ME414 e ME203 : ESTATÍSTICA PARA
EXPERIMENTALISTAS
Solução da 1a Lista de Exercı́cios - Estatı́stica
Descritiva
II-2012
11 de Setembro de 2012
1. (2,0) Identifique cada uma das variáveis seguintes como quantitativa, qualitativa e como contı́nua, discreta, nominal, ordinal.
• (0,25) A concentração de impurezas em uma amostra de leite, em mg
por litro Variável quantitativa contı́nua.
• (0,25) A procedência de cada candidato ao vestibular da Unicamp em
certo ano Variável qualitativa nominal.
• (0,25) O tempo de reação de um indivı́duo após submetido a certo estı́mulo
Variável quantitativa contı́nua.
• (0,25) A resposta de um indivı́duo à questão: Variável qualitativa
ordinal
“É natural que pessoas de uma determinada raça queiram viver longe de
pessoas de outras raças.”
Concordo Plenamente
Concordo
Indeciso
Discordo
Discordo Plenamente
• (0,25) O número de moradores em cada residência de uma cidade Variável
quantitativa discreta.
• (0,25) A temperatura (em o C) de certa região, em determinada época do
ano Variável quantitativa contı́nua.
• (0,25) A temperatura (em o F) de certa região, em determinada época do
ano Variável quantitativa contı́nua.
1
• (0,25) A produção por hectare de determinado tipo de grão Variável
quantitativa contı́nua.
2
2. (2,00) Em um estudo sobre contusões causadas durante a prática de
esportes, 25 escolas de um estado brasileiro foram selecionadas, ao acaso, e
entrevistadas. Foram coletados os dados abaixo, sobre o número de contusões
classificadas como graves em atletas so sexo masculino para duas modalidades
de esporte:
1
3
2
2
5
Basquete
2 4 4
3 2 4
4 3 5
4 3 6
6 4 6
1
2
1
6
5
7
5
3
5
5
Futebol
7 7 6
6 1 7
3 2 7
1 7 4
7 6 3
1
2
5
1
2
a. (0,4) Construa uma distribuição de freqüências para as 50 observações.
Classes
número de
contusões
1
2
3
4
5
6
7
Total
Frequência
absoluta
ni
7
8
7
7
7
7
7
50
Frequência
relativa
fi
0,14
0,16
0,14
0,14
0,14
0,14
0,14
1,00
Porcentagem
%
100fi
14,00
16,00
14,00
14,00
14,00
14,00
14,00
100,00
Tabela 1: Tabela de frequências para a variável discreta numero de contusões.
3
b. (0,4) Construa uma distribuição de freqüências para cada modalidade.
Classes
número de
contusões basquete
1
2
3
4
5
6
7
Total
Frequência
absoluta
ni
1
4
5
6
5
3
1
25
Frequência
relativa
fi
0,04
0,16
0,20
0,24
0,20
0,12
0,04
1,00
Porcentagem
%
100fi
4,00
16,00
20,00
24,00
20,00
12,00
4,00
100,00
Tabela 2: Tabela de frequências para a variável discreta numero de contusões
no basquete.
Classes
número de
contusões futebol
1
2
3
4
5
6
7
Total
Frequência
absoluta
ni
6
4
2
1
2
4
6
25
Frequência
relativa
fi
0,24
0,16
0,08
0,04
0,08
0,16
0,24
1,00
Porcentagem
%
100fi
24,00
16,00
8,00
4,00
8,00
16,00
24,00
100,00
Tabela 3: Tabela de frequências para a variável discreta numero de contusões
no futebol.
c. (0,4) Calcule as medidas de tendência central e variabilidade adequadas
para cada modalidade.
moda (mo) é a realização mais frequente
• Da tabela 2 para a variável contusões em basquete
mo(basquete) = 4
(1)
Então, cada uma das 6 escolas tiveram 4 contusões que foram classificadas
como graves na pratica no basquete
4
• Da tabela 3 para a variável contusões no futebol.
mo(f utebol) = 1e7
(2)
Então é bimodal, cada uma das 6 escolas tiveram 1 contusão que foi classificada como grave e também, cada uma das 6 escolas tiveram 7 contusões
que foram classificada como grave na pratica no no futebol.
mediana (md) é a realização que ocupa a posição central da serie
de observações.
Precisamos que as observações estejam ordenadas, estatı́stica de ordem. Para
calcular a mediana usamos a equação
md(X) =

,

X( n+1
2 )
se n ı́mpar

 X( n2 ) +X( n2 +1)
2
, se n par
Temos que o numero de observações são 25, então n é ı́mpar
•
md(basquete) = X( 25+1 ) = X(13) = 4
2
(3)
A mediana nos diz que temos 4 contusões graves no esporte basquete
•
md(f utebol) = X( 25+1 ) = X(13) = 4
2
(4)
A mediana nos diz que temos 4 contusões graves no esporte futebol
Média aritmética, x̄.
Para calcular a média usamos a equação
x̄ =
k
X
fi xi
i=1
• Para o caso do basquete, k = 7 e as frequências relativas estão na tabela
2
x̄ = (0, 04) ∗ 1 + (0, 16) ∗ 2 + (0, 20) ∗ 3 + (0, 24) ∗ 4 + (0, 20) ∗ 5 + (0, 12) ∗ 6 + (0, 04) ∗ 7 = 3, 92 (5)
A média nos diz que temos 3,92 contusões graves no esporte basquete
5
• Para o caso do futebol, k = 7 e as frequências relativas estão na tabela 3
x̄ = (0, 24) ∗ 1 + (0, 16) ∗ 2 + (0, 08) ∗ 3 + (0, 04) ∗ 4 + (0, 08) ∗ 5 + (0, 16) ∗ 6 + (0, 24) ∗ 7 = 4 (6)
A média nos diz que temos 4 contusões graves no esporte futebol
Desvio médio, dm(X), a variância var(X) e desvio padrão dp(X)
Calculemos variabilidade do conjunto de observações em relação á media das
observações
dm(X)
=
k
X
fi |xi − x̄|
i=1
var(X)
=
dp(X)
=
k
X
fi (xi − x̄)2
i=1
p
var(x)
• Para o caso do basquete, k = 7, as frequências relativas estão na tabela 2
e x̄ = 3, 92
dm(X)
=
(0, 04) ∗ |1 − 3, 92| + (0, 16) ∗ |2 − 3, 92| + (0, 20) ∗ |3 − 3, 92| + (0, 24) ∗ |4 − 3, 92| + (0, 20) ∗
+(0, 12) ∗ |6 − 3, 92| + (0, 04) ∗ |7 − 3, 92| = 1, 22
var(X)
=
(0, 04) ∗ (1 − 3, 92)2 + (0, 16) ∗ (2 − 3, 92)2 + (0, 20) ∗ (3 − 3, 92)2
+(0, 24) ∗ (4 − 3, 92)2 + (0, 20) ∗ (5 − 3, 92)2 + (0, 12) ∗ (6 − 3, 92)2
dp(X)
=
+(0, 04) ∗ (7 − 3, 92)2 = 2, 23
p
var(X) = 1, 5
• Para o caso do futebol, k = 7, as frequências relativas estão na tabela 3 e
x̄ = 4, 0
dm(X)
=
(0, 24) ∗ |1 − 4| + (0, 16) ∗ |2 − 4| + (0, 08) ∗ |3 − 4| + (0, 04) ∗ |4 − 4| + (0, 08) ∗ |5 − 4|
+(0, 16) ∗ |6 − 4| + (0, 24) ∗ |7 − 4| = 2, 24
var(X)
dp(X)
=
2
2
(10)
2
(0, 24) ∗ (1 − 4) + (0, 16) ∗ (2 − 4) + (0, 08) ∗ (3 − 4) + (0, 04) ∗ (4 − 4)
+(0, 08) ∗ (5 − 4)2 + (0, 16) ∗ (6 − 4)2 + (0, 24) ∗ (7 − 4)2 = 5, 76
p
=
var(X) = 2, 4
6
2
(11)
(12)
basquete
futebol
mo(X)
4
1e7
md(X)
4
4
x̄
3,92
4
dm(X)
1,22
2,24
var(X)
2,23
5,76
dp(X)
1,5
2,4
Tabela 4: Tabela resumo das medidas de posição e a medidas de dispersão.
7
d. (0,4) Represente gráficamente cada uma das distribuições.
Figura 1: Gráfico em barras para a variável número de contusões em na pratica
basquete e futebol
Figura 2: Gráfico em barras para a variável número de contusões em basquete
8
Figura 3: Gráfico em barras para a variável número de contusões em futebol
9
e. (0,4) Comente os resultados encontrados.
A variável basquete é uma variável que tem distribuição simétrica ( distribuição
gaussiana) que a variável futebol. Isto se pode observar da figura [2]. As medidas
de posição e as medias de dispersão na tabela 4 são próximas para a variável
basquete o que não acontece para o caso da variável futebol pois a moda e a
media são diferentes.
10
3. (2,0) Os dados abaixo referem-se
53,0 70,2 84,3 69,5 77,8
53,4 82,5 67,3 54,1 70,5
95,4 51,1 74,4 55,7 63,5
53,5 64,3 82,7 78,5 55,7
72,3 59,5 55,3 73,0 52,4
a dureza de 30 peças de alumı́nio:
87,5
71,4
85,8
69,1
50,7
a. (0,4) Faça uma tabela de distribuição de freqüências.
Para construir a tabela de frequências vamos a considerar que temos 5 classes.
Para calcular a amplitude do intervalo vamos a considerar o valor menor e o
valor maior da dureza,
∆i =
Classes
Dureza
51, 10 ` 59, 96
59, 96 ` 68, 82
68, 82 ` 77, 68
77, 68 ` 86, 54
86, 54 ` 95, 40
Total
95, 4 − 51, 1
= 8, 86.
5
Frequência
absoluta
ni
11
3
8
6
2
30
Frequência
relativa
fi
0,367
0,100
0,267
0,200
0,066
1,00
(13)
Porcentagem
%
100fi
36,70
10,00
26,70
20,00
6,60
100,00
Tabela 5: Tabela de distribuição de frequências para a variável dureza.
b. (0,4) Faça uma representação gráfica para a distribuição de freqüências.
O histograma é um gráfico de barras contiguas. Como a área de cada
retângulo é fi , a altura deve ser fi /∆i , ver coluna 5 na tabela 6
11
Classes
Dureza
51, 10 ` 59, 96
59, 96 ` 68, 82
68, 82 ` 77, 68
77, 68 ` 86, 54
86, 54 ` 95, 40
Total
Frequência
absoluta
ni
11
3
8
6
2
30
Frequência
relativa
fi
0,367
0,100
0,267
0,200
0,066
1,00
Porcentagem
%
100fi
36,70
10,00
26,70
20,00
6,60
100,00
Densidade de
frequência
fi /∆i
0,041
0,011
0,030
0.023
0.007
−
Tabela 6: Tabela de distribuição de frequências para a variável dureza e com
densidade de frequência
Figura 4: Histograma da variável dureza
12
c. (0,4) Calcule a média, mediana, moda e o desvı́o padrão.
Como a variável dureza é continua vamos a supor que todos os valores dentro
de uma classe têm seus valores iguais ao ponto médio desta classe. Ver coluna
6 na tabela 7
Classes
Dureza
51, 10 ` 59, 96
59, 96 ` 68, 82
68, 82 ` 77, 68
77, 68 ` 86, 54
86, 54 ` 95, 40
Total
Frequência
absoluta
ni
11
3
8
6
2
30
Frequência
relativa
fi
0,367
0,100
0,267
0,200
0,066
1,00
Porcentagem
%
100fi
36,70
10,00
26,70
20,00
6,60
100,00
Densidade de
frequência
fi /∆i
0,041
0,011
0,030
0.023
0.007
−
Ponto
medio
si
55,53
64,39
73,25
82,11
90,97
−
Tabela 7: Tabela de distribuição de frequências para a variável dureza e com
densidade de frequência
• media
x̄ ' 0, 367 ∗ 55, 53 + 0, 1 ∗ 64, 39 + 0, 267 ∗ 73, 25 + 0, 2 ∗ 82, 11 + 0, 066 ∗ 90, 97 = 68.8 (14)
• mediana, n = 30
md(X) =
X( 30
+ X( 30
2 )
2 +1)
2
' 73, 25
(15)
(16)
• moda,
mo = 55, 53
(17)
• Desvio padrão,
var(x) '
dp(x)
=
0, 367 ∗ (55, 53 − 68.8)2 + 0, 1 ∗ (64, 39 − 68.8)2 + 0, 267 ∗ (73, 25 − 68.8)2
+0, 2 ∗ (82, 11 − 68.8)2 + 0, 066 ∗ (90, 97 − 68.8)2 = 139.729
p
var(x) = 11, 82
d. (0,4) Faça um ramo-e-folhas, um esquema de cinco números e um box
plot.
Para fazer uma Ramo-e-folhas vamos optar por truncar cada valor, omitindo os
décimos:
13
(18)
(19)
5
6
7
8
9
0
3
0
2
5
1
4
0
2
2
7
1
4
3
9
2
5
3
9
3
7
14
3
4
5
4
7
8
5
5
9
Para fazer o esquema de cinco números precisamos calcular o primeiro quartil, q1 = q(0, 25) o segundo quartil, q2 = q(0, 50) e o terceiro quartil, q3 =
q(0, 75).
O primeiro quartil, q1 = q(0, 25), então precisamos deixar o 25% dos dados na
esquerda. Olhemos no histograma que esta na figura (4) e vemos que temos que
parar na primeira barra:
59, 96 − 51, 1
36, 70%
q1
q1
q1 − 51, 1
25%
25
8, 86 + 51, 51
=
36, 70
= 57, 14
=
(20)
(21)
(22)
Para calcular o segundo quartil, q2 = q(0, 5), então precisamos deixar o 50% dos
dados na esquerda. Olhemos no histograma que esta na figura (4) e vemos que
temos que parar na terceira barra pois ate essa barra temos o 73, 4%:
77, 68 − 68, 82
26, 70%
=
q2 − 68, 82
3, 3%
(23)
O valor de 3, 3% e devido a que somente precisamos o 3, 3% na terceira barra
para completar o 50%
q2
=
q2
=
3, 3
8, 86 + 68, 82
26, 70
69, 91
(24)
(25)
Para calcular o terceiro quartil, q3 = q(0, 75), então precisamos deixar o 75%
dos dados na esquerda. Olhemos no histograma que esta na figura (4) e vemos
que temos que parar na quarta barra pois ate essa barra temos o 94, 4%:
86, 54 − 77, 6
20, 00%
=
q3 − 77, 6
1, 6%
(26)
O valor de 1, 6% e devido a que somente precisamos o 1, 6% na quarta barra
para completar o 75%
q3
=
q3
=
1, 6
8, 86 + 77, 6
20, 00
78, 31
15
(27)
(28)
30
69,91
md
q
E
57,14
51,1
78,31
95,4
16
Para fazer o blox plot precisamos calcular a distancia interquartil , dq , e o
limite inferior, Li e o limite superior, Ls :
dq
=
q3 − q1 = 78, 31 − 57, 14 = 21, 17
(29)
Li
=
q1 − (1, 5) ∗ dq = 57, 14 − (1, 5) ∗ 21, 17 = 25, 38
(30)
Ls
=
q3 + (1, 5) ∗ dq = 78, 31 + (1, 5) ∗ 21, 17 = 110, 06
(31)
Figura 5: Histograma
e. (0,4) A distribuição é normal (“forma de sino”)? Comente.
17
4. (2,0)Considere a altura (em
indivı́duo
1
2
altura
67,75 72,27
iindivı́duo
6
7
altura
74,25 69,75
indivı́duo
11
12
altura
74,5
76
indivı́duo
16
17
altura
66
71
polegadas) de 20 indivı́duos
3
4
5
66,25 72,25 71,25
8
9
10
72,5
74
73,5
13
14
15
69,5 71,25 69,5
18
19
20
71
67,75 73,5
Considere os seguintes intervalos para as realizações da variável altura
Intervalo
altura
1
66 ` 68
2
68 ` 70
3
70 ` 72
4
72 ` 74
5
74 ` 76
a. (0,4) Faça uma tabela de distribuição de freqüências.
Classes
altura
66 ` 68
68 ` 70
70 ` 72
72 ` 74
74 ` 76
76 ` 78
Total
Ponto
médio
si
67
69
71
73
75
77
-
Frequência
absoluta
ni
4
3
4
5
3
1
20
Frequência
relativa
fi
0,20
0,15
0,20
0,25
0,15
0,05
1,00
Porcentagem
%
100fi
20,00
15,00
20,00
25,00
15,00
5,00
100,00
Densidade
frequência
fi /∆i
0,1
0,075
0,1
0,125
0,075
0,025
-
Tabela 8: Tabela de frequências para variável altura.
18
b. (0,4) Faça uma representação gráfica para a distribuição de freqüências.
Para fazer o histograma precisamos achar a amplitude do intervalo, ∆i = 2 e
calcular fi /∆i . Os valores da densidade de frequência então na coluna 6 da
tabela 8
Figura 6: Histograma
c. (0,4) Calcule a média, mediana, moda e o desvı́o padrão.
Ao igual que o exercı́cio 3, para calcular a media, mediana, moda e o desvio
padrão, devemos tomar o ponto médio para cada classe, ver coluna 2 na tabela
8
• Media
x̄ ' 71, 3
(32)
• Mediana, n= 20
md(x) =
X( 20
+ X( 20
2 )
2 +1)
2
' 71, 0
(33)
(34)
• Moda
mo(x) ' 73, 0
19
(35)
• Variância
var(x) ' 8, 91
(36)
dp(x) ' 2, 95
(37)
• Desvio padrão
d. (0,4) Faça um ramo-e-folhas, um esquema de cinco números e um box plot.
• Ramo-e-folhas
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
00
75
25
75
50
50
75
00
25
50
00
00
27
50
25
25
50
25
50
00
• esquema de cinco numeros
Na figura 6 o primeiro quartil esta na segunda barra, o primeiro quartil deixa o
25% na esquerda:
70 − 68
15%
=
q1
=
q1 − 68
5%
5
2 + 68 = 68, 67.
15
(38)
(39)
Na figura 6 o segundo quartil, q2 esta na terceira barra, o q2 deixa o 50% dos
dados a esquerda:
72 − 70
20%
=
q2
=
q2 − 70
15%
15
2 + 70 = 71, 5
20
(40)
(41)
Na figura 6 o terceiro quartil, q3 esta na quarta barra, o q3 deixa o 75% dos
20
dados a esquerda:
74 − 72
25%
=
q3
=
q3 − 72
20%
20
2 + 72 = 73, 6
25
(43)
20
71,5
md
q
E
(42)
68,67
66
73,6
76
Para fazer o blox plot precisamos calcular a distancia interquartil , dq , e o
limite inferior, Li e o limite superior, Ls :
dq
=
q3 − q1 = 73, 6 − 68, 67 = 4, 93
(44)
Li
=
q1 − (1, 5) ∗ dq = 68, 67 − (1, 5) ∗ 4, 93 = 61, 28
(45)
Ls
= q3 + (1, 5) ∗ dq = 73, 6 + (1, 5) ∗ 4, 93 = 81
Figura 7: Histograma
21
(46)
e. (0,4) Comente os resultados
22
5. (2,0) Uma maquina foi regulada para fabricar placas de 5 mm de espessura, em média, com uma variabilidade relativa de, no máximo, 3%. Iniciada
a produção, foi colhida aleatoriamente uma amostra de tamanho 50, que forneceu a seguinte tabela de distribuição de freqüência com intervalos do mesmo
comprimento.
Espessura (em mm) No de placas
4,6 `
3
8
18
10
9
` 5,50
2
a. (0,4) Esboce o histograma de freqüências percentuais e descreva as principais caracterı́sticas das placas amostradas.
Classes
altura
4, 60 ` 4, 75
4, 75 ` 4, 90
4, 90 ` 5, 05
5, 05 ` 5, 20
5, 20 ` 5, 35
5, 35 ` 5, 50
Total
Ponto
médio
si
4,675
4,825
4,975
5,125
5,275
5,425
-
Frequência
absoluta
ni
3
8
18
10
9
2
50
Frequência
relativa
fi
0,06
0,16
0,36
0,20
0,18
0,04
1,00
Porcentagem
%
100fi
6,00
16,00
36,00
20,00
18,00
4,00
100,00
Tabela 9: Tabela de frequências para variável altura.
Figura 8: Histograma
23
Densidade
frequência
fi /∆i
0,4
1,07
2,4
1,33
1,2
0.27
-
b. (0,4) Que você pode afirmar a respeito da regulagem da maquina?
Como as placas devem ter uma espessura de 5 mm e uma variabilidade relativa
no Máximo de 3%, então a espessura das placas deve estar pertencer ao intervalo
[4,85 ; 5,15]. Do histograma concluı́mos que a maquina não esta regulada pois
aproximadamente o 50% das placas produzidas então dentro do intervalo de
tolerância.
c. (0,4) Determinar e interpretar: a moda e a mediana.
• Moda
mo(x) ' 4, 975
(47)
• Mediana, n= 50
md(x) =
+ X( 50
X( 50
2 )
2 +1)
2
' 4, 975
(48)
A mediana e a moda nos dizem que as placas são fabricadas com a espessura
requerida a maioria das vezes
d. (0,4) Qual deve ser a espessura das placas para ser considerado entre
os 10% com maior espes-sura? Vamos a calcular um quartil tal que o 10% das
placas fiquei a direita. Para calcular esse quartil devemos procurar na quinta
barra na figura 8:
5, 35 − 5, 2
q − 5, 2
=
18
12
12
q = 0, 15 + 5, 2 = 5, 3
18
(49)
(50)
A espessura da placa para ser considerada entre os 10% com maior espessura
deve estar no intervalo [5, 3; 5, 50]
24