M ATEMÁTICA
As secções cônicas e suas aplicações
Fábio Silva Melo
Pesquisador
Maria Elisa Esteves Lopes Galvão
Orientador
Resumo
Desde a antiguidade as secções cônicas despertam o interesse dos matemáticos. Entre os geômetras gregos, na busca pela
resolução do clássico problema da duplicação do cubo, destacamos Menaecmo, que exibiu um método de obtenção dessas
curvas seccionando um cone por um plano perpendicular a sua geratriz. Conforme o ângulo do cone fosse agudo, reto ou
obtuso, obtinham-se as curvas que hoje conhecemos por elipse, parábola e hipérbole. No decorrer dos séculos as cônicas
foram objeto de estudo dos matemáticos e cientistas. O astrônomo Kepler formulou as três leis do movimento planetário,
onde, pela primeira vez, é dito que os planetas têm órbitas elípticas, um belo exemplo de identificação das curvas com as
formas da natureza. O estudo das cônicas se justifica não apenas pelo lado histórico, mas também pela aplicação em
diversas áreas da tecnologia, construção civil e Física. O trabalho se desenvolveu através de pesquisa bibliográfica em
livros, revistas especializadas e Internet, bem como construção de modelos concretos para uso didático. O estudo abriu
novos horizontes para uma abordagem de melhor qualidade, mais motivadora e objetiva do que se pode fazer numa sala
de aula.
Palavras- chave: Cônicas. Elipse. Geometria. Parábola. Hipérbole. Secções cônicas.
Abstract
Since Antiquity, conic sections have caught the interest of mathematicians. Among the Greek geometers, on the search of
the solution of the classic problems of the duplication of the cube, it is important to note the importance of the works of
Menaecmo, who developed a method to obtain these curves by sectioning a cone by a plan perpendicular to its geratrix.
According to the angle of the cone (acute, straight, or obtuse), the curves known today as ellipsis, parabola, and hyperbole
were obtained. Through the centuries, conics have been the object of study of mathematicians and scientists. The astronomer
Kepler formulated the three laws of the planets´ movement, where, for the first time, it was said that the planets have
elliptical orbits - a nice example of identification of the curves with Nature’s shapes. The study of conics does not justify
itself only by its historic side, but also by its application in various areas of technology, civil construction, and Physics. The
study was developed through bibliographic research on books, specialized magazines, and on the Internet, as well as
through the construction of concrete models for didactical use. The study opened new horizons to an approach with better
quality, more motivating and straightforward than it may be done inside the classroom.
Key- words: Conics. Conics sections. Ellipse. Geometry. Parabola. Hyperbola.
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Fábio Silva Melo
Primeiramente podemosnosperguntar: “Oque é uma
um cone por um plano perpendicular a uma geratriz.
secção cônica?” Secção cônica é uma curva que pode
Conforme o ângulo do cone fosse agudo, reto ou obtuso,
ser obtida seccionando um cone de revolução por um
obti nha- se a el i pse, parábol a e hi pérbol e,
plano, a exemplo da figura abaixo. Se o plano secante
respectivamente. Entretanto, até então se trabalhava com
não passa pelo vértice do cone, então temosuma família
o cone de uma folha.
de curvas que chamamos de cônicas não degeneradas,
que são a elipse, a parábola e a hipérbole.
Opovo da ilha de Delos, sudeste da Grécia, por volta
do século V a.C. foi assolado por uma epidemia que
dizimava sua população. Então, peloscostumesreligiosos
da época, consultaram um oráculo e foram informados
por Zeus que deveriam duplicar o altar de Apolo em
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Delfos, na costa do Golfo de Corinto. O formato cúbico
Ainda da Grécia antiga não podemos deixar de
do altar levou muitos geômetras a uma busca pelo então
mencionar Apolônio de Pérgamo (século III a.C.). Seu
formado problema da duplicação do cubo, que junto
trabalho foi de tal profundidade que marcou uma
com o problema da trissecção do ângulo e quadratura
revolução no conhecimento dascônicas. Osnomes pelos
do círculo, foram os mais conhecidos problemas da
quais as conhecemos hoje são de sua atribuição. Pelo
antigüidade clássica.
foco da curva e perpendicular ao eixo focal há o latus
O primeiro passo foi dado por Hipócrates de Chios
(século V a.C.) que reduziu o problema na solução da
rectum, segmento particular de cada curva. Em cada
ponto, se considerarmos um retângulo com essa altura,
a x
y
 
. Tal proporção nos leva a
x y 2a
na medida onde retângulo intercepta a curva, faz-se um
encontrar x 3  2a 3  x  a 3 2 , tarefa difícil para
ou superior à área do quadrado, temos a elleipsis, a
os matemáticos gregos que dispunham apenas de régua
parabole e a hyperbole, que significam “falta”,
não graduada e compasso, e mostrando-se possível
“igualdade” e “excesso”.
proporção
apenas no século XIX.
A Menaecmo (por volta do século IV a.C.) coube o
mérito de obter uma descrição para a solução quando
fez a intersecção de duas parábolas da forma (na grafia
atual) x 2  ay e y 2  2ax , onde a intersecção ocorre

3
3

no ponto a 2, a 4 . Também a ele cabe a menção
de ter alcançado uma maneira de obter essas curvas na
secção de um cone. Para isso, considerava a secção de
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quadrado; conforme a área do retângulo é menor, igual
As secções cônicas e suas aplicações
Apolônio introduziu o cone de duas folhas gerado
r0 é o raio inicial, ou seja, para 
pel o conj unto de retas que passam por uma
circunferência e um ponto fora do ponto desta; assim,
obteve a hipérbole com dois ramos da maneira que
conhecemos hoje. O trabalho de Apolônio foi editado
numa obra inti tul ada “As Côni cas”, composta
originalmente em oito volumes, dos quais o último se
perdeu. No século XVIII Edmund Halley fez uma
tradução dos sete exemplares existentes.
2ª Lei ou lei das áreas: O raio vetor que une o Sol a
qualquer planeta varre áreas iguais em intervalos de
tempos iguais; o planeta ao passar próximo do Sol
Pappus de Alexandria (século IV d.C.) foi o último
geômetra da antiguidade que contribuiu efetivamente
desenvolveuma velocidademaior queestando longedele.
para o estudo das cônicas, demonstrando a propriedade
foco-diretriz, equivalente às secçõesfeitaspor Apolônio.
Sendo P um ponto da curva, r sua diretriz e a razão
d  P, F 
d  P, r 
 e podemos formular:
na elipse ocorre 0 < e < 1, na parábola e = 1 e na
hipérbole e > 1 . Definir as cônicas como lugares
geométricos no plano com essa propriedade, equivale a
obter a secção de um cone por um plano que intercepta
todas as suas geratrizes, ou que seja paralelo a uma
delas ou que intercepte as duas folhas do cone.
No século XVII, Johannes Kepler (1571 a 1630)
descobriu e enunciou as três leis do movimento
planetário:
3ª Lei ou lei dos períodos: O quadrado do período
de revolução de um planeta é proporcional ao semieixo maior de sua órbita, ou
3
T 2 4 3
2
3 4


T

a

a 3 GM
GM
onde T é o período (tempo para uma revolução completa
ao redor do Sol), a é a medida do semi-eixo maior da
elipse, G = 6,6726 . 10-11 N . m2 . kg-2 é a constante de
gravitação universal e M = 1,99 . 1030 kg a massa do
Sol. A princípio Kepler entristeceu-se ao descobrir que
1ª Lei ou lei das órbitas: Todos os planetas
a órbita da Terra era elíptica e não circular como se
descrevem órbitas elípticas em torno do Sol e este ocupa
acreditou por muito tempo, e também pelo lado religioso,
um dosfocos. Ao deduzir-se essa lei chegamosà equação
polar da elipse:
r   
1  e  r0
1  e cos 
pois na época acreditava-se que as construções de Deus
eram perfeitas, tendo em vista que a elipse não era
considerada uma curva perfeita.
sendo que r é a r distância do planeta ao Sol em função
Podemos dizer que Kepler reviveu o assunto das
do ângulo , que chamamos de raio vetor; ´e` é a
cônicas, e depois dele muitos outros geômetras
excentricidade, em particular, da Terra é e = 0,016637,
estudaram-nas, particularmente quando do surgimento
ou seja, a órbita da Terra é “quase” uma circunferência,
da Geometria Projetiva, com a qual é possível dar um
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outro enfoque a essascurvas. Podemosdestacar o francês
CharlesJ. Brianchon (1785 a1864), autor do célebreteorema
queleva seu nome: asdiagonaisdeum hexágono (podeser
estendido ao triângulo, quadrado epentágono) circunscrito
a uma cônica são concorrentesnum ponto, chamado ponto
deBrianchon. Não só Brianchon, maspodemoscitar muitos
outros e muitas obras escritas sobre o assunto do século
XVI em diante. Entreeles, BlaisePascal, Girárd Desarguese
RenéDescartes.
Dada uma reta r , chamada de diretriz, e um ponto F,
que chamamos de foco, de modo que F r, a parábola
pode ser entendida como o conjunto dos pontos do
plano que eqüidistam do ponto e da reta. Colocando o
ponto médio entre F e r, o vértice da parábola, sobre a
origem de um sistema de eixos e abaixo do eixo dos x
a diretriz, a equação reduzida da parábola fica
x2 = 4py , onde 2p é a distância do foco à diretriz.
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Asdefiniçõese os principais elementosdessascurvas
podem hoje ser dadas mais facilmente, recorrendo à
Geometria Analítica Plana, que foi criada por Descartes
e Fermat, motivadosexatamente por problemase técnicas
contidas no trabalho de Apolônio.
Dados dois pontos distintos, F1 e F2, que chamamos
de focos, a elipse pode ser entendida como o conjunto
dos pontos do plano cuja soma das distâncias a esses
focos é uma constante 2a, isto é, PF1 + PF2 = 2a.
O ponto médio do segmento F1F2, o centro da elipse,
é tomado como a origem de um sistema coordenado
e ao longo do eixo dos x colocamos esse mesmo
segmento. A equação reduzi da da el i pse f i ca
2
2
x
y
 2  1 , onde a é a medida do semi-eixo maior
2
a
b
e b é a medida do semi-eixo menor. Ovalor da constante
c é dado por a2 = b2 + c2. A elipse tem duas retas diretrizes
a2
de equação x  
.
c
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Dados dois pontos distintos F1 e F2, que obviamente
serão chamadosde focos, a hipérbole pode ser entendida
como o conjunto de pontos do plano cuja diferença em
módulo é uma constante 2a, ou seja, PF1 - PF2 = 2a.
Do mesmo modo que fizemos na elipse, colocando a
hipérbole sobre o plano ordenado, coincidindo seu
centro com o centro deste, sua equação reduzida fica
x 2 _ y2
a
2
=1
b
2
A medida a é a do semi-eixo transverso, b é a medida
do semi-eixo imaginário e c pode ser obtida por
c2 = a2 + b2. Familiarizados com os principais termos
As secções cônicas e suas aplicações
dessas curvas, já podemos dar um tratamento mais
quando trocamos a circunferência pela esfera. Sendo
técnico e compreender suas múltiplas aplicações.
assim, temos PF1  PV1 pois são tangentes a E1 por P;
do mesmo modo PF2  PV2 pois são tangentes a E2 por
P. Assim, a propriedade métrica pode ser escrita como
PV1 + PV2 = PF1 + PF2 = V1V2, como o segmento V1V2 é
de comprimento constante, podemos determinar que
V1V2 = 2a, logo, PF1 + PF2 = 2a.
Outro personagem importante foi o belga Germinal
Pierre Dandelin (1794 a 1847) que, juntamente com
Lambert Adolphe Jacques Quételet (belga, 1796 a 1874),
demonstrou, de uma forma bastante interessante, a
propriedade métrica das cônicas como a secção de um
cone circular reto. O trabalho desse matemático ficou
conhecido por três denominações: “teorema de
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Dandelin”, “teoremas belgas” e “esferas de Dandelin”
devido à inserção destas no cone. Demonstraremos esses
resultados em linhas bem gerais.
Fazendo a secção no cone de modo que o plano
secante intercepte todas as geratrizes do cone, a curva
de  da intersecção obtida é uma elipse. Inserimos as
esferas E1 e E2 n semi-planos superior e inferior
determi nado pel o pl ano secante. Essas esf eras
tangenciam o plano secante nos pontos F1 e F2 (focos).
Sejam C1 e C2 ascircunferênciasde tangência das esferas
E1 e E2, respectivamente, com o cone, conforme a figura
9. Tomamos um ponto P qualquer da curva e
por ele traçamos a geratriz PV (V é o vértice). Sejam
V1 = C1  PV e V2 = C2  PV. Da geometria plana
sabemos que doi s segmentos tangentes a uma
circunferência por um ponto fora dela são congruentes,
sendo o mesmo válido para a Geometria Espacial,
Tomamos um plano que contenha uma geratriz do
cone. Qualquer plano paralelo e não coincidente a este
tem na secção uma curva  queé uma parábola. Inserimos
a esfera E que tangencia o cone segundo a circunferência
G e o plano secante no ponto F. Escolhemos um ponto
suur
P sobre a curva e traçamos a geratriz PV . S e j a
M = PV  G. A reta r, diretriz da curva, é dada pela
intersecção do plano que contém a diretriz G e o plano
de secção. Pela mesma propriedade citada acima, temos
PM  PF  IS. Provando que PF1  PL1, onde PL1 é a
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distância de P a r, provamos a propriedade métrica da
sobre a curva (independe do ponto), então podemos
parábola. Sejam N = s  VB e S = s T .Como t // VB,
est abel ecer V 1 V 2 = 2a e conseqüent ement e,
a figura BNSI é um paralelogramo, logo, BN // SI. Como
PF1 - PF2 = 2a. Está demonstrada a propriedade métrica
MP  PF  BN  IS  PL  PF, portanto, a curva é uma
da hipérbole.
parábola.
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Para obtermos a hipérbole, o plano deve seccionar
as duas folhas de um cone de vértice V. No cone
inserimos as esferas E1 e E2, que tangenciam o cone
segundo as circunferências C1 e C2, respectivamente; e
também, tangenciam o plano secante em F1 e F2 (focos).
Escolhemos um ponto P da curva e por ele
Aplicaçõesmuito importantes dessascurvasocorrem
na tecnologia. Quando nos deparamos com antenas
paraból icas, telescópi os e “salões ovais” temos
traçamos a geratriz PV. Sejam V1 = C1  PV e
aplicações diretas da propriedade refletora das cônicas.
V2 = C2  PV. Usando a mesma propriedade já
Numa elipse, os raios luminosos ou sonoros que saem
citada, temos PV1 PF1, pois são tangentes a E1 por P;
de um dos focos, ao incidirem na superfície elíptica
analogamente, PV2  PF2, tangentes a E2 por P. A
interna, são refletidos para o outro foco. Numa parábola
propriedade métrica da hipérbole pode ser escrita da
os raios que incidem sobre um espelho ou superfície no
forma PF1 - PF2 = PV1 - PV2 = V1V2, como o segmento
formato parabólico, desde que paralelos ao eixo da
V1V2 tem tamanho fixo para qualquer ponto tomado
curva, são refletidos para o foco; do mesmo modo, os
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raios enviados do foco, ao incidirem sobre a curva, são
os raios que incidem (“externamente”) sobre a superfície
refletidos paralelamente ao eixo. Numa hipérbole os
na direção de um foco, são desviados e vão para o
rai os emi tidos de um dos focos, ao i nci di rem
outro foco. Para demonstração desses fatos, podemos
(“internamente”) sobre a superfície hiperbólica, são
usar as equações paramétricas das cônicas ou mesmo a
refletidos como se tivessem partido do outro foco; ou,
Geometria Plana.
Temos ainda vários outros métodos de construção
das cônicas. Em analogia com o papel quadriculado,
podemos elaborar um “papel circulado”; ou seja,
marcam-se dois pontos, F1 e F2, na folha e desenham-se
mesma maneira, àquelas centralizadas em F2 chamemos
de £
2, jh
para j= 2, 3, ... .
Escolheremos pontos de intersecção da maneira
para   i , j  :  i  j  h  1 1 h
circunferências concêntricas de modo que a diferença
P  £ 1,ih  £
do raio de uma para outra seja uma constante h
pois2a = 11h. Note-se que para cada intersecção teremos
h¡
2, jh
dois pontos a serem marcados. Estes são pontos de uma
*

Com 2c = 7h, col oquemos ci rcunf erênci as
elipse.
centralizadas ora em F1 ora em F2, cujos raios vão se
Procedendo assim, teremos os pontos de uma elipse.
abrindo de h, ou seja, o raio da mais externa é maior
Tal afirmação é verdadeira pois a soma das distâncias
em h unidades. Nomeemos as circunferências de
de P a F1 e de P a F2 é sempre constante igual a 11h, o
centro em F1 de
que confere com a definição métrica da elipse.
circunferência tem
£ 1,ih
para i = 2, 3, ...; assim, a
£ 1,2h centro em F1 e raio 2h. Da
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Façamos a distância entre F1 e F2 valer 2c. Traçamos
os pont os de i ntersecção de modo que
P  £ 1,ih  £
2, jh
para
  i , j  : i  j h  2h ,
pois agora fazemos 2a = 2h. Da mesma maneira, para
cada intersecção teremos um par de pontos.
A curva obtida nesse processo é uma hipérbole pois
a diferença entre as distâncias de P a F1 e de P a F2 é
sempre constante igual a 2h, o que confere com a
definição métrica da hipérbole. Por exemplo, um ponto
dado por £ 1,3 h  £
2,5 h
é de uma hipérbole pois
Tracemos pontos de intersecção da manei ra
PF1  PF2  5h  3h  2h .
P£
Para a construção da parábola devemos proceder
ih
 s jh para   i, j  : i  j e, mais uma vez,
percebamos que haverá sempre dois pontos a serem
de uma maneira diferente na construção do papel
marcadosa cada intersecção, pois, com exceção de £
circulado. Escolhemos no plano uma reta r e fora dela
e s2h que são tangentes, os demais pares são secantes.
2h
um ponto F, que serão, respectivamente, a diretriz e o
foco da curva. Seja h  ¡
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*
,
com o qual faremos o
parâmetro da curva valer 2h = p. Centralizadas em F,
desenhamos uma família de circunferências £
ih
, onde
i = 2, 3, ... indica quantas vezes h é o raio da
circunferência. Restringimos o índice i para os inteiros
maioresque 2 poisa primeira circunferência tangenciará
a curva no vértice que dista 2h do foco. Paralelas à
Pela definição métrica dessa curva, que é o conjunto
diretriz, traçaremos uma família de retas sjh para
de pontos do plano que eqüidistam de uma reta e de um
j = 2, 3, ...; assim, a reta s3h é a reta paralela à diretriz e
ponto fora dela, verificamosque a curva assim produzida
que dista 3h. Restringimos os valores do índice j para
é de fato uma parábola.
os inteiros maiores que 2 pois a reta mais próxima da
diretriz deve distar de si 2h , pois tangenciará a curva
no vértice.
Podemos obter uma elipse também com a seguinte
construção: traçamos duas retas paralelas e marcamos
pontos simetricamente, em cada uma, nos valores
inteiros de -10 a 10. Em seguida, basta ligar essas retas
de modo que o valor em uma delas seja o inverso na
outra, isto é, ligar os valores x com 1
.
x
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Para a parábola podemos construí-la traçando dois
segmentos de retas concorrentes e marcando sobre eles
pontos a uma mesma distância. Em cada um deles
numeramos os pontos de 1 a 10, sendo o primeiro o
mais próximo do ponto de concorrência. Ligando um
ponto de um segmento com um ponto do outro, da
Ainda sobre a mesma cônica, a seguinte construção
também resulta na elipse: façamos um retângulo ABCD
forma 1  10, 2 10 , obtemos uma
parábola envolta por suas tangentes.
de altura AD = a e largura DC = 2a (a largura é o dobro
da altura). Traçamos os segmentos que dividem o
retângulo original em quatro retângulos menores de
a  a 2 , isto é, um segmento ST paralelo à base (de
medida 2a) na altura (ordenada) a e um segmento VW
paralelo a AD distante de a, conforme a figura 20.
Dividiremos AD e BC em oito segmentos congruentes.
Omesmo faremos a ST. Considerando ST como o “marco
zero”, adotamos a cada um dos quatro pontos de AS e
SD os valores 1’, 2’ e 3’, idem para o lado BC.
Centralizamos ST sobre o eixo dos x de um sistema
coordenado, de modo que ST  VW = O seja a origem
desse sistema. Então, aos quatro segmentos de SO e OT
marquemos valores 1, 2 e 3. Teremos pontos da elipse
pela intersecção de segmentos determinados da seguinte
maneira: que partem de W e passam por 1 de SO e que
partem de V e passam por 1’de AS, assim para os demais
valores; para o lado direito, segmentos que partem de
W e passam por 1 de OT e que partem de V e passam
por 1’de BT. O ponto em que cada par de segmentos
nessas configurações se cruza pertence à elipse de
equação
reduzi da
:
x2
y2

a2
a
2
 
2
1
ou
 x2 + 4y2 = a2. Podemos generalizar os pontos de
Muitos de nós já vimos nos livros de Gramática os
termoselipse, parábola e hipérbole. Segundo a Gramática
são figuras de linguagem. Porém, a Matemática as
considera como curvas. Será que há alguma ligação?
Antes de entrarmos nesses detalhes, teremos que
compreender o conceito do Latus Rectum de uma cônica.
Tal segmento é perpendicular ao eixo de simetria da
curva e passa pelo foco. Desenvolvendo os cálculos
analiticamente, concluímos que na elipse e na hipérbole
mede
2b 2
e na parábola 4p. Coloquemos esse
a
segmento sobre o vértice da cônica e construímos um
retângulo a uma largura qualquer. O ponto em que a
aresta interceptar a cônica dará o comprimento do lado
do quadrado que devemos fazer, conforme a figura 22.
Seja AQ a área do quadrado e AR a do retângulo.
intersecção da forma P = WJ VJ’, com J = 1, 2, 3 e
J’ = 1’, 2’, 3’.
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e que é facilmente identificado” (PASCHOALIN, 1989,
p. 365). Analisando a parábola, conclui-se que em
AQ = A R, há igualdade das áreas; pela Gramática:
“Narração alegórica na qual o conjunto de elementos
evoca, por comparação (igualdade), outras realidades
de ordem superior” (FERREIRA, 1988, p. 481). Por último,
na hipérbole ocorre AQ > AR, ou seja, há excesso de
áreas comparando o quadrado e o retângulo; analisando
a Gramática: “Figura que através do exagero (excesso)
procura tornar mai s expressi va uma i déi a”
(PASCHOALIN, 1989, p. 363).
Muitassão asatividadesque podem ser desenvolvidas
com alunos do Ensino Médio no que se refere ao assunto
das secções cônicas. Certamente, maior será a satisfação
de uma classe quando os alunos perceberem que o
conteúdo dos livros e as “enfadonhas” aulas de
Matemática podem estar presentes em suas vidas, na
130
natureza ou na tecnologia. Novas formas de abordar
um conteúdo, diferente de “aulas régias”, resultam em
maior participação aos alunos. Certamente, uma
contribuição generosa ao futuro docente da Matemática.
No que se refere à atividade de pesquisa, de iniciação
É possível calcular as diferenças entre as áreas AQ e
AR. Para a elipse chegaremos à conclusão de que
científica precisamente, temos certeza de que foi uma
at i vi dade
i nt el ect ual mente
grat i f i cante
e
profissionalmente compensadora, pela experiência
AQ < AR, ou seja, há falta de área no quadrado em
proporcionada. Pois pesquisar, tentar compreender os
relação ao retângulo; segundo a Gramática, eis a
detalhes de cada teori a, escrever os resultados
definição de elipse: “Ocorre quando há o ocultamento
encontradostrazem um novo conceito de aprendizagem:
(falta) de um termo, que fica subentendido pelo contexto
a aprendizagem independente.
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Referências
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