CONE
É uma figura espacial obtida pela rotação de
um triângulo retângulo em torno de um de seus
eixos.

CUNHA ESFÉRICA
É o sólido limitado por dois semicírculos e pela
superfície do fuso.
• Volume da cunha:
4. .r 3
3
  Cunha(c)
360 
h = altura, r =-raio e g = geratriz
GEOMETRIA PLANA DA PLANIFICAÇÃO:
OBS: Ao cortarmos a laranja
em pequenos “gomos”, a casca
de um desses “gomos” é o
fuso (superfície), enquanto que o “gomo” todo é a
cunha. Normalmente esses conceitos são trabalhados
com base no ângulo de corte do “gomo” conforme
mostrado na figura.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
01. (Ufscar ) Em uma lanchonete, um casal de
namorados resolve dividir uma taça de milk shake com
as dimensões mostradas no desenho.
ÁREA DA BASE: A  R
ÁREA LATERAL: A  Rg
2
a) Sabendo-se que a taça
estava totalmente cheia e
que eles beberam todo o
milk shake, calcule qual foi o
volume, em mL, ingerido
pelo casal. Adote π = 3.
AT  AB  AL
AB .H
VOLUME: V 
3
ÁREA TOTAL:
ESFERA
É o conjunto de todos os pontos do espaço
cujas distâncias ao ponto O são menores ou iguais a R.
O conjunto de todos os pontos P do espaço
cujas distâncias ao ponto O são iguais a R é
denominado superfície esférica de centro O e raio R.
FUSO ESFÉRICO
É a parte da superfície
esférica compreendida entre
dois semicírculos máximos com
o mesmo diâmetro.
•
Área do fuso esférico
360  4. .r 2
  Fuso( f )
b) Se um deles beber
sozinho até a metade da
altura do copo, quanto do
porcentagem, terá bebido.
volume
total,
em
02. (Faap) Um copo de chope é um cone (oco), cuja
altura é o dobro do diâmetro. Se uma pessoa bebe
desde que o copo está cheio até o nível da bebida fica
exatamente na metade da altura do copo, a fração do
volume total que deixou de ser consumida é:
(A) 3/4
(B) 1/2
(C) 2/3
(D) 3/8
(E) 1/8
03. (Uepa 2012) A ideologia dominante também se
manifesta por intermédio do acesso aos produtos do
mercado, sobretudo daqueles caracterizados por
tecnologias de ponta. O “Cubo Magnético” é um
brinquedo constituído por 216 esferas iguais e
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EXCELÊNCIA NO ENSINO DA MATEMÁTICA
imantadas. Supondo que esse brinquedo possa ser
colocado perfeitamente ajustado dentro de uma caixa,
também no formato de um cubo, com aresta igual a
30 mm, a razão entre o volume total das esferas que
07. Um torneiro mecânico construiu uma peça
retirando, de um cilindro metálico maciço, uma forma
cônica, de acordo com a figura 01 a seguir:
Considere π = 3
constituem o “Cubo Magnético” e o volume da caixa
que lhe serve de depósito é:
(A) π/6
(B) π/5
(C) π/4
(D) π/3
(E) π/2
04. (Cesgranrio ) Um tanque cônico, de eixo vertical e
vértice para baixo, tem água até a metade de sua
altura. Se a capacidade do tanque é de 1200ℓ, então a
quantidade de água nele existente é de:
(A) 600 L.
(B) 450 L
(C) 300 L
(D) 200 L
(E) 150 L
05. (Unesp 2014) Prato da culinária japonesa, o temaki
é um tipo de sushi na forma de cone, enrolado
externamente com nori, uma espécie de folha feita a
partir de algas marinhas, e recheado com arroz, peixe
cru, ovas de peixe, vegetais e uma pasta de maionese e
cebolinha.
Um
temaki
típico
pode
ser
representado
matematicamente por um cone circular reto em que o
diâmetro da base mede 8 cm e a altura 10 cm.
Sabendo-se que, em um temaki típico de salmão, o
peixe corresponde a 90% da massa do seu recheio, que
3
a densidade do salmão é de 0,35 g/cm , e tomando
π  3, a quantidade aproximada de salmão, em
gramas, nesse temaki, é de:
(A) 46.
(B) 58.
(C) 54.
(D) 50.
(E) 62.
06. (Uemg 2014) Uma empresa deseja fabricar uma
peça maciça cujo formato é um sólido de revolução
obtido pela rotação de um trapézio isósceles em torno
da base menor, como mostra a figura a seguir. As
dimensões do trapézio são: base maior igual a 15 cm,
base menor igual a 7 cm e altura do trapézio igual a 3
cm.
Considerando-se π  3, o volume, em litros, da peça
fabricada corresponde a
(A) 0,212.
(B) 0,333.
(C) 0,478.
(D) 0,536.
(E) 0,658
Qual é o volume aproximado da peça em milímetros
cúbicos?
5
(A) 2,16 x 10
4
(B) 7,2 x 10
5
(C) 2,8 x x10
4
(D) 8,32 x 10
5
(E) 3,14 x 10
08. (Cefet MG 2014) Um artesão resolveu fabricar uma
ampulheta de volume total V constituída de uma
semiesfera de raio 4 cm e de um cone reto, com raio e
altura 4 cm, comunicando-se pelo vértice do cone, de
acordo com a figura abaixo.
Para seu funcionamento, o artesão depositará na
ampulheta areia que corresponda a 25% de V. Portanto
3
o volume de areia, em cm , é
(A) 16π
(B) 64 π/3
(C) 32 π
(D)128 π/3
(E) 64 π
09. (Ufg 2013) Um chapeuzinho, distribuído em uma
festa, tem a forma de um cone circular reto e, quando
planificado, fornece um semicírculo com 10 cm de raio.
Para o cone, que representa o formato do
chapeuzinho,
(A) o raio da base é 10 cm.
2
(B) a área da base é 50π cm .
2
(C) a área lateral é 25π cm .
(D) a geratriz mede 5 cm.
3
(E) o volume é 125 3 π/3 cm
10. (Uern 2012) A figura representa um sorvete de
casquinha, no qual todo o volume interno está
preenchido por sorvete e a parte externa apresenta um
volume de meia bola de sorvete.
Considerando que o cone tem 12 cm de altura e raio 6
cm, então o volume total de sorvete é
3
(A) 216π cm
3
(B) 264π cm
3
(C) 288π cm
3
(D)292π cm
3
(E) 360π cm
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EXCELÊNCIA NO ENSINO DA MATEMÁTICA
COMO CAI NO ENEM E OUTRAS INSTITUIÇÕES
11. (Enem 2014) Uma empresa farmacêutica produz
medicamentos em pílulas, cada uma na forma de um
cilindro com uma semiesfera com o mesmo raio do
cilindro em cada uma de suas extremidades. Essas
pílulas são moldadas por uma máquina programada
para que os cilindros tenham sempre 10mm de
comprimento, adequando o raio de acordo com o
volume desejado.
Um medicamento é produzido em pílulas com 5mm
de raio. Para facilitar a deglutição, deseja-se produzir
esse medicamento diminuindo o raio para 4mm, e, por
consequência, seu volume. Isso exige a reprogramação
da máquina que produz essas pílulas.
Use 3 como valor aproximado para π.
A redução do volume da pílula, em milímetros cúbicos,
após a reprogramação da máquina, será igual a
(A) 168.
(B) 304.
(C) 306.
(D) 378.
(E) 514.
12. (Enem 2014) Um sinalizador de trânsito tem o
formato de um cone circular reto. O sinalizador precisa
ser revestido externamente com adesivo fluorescente,
desde sua base (base do cone) até a metade de sua
altura, para sinalização noturna. O responsável pela
colocação do adesivo precisa fazer o corte do material
de maneira que a forma do adesivo corresponda
exatamente à parte da superfície lateral a ser revestida.
Qual deverá ser a forma do adesivo?
(A)
(B)
(C)
(D)
Na Figura 2, o ponto A está no plano do chão onde
está colocado o globo da morte e o segmento AB
passa pelo centro da esfera e é perpendicular ao plano
do chão. Suponha que há um foco de luz direcionado
para o chão colocado no ponto B e que um
motoqueiro faça um trajeto dentro da esfera,
percorrendo uma circunferência que passa pelos
pontos A e B.
Disponível em: www.baixaki.com.br. Acesso em: 29 fev.
2012.
A imagem do trajeto feito pelo motoqueiro no plano
do chão é melhor representada por
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
14. (Enem 2011) A figura seguinte mostra um modelo
de sombrinha muito usado em países orientais. Esta
figura é uma representação de uma superfície de
revolução chamada de
(A) pirâmide.
(B) semiesfera.
(C) cilindro.
(D) tronco de cone.
(E) cone.
15. (Enem 2010) Em um casamento, os donos da festa
serviam champanhe aos seus convidados em taças com
formato de um hemisfério (Figura 1), porém um
acidente na cozinha culminou na quebra de grande
parte desses recipientes.
Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro
tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, os
noivos solicitaram que o volume de champanhe nos
dois tipos de taças fosse igual.
Considere:
(E)
VESF 
13. (Enem 2012) O globo da morte é uma atração
muito usada em circos. Ele consiste em uma espécie de
jaula em forma de uma superfície esférica feita de aço,
onde motoqueiros andam com suas motos por dentro.
A seguir, tem-se, na Figura 1, uma foto de um globo da
morte e, na Figura 2, uma esfera que ilustra um globo
da morte.
VCONE
4 3
R
3
1
 R 2H
3
Sabendo que a taça
com o formato de
hemisfério e servida
completamente cheia,
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a
altura
do
volume
de
EXCELÊNCIA NO ENSINO DA MATEMÁTICA
champanhe que deve ser colocado na outra taça, em
centímetros, é de
(A) 1,33.
(B) 6,00.
(C) 12,00.
(D) 56,52.
(E) 113,04.
16. (Unifor 2014) Um depósito cheio de combustível
tem a forma de um cone circular reto. O combustível
deve ser transportado por um único caminhão no qual
o tanque transportador tem a forma de um cilindro
circular reto, cujo raio da base mede metade do raio da
1
base do depósito e altura
da altura do depósito.
3
Quantas viagens o caminhão deverá fazer para esvaziar
completamente o depósito, se para cada viagem a
capacidade do tanque é preenchida?
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
17. Uma cisterna cilíndrica comporta 18.000 litros de
água. Sabendo que a sua altura h é igual a 2,40 m, a
medida aproximada do diâmetro da cisterna, em
metros, é : Adote π = 3
(A) 2,5
(B) 3,2
(C) 4,8
(D) 5,0
(E) 10,0
(A) 2π.
(B) 7.
(C) (7 π )/3.
(D) 8.
(E) 8/3.
20. (Enem 2011) É possível usar água ou comida para
atrair as aves e observá-las. Muitas pessoas costumam
usar água com açúcar, por exemplo, para atrair beijaflores. Mas é importante saber que, na hora de fazer a
mistura, você deve sempre usar uma parte de açúcar
para cinco partes de água. Além disso, em dias
quentes, precisa trocar a água de duas a três vezes,
pois com o calor ela pode fermentar e, se for ingerida
pela ave, pode deixá-la doente. O excesso de açúcar,
ao cristalizar, também pode manter o bico da ave
fechado, impedindo-a de se alimentar. Isso pode até
matá-la.
Ciência Hoje das Crianças. FNDE; Instituto Ciência Hoje, n. 166, mar 1996.
Pretende-se encher completamente um copo com a
mistura para atrair beija-flores. O copo tem formato
cilíndrico, e suas medidas são 10 cm de altura e 4 cm
de diâmetro. A quantidade de água que deve ser
utilizada na mistura é cerca de (utilize   3 )
(A) 20 mL.
(B) 24 mL.
(C) 100 mL.
(D) 120 mL.
(E) 600 mL.
18. Uma artesã confecciona dois diferentes tipos de
vela ornamental a partir de moldes feitos com cartões
de papel retangulares de 20 cm × 10 cm (conforme
ilustram as figuras abaixo). Unindo dois lados opostos
do cartão, de duas maneiras, a artesã forma cilindros e,
em seguida, os preenche completamente com parafina:
Supondo-se que o custo da vela seja diretamente
proporcional ao volume de parafina empregado, o
custo da vela do tipo I, em relação ao custo da vela do
tipo II, será:
(A) o triplo.
(B) o dobro.
(C) igual.
(D) a metade.
(E)a terça parte.
19. Um tanque
subterrâneo,
que tem a forma de um cilindro circular reto na
3
posição vertical, está completamente cheio com 30 m
3
de água e 42 m de petróleo. Se a altura do tanque é
12 metros, a altura, em metros, da camada de petróleo
é
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