História da Geometria
Antonio Carlos Brolezzi
IME-USP
www.ime.usp.br/~brolezzi
[email protected]
História dos conceitos geométricos – linha do tempo
China/Japão
Américas
Índia
Árabes
Grécia
Europa
Egito
Roma
Mesopotâmia
3500 aC
1200 aC 700 aC
1
500
1000
1500 2009
História dos conceitos geométricos – linha do tempo
China/Japão
Américas
Índia
Árabes
Grécia
Europa
Egito
Roma
Mesopotâmia
3500 aC
1200 aC 700 aC
1
500
1000
1500 2009
Na matemática, os conceitos
estão interligados.
Qual é a sua definição de
matemática?
Matemática é ciência dos
padrões.
Logo, geometria não é apenas uma área a
parte da matemática.
Sem geometria, não há:
Números
Álgebra
Trigonometria
Funções…
Com qual matemática você
prefere trabalhar?
Competências matemáticas no
ensino de geometria
1.
2.
3.
4.
5.
Experimentar
Conjecturar
Representar
Comunicar
Argumentar
Matemática como ciência
humana: história
Filósofo grego.
Discípulo de Sócrates.
Platão era um apelido que,
provavelmente, fazia
referência à sua
caracteristica física, como
seus ombros largos.
Na Academia de Platão, se
Platão de Atenas dizia a quem entrava:
(428—347 a.C.)
“Quem não souber geometria
não entre aqui”
Espaço sensível e espaço geométrico:
conceitos platônicos
História das idéias
geométricas
Simetrias
SIMETRIAS
Conexões entre geometria,
natureza e arte
•
•
Os três conceitos da simetria:
Translação
•
Reflexão
•
Rotação
Translação
Translação:
Atividades de translação envolvem:
•
•
•
•
•
Sequencias geométricas:
Contagem;
Álgebra;
Arte matemática;
Funções e gráficos: coeficiente linear.
Reflexão
Reflexão:
Atividades de reflexão envolvem:
• Dobraduras;
• Função módulo;
• Funções e gráficos: funções inversas.
Rotação
Centro de rotação
Rotação:
Atividades de rotação envolvem:
• Ângulos, trigonometria;
• Funções e gráficos: coeficientes
angulares.
Letras com Simetria por Reflexão
Simetria Rotacional com menos de
360º
Translação com reflexão
Técnicas de Translação
Simetria por Reflexão
Rotação de 90°
Atividade
Conexões entre geometria,
natureza, arte e arquitetura
•
•
•
Programa Tess
http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec/softw
are/softw.htm
Programa para desenhar com simetrias
Esse programa permite
trabalhar quais competências
matemáticas no ensino de
geometria?
1.
2.
3.
4.
5.
Experimentar
Conjecturar
Representar
Comunicar
Argumentar
Translação Refletida na obra
de M. C. Escher
•
Ver outras obras de Escher, o artista das
simetrias
Maurist Cornelis Escher (1898-1972)
Céu e Água I
Esboço para Répteis
Peixe e Barco
Dia e noite
Queda de água
Desenhando mãos
Faixa de Möebius II
Ciclo
O video arte matemática
mostra exemplos dos
conceitos da simetria.
Sites utilizados:
http://www.tvcultura.com.br/
Artematematica
http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec/
software/softw.htm
Geometria analítica, cônicas
e outras curvas.
Os gregos antigos
estudaram curvas
associadas ao cone
fornecem formas
geométricas muito
interessantes, e a
matemática está
presente na vida e na
natureza.
Podemos enxergar as
cônicas observando o
corte que o plano da
parede faz em um cone
de luz emitido por uma
lanterna.
As cônicas foram
primeiro identificadas
por Menaecmos em
340 aC e depois
estudadas por Apolônio
(262-200 aC).
As cônicas foram
primeiro identificadas
por Menaecmos em
340 aC e depois
estudadas por Apolônio
(262-200 aC).
As cônicas foram
primeiro identificadas
por Menaecmos em
340 aC e depois
estudadas por Apolônio
(262-200 aC).
As cônicas foram
primeiro identificadas
por Menaecmos em
340 aC e depois
estudadas por Apolônio
(262-200 aC).
As cônicas aparecem
nas leis de Kepler
(1571-1630), que
explicam os
movimentos dos
planetas.
As cônicas aparecem
nas leis de Kepler
(1571-1630), que
explicam os
movimentos dos
planetas.
As cônicas aparecem
nas leis de Kepler
(1571-1630), que
explicam os
movimentos dos
planetas.
As cônicas aparecem
nas leis de Kepler
(1571-1630), que
explicam os
movimentos dos
planetas.
As cônicas aparecem
nas leis de Kepler
(1571-1630), que
explicam os
movimentos dos
planetas.
As órbitas dos planetas do
sistema solar são elipses
As cônicas aparecem
nas leis de Kepler
(1571-1630), que
explicam os
movimentos dos
planetas.
As cônicas aparecem
nas leis de Kepler
(1571-1630), que
explicam os
movimentos dos
planetas.
As cônicas aparecem
nas leis de Kepler
(1571-1630), que
explicam os
movimentos dos
planetas.
Agora, vamos construir
as cônicas usando
modelos obtidos por
dobradura.
Agora, vamos construir
as cônicas usando
modelos obtidos por
dobradura.
Agora, vamos construir
as cônicas usando
modelos obtidos por
dobradura.
Agora, vamos construir
as cônicas usando
modelos obtidos por
dobradura.
Agora, vamos construir
as cônicas usando
modelos obtidos por
dobradura.
As cônicas definidas
por lugar geométrico
podem ser construídas
a partir de suas
propriedades básicas,
usando folhas
apropriadas.
Dada uma reta l, chamada
diretriz, e um ponto F que
não está em l, chamado
foco, uma secção cônica é
o lugar geométrico dos
pontos P para os quais a
razão
distância de P a F
distância de P a l
é constante.
Essa constante chamase excentricidade da
cônica (e).
Temos três casos:
0<e<1  elipse
(“falta”)
e=1  parábola
(“comparação”)
e>1  hipérbole
(“excesso”)
PO + PF = 2a
2a = comprimento do fio
OF = 2c
2c = distância focal
PO + PF = 2a
2a = comprimento do fio
a = semi-eixo maior
OF = 2c
2c = distância focal
b2 - a2 = c 2
e = c/a
0<e<1
(excentricidade)
define o tipo da órbita
x2/a2 + y2/b2 = 1
equação reduzida da
elípse
As órbitas dos planetas do
sistema solar são elípses
com excentricidade
pequena
As órbitas dos planetas do
sistema solar são elipses
com excentricidade
pequena
Órbitas dos planetas
externos
As órbitas dos planetas do
sistema solar são elipses
com excentricidade
pequena
Órbitas dos planetas
internos
Vejamos os valores das
excentricidades das órbitas
IPO - PFI = 2a
OF = 2c
b2 + a2 = c 2
e = c/a
e>1
(excentricidade)
x2/a2 - y2/b2 = 1
equação reduzida da
hipérbole
É interessante trabalhar as
cônicas com programas de
geometria dinâmica, como
o gratuito CAR.
Assim, a história da
geometria se inicia com a
geometria dinâmica do
pensamento grego e
termina com a geometria
dinâmica do computador.