105
CAPÍTULO 09 – RELAÇÕES E FUNÇÕES
Assunto
Pág.
9.1. INTRODUÇÃO
106
9.2. NOÇÃO DE FUNÇÃO
9.2.1. PRODUTO CARTESIANO
9.2.2. RELAÇÃO de A em B (R: A  B)
9.3. FUNÇÃO de A em B (f: A  B)
9.3.1. DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E CONJUNTO IMAGEM
107
109
9.3.2. RECONHECIMENTO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
110
9.3.3. CÁLCULOS ESPECIAIS DE IMAGENS
111
9.3.4. FUNÇÃO DEFINIDA POR VÁRIAS SENTENÇAS
9.3.5. ZEROS ou RAÍZES de uma função
115
9.3.6. FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE
116
9.4. FUNÇÃO COMPOSTA
118
9.5. FUNÇÃO INVERSA f – 1 (x)
121
9.5.1. REGRA PRÁTICA PARA OBTER A INVERSA f – 1 (x)
122
9.5.2. GRÁFICO DA FUNÇÃO INVERSA
123
TESTES COMPLEMENTARES (20 TESTES)
125
RESPOSTAS SÉRIE AULA
130
GABARITO TESTES COMLEMENTARES
QUESTÕES DISCURSIVAS (7 QUESTÕES)
131
RESPOSTAS QUESTÕES DISCURSIVAS
132
106
CAPÍTULO 09 – RELAÇÕES E FUNÇÕES
9.1. INTRODUÇÃO
Muitas grandezas com as quais lidamos no nosso cotidiano dependem uma da outra, isto é, a
variação de uma delas tem como conseqüência a variação da outra.
Exemplo 1: Angélica vende maravilhosos “chup-chup” ao preço de R$ 0,80 cada. Para não ter
de fazer contas a toda hora, ela montou a seguinte tabela:
Quantidade
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Valor (R$)
0,80
1.60
2,40
3,20
4,00
4,80
5,60
6,40
7,20
8,00
Nesse exemplo estão sendo medidas duas grandezas: a quantidade de “chup-chup” e
o respectivo valor. A cada quantidade de “chup-chup” corresponde um único valor.
Dizemos, por isso, que o preço é função da quantidade de “chup-chup”.
Assim, a fórmula matemática que estabelece a relação de interdependência entre o
valor (y) e a quantidade (x) será:
y = 0,80.x
Exemplo 2:
Um automóvel está percorrendo uma estrada à
velocidade constante de 120 km/h (que equivale a 2
km/min). O passageiro que vai ao lado do motorista
começa a anotar, de minuto em minuto, a distância
percorrida, que aparece no painel. O resultado pode ser
observado na tabela abaixo.
A cada instante (x) corresponde uma única distância percorrida (y). Dizemos que a
distância é função do instante. A fórmula que relaciona y com x é:
y = 2.x
Instante (min)
0
1
2
3
4
5
...
Distância (km)
0
2
4
6
8
10
...
9.2. NOÇÃO DE FUNÇÃO
Vamos, agora, estudar função, usando a teoria dos conjuntos, pois grandezas variáveis (tais
quais vistas nos exemplos anteriores) compõem conjuntos numéricos que se relacionam
segundo uma lógica específica.
Admitindo seu conhecimento prévio referente ao Plano Cartesiano e respectivos Pares
Ordenados (x,y), vamos estudar alguns conceitos necessários à formalização da definição de
função propriamente dita; entre os quais:
 Produto Cartesiano;
 Relação.
107
9.2.1. PRODUTO CARTESIANO
Dados dois conjuntos A e B, não vazios, o produto cartesiano de A por B (A X B), “lê-se A
cartesiano B”, é o conjunto dos pares ordenados (x, y) onde x é elemento do conjunto A e
y é elemento do conjunto B.
A X B = { (x, y) | x  A e y  B }
Exemplo: Sejam os conjuntos A = { 1, 2 } e B = { 0, 2, 4 }
A X B = { (1, 0), (1, 2), (1, 4), (2, 0), (2, 2), (2, 4) }.
Observações:



O produto cartesiano A X A = A2;
Se A  B, então A X B  B X A;
O número de elementos de A X B é dado por: n(A X B) = n(A).n(B), onde n(A) e
n(B) são, respectivamente, número de elementos do conjunto A e número de
elementos do conjunto B.
9.2.2. RELAÇÃO de A em B ( R: A  B)
Dados dois conjuntos A e B, não vazios, uma relação binária de A em B é um
subconjunto de A X B formado pelos pares (x, y) que possuem uma relação associando o
elemento x de A ao elemento y de B.
Exemplo: Sejam os conjuntos A = { 1, 2, 3, 4, 5 } e B = { 1, 2, 3, 4 }, então a relação
R = { x e A X B | x < y } é dada por :
R = { (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4) }.
Observações:
 O Domínio de uma relação R, de A em B, é o
conjunto formado pelos elementos x dos pares
ordenados (x, y);
 A Imagem de uma relação R, de A em B, é o
conjunto formado pelos elementos y dos pares
ordenados (x, y).
No exemplo acima:
D (R) = { 1, 2, 3 }, Im (R) = { 2, 3, 4 }.
EXERCÍCIOS SÉRIE AULA
1) (UFES) Se A = { 0, 1, 2 } e B = { 0, 2, 4, 5 } então o número de elementos distintos do
conjunto (A X B)  (B X A) é:
a) 4
b) 8
c) 12
d) 20
e) 24
108
2) (U.F.Uberlândia-MG) Dados os conjuntos A = { 0, –1, 1 }, B = { 1, 3, 4 } e C = { 0, 1 },
temos (A – B) X (C – B) igual a:
a) { (0, 0); (0, –1) }
b) { (–1, 0); (0, 0) }
c) { (0, 0); (0, 1) }
d) { (0, 1); (0, –1) }
e)  (vazio)
3) (U.E. Londrina) sejam os conjuntos A e B tais que A X B = { (–1; 0), (2; 0), (–1;2), (2; 2),
(–1;3), (2;3) }. O número de elementos do conjunto A  B é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
4) (Mack-SP) Dados os conjuntos A = { 2, 3, 4 } e B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, e a relação R de A em
B definida por R = { (x, y)  A X B | y = 2x – 3 }. R é representada por:
a) R = { (2, 1), (3,3), (4,5) }
b) R = { (1, 3), (2,5) }
c) R = { (1, 2), (3,3), (5,4) }
d) R = { (1, 3), (2,4), (3,5) }
e) R = { (2, 2), (1,4) }
5) (CELV) Se A = { x  N | x 50 } e B = { (x, y) e A2 | x < y }, então o número de elementos
do conjunto B é :
a) 1 275
b) 1 265
c) 1 255
d) 1 245
e) 2 500
109
9.3. FUNÇÃO de A em B ( f: A  B)
Sejam A e B conjuntos não vazios.
Uma função f, de A em B, é uma relação que associa a
cada elemento de A uma e somente uma imagem em B.
Toda função f: A  B é uma relação, entretanto, nem
toda relação R: A  B é uma função.
À direita, as figuras ( 1 ) e ( 2 ) são exemplos de relações
que são funções de A em B, e as figuras ( 3 ) e ( 4 ) são
exemplos de relações, de A em B, que não são funções.
Observações:
1) A figura ( 3 ) não representa uma f: A  B, pois existe um elemento do conjunto A que não
está associado a nenhum elemento do conjunto B;
2) A figura ( 4 ) não representa uma f: A  B, pois um elemento do conjunto A está associado
a mais de um elemento do conjunto B.
9.3.1. DOMÍNIO, CONTRADOMÍNIO E CONJUNTO IMAGEM
DOMÍNIO: Domínio de uma função f: A  B , é o
conjunto formado pelos elementos do
conjunto A, ou seja, D( f ) = A.
CONJUNTO IMAGEM:
Conjunto Imagem de uma função f: A  B , Im( f ), é o
conjunto formado pelos elementos do contradomínio (B)
que estão associados a elementos do domínio D( f ) = A.
CONTRADOMÍNIO: Na função f: A  B , é o conjunto B.
Observações: Podemos afirmar, com as definições acima, que para uma relação R: A  B
representar uma função,
“ cada elemento do domínio está associado a uma e somente
uma imagem no contradomínio”.
Em outras palavras, considerando os pares ordenados (x, y) da relação-função, de
A em B, um elemento x do domínio não pode estar associado a mais de um
elemento y do conjunto imagem.
110
9.3.2. RECONHECIMENTO GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
Exemplo 1: A relação R1 NÃO é uma função de A
em B, pois existem retas verticais traçadas pelos
pontos de abscissa pertencentes a A que cortam o
gráfico em mais de um ponto, e isto equivale a
termos para um elemento a de A mais de uma
imagem b em B.
Exemplo 2: A relação R2 NÃO é uma função de A
em B, pois o elemento a de A
não tem
correspondente em B. A reta vertical traçada por
(a, 0) não corta o gráfico.
Exemplo 3: O gráfico ao lado representa uma
função f: A  B , pois, verificando os segmentos
verticais, as respectivas intersecções com o
gráfico e imagens, cada elemento do domínio (D)
possui uma e somente uma imagem (Im).
“Para sabermos se um determinado gráfico
cartesiano representa uma função ou não,
basta verificarmos se toda reta vertical traçada
pelos pontos (x, 0), em que x é elemento do
domínio, corta o gráfico num único ponto”.
Observação:
No diagrama cartesiano de uma relação, função ou não, a projeção ortogonal do gráfico no
eixo horizontal informa seu domínio e a projeção no eixo vertical informa o conjunto imagem
relacionado.
111
9.3.3. CÁLCULOS ESPECIAIS DE IMAGENS
A determinação de uma imagem “f(a)” de uma função “f(x)”, quase sempre, não se resume na
substituição direta de “x = a” na lei de definição desta função.
É comum o desenvolvimento de cálculos aliando o raciocínio lógico aos conhecimentos de
seqüências numéricas (principalmente, progressões aritméticas), entretanto, outras
seqüências, com leis de formação próprias, podem surgir.
Exemplo 1: (UFLA) Seja f: R  R uma função tal que f(x + 1) = f(x) + 4 para todo x em R.
Sabendo-se que f(0) = 2, o valor de f(3) é:
a) – 4
b) 0
c) 8
d) 14
e) 16
Resolução: f(x + 1) = f(x) + 4
x=0
x=1
x=2
f(0 + 1) = f(0) + 4
f(1 + 1) = f(1) + 4
f(2 + 1) = f(2) + 4
f(1) = 2 + 4
f(2) = 6 + 4
f(3) = 10 + 4
f(1) = 6
f(2) = 10
f(3) = 14
Resposta: f(3) = 14 (alternativa d)
Exemplo 2: (UFMG) Uma função f: R  R é tal que f(5x) = 5.f(x) para todo número real x. se
f(25) = 75, então o valor de f(1) é:
a) 3
b) 5
c) 15
d) 25
e) 45
Resolução: Para encontrarmos f(1) podemos armar a seguinte estratégia para f(5x) = 5.f(x) :
Se x = 1  f(5.1) = 5.f(1)  f(5) = 5.f(1) f(1) = f(5) / 5 ................ (1)
Neste caso vamos precisar do f(5) ... conhecemos o f(25) = 75, lembra?
Se x = 5  f(5.5) = 5.f(5)  f(25) = 5. f(5)  75 = 5.f(5) f(5) =15
Então, em (1): f(1) = 15 / 5  f(1) = 3 (alternativa a)
Exemplo 3: (Viçosa-MG) Seja a função real f tal que f(x + 2) = f(x) + 5/6 e f(0) = 5/4.
Pode-se afirmar que f(12) vale:
a) 77/6
b) 25/4
c) 65/6
d) 53/4
e) 19/12
Resolução: Para f(x+2) = f(x) + 5/6 :
x=0
x=2
x=4

f(0 + 2) = f(0) + 5/6
f(2 + 2) = f(2) + 5/6
f(4 + 2) = f(4) + 5/6

Assim, como 5/4 é o mesmo que 15/12:
f(0)
15/12
f(0)
15/12
a1
f(2)
25/12
f(2)
25/12
a2
f(4)
35/12
f(4)
35/12
a3
...
...
...
...
f(12)
?
f(12)
?
a7
f(2) = 5/4 + 5/6
f(4) = 25/12 + 5/6
f(6) = 35/12 + 5/6

f(0) = 5/4
f(2) = 25/12
f(4) = 35/12
f(6) = 45/12

Verificamos que as imagens f(0), f(2), f(4), ...,
encontram-se em progressão aritmética de razão
10/12, ou seja, 5/6...
Atenção: O primeiro termo da PA é o f(0) e as
posições estão ordenadas de dois em dois:
f(0), f(2), f(4) ..., o f(12) será o 7º termo
da seqüência, concorda?
Na P.A., a7 = a1 + 6.r
a7 = 15/12 + 6.(10/12) a7 = 15/12 + 60/12 a7 = 75/12 
a7 = 25/4 (alternativa b).
112
Exemplo 4: (Cesgranrio) Se f ( n  1 ) 
2 f(n) 1
2
, para n = 1, 2, 3, ... e se f(1) = 2,
então f(101) é:
a) 49
b) 50
c) 51
d) 52
e) 53
Resolução:
Sabemos que muitas questões envolvendo “cálculos especiais de imagens” recaem
em uma progressão aritmética;
A identificação da P.A. pode ser facilitada se a função envolvida apresentar, em
sua expressão matemática, um número sendo somado (ou subtraído), entretanto,
isso não garante que a seqüência numérica é uma progressão aritmética;
Basta, então, planificar a seqüência de pelo menos três termos consecutivos numa
tabela e analisar a fórmula do termo geral envolvida.
No teste anterior, a P.A. fica configurada facilmente, contudo, uma atenção especial
deve ser adotada em casos onde ocorre f(0) “posição zero”.
Neste teste da Cesgranrio:
f ( n 1) 
2f(n) 1
2

f ( n 1) 
2f(n)
2
f ( n 1)  f ( n ) 

1
2
1
2
........... (1)
Analisando as imagens da função como termos de uma seqüência numérica:
“O termo da posição seguinte é igual ao termo anterior mais um número fixo (razão = 1/2)”.
Trata-se de uma Progressão Aritmética, onde a1 = f(1) = 2 e a razão r = 1/2 .
Assim: f(101) = f(1) + 100.r
f(101) = 2 + 100.(1/2)
f(101) = 52 . (alternativa d)
113
EXERCÍCIOS SÉRIE AULA
6) (UFMG) das figuras abaixo, a única que representa o gráfico de uma função real y = f(x),
x  [a, b] é:
a)
d)
b)
e)
c)
7) (UFMG) Dos gráficos, o único que representa uma função de imagem { y  R | 1  y  4 } e
domínio { x  R | 0  x < 3 } é:
a)
c)
b)
d)
e)
114
8) (Unisinos-RS) Suponha que o número de carteiros necessários para distribuir, em cada dia,
as correspondências entre as residências de um bairro seja dado pela função
22 x
f(x) 
, em que x é o número de residências e f(x) é o número de carteiros.
500  2 x
Se foram necessários 6 carteiros para distribuir, em um dia, estas correspondências, o
número de residências desse bairro, que as receberam, é:
a) 300
b) 340
c) 400
d) 420
e) 460
9) (Unifor-CE) certo economista supõe que, em uma população de f famílias, o número N de
2 f
famílias cuja renda excede x reais é uma função da variável x dada por N 
.
x
De acordo com essa função, quantas são as famílias brasileiras cuja renda excede 2 500
reais? (suponha que há 30 000 000 de famílias no país.)
a) 5 000 000 de famílias.
b) Entre 5% e 9% das famílias.
c) Entre 1% e 5% das famílias.
d) Menos que 1% das famílias.
e) 6 000 famílias.
10) (UFMG) Observe o gráfico, em que o segmento AB é paralelo ao eixo das abscissas.
Esse gráfico representa a relação entre a ingestão de
certo composto, em mg/dia, e sua absorção pelo
organismo, também em mg/dia.
A única afirmativa falsa relativa ao gráfico é:
a) A razão entre a quantidade absorvida e a quantidade
ingerida é constante.
b) A absorção resultante da ingestão de mais de 20 mg/dia
é igual à absorção resultante da ingestão de 20 mg/dia.
c) Para ingestões acima de 20 mg/dia, quanto maior a
ingestão, menor a porcentagem absorvida do composto
ingerido.
d) Para ingestões de 20 mg/dia, a absorção é proporcional
à quantidade ingerida.
11) (UFES) Num tanque, as variações na população de espécies de peixes A, B e C são
descritas, no período de 10 meses, pelos gráficos abaixo:
Assinale a alternativa correta:
a) No período de 0 a 2 meses, a população B
manteve-se menor que a C.
b) No quinto mês, havia menos de 3 500
peixes nesse tanque.
c) No período de 0 a 5 meses, as populações
B e C mantiveram-se crescentes.
d) A população C atingiu o seu máximo no
terceiro mês.
e) No período de 3 a 7 meses, a população B
manteve-se maior que a A.
115
12) (UF-MA) Seja f: R  R uma função, tal que 2 f (2x + 1)= f(x) – 5 para todo x real. O valor
de f(0), sabendo-se que f(31) = 0, é:
a) 255
b) 0
c) 150
d) 75,5
e) 155
13) (Uneb-BA) ) Para uma função f: R  R , que satisfaz as condições
I. f(x + y) = f(x) + f(y)
II. f(1) = 3,
O valor de f(3) é igual a:
a) 1
b) 3
c) 6
d) 9
e) 27
9.3.4. FUNÇÃO DEFINIDA POR VÁRIAS SENTENÇAS
Na maioria das vezes, uma função f fica definida por uma única sentença matemática, mas
pode também ser definida por várias sentenças.
Exemplo 1: Seja a função f: R  R definida por
 1 para x  2
f(x)  
  1 para x  2
O gráfico cartesiano desta função é:
Exemplo 2: Seja a função f: R  R definida por
  x  3 se x  1

f(x)  
2 se 1  x  2

x se x  2

O gráfico cartesiano desta função é:
9.3.5. ZEROS ou RAÍZES de uma função
Dada uma função y = f(x), os valores de x para os
quais f(x) = 0 são chamados raízes ou zeros dessa
função.
116
Observações:
1) Teorema de Bolzano
Seja f(x) = 0 uma equação polinomial com coeficientes reais e (a, b) um intervalo
real aberto:


Se f(a) e f(b) têm mesmo sinal, então existe um número par de raízes reais ou
não existem raízes reais no intervalo (a, b);
Se f(a) e f(b) têm sinais diferentes, então existe um número ímpar de raízes
reais da equação no intervalo (a, b).
2) Teorema das Raízes Irracionais
Numa equação polinomial com coeficientes racionais, se ( m 
irracional, então ( m 
n ) for raiz
n ) também o será, com m e n racionais.
9.3.6. FUNÇÃO CRESCENTE E FUNÇÃO DECRESCENTE
Considerando que x1 e x2 pertençam a um intervalo [a, b] contido no domínio de f(x), dizemos
que, neste intervalo, f(x) será:


Crescente: se e somente se x2 > x1  f(x2) > f(x1);
Decrescente: se e somente se x2 > x1  f(x2) < f(x1).
117
Exemplo 1:
Seja a função f de A = { x  R | x  0 } em B = { y  R | y  1 },
definida pela lei y = x2 + 1.
Pelo gráfico de f(x):


Para x1 = 1 temos f(x1) = 2
Para x2 = 2 temos f(x2) = 5
Então:
x2 > x1 e f(x2) > f(x1) .
Nesse caso, dizemos que a função é crescente no intervalo
considerado.
Exemplo 2:
Seja a função f de A = { x  R | x  1 } em B = { y  R | y  4 },
definida pela lei y = – x2 + 2x + 3.
Pelo gráfico de f(x):


Para x1 = 1 temos f(x1) = 4
Para x2 = 2 temos f(x2) = 3
Então:
x2 > x1 e f(x2) < f(x1) .
Nesse caso, dizemos que a função é decrescente no intervalo
considerado.
Observações:
1) Algumas funções podem ser crescentes em certos intervalos e
decrescentes em outros, por exemplo:
f(x) = x2 – 4 .
2) Existem funções que não são nem crescentes nem decrescentes;
toda função com esta característica é denominada “função
constante”.
A função f(x) = 3, por exemplo, representada pelo gráfico ao lado,
não é nem crescente nem decrescente no intervalo [ –3, 3 ].
118
9.4. FUNÇÃO COMPOSTA
Dados os conjuntos A = { 0, 1, 2 }, B = { 0, 1, 2, 3, 4 } e
C = { 0, 1, 4, 9, 16 }, vamos considerar as funções:
f: A  B definida por f(x) = 2x
g: B  C definida por g(x) = x2
 Através de uma função h(x): A  C , composta de g
e f é possível levar cada elemento de A diretamente
a C, como vemos no esquema ao lado.
A função h(x) pode ser obtida aplicando f(x) aos
elementos de A; em seguida, essas imagens são
transformadas para g(x), ou seja:
(A  B)  C = A  C .
x = 0  f(0) = 2.(0)  f(0) = 0  g(0) = (0)2  g(0) = 0  h(0) = 0
x = 1  f(1) = 2.(1)  f(1) = 2  g(2) = (2)2  g(2) = 4  h(1) = 4
x = 2 f(2) = 2.(2)  f(2) = 4  g(4) = (4)2  g(4) = 16  h(2) = 16
Genericamente:
h(x) = g ( f(x) ) ou
h(x) = g o f(x) ) ou
h(x) = (g o f)(x)
A função h(x) representa a função g composta com f.
119
EXEMPLOS RESOLVIDOS
Exemplo 1: (Cesgranrio) Sejam f e g funções definidas em R por f(x) = 2x + 1 e g(x) = x – 3. O
valor de g ( f(3) ) é:
a) –1
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Resolução:
x = 3  f(3) = 2(3) + 1  f(3) = 7
g ( f(3) ) = g ( 7 )  g ( f(3) ) = (7) – 3  g ( f(3) ) = 4 . (alternativa e)
Exemplo 2: (P. Bucchi) Sejam as funções f e g de R em R, definidas por f(x) = x + 5 e g(x) = x – 5.
O conjunto solução da equação ( f o g )(x) = 3 é:
a) S = 
b) S = { 3 }
c) S = { 5, –5 }
d) S = { 5, –3 }
e) n.d.a.
Resolução:
( f o g )(x) = 3  ( g(x) ) + 5 = 3
( x – 5 ) + 5 = 3  x = 3 S = { 3 } . (alternativa b)
Exemplo 3: (UFPA) Dadas as funções f ( x ) 
a) 0
b) 1
c) 2
x  3 e g(x) = x2 – 1, o valor de (g o f)(0) é:
d)
3
e) 2
Resolução:
( g o f )(0) = g ( f(0) )
f(0) = 0  3  3
( g o f )(0) = g ( 3 )
( g o f )(0) = ( 3 ) 2  1  ( g o f )(0) = 2 . (alternativa e)
Exemplo 4: (UCSal-BA) Sejam f e g funções de R em R de modo que f(x) = 2x – 3 e
f(g(x)) = – 4x + 1. nessas condições, g( –1 ) é igual a:
a) –5
b) –4
c) 0
e) 5
d) 4
Resolução:
f(g(x)) = – 4x + 1
2( g(x) ) – 3 = – 4x + 1  2.g(x) – 3 = – 4x + 1  g(x) = – 2x + 2
g(x) = – 2x + 2  g( –1 ) = – 2 ( –1 ) + 2
g( –1 ) = 4 . (alternativa d)
Exemplo 5: (P. Bucchi) Seja uma função tal que f (2x – 3) = 4x2 + 5 , para todo x real.
Determine f(x).
Resolução:
t 3
Fazendo 2x – 3 = t  x 
2
2
f(2x – 3) = 4x + 5  f ( t ) = 4x2 – 5
2
t 3
  5  f ( t ) = t2 + 6t + 14
f ( t )  4.
 2 
Como “t” representa um número real qualquer, podemos eventualmente trocá-lo
pela variável x. Portanto,
f(x) = x2 + 6x + 14 .
120
EXERCÍCIOS SÉRIE AULA
14) (UFRN) Se f(x) = x2 – 1, então f(x) é crescente no intervalo:
a) [ 0, +  [
b) [ – 1, 1 ]
c) [– 1, +  [
d) ] – , 1 ]
e) ] – , 0 ]
15) (FGV-SP) Considere as funções f(x) = 2x + 1 e g(x) = x2 – 1. Então, as raízes da equação
f(g(x)) = 0 são:
a) inteiras
b) negativas
c) racionais não inteiras
d) inversas uma da outra
e) opostas.
16) (PUC-SP) Se f(x) = 3x – 4 e f(g(x)) = x + 4, então g(1) vale:
a) – 2
b) 0
c) 1
d) 3
e) 5
17) (UFRN) Seja f uma função real de variável real. Se f(x + 3) = x2 + 2, então f(– 1) é igual a:
a) 12
b) 18
c) 24
d) 30
e) 48
18) (Mack-SP) Sejam as funções reais definidas por f(x + 3) = x + 1 e f(g(x)) = 2x. Então o
valor de g(0) é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
121
19) (Mack-SP) Na figura, temos o gráfico de uma função f. Desse modo, f(f(1)) vale:
a) – 3
b) – 1
c) – 1/2
d) 1/2
e) 2
20) (UFES) Sejam f, g: R  R funções tais que g(x) = 3x + 6 e (f o g)(x) = x2 – 1 para cada x R.
Então o valor de f em zero é:
a) – 1
b) 0
c) 3
d) 2
e) 1
9.5. FUNÇÃO INVERSA f – 1 (x)
Existem funções que, sob certas condições, originam outras funções.
Quando uma função f : A  B origina uma outra função, de B  A, ou seja, com domínio e
contradomínio iguais, respectivamente, ao contradomínio e ao domínio de f, tal função
originada é denominada função inversa da função f , a qual indicamos, geralmente, por f – 1.
Pela definição de função, vista no item 9.3, uma função f : A  B será inversível, ou seja,
possuirá inversa f – 1 se, e somente se:
D (f – 1 ) = Im ( f )
Im (f – 1 ) = D ( f )
Exemplo: Sejam os conjuntos A = { 0, 2, 4 }, B = { 1, 5, 9 } e as seguintes funções:
f : A  B, definida por f(x) = 2x + 1
x 1
g : B  A, definida por g(x) =
2
D ( f ) = { 0, 2, 4 }
D ( g ) = { 1, 5, 9 }
Im ( f ) = { 1, 5, 9 }
Im ( g ) = { 0, 2, 4 }
f = { (0, 1), (2, 5), (4, 9) }
g = { (1, 0), (5, 2), (9, 4) }
122
9.5.1. REGRA PRÁTICA PARA OBTER A INVERSA f – 1(x)
O novo “y” é a
função inversa f – 1(x)
 Em y = f(x), trocar “x” por “y” e “y” por “x”, obtendo-se x = f(y)
 Isolar a variável “y”, obtendo-se, então, f – 1(x).
Exemplo 1: Determine a inversa da função f(x) = 2x – 3.
Resolução:
Portanto, f – 1(x) =
x3
2
Exemplo 2: Seja uma função f: R – { 1/2 }  R – { 3/2 }, definida por f ( x ) 
3x  5
2x 1
Determine a inversa da função f.
Resolução:
f(x) 
3x  5
2x 1
 y 
3x  5
2x 1
Trocando de variável, vem: x 
3y  5
2y 1
Isolando y, temos:
x(2y + 1) = 3y – 5  2xy + x = 3y – 5  2xy – 3y = – x – 5
y.(2x – 3 ) = – x – 5  y =
 x 5
2x  3
 f – 1(x) =
 x 5
2x  3
.
Observações:
1) O resultado encontrado poderia ter sido arrumado da seguinte forma:
f – 1(x) =
 x  5 .( 1 )
2 x  3 .( 1 )
 f – 1(x) =
x 5
3  2x
;
2) Atente-se às informações do enunciado referentes ao domínio e ao
contradomínio da função f e conclua sobre a existência da função f – 1(x).
Resposta: f – 1(x) =
x 5
3  2x
.
123
9.5.2. GRÁFICO DA FUNÇÃO INVERSA
Vamos tomar como exemplo as funções f ( x ) 
x 1
2
e f 1 ( x )  2 x  1 .
Observe que para cada par (x, y)  f tem-se (y, x )  f-1. Então podemos concluir:?
O gráfico de uma função f(x) e o de sua inversa f – 1(x) são simétricos em relação à bissetriz
dos quadrantes ímpares.
Por meio de simetria, podemos, a partir do gráfico de uma função inversível dada, construir o
gráfico da função inversa correspondente.
124
EXERCÍCIOS SÉRIE AULA
21) (UFAL) Seja f a função de R em R, dada por f ( x )  
x
3
 2 . Se f –1 é a função inversa de
f, então f –1(1) é igual a:
a) – 3
b) – 1/3
c) 3
d) 6
e) 9
1
1 
. Se f admite
22) (UFSE) Seja a função f : IR     B  IR , definida por f ( x ) 
2x 1
2 
inversa f –1, o domínio de f –1 é:
a) R – { 2 }
b) R – { 1/2 }
c) R
d) R +
e) R – { 0 }
23) (F.C.Chagas-BA) A função inversa da função f ( x ) 
a) f 1 ( x ) 
b) f 1 ( x ) 
c) f 1 ( x ) 
d) f 1 ( x ) 
e) f 1 ( x ) 
x3
x3
é:
2x 1
2x 1
x 3
1  2x
3x
3x 1
x 2
3x 1
2x
24) (P.Bucchi) Seja f a função definida por f ( x ) 
tais que f 1 ( x ) 
a) 3 e 4
b) 4 e 3
c) – 4 e – 3
d) 4 e – 3
e) – 4 e 3
2x 1
x2
ax  b
3x  2
4x 1
, são, respectivamente:
, com x 
1
4
. Os valores de a e b,
125
, então o gráfico de f – 1 é:
25) (Fafi-MG) Se o gráfico de f é
a)
b)
c)
d)
TESTES COMPLEMENTARES
1) (PUC-RS) Seja R a relação de A = { x  Z | – 3 < x  5 } em B = { x  Z | – 2  x < 4 },
definida por x2 = (y – 1)2 com x  A e y  B. O conjunto imagem de R é:
a) { x  Z | – 2  x < 4 }
b) { x  Z | – 2  x < 4 }
c) { x  Z | – 2  x  4 }
d) { x  Z | – 3  x < 4 }
e) { x  Z | – 3  x  4 }
2) (Mack-SP)
Sejam A = { 0, 1, 2, 3 }, B = { 1, 2, 4, 5 } e a relação R = { (x, y)  A X B y = 2x – 1 }.
O domínio e a imagem dessa relação são, respectivamente:
a) { 1, 3 } e { 1, 5 }
b) { 0, 1, 2 } e { 2, 4 }
c) { 0, 1, 2, 3 } e { 1 }
d) A e B
e) n.d.a.
3) (Santa Casa-SP) Sejam A e B conjuntos não vazios. Se A X B tem 12 elementos, então
A  B pode ter, no máximo:
a) 7 elementos
b) 8 elementos
c) 11 elementos
d) 121 elementos
e) 13 elementos
126
4) (ENEM) Um estudo sobre o problema do desemprego na Grande São Paulo, no período
1985–1996, realizado pelo Seade–Dieese, apresentou o seguinte gráfico sobre taxa de
desemprego:
Pela análise do gráfico, é correto afirmar que, no período considerado:
a) a maior taxa de desemprego foi de 14%.
b) a taxa de desemprego no ano de 1995 foi a menor do período.
c) a partir de 1992, a taxa de desemprego foi decrescente.
d) no período de 1985–1996, a taxa de desemprego esteve entre 8% e 16%.
e) a taxa de desemprego foi crescente no período compreendido entre 1988 e 1991.
5) (UFRS) A taxa de crescimento natural de uma população é igual à diferença entre as taxas
de natalidade e mortalidade, cujas evoluções estão representadas no gráfico a seguir.
Dentre as opções abaixo, a maior taxa de crescimento natural da população ocorreu no ano de:
a) 1881
b) 1900
c) 1930
d) 1955
e) 1993
127
6) (Covest-PE) Analisando o gráfico que representa a taxa média mensal de desemprego na
região metropolitana do Recife em 1996 (dados do IBGE), é incorreto afirmar que:
a) A taxa de desemprego não cresceu entre janeiro e abril.
b) a menor taxa de desemprego ocorreu em dezembro.
c) Durante o ano de 1996, a taxa de desemprego não excedeu 5%.
d) A média anual de desemprego em 1996 foi superior a 3%.
e) A média anual de desemprego em 1996 foi inferior a 7%.
7) (Funrei-MG) Na figura abaixo, está representado o gráfico de uma função real de variável
real y = f(x):
Considerando os elementos desse gráfico, analise as afirmativas seguintes:
I. A função f em questão possui exatamente 3 raízes reais.
II. A função f é crescente no intervalo [ 1/4 , 7/3 ].
III. A função f é decrescente no intervalo [ 10/3 , 9/2 ].
IV. f(3) + f(1) < f(2) + f(5).
V. f(19/3) + f(–19/3) = 0
De acordo com esses dados, a alternativa correta é:
a) Todas as afirmativas são falsas.
b) Apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
c) Apenas a afirmativa V é falsa.
d) Apenas a afirmativa III é verdadeira.
128
8) (Fatec-SP) Suponhamos que a população de uma certa cidade seja estimada, para daqui a
1 

  1000 habitantes. Estima-se que, durante o 3º ano, essa
x anos, em f ( x )   20 
x 
2


população:
a) se manterá constante;
b) aumentará em até 125 habitantes;
c) aumentará em até 250 habitantes;
d) diminuirá de até 125 habitantes;
e) diminuirá de até 250 habitantes;
9) (UFMG) Seja f: R  R uma função tal que f(x + 1) = 2.f(x) – 5 e f(0) = 6. O valor de f(2) é:
a) 0
b) 3
c) 8
d) 9
e) 12
10) (UF-CE) Considere a função real definida por f ( x ) 
2x  3
, x  – 3/2.
1
1
x
3
2
Então o valor da soma 1.f(1) + 2.f(2) + 3.f(3) + . . . + 20.f(20) é:
a) 120
b) 600
c) 210
d) 620
e) 1 260
11) (F.Carlos Chagas-MG) As funções f e g, de R em R, são definidas por f(x) = 3x + 2 e
g(x) = 2x + m. Se f(g(x)) = g(f(x)), então m é igual a;
a) – 2
b) – 1
c) 0
d) 1
e) 2
12) (Vunesp-SP) Se f e g são funções de R em R tais que f(x) = 2x + 3 e f(g(x)) = 2x – 5, então
g(f(2)) é igual a:
a) – 1
b) 2
c) 3
d) 5
e) 6
13) (UFES) Se f: R  R, dada por f(x) = mx + n, com m  0, é tal que f(f(x)) = 2.f(x) para todo x
real, então m + n é igual a:
a) 3
b) 2
c) 0
d) – 1
e) – 2
129
14) (UFES) Se f(x) = x3 + 1 e g(f(x)) = x, então:
a) g ( x ) 
x
x3 1
b) g ( x )  3 x  1
c) g(x) = x3 + 1
d) g ( x )  3 x  1
e) g(x) = x3 – 1
15) (UFES) Seja f a função dada por f ( x ) 
x 5
, para x real diferente de 
2x  3
função tal que g(f(x))=x para todo x do domínio de f, então g(1) vale:
3
2
. Se g é a
a) – 5/3
b) – 3
c) – 4
d) – 8
e) – 2/5
16) (F.Visconde de Cairu-BA) dada a função f(g(x)) = 4x – 1 e g(x) = 2x + 3, pode-se afirmar que:
a) f(x) = x – 7
b) f –1(0) = 0
c) f(3) = – 5
d) f –1(3) + f(3) = 4
e) f –1(1) + g(2) = 10
17) (Cesgranrio) Sejam f: ] 0 , +
 [  ] 0, +  [ a função dada por f(x) =
inversa de f. O valor de f –1 no ponto 4 é:
1
x
2
e f
–1
a função
a) 1/4
b) 1/2
c) 1
d) 2
e) 4
18) (UEPI) Sejam f e g funções reais de variável real tal que f(x) = 2x + 3 e (f o g)(x) = – 6x + 5.
Se g –1 indica a inversa da função g, então g –1(1) é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
19) (Mack-SP) A função f, definida em R – { 2 }, dada por f ( x ) 
O seu contradomínio é R – { a } . O valor de a é:
a) 2
b) – 2
c) 1
d) – 1
e) n.d.a.
2x
2x
é inversível.
130
20) (Cesesp-PE) Seja f: R  R a função dada pelo gráfico seguinte:
Identifique a alternativa que corresponde ao gráfico da função inversa de f:
a)
d)
b)
e)
c)
RESPOSTAS SÉRIE AULA
1
2
3
4
5
D
B
B
A
A
6
7
8
9
10
E
C
A
C
C
11
12
13
14
15
C
E
D
A
E
16
17
18
19
20
D
B
C
A
C
21
22
23
24
25
GABARITO TESTES COMPLEMENTARES
1
2
3
4
5
B
A
E
D
D
6
7
8
9
10
C
D
B
D
E
11
12
13
14
15
D
C
B
B
D
16
17
18
19
20
D
B
A
D
C
C
E
E
D
A
131
QUESTÕES DISCURSIVAS
D1) (UFMG) Seja f: N – Z a função definida por:
f (0) = 2
f (1) = 3
f (n + 1) = 2.f (n) – f (n – 1)
Determine o valor de f (3).
D2) (UFMG) Observe a tabela abaixo:
Essa tabela é utilizada para calcular o imposto de renda a ser pago à Receita Federal por
um trabalhador assalariado no mês em questão.
Para se obter o rendimento para base de cálculo, deve-se subtrair de seu rendimento
bruto todas as deduções a que ele tem direito.
Ao rendimento para base de cálculo aplica-se a alíquota correspondente e, em seguida,
subtrai-se a parcela a deduzir, também correspondente, de acordo com a tabela,
obtendo-se assim o valor do imposto de renda a ser pago.
Nesse mês, um trabalhador, cujo rendimento bruto foi de R$ 2 000,00, teve direito
somente às seguintes deduções: R$ 90,00 por dependente e R$ 200,00 pagos à
Previdência.
Nessas condições, sabendo-se que o valor do imposto pago por esse trabalhador, nesse
mês, foi de R$ 108,00, qual foi o número de dependentes considerado?
D3) (Unicap-PE) Um estudo das condições ambientais de um município indica que a taxa
média de monóxido de carbono no ar será de C(p) = 0,5p – 1 ppm (partes por milhão)
quando a população for de p milhares de habitantes.
Daqui a t anos, a população será de p(t) = 10 + 0,1t2.
a) Atualmente, qual é a taxa de monóxido no ar?
b) Qual será a taxa de monóxido de carbono daqui a 4 anos?
c) Daqui a quanto tempo a concentração do monóxido será de 9 ppm?
d) Determine o nível de monóxido em função do tempo.
D4) (FEI-SP) Sendo f(2x + 3) = 4x2 + 6x + 1,  x  R, determine f(1 – x).
D5) (Faap-SP) Qual o valor de k que torna as funções de R em R definidas por f(x) = kx – 1 e
x 1
g( x ) 
inversas uma da outra?
2
132
x 1
, definida para todo x real e x  1, e g(x) = 2x + 3
x 1
definida para todo x real, de modo que exista a composta f o g.
D6) (UFSC) Sejam as funções f ( x ) 
Analise as seguintes afirmações:
1 
a) Para todo x  R – { 0, 1 } tem-se f     f ( x ) .
x
b) O domínio de f o g é R – { – 1 }.
c) Os gráficos de g e de g –1 interceptam-se em um único ponto do 2º quadrante.
D7) (UFPR) No interior de uma caverna existe uma
estalagmite cuja altura aumenta de modo constante à
razão de 1 cm a cada 10 anos. Nessas condições, a
t
, com t  0, relaciona a
função h definida por h ( t ) 
10
altura da estalagmite (em centímetros) com o tempo t
(em anos) decorrido desde o início de sua formação.
Analise as seguintes informações:
a) A função inversa de h é definida por h 1 ( t ) 
10
t
.
b) Serão necessários 200 anos para que haja um aumento de 20 cm na altura da estalagmite.
c) h (h –1(50)) = 50.
RESPOSTAS QUESTÕES DISCURSIVAS
D1
D2
D3
D4
D5
D6
D7
f (3) = 5
2 dependentes
a) 4 ppm
b) 4,8 ppm
c) 10 anos
d) C(t) = 4 + 0,05 t2
f(1 – x) = x2 + x – 1
k=2
a) Verdadeira b) Verdadeira c) Falsa; interceptam-se em (– 3, – 3)  III Q.
a) Falsa; h – 1(t) = 10t
b) Verdadeira
c) Verdadeira