Princípio Fundamental da Contagem
1. (Uem 2013) Seja A o seguinte conjunto de números naturais: A  {1, 2, 4, 6, 8}. Assinale o
que for correto.
01) Podem ser formados exatamente 24 números ímpares com 4 algarismos escolhidos dentre
os elementos do conjunto A.
02) Existem exatamente 96 números de 5 algarismos formados com elementos distintos de A e
terminados com um algarismo par.
04) Podem ser formados exatamente 64 números pares de 3 algarismos com elementos do
conjunto A.
08) Existem exatamente 3.125 números menores do que 100.000 formados com elementos do
conjunto A.
16) Podem ser formados exatamente 49 números menores do que 350 com elementos
distintos do conjunto A.
2. (Uel 2013) Os clientes de um banco, ao utilizarem seus cartões nos caixas eletrônicos,
digitavam uma senha numérica composta por cinco algarismos. Com o intuito de melhorar a
segurança da utilização desses cartões, o banco solicitou a seus clientes que cadastrassem
senhas numéricas com seis algarismos.
Se a segurança for definida pela quantidade de possíveis senhas, em quanto aumentou
percentualmente a segurança na utilização dos cartões?
a) 10%
b) 90%
c) 100%
d) 900%
e) 1900%
3. (Uepg 2013) Para formar uma senha, devem ser escolhidos três elementos distintos do
conjunto {a, b, c, d, 1, 2, 3, 4, 5}. Nesse contexto, assinale o que for correto.
01) O número de senhas formadas por dois algarismos e uma letra, nessa ordem, é menor que
60.
02) O número de senhas formadas somente por algarismos é 60.
04) O número de senhas formadas por letras e algarismos é 140.
08) Podem ser formadas mais de 500 senhas.
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4. (Ufrn 2013) O quadro de avisos de uma escola de ensino médio foi dividido em quatro
partes, como mostra a figura a seguir.
No retângulo à esquerda, são colocados os avisos da diretoria, e, nos outros três retângulos,
serão colocados, respectivamente, de cima para baixo, os avisos dos 1º, 2º e 3º anos do
ensino médio.
A escola resolveu que retângulos adjacentes (vizinhos) fossem pintados, no quadro, com cores
diferentes. Para isso, disponibilizou cinco cores e solicitou aos servidores e alunos sugestões
para a disposição das cores no quadro.
Determine o número máximo de sugestões diferentes que podem ser apresentadas pelos
servidores e alunos.
5. (Uerj 2013) Na ilustração abaixo, as 52 cartas de um baralho estão agrupadas em linhas
com 13 cartas de mesmo naipe e colunas com 4 cartas de mesmo valor.
Denomina-se quadra a reunião de quatro cartas de mesmo valor. Observe, em um conjunto de
cinco cartas, um exemplo de quadra:
O número total de conjuntos distintos de cinco cartas desse baralho que contêm uma quadra é
igual a:
a) 624
b) 676
c) 715
d) 720
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6. (Ufg 2013) Uma pessoa dispõe de R$800,00 para comprar camisas e calças, de modo a
obter exatamente vinte trajes distintos. Cada traje consiste de uma calça e uma camisa, que
custam R$110,00 e R$65,00, respectivamente. Considerando-se que cada peça pode fazer
parte de mais de um traje, calcule o número de camisas e de calças que a pessoa comprará
sem ultrapassar a quantia em dinheiro de que dispõe.
7. (Cefet MG 2013) Um grupo de amigos, ao planejar suas férias coletivas, listou 12 cidades
brasileiras que pretendem conhecer juntos, sendo que seis ficam no litoral e seis no interior do
país. O critério estabelecido foi de alternar as férias, em cada ano, ora em cidades litorâneas,
ora, em interioranas, definindo-se que, nos próximos 12 anos, será visitada uma cidade
diferente por ano. Desse modo, a quantidade de maneiras possíveis para atender a esse
critério é
a) 2.3.11.
b) 22.3.11.
c) 2.32.11.
d) 28.34.52.
e) 29.34.52.
8. (Unicamp 2013) Para acomodar a crescente quantidade de veículos, estuda-se mudar as
placas, atualmente com três letras e quatro algarismos numéricos, para quatro letras e três
algarismos numéricos, como está ilustrado abaixo.
ABC 1234
ABCD 123
Considere o alfabeto com 26 letras e os algarismos de 0 a 9. O aumento obtido com essa
modificação em relação ao número máximo de placas em vigor seria
a) inferior ao dobro.
b) superior ao dobro e inferior ao triplo.
c) superior ao triplo e inferior ao quádruplo.
d) mais que o quádruplo.
9. (Espm 2013) Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 podemos formar 60 números naturais de 3
algarismos distintos. Desse total, a quantidade dos que são divisíveis por 6 é:
a) 10
b) 12
c) 5
d) 8
e) 7
10. (Udesc 2012) As frutas são alimentos que não podem faltar na nossa alimentação, pelas
suas vitaminas e pela energia que nos fornecem. Vera consultou um nutricionista que lhe
sugeriu uma dieta que incluísse a ingestão de três frutas diariamente, dentre as seguintes
opções: abacaxi, banana, caqui, laranja, maçã, pera e uva. Suponha que Vera siga
rigorosamente a sugestão do nutricionista, ingerindo três frutas por dia, sendo pelo menos duas
diferentes. Então, ela pode montar sua dieta diária, com as opções diferentes de frutas
recomendadas, de:
a) 57 maneiras.
b) 50 maneiras.
c) 56 maneiras.
d) 77 maneiras.
e) 98 maneiras.
11. (Ufpe 2012) Um casal está fazendo uma trilha junto com outras 10 pessoas. Em algum
momento, eles devem cruzar um rio em 4 jangadas, cada uma com capacidade para 3 pessoas
(excluindo o jangadeiro). De quantas maneiras, os grupos podem ser organizados para a
travessia, se o casal quer ficar na mesma jangada? Assinale a soma dos dígitos.
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12. (Ufu 2012) Um projeto piloto desenvolvido em um curso de Engenharia Mecânica prevê a
construção do robô “Eddie”, cujos movimentos estão limitados apenas a andar para frente (F) e
para a direita (D). Suponha que Eddie está na posição A e deseja-se que ele se desloque até
chegar à posição B, valendo-se dos movimentos que lhe são permitidos. Admita que cada
movimento feito por Eddie o leve a uma posição consecutiva, conforme ilustra um esquema a
seguir, em que foram realizados 10 movimentos (as posições possíveis estão marcadas por
pontos e o percurso executado de A até B, é representado pela sequência ordenada de
movimentos D F D D F F D F F D).
Com base nas informações acima, o número de maneiras possíveis de Eddie se deslocar de A
até B, sem passar pelo ponto C, é igual a
a) 192
b) 60
c) 15
d) 252
13. (Fgvrj 2012) a) Oito meias azuis idênticas e oito meias pretas idênticas estão em uma
gaveta em um quarto escuro. Quantas meias, no mínimo, uma pessoa deve apanhar para ter
certeza de conseguir
1. um par de meias da mesma cor?
2. um par de meias azuis?
b) Bruna tem exatamente R$ 64,00. Ela aposta quatro vezes no lançamento de uma moeda. A
cada vez, aposta exatamente metade da quantia que tem. Bruna ganha ou perde a quantia
apostada. Ela vence em metade dos lançamentos da moeda. Qual será sua quantia no final?
14. (G1 - ifpe 2012) Por questão de segurança os bancos instalaram ao lado da maçaneta da
porta, que dá acesso à área por trás dos caixas, um teclado como o da figura abaixo.
Para entrar nessa área, cada funcionário tem a sua própria senha. Suponha que esta senha
seja composta por quatro dígitos distintos. Quantas senhas poderão ser criadas se forem
usados apenas os números primos que aparecem no teclado?
a) 6
b) 24
c) 80
d) 120
e) 720
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15. (Enem 2012) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a
participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa
de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O
objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual
cômodo da casa o objeto foi escondido.
Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As
respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser
sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e
a brincadeira é encerrada.
O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há
a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
16. (Fgv 2012) Usando as letras do conjunto {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}, quantas senhas de 4
letras podem ser formadas de modo que duas letras adjacentes, isto é, vizinhas, sejam
necessariamente diferentes?
a) 7 290
b) 5 040
c) 10 000
d) 6 840
e) 11 220
17. (Mackenzie 2012) Os vértices de um cubo são pintados de azul ou de vermelho. A pintura
dos vértices é feita de modo que cada aresta do cubo tenha pelo menos uma de suas
extremidades pintada de vermelho.
O menor número possível de vértices pintados de vermelho nesse cubo é
a) 2
b) 3
c) 4
d) 6
e) 8
18. (Unisinos 2012) Num restaurante, são oferecidos 4 tipos de carne, 5 tipos de massa, 8
tipos de salada e 6 tipos de sobremesa. De quantas maneiras diferentes podemos escolher
uma refeição composta por 1 carne, 1 massa, 1 salada e 1 sobremesa?
a) 23.
b) 24.
c) 401.
d) 572.
e) 960.
19. (Pucrj 2012) Seja A o conjunto dos números inteiros positivos com três algarismos. Seja B
o subconjunto de A dos números ímpares com três algarismos distintos. Quantos elementos
tem o conjunto B?
a) 125
b) 168
c) 320
d) 360
e) 900
20. (Ufjf 2012) Uma empresa escolherá um chefe para cada uma de suas repartições A e B.
Cada chefe deve ser escolhido entre os funcionários das respectivas repartições e não devem
ser ambos do mesmo sexo.
Abaixo é apresentado o quadro de funcionários das repartições A e B.
FUNCIONÁRIOS
Mulheres
Homens
REPARTIÇÕES
A
B
4
7
6
3
De quantas maneiras é possível ocupar esses dois cargos?
a) 12.
b) 24.
c) 42.
d) 54.
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e) 72.
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
02 + 16 = 18.
[01] Incorreto. Temos uma possibilidade para o algarismo das unidades e cinco para cada um
dos outros algarismos. Portanto, pelo PFC, podemos formar 5  5  5  1  125 números
ímpares com 4 algarismos escolhidos dentre os elementos do conjunto A.
[02] Correto. Podemos escolher o algarismo das unidades de quatro maneiras. Definido o
algarismo das unidades, os outros quatro algarismos serão os elementos que restam de
A. Portanto, o resultado é 4  P4  4  4!  96.
[04] Incorreto. Existem quatro escolhas para o algarismo das unidades, e cinco escolhas para
os algarismos das dezenas e das centenas. Desse modo, pelo PFC, podem ser formados
4  5  5  100 números pares de 3 algarismos com elementos do conjunto A.
[08] Incorreto. Podemos formar 5 5 números de cinco algarismos, 5 4 números de quatro
algarismos, 5 3 números de três algarismos, 5 2 números de dois algarismos e 5 números
de um algarismo. Portanto, é possível formar exatamente
5  52  53  54  55  5 
55  1
 3905
5 1
números menores do que 100.000 com elementos do conjunto A.
[16] Correto. Temos 5 números com um algarismo, 5  4  20 números com dois algarismos e
2  4  3  24 números com três algarismos, totalizando 5  20  24  49 números com
elementos distintos de A e menores do que 350.
Resposta da questão 2:
[D]
O número de senhas com 5 algarismos é 105 e o número de senhas com 6 algarismos é 106.
Desse modo, o aumento percentual da segurança foi de
106  105
105  (10  1)

100%

 100%
105
105
 900%.
Resposta da questão 3:
02 + 08 = 10.
[01] Falsa, pois 5  5  4 = 100 > 60.
[02] Verdadeira, pois 5  4  3 = 60.
[04] Falsa, pois 9  8  7 (todas as senhas possíveis) – 4  3  2 (senhas formadas apenas por
letras) – 5  4  3 (senhas formadas apenas por algarismos) = 420.
[08] Verdadeira, pois 9  8  7 = 504.
Resposta da questão 4:
Temos 5 possibilidades para escolher a cor do retângulo vertical, 4 para escolher a cor do
primeiro retângulo horizontal, 3 para escolher a cor do segundo retângulo horizontal e 3 para
escolher a cor do terceiro retângulo horizontal.
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Portanto, pelo PFC, existem, no máximo, 5  4  3  3  180 sugestões diferentes que podem ser
apresentadas pelos servidores e alunos.
Resposta da questão 5:
[A]
Temos 13 conjuntos de quatro valores iguais e para cada um destes conjuntos temos 48 (52 –
4) cartas distintas.
Logo, 48 . 13 = 624.
Resposta da questão 6:
Possíveis compras (o produto das quantidades deve ser 20)
1 calça e 20 camisas: 110  20  65  1410 (maior que 800)
2 calças e 10 camisas: 2  110  10  65  870 (maior que 800)
4 calças e 5 camisas: 4  110  5  65  765 (menor que 800)
5 calças e 4 camisas: 5  110  4  65  810 (maior que 800)
10 calças e 2 camisas: 10  110  2  65  1230 (maior que 800)
20 calças e 1 camisa: 20  110  1 65  2265 (maior que 800)
Logo, a pessoa comprará 4 calças e 5 camisas.
Resposta da questão 7:
[E]
Temos duas sequências possíveis (I = interior e L = litoral)
I L I L I L I L I L I L ou L I L I L I L I L I L I
Em números, temos:
2.6.6.5.5.4.4.3.3.2.2.1.1 = 2.62.52.42.32.22 = 29.34.52.
Resposta da questão 8:
[A]
Total de placas possíveis no modelo em estudo: 26  10
3
4
Total de placas possíveis no modelo atual: 26  10
4
Razão entre os dois valores:
264.103
263.104
3
 2,6.
Portanto, o aumento será de 2,6 – 1 = 1,6 (160%), ou seja, menos que o dobro.
Resposta da questão 9:
[D]
Dos 60 números que podemos formar, apenas 132, 234, 312, 324, 342, 354, 432 e 534 são
divisíveis por 6. Logo, o resultado pedido é 8.
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Resposta da questão 10:
[D]
7
7!
 35 maneiras de escolher três frutas distintas e 7  6  42 modos de
Existem   
3!
 4!
3
 
escolher três frutas, sendo pelo menos duas distintas.
Portanto, Vera pode montar sua dieta diária de 35  42  77 maneiras.
Resposta da questão 11:
10.
Existem 10 modos de escolher a pessoa que irá cruzar o rio na jangada do casal. Além disso,
as 9 pessoas restantes podem ser distribuídas nas outras 3 jangadas de
9 6 3
   
 3   3   3   9!  6!  1
3!
3!  6! 3!  3! 3!
987 654 1



32
32 32
 280 modos.
Portanto, pelo PFC, segue que o resultado pedido é dado por 10  280  2800.
Resposta da questão 12:
[A]
Qualquer que seja o percurso de A até B, serão necessários 5 deslocamentos para frente e
5 para a direita. Logo, existem
(5, 5)
P10

10!
10  9  8  7  6

 252
5!  5!
5432
trajetos possíveis.
Por outro lado, existem
P6(4, 2) 
6!
65

 15
4!  2!
2
percursos de A até C, e
P4(3) 
4!
4
3!
trajetos de C até B. Desse modo, pelo PFC, há 15  4  60 percursos de A até B passando
por C.
Portanto, o resultado pedido é dado por 252  60  192.
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Resposta da questão 13:
a) i) Como existem apenas duas cores, se retirar duas meias ela poderá obter um par de
cores diferentes. Assim, retirando a terceira meia, ela terá, necessariamente, um par da
mesma cor.
ii) Retirando oito meias, todas poderão ser pretas. Logo, para ter certeza de que irá retirar
um par de meias azuis, ela deve apanhar, no mínimo, 10 meias.
b) Ganhando a aposta, Bruna ficará com
com
3
da quantia que possui. Se perder a aposta, ficará
2
1
da quantia que tinha antes da aposta. Desse modo, vencendo duas apostas, ela ficará
2
2
2
 3   1
com 64        R$ 36,00.
 2  2
Resposta da questão 14:
[B]
Números primos do teclado: 2, 3, 5 e 7.
Número de senhas: 4.3.2.1 = 24.
Resposta da questão 15:
[A]
Pelo PFC, existem 5  6  9  270 respostas possíveis. Portanto, o diretor sabe que algum aluno
acertará a resposta porque há 280  270  10 alunos a mais do que o número de respostas
possíveis.
Resposta da questão 16:
[A]
Para a primeira posição, temos 10 possibilidades.
Para a segunda posição, temos 9 possibilidades, já que não pode ser igual à da primeira.
Para a terceira posição, temos 9 possibilidades, já que não pode ser igual à da segunda.
Para a quarta posição, temos 9 possibilidades, já que não pode ser igual à da terceira.
Logo, o número de senhas possíveis será 10  9  9  9 = 7 290.
Resposta da questão 17:
[C]
Pintando um vértice de azul e outro de vermelho em cada aresta, segue que o menor número
possível de vértices pintados de vermelho nesse cubo é 4.
Resposta da questão 18:
[E]
Aplicando o princípio fundamental da contagem, temos: 4.5.8.6 = 960.
Resposta da questão 19:
[C]
Existem 5 escolhas para o algarismo das unidades, 8 escolhas para o algarismo das centenas
(devemos excluir o zero) e 8 escolhas para o algarismo das dezenas.
Portanto, pelo PFC, B possui 8  8  5  320 elementos.
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Resposta da questão 20:
[D]
Existem 4 maneiras de escolher uma mulher da repartição A, e 3 maneiras de escolher um
homem da repartição B. Logo, pelo PFC, existem 4  3  12 modos de escolher uma mulher da
repartição A e um homem da repartição B.
Por outro lado, existem 6 maneiras de escolher um homem da repartição A, e 7 maneiras de
escolher uma mulher da repartição B. Assim, existem 6  7  42 modos de escolher um homem
da repartição A e uma mulher da repartição B.
Por conseguinte, é possível ocupar os dois cargos de 12  42  54 maneiras.
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