X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
ENSINO DAS CÔNICAS MEDIADO POR SUA HISTÓRIA E PELO USO DA
GEOMETRIA DINÂMICA
Agnaldo da Conceição Esquincalha
Fundação CECIERJ/UERJ/UAB
[email protected]
Diogo Tavares Robaina
UniLaSalle/UAB
[email protected]
Marcelo Gomes Rodrigues
UERJ/UAB
[email protected]
Resumo: Neste trabalho, busca-se dar sentido ao termo "fazer matemática", ou seja, tornar
concreto e mais simples, para estudantes e docentes, o caminho: explorar-conjecturardemonstrar; alicerce da construção do conhecimento científico. A partir de uma situaçãoproblema - a forma ausente e extremamente restrita que os livros de ensino médio
apresentam o assunto dos entes cônicos – procura-se um autêntico aprofundamento do
assunto, a fim de fornecer o desenvolvimento de conceitos e novos saberes para docentes e
estudantes. Para a verificação de tais propostas, será apresentada uma metodologia
adequada à prática na sala de informática, utilizando o software Régua e Compasso, bem
como a história das descobertas das cônicas, suas propriedades, fórmulas cartesianas e as
equações correspondentes a essas em coordenadas polares, explorando o vínculo entre os
recursos digitais e o seu uso para o benefício da educação matemática. O intuito é o de
evidenciar as cônicas como lugar geométrico, articulando tal procedimento ao
aprofundamento das particularidades de seus elementos principais, suas propriedades
refletoras e de que maneira elas são aproveitadas pela sociedade, com exemplos em
diversas áreas.
Palavras-chave: Cônicas; Geometria Dinâmica; História da Matemática.
As cônicas e a Ciência
Ao percorrer a história dos avanços científicos, comprova-se de maneira inequívoca
a grande contribuição que os estudos das propriedades das cônicas lhes forneceram. Os
tratados e livros escritos a respeito destacam sua acentuada importância científica. De tudo
o que já foi produzido, é importante destacar que uma das principais características destes
entes são suas propriedades refletoras.
Sato (2004) fala sobre as ondas de rádio, que ao encontrarem uma antena receptora
parabólica, numa direção paralela ao seu eixo, refletirão na direção do foco da parábola.
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Tal fato justifica o porquê das antenas que captam sinais do espaço terem este formato,
pois é necessário, após a captação dos sinais, concentrá-los em único ponto, com a
finalidade de serem tratados adequadamente. O mesmo procedimento se aplica aos raios
luminosos, nos coletores solares. Já nos faróis dos veículos automotivos, o princípio é o
mesmo, mas inversamente. Dessa vez, os raios irradiam do foco e refletem no espelho
parabólico, sendo paralelos entre si, o que possibilita iluminar o espaço a frente do veículo.
No caso das elipses, a onda sonora ou luminosa que irradia do foco refletir-se-á no
outro foco. Sato (2004) explica, ainda, que o domínio desta singularidade da cônica
permitiu a montagem dos refletores que os dentistas utilizam, os quais possuem como
objetivo concentrar o máximo de luz onde se está trabalhando e, ao mesmo tempo, impedir
que a iluminação ofusque a visão do paciente. Os aparelhos usados na radioterapia, que
visam destruir tecidos doentes sem comprometer os tecidos adjacentes a esses, são
formados por espelhos elípticos, que permitem a concentração dos raios em um ponto
determinado. Outra aplicação da elipse, agora na Construção Civil, são as chamadas salas
de sussurros, que são ambientes projetados num formato de parte de um elipsoide, de
modo que existam dois pontos, no qual duas pessoas, uma em cada um destes pontos
(focos da elipse), podem se comunicar em voz sussurrada, inaudível ao restante da sala. As
órbitas dos planetas do sistema solar em torno do Sol são elípticas e a elucidação destas
leis do universo se deve a Kepler.
Como exemplo de aplicação da hipérbole, pode se considerar um espelho refletor
da forma de uma folha do hiperboloide, gerado pela rotação de uma hipérbole em torno de
seu eixo focal, sendo que a parte refletora está do lado externo (parte côncava).
Alguns telescópios, denominados refletores, usam um espelho
hiperbólico secundário, além do refletor parabólico principal, para
redirecionar a luz do foco principal para um ponto mais conveniente. Sua
construção foi proposta por Cassegrain, em 1672. Ela utiliza um segundo
espelho refletor hiperbólico, com seu “foco” coincidindo com o foco do
espelho principal, de formato parabólico, conforme mostra a figura. Seu
objetivo é fazer com que a imagem, após ser refletida, seja formada na
posição do foco da outra folha do hiperboloide. Existem algumas
vantagens na montagem desse tipo de telescópio. O famoso telescópio
ótico, do observatório de Monte Palomar, que fica a 80 Km a noroeste de
San Diego, na Califórnia, utiliza várias montagens do tipo de Cassegrain.
(SATO, 2004, p. 29)
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Como existem muitas aplicações das cônicas no cotidiano comum e científico,
torna-se mais simples para os professores operar exemplos concretos e práticos em sala de
aula, demonstrando para seus alunos as propriedades das cônicas.
O tratamento dos livros didáticos
Os livros didáticos tratam o assunto „cônicas‟ somente na parte de Geometria
Analítica, limitando-se ao uso de fórmulas algébricas. O ente mais conhecido dos
estudantes é a parábola com eixo focal nos x, graças à equação de grau dois. Em relação à
elipse e à hipérbole, o ensino médio limita-se à sua equação canônica. Apenas a
circunferência tem um tratamento maior, e, ainda assim, não como um ente cônico.
Esta incrível ausência de aprofundamento sobre as cônicas torna-se ainda mais
grave pela ausência da disciplina Desenho Geométrico na grade escolar. Na verdade, estes
assuntos que são potencialmente geométricos, são vistos tão somente pela ótica algébrica.
Aspectos como o das propriedades refletoras das cônicas não são estudados e nem
abordados no ensino médio. Neste trabalho, se propõe uma nova abordagem do tema,
aprofundando-o, unindo-o e desenvolvendo novos saberes e conceitos.
Um breve histórico sobre as secções cônicas
Segundo Afonso (2007), atribui-se a Menaecmus (cerca de 350 a.C.) a descoberta
das seções cônicas, ocorrida quando procurava encontrar o valor da aresta de um cubo,
cujo volume fosse o dobro do volume de um cubo dado. Ele elaborou duas soluções para a
questão: uma envolvendo a intersecção de duas parábolas, e a outra, a intersecção de uma
hipérbole e uma parábola.
Assim, tanto a hipérbole quanto a parábola surgem no cenário matemático como
descobertas oriundas dos cálculos de Menaecmus. Conforme Youssef e Fernandes (1993),
a elipse aparece como um subproduto desta descoberta inicial. De acordo com Bowsher
(1992), Menaecmus teria descoberto essas curvas seccionando cones com planos
perpendiculares a uma seção meridiana, cujo ângulo era, respectivamente, agudo, reto ou
obtuso.
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Os nomes das secções cônicas, logo após seu descobrimento, não eram os que hoje
conhecemos. Segundo Boyer (2001), a elipse era chamada de oxytome (uma referência às
secções do cone acutângulo); a hipérbole, amblytome (referência às seções do cone
obtusângulo) e a parábola, orthotome (referência às seções do cone retângulo).
Apesar de todo o avanço efetuado por Menaecmus, é Apolônio de Perga (262-200
a.C.) que registra o maior compêndio explicativo (oito volumes) sobre a geometria das
cônicas. Em seu trabalho, Apolônio obteve todas as secções a partir de uma superfície
cônica reta dupla (com duas folhas) fazendo variar o ângulo segundo o qual o plano
cortaria a secção meridiana. Ele também provou que o cone não precisaria ser reto,
podendo ser oblíquo ou mesmo escaleno. Seus escritos possuíam somente as notações da
geometria regular, sem nenhum uso das notações da geometria analítica.
O uso educacional do computador e a Geometria Dinâmica
Um ambiente devidamente informatizado, e com professores preparados, constituise em uma desejável ferramenta colaborativa para a superação de diversos problemas
ligados ao processo de aprendizagem. Existe a possibilidade de se operar ações sobre os
objetos concretos como também de se fazer a transposição destes para os ambientes que
implementam a informática como recurso tecnológico principal.
De maneira diversa da manipulação concreta (por exemplo, com poliedros
planificados, no qual os alunos recortam e colam), a digital (usando um software de
geometria dinâmica 3D) poderá, em um tempo menor, fornecer aos estudantes resultados
mais precisos e rápidos, incluindo ainda o testar propriedades e condições dos entes
digitalmente montados.
Deve o docente estar apto a extrair o máximo dos recursos computacionais, para
que, de forma equilibrada, atue como mediador deste conhecimento e o promova junto à
turma de alunos, observando com cuidado seu avanço, pois nem todos os alunos estarão no
mesmo nível de entendimento quanto aos meios digitais de ensino.
Dentre as diferentes situações em que a Informática pode contribuir para
o cenário de ensino, sua utilização no contexto de ensino de Matemática é
particularmente motivada por algumas facilidades que a Informática pode
trazer: capacidade computacional, visualização gráfica, cálculos
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algébricos, descoberta e confirmação de propriedades, possibilidades de
executar experimentos com coleta de dados e modelagem de problemas,
especulações, etc.
(BALDIN, 2002, p. 30)
Explicando o que é a Geometria Dinâmica (GD), Bellemain (2001, p. 1314) afirma
que esta “permite considerar e conceber uma representação de objetos matemáticos
abstratos em várias configurações, podendo modificar suas posições relativas”. Desta
forma, destacam-se algumas vantagens de um programa que trabalha com GD:

verificar o provérbio de Confúcio: “o aluno ouve e esquece, vê e se lembra, mas
só compreende quando faz”;

as propriedades da figura após sua construção se mantêm inalteradas. Este
detalhe possibilita que o aluno perceba a diferença entre os elementos que se
alteram e os que não sofrem alterações. Isto é um facilitador para a
compreensão das propriedades da figura;

é um campo de testes para os alunos. A classe pode operar investigações sobre a
construção, testar teoremas e fazer conjecturas sobre seus elementos e suas
propriedades. O docente pode utilizar-se desses recursos para introduzir o
processo de argumentação e dedução;

é possível manter o histórico dos procedimentos efetuados naquela construção,
disponível para ser consultado por outros alunos e professores.
O software Régua e Compasso como ambiente de investigação para estudo de cônicas
O Régua e Compasso (ReC) é um software livre, dedicado ao estudo de Geometria,
que proporciona ferramentas eficientes e amigáveis para o estudo adequado das cônicas.
O ambiente é permeado de recursos e ajudas, que facilitam seu manuseio, e possui
ferramentas que permitem a construção de quaisquer cônicas de maneira rápida e precisa.
Por meio do Princípio da Propriedade Mantida (PPM), que permite a manipulação
das construções, de modo que suas propriedades não se alterem, é possível explorar
questões básicas sobre as cônicas, definindo-as, testando suas propriedades e também
explorar as ferramentas do software, variando as formas dos entes estudados, degenerandoas, além de estabelecer relações destas mudanças com a excentricidade. Somando-se a isto,
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o PPM ainda permitirá o encontro dos lugares geométricos de cada cônica, bem como o
manuseio com as equações particulares de cada uma e a produção de uma geral para todas
elas.
Justificativa e objetivos da abordagem de cônicas por meio do ReC
Mesmo que um aluno do terceiro ano do ensino médio já tenha alguma bagagem
matemática e experiências cotidianas, por meio das quais consegue dar sentido ao
conhecimento formal adquirido na escola, pode ser que não exista um aspecto relevante
com o qual relacione uma nova informação que se pretende apresentar. Por isso, os
primeiros momentos investigativos devem favorecer o despertar desses conhecimentos
prévios, onde a nova informação possa ancorar. O almejado „querer saber‟ do aluno será
muito bem-vindo. Um aluno intrigado com uma situação-problema, não convencido da
regularidade de alguns dados, curioso e ansioso para chegar às conclusões finais, é um
elemento de primordial importância numa investigação em sala de aula/laboratório.
Para que haja sobrevivência e credibilidade no sistema educacional contemporâneo
frente à nova realidade tecnológica, devem ser observadas as novidades que mostram
caminhos na mudança do como ensinar, sendo a flexibilidade do professor de suma
importância. Além disso, a integração/interação entre estudantes e professores, em todos os
níveis, que busquem a motivação e, por consequência, a participação de todos para um
ensino de qualidade, também é fator que deve ser perseguido. Não estagnando no tempo e
alijando-se do moderno, temendo quebrar paradigmas de uma educação sustentada em
tradições, é que se parte para estudar a aplicabilidade do Régua e Compasso para o ensino
de Geometria. A mudança do modelo de ensinar Geometria exige, antes de tudo, uma
avaliação dos novos métodos para a certeza da obtenção dos resultados almejados.
Um detalhe relevante nesta apresentação das cônicas é a questão do movimento.
Uma vez que o software permite a movimentação e o trilhar dos pontos, a turma poderá
fazer uso dessas possibilidades para comprovar realidades dos entes em estudo, fato este
que não seria possível utilizando páginas de livro, giz e lousa.
Para proceder às avaliações, que além de serem efetuadas durante todo o processo
de investigação, também serão feitas no fim dos trabalhos, aplicar-se-á uma interessante
ferramenta do software, que é a gravação de exercícios. Depois de gravados, os mesmos
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poderão ser exportados no formato html e disponibilizados na Internet, servindo como
objetos virtuais de aprendizagem.
Com base em Ponte, Brocardo e Oliveira (2003, p. 21), serão considerados quatro
momentos na realização do mini-curso, por meio de atividades de investigação:
I. Exploração e formulação de questões
a) Despertar no aprendiz conhecimentos prévios relevantes ao estudo investigado;
b) Reconhecer a situação-problema;
c) Familiarizar-se com a situação-problema;
d) Formular questões referentes à situação-problema.
II. Organização de dados
e) Organizar os dados obtidos na atividade;
f)
Formular conjecturas com base nos dados obtidos.
III. Testes e reformulação
g) Testar a conjectura mais provável (usando o PPM no ReC);
h) Eventualmente, reformular a conjectura para novo teste.
IV. Justificação, exposição e conclusão
i)
Justificar uma conjectura de consenso num grupo de participantes;
j)
Expor aos colegas de outros grupos o resultado obtido;
k) Construir o resultado final em consenso com todos os grupos.
V. Avaliação
l)
Preenchimento de guias de atividades;
m) Exposição dos resultados do grupo, em cada etapa do trabalho;
n) Procedimentos desenvolvidos durante as atividades em grupo.
E os objetivos a serem alcançados são:

Mostrar que todas as cônicas podem ser obtidas a partir de uma equação geral;

Relacionar as variações das formas e dos focos com a excentricidade;

Estudar os valores das excentricidades e as degenerações das cônicas;

Trabalhar a noção de distância e as propriedades dos lugares geométricos;

Fazer a introdução de coordenadas polares para o estudo no ReC (por
parametrizações);
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
Investigar as propriedades das cônicas em produtos e construções usando a
Geometria Dinâmica como laboratório para os testes;

Associar o estudo das cônicas ao uso de elementos do cotidiano dos estudantes;

Descobrir por meio de testes, utilizando o Princípio da Propriedade Mantida,
relações no uso das propriedades do binômio foco-diretriz dos entes cônicos.
Considerações finais
Através da abordagem dos conceitos relacionados às cônicas por meio de sua
história e do uso do ReC, acredita-se que será possível despertar maior interesse do
participante para este tema, possibilitando, inclusive, uma aprendizagem mais significativa.
Além disso, será possível uma abordagem muito mais dinâmica e meticulosa daquela que é
apresentada normalmente nos livros didáticos e em sala de aula.
Trabalhando com o software Régua e Compasso, espera-se concluir que a
apresentação das cônicas mediante a execução de movimentos e o uso de rastreio com
pontos trilháveis fornece ao participante novos saberes, e pode desenvolver excelentes
potencialidades de exploração. Com o aprofundamento das atividades, espera-se
igualmente concluir que a Geometria Dinâmica é uma poderosa ferramenta para
investigações em Geometria, permitindo que a construção do conhecimento se dê de
maneira mais rápida e interativa.
Referências
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Monografia (Graduação – Licenciatura em Matemática) – Centro Federal de Educação
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L. C. (Org.). História e Tecnologia no Ensino da Matemática. Rio de Janeiro: IMEUERJ, 2002. p. 29-38.
BELLEMAIN F. Geometria dinâmica: diferentes implementações, papel da manipulação
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ENGINEERING FOR ARTS AND DESIGN, 4., 2001, São Paulo. Anais... São Paulo:
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Acesso
10/03/2010.
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