferramenta é todo objeto material
utilizado como meio de ação. Porém para que o sujeito possa utilizar essa ferramenta é
necessário que ele aprenda como ela funciona. Esse processo permite que o sujeito elabore
idéias e procedimentos de utilização da ferramenta fazendo com que a mesma evolua para
a condição de instrumento. Como exemplo dessa teoria pode-se citar os computadores e/ou
os softwares, os mesmos serão objetos sem significado ao menos que, aprendendo a sua
utilização possamos aplicar determinadas funções específicas que ajudará no
desenvolvimento de determinada atividade – como, por exemplo, a construção de seções
cônicas com o auxílio do software GeoGebra – tornando-o assim um instrumento útil.
O processo de aprendizagem no qual um artefato torna-se progressivamente um
instrumento é chamado de gêneses instrumental. Neste processo “o sujeito deve
desenvolver competências para identificar problemas dos quais um dado instrumento é
adaptado e, em seguida executá-los por meio desse instrumento”, afirma Henriques, Attie e
Farias (2007, p.53) citando Drijvers.
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Para evidenciar a diversidade de interações que intervêm nas atividades
instrumentais torna-se importante uma análise do modelo SAI (Situações de Atividades
Instrumentais) (Figura 1). Nesse modelo além da interação usual sujeito-objeto {S-O},
outras interações são consideradas, tais como as interações entre o sujeito e o instrumento
{S-i}, o instrumento e o objeto {i-O} e o sujeito e objeto, pela mediação do instrumento
{S(i)-O}. Sendo todas elas inseridas num ambiente de aprendizagem construído pelos três
elementos: sujeito, objeto e instrumento.
(Figura 1)
Assim, como este minicurso visa o estudo e a exploração das seções cônicas com o
auxílio do software GeoGebra, logo, pretende-se uma interação entre o sujeito e o objeto,
pela mediação do instrumento {S(i)-O}, sendo o sujeito os participantes do minicurso, o
objeto as seções cônicas e o instrumento o GeoGebra. Porém, para que essa interação seja
possível é necessário considerar duas dimensões do processo de gêneses instrumental, a
instrumentação que consiste na interação entre o sujeito e o instrumento {S-i} e a
instrumentalização que consiste na interação entre o instrumento e objeto {i-O}. São essas
duas dimensões do processo de gêneses instrumental que descrevem a forma como o
sujeito lida com o objeto através do instrumento, isso porque, a instrumentação permite ao
sujeito construir tarefas e maneiras de resolver essas tarefas visando o uso do instrumento e
a instrumentalização permite verificar se um instrumento é adequado ou não para estudar o
objeto. Dessa forma, para a elaboração da sequência didática a instrumentação permitiu
explorar as ferramentas do GeoGebra a fim de propor problemas que permitissem a
utilização desse software e a instrumentalização permitiu verificar se o GeoGebra é ou não
um instrumento adequado para estudar as cônicas e quais potencialidades e entraves
permitem estudar o respectivo objeto. A partir da realização desses dois processos é que foi
possível propor o estudo e a exploração das seções cônicas com o auxílio do GeoGebra.
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A SEQUÊNCIA DIDÁTICA
Para Henriques:
Uma seqüência didática é um esquema experimental de situações
problemas desenvolvido por sessões de ensino a partir de um estudo
preliminar, caracterizado por objetivos específicos de cada problema,
análise matemática e análise didática relativas às atividades. A análise
matemática destaca as resoluções possíveis, a forma de controle e os
resultados esperados, enquanto a análise didática se preocupa com as
variáveis didáticas, pré-requisitos e competência (Henriques, 2001, p.61).
A elaboração da seqüência didática foi realizada com o auxílio do GeoGebra e a
escolha pelo respectivo software ocorreu devido as potencialidades das ferramentas que
permitem a exploração das seções cônicas e principalmente pela possibilidade de interação
das representações geométricas e analíticas disponibilizadas pelo software.
Criado pelo professor Dr. Markus Hohenwarter na Flórida Atlantic University, em
2001, o GeoGebra é um software livre de matemática dinâmica que reúne geometria,
álgebra e cálculo e esta disponível, em português, no endereço eletrônico
http://www.geogebra.at/. Uma das suas potencialidades é que nele há duas janelas de
visualização: a janela algébrica e a geométrica e cada objeto visualizado na janela
geométrica tem sua representação algébrica mostrado na janela algébrica.
A seqüência didática desenvolvida foi dividida em cinco sessões. Na sessão I foi
estudada a parábola, na sessão II a elipse, na sessão III a hipérbole, na sessão IV as cônicas
não degeneradas e na sessão V as cônicas degeneradas.
A seguir será apresenta uma questão da sessão IV a fim de exemplificar o estudo
que será desenvolvido durante o minicurso.

Sessão IV
Objetivo da sessão: Proporcionar aos alunos a visualização das transformações sofridas
pelas Cônicas não-degeneradas quando se realiza uma rotação e translação de eixos,
permitindo dessa forma uma melhor análise do assunto abordado.
Questão 1: Considerando a equação x² + 3xy + y² -10x -10y + 5 = 0 pede-se:
a) Identificar a Cônica;
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b) Achar o centro (ou o vértice);
c) Calcular a equação Canônica.
Objetivos da questão: Fazer com que os alunos possam identificar uma Cônica a partir de
sua equação geral, achar seu centro ou vértice, calcular sua equação canônica e utilizar das
diversas ferramentas do software GeoGebra que permitem construir as Cônicas não
degeneradas.
Análise Matemática:
a) Uma cônica pode ser identificada como uma elipse, uma hipérbole ou uma parábola,
conforme o valor do discriminante B²  4 AC .
Assim, B²  4 AC  3²  4 11  5 . Portanto como o discriminante é maior que 0 , a
cônica é uma hipérbole.
b) Segundo a ordem das transformações, como B²  4 AC  5  0 primeiramente será
efetuada uma translação e em seguida a rotação. Assim, substituindo as fórmulas de
translação na equação dada, temos:
( x0  x' )²  3( x0  x' )( y 0  y' )  ( y 0  y' )²  10( x0  x' )  10( y 0  y' )  5  0
Fazendo o coeficiente de x' igual a zero, temos que 2 x0  3 y0  10  0 . De modo análogo,
fazendo o coeficiente de y ' igual a zero, resulta que 3x0  2 y0  10  0 . Daí, resolvendo o
sistema, obtêm-se:
2 x0  3 y0  10
 x0  2


3x0  2 y0  10
 y0  2
Portanto, o centro da hipérbole é O'  (2,2) .
Como na translação de O'  (2,2) para O  (0,0) são eliminados os termos do 1º grau,
resulta assim a equação x'²  3x' y' y'²  F '  0 , onde
F '  x0 ²  3x0 y0  10 x0  y0 ²  10 y0  5  F '  15 .
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Portanto, pela translação a equação dada se transforma numa equação do tipo:
x'²  3x' y' y'²  15  0 .
c) Na equação encontrada deve-se eliminar o termo x' y ' , para isso, será aplicada uma
rotação de eixos. Assim, como A  C    45º .
Pelas fórmulas de rotação, temos:

 x'  x' ' cos 45º  y ' ' sen45º 


 y '  x' ' sen45º  y ' ' cos 45º 

2
( x' ' y ' ' )
2
2
( x' ' y ' ' )
2
Substituindo as equações supracitadas na equação encontrada pela translação, temos:
2
2
 2

 2
  2
  2

( x' ' y' ' )  3
( x' ' y' ' )  
( x' ' y' ' )  
( x' ' y' ' )  15  0

 2

 2
  2
  2


x' '² y' '²

 1 (equação canônica da hipérbole).
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Resolução no GeoGebra:
1º Passo: Digite no campo de entrada a equação da cônica dada, em seguida tecle enter.
Tendo identificado a cônica como uma hipérbole, tecle em comando e escolha a opção
centro. Dentro dos colchetes digite a nomenclatura da hipérbole, em seguida tecle enter.
2º Passo: Digite no campo de entrada as coordenadas da origem, em seguida tecle enter.
Na caixa de ferramentas clique no comando vetor definido por dois pontos. Em seguida,
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defina o vetor com origem no centro da hipérbole (ponto A) e extremidade na origem
(ponto B).
3º Passo: Na caixa de ferramentas clique no comando transladar por um vetor. Em
seguida, clique na cônica e no vetor, uma vez que se deseja transladar a cônica a partir do
vetor determinado.
4º Passo: Para uma melhor visualização, clique com o botão direito do mouse sobre
primeira equação da hipérbole na janela algébrica (a hipérbole não transladada), em
seguida escolha a opção exibir objeto. Dessa forma a figura representante da equação não
aparecerá na janela geométrica, permitindo visualizar melhor a figura determinada a partir
da translação.
5º Passo: Para rotacionar a cônica, na caixa de ferramentas escolha a opção girar em torno
de um ponto por um ângulo. Clique na cônica, pois ela é o objeto o qual desejamos que
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sofra a rotação, e no ponto de origem. Defina o ângulo encontrado e escolha o sentido
horário, em seguida clique em aplicar.
6º Passo: Dessa forma, encontramos a equação canônica da hipérbole. Para a melhor
visualização, clique com o botão direito do mouse sobre a equação da hipérbole
transladada na janela algébrica, em seguida escolha a opção exibir objeto, faz-se do mesmo
modo com o vetor determinado e o centro da hipérbole inicial. Dessa forma as figuras
representantes desses elementos não aparecerão na janela geométrica, permitindo
visualizar melhor a equação canônica da hipérbole.
Resultados Esperados: A partir dessa e das demais atividades a serem realizadas durante o
minicurso espera-se contribuir no processo de ensino e aprendizagem das seções cônicas,
aprofundando e ampliando os conhecimentos teóricos adquiridos por meio da utilização da
do ambiente computacional GeoGebra, o qual permite uma interação dinâmica dos
diferentes registros de representações do objeto estudado, algo que não ocorre quando o
aluno desenvolve a mesma atividade apenas com o uso do ambiente papel e lápis e não se
faz presente tão claramente nos livros didáticos.
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REFERÊNCIAS
HENRIQUES, Afonso. Dinâmica dos elementos da Geometria Plana em Ambiente
Computacional Cabri-Géomètre II. Ilhéus: Editus, 2001. 200p.
HENRIQUES, Afonso; ATTIÊ, João Paulo; FARIAS, Luis Márcio. Referenciais teóricos
da didática francesa: uma análise didática visando o estudo de integrais múltiplas com
auxílio do software Maple. Educação Matemática Pesquisa: Revista do Programa de
Estudos Pós-Graduandos em Educação Matemática, v. 9, n. 1, p. 51-81, 2007.
RABARDEL, P. (1995).Les hommes et les technologies: approche cognitive des
instruments contemporains. Paris, Armand Colin Editeur.
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