1. CAPÍTULO 1 – TEORIA DOS CONJUNTOS
Tarefa 1
01 – (ESPCEX/2003) Quaisquer que sejam o
número irracional a e o número racional b, pode-se
afirmar que, sempre,
a) a . a é irracional
2
b) a + b é racional.
c) a . b é racional.
d) b – a + 2 é irracional.
e) b + 2a é irracional.
02 – (EEAR/2004-2) Se A = {x  N* / x < 9} e B = { x
 A / x + 1  6}, então o complementar de B em A é
igual a:
a) {2, 3, 4, 5, 6).
b) {1, 2, 3, 4, 5,}.
c) {6, 7, 8}.
d) {1, 7, 8}
03 – (EEAR/2004-2) É correto afirmar que:
a) o número 0,37222... é racional.
b) toda raiz de uma equação do 2º graus é um
número real.
c) o quadrado de qualquer número real é um número
racional.
d) o número 2 pode ser representado sob a forma
p
sendo p e q inteiros, e q  0.
q
04 – (Espcex/95) - Sejam A, B e C conjuntos finitos.
O número de elementos de A  B é 25, o número de
elementos de A  C é 15 e o número de elementos
de A  B  C é 10. Então, o número de elementos
de A  (B  C) é:
a) 30
b) 10
c) 40
d) 20
e) 15
05 – (Espcex/98) - Considerando-se que:
A  B  C = {n  N / 1  n  10}
A  B = {2, 3, 8}
A  C = {2, 7}
B  C = {2, 5, 6}
A  B = {n  N / 1  n  8}
Pode-se afirmar que o conjunto C é:
a) {9,10}
b) {5,6,9,10}
c) {2,5,6,7,9,10}
d) {2,5,6,7}
e) A  B
06 – (Espcex/2001) - Dados os conjuntos:
R = {x / x é um número real}
Q = {x / x é um número racional}
N = {x / x é um número natural}
P = {x / x é um número primo}
E considerando as afirmações:
I-PQ
II - R  Q
III - P  Q
IV - 5  (Q  P)
V - 6  (R  Q  N  P)
Estão corretas as afirmações:
a) I e III
b) II e V
c) III e IV
d) IV e V
e) I e V
07 – (Espcex/96) Sejam os conjuntos A
com 2 elementos, B com 3 elementos e
C com 4 elementos. O número de
elementos do conjunto C - [(A  B)  C] pode variar
entre:
a) 2 e 4
b) 2 e 3
c) 0 e 4
d) 0 e 3
e) 0 e 2
08 – (Espcex/96) Sendo
R+, o conjunto dos números reais não negativos,
Q, o conjunto dos números racionais,
Z, o conjunto dos números inteiros,
N, o conjunto dos números naturais,
a intersecção dos conjuntos R+, Q  (N  Z) e (Z  Q) 
N é igual a:
a) 
b) R *
c) Q*
d) N
e) Z+
09 – (Espcex/93) Se A é o conjunto dos números
naturais múltiplos de 15 e B o conjunto dos números
naturais múltiplos de 35, então A  B é o conjunto
dos números naturais múltiplos de:
a) 15
b) 35
c) 105
d) 525
10 – (Espcex/93) Dos conjuntos X, Y e Z sabe-se
que:
I) X  Y  Z = {a,b}
II) X  Y = {a,b,c,e,f}
III) Y  Z = {a,b,e,g}
IV) X  Z = {a,b,c,f,g}
Então, o conjunto X é dado por:
a) {a,b,e,f}
b) {a,c,f,g}
Matemática
1
c) {a,b,e,g}
d) {a,b,c,f}
11 – (Espcex/94) Sejam A, B e C conjuntos
quaisquer com B  , tais que:
i) B  P(A), onde P(A) é o conjunto das partes de A;
ii) A e C são disjuntos
Com relação às seguintes proposições:
I) (A  B)  C  A  B  C
II) (C - B)  (A - B)  A  B  C
III) (A  B)  (C  B)  (A - B)  (C  B) podemos
afirmar que:
a) I é a única verdadeira
b) I e III são verdadeiras
c) III é a única verdadeira
d) I e II são verdadeiras
e) I, II e III são verdadeiras
12 – (Espcex/95) Qual é a afirmação verdadeira?
a) A soma de dois números irracionais é um número
irracional.
b) O produto de dois números irracionais distintos é
um número irracional.
c) O quadrado de um número irracional é um
número racional.
d) A diferença entre um número racional e um
número irracional é número irracional
e) A raiz quadrada de um número racional é um número
irracional.
13 – (Espcex/2000) É correto afirmar que:
a) A soma e a diferença de dois números naturais é
sempre um número natural.
b) O produto e o quociente de dois números inteiros
é sempre um número inteiro.
c) A soma de dois números racionais é sempre um
número racional.
d) A soma de dois números irracionais é sempre um
número irracional.
e) O produto de dois números irracionais é sempre
um número irracional.
14 – (Espcex/99) Em uma pesquisa realizada na
EsPCEx com uma turma de 30 alunos, constatou-se
que:
 15 alunos conhecem a cidade do Rio de Janeiro;
 12 alunos conhecem a cidade de São Paulo;
 9 alunos conhecem ambas as cidades.
Escolhendo ao acaso um aluno dessa turma,
a probabilidade de que ele conheça a cidade do Rio
de Janeiro ou a cidade de São Paulo é:
1
2
2
b)
3
3
c)
5
3
d)
10
a)
2
e)
9
10
15 – (Espcex/96) Numa pesquisa feita junto a 200
universitários sobre o hábito de leitura de dois
jornais (A e B), chegou-se às seguintes conclusões:
(1) 80 universitários lêem apenas um jornal;
(2) o número dos que não lêem nenhum dos jornais
é o dobro do número dos que lêem ambos os
jornais;
(3) o número dos que lêem o jornal A é o mesmo
dos que lêem apenas o jornal B.
Com base nesses dados, podemos afirmar que o
número de universitários que lêem o jornal B é:
a) 160
b) 140
c) 120
d) 100
e) 80
16 – Uma prova era constituída de dois problemas.
300 alunos acertaram somente um dos problemas,
260 acertaram o segundo, 100 alunos acertaram os
dois e 210 erraram o primeiro. Quantos alunos
fizeram a prova?
17 – (AFA/97) Em um grupo de n cadetes da
Aeronáutica, 17 nadam, 19 jogam basquetebol, 21
jogam voleibol, 5 nadam e jogam basquetebol, 2
nadam e jogam voleibol, 5 jogam basquetebol e
voleibol e 2 fazem os 3 esportes. Qual o valor de n,
sabendo-se que todos os cadetes desse grupo
praticam pelo menos um desses esportes?
a) 31
b) 37
c) 47
d) 51
18 – (FUVEST) Na figura estão representados
geometricamente os números reais 0, x, y e 1. Qual a
posição do número xy?
a) À esquerda do 0;
b) Entre 0 e x;
c) Entre x e y;
d) Entre y e 1;
e) À direita de 1.
19 – (ESPCEX/2004) Dados os números a = 3  1 ,
b = 3  1 e c = 0,1333..., pode-se afirmar que:
a) a . b é um número irracional.
b) (a – b) . c é um número irracional.
c) (a + b) . c é um número racional.
d) b . c é um número racional.
e) a . b . c é um número racional.
Curso Oficina – Preparatório às Escolas Militares e Vestibulares
Tarefa 2
Nível 1 –   
01 – (UFJF/99) - Sejam A, B e C conjuntos finitos.
Denotando por n(x) o número de elementos do
conjunto finito X, pode-se afirmar que:
a) n(A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C);
b) n(A  B  C)  n(A) + n(B) + n(C);
c) n(A  B  C)  n(A) + n(B) + n(C);
d) n(A  B  C)  n(A  B  C).
02 – (UFJF/96) - Sejam A, B e C conjuntos quaisquer num
universo U. Assinale a afirmativa correta:
a) se A  B = A  C, então B = C;
b) se A possui m elementos e B possui n elementos,
então A  B possui m + n elementos;
c) se A = { , {  } }, então   A e   A;
d) CU (A - B) = (CU A)  B, onde CU X é o
complementar do conjunto X em relação a U;
e) se A possui 7 elementos, então o conjunto
formado por todos os subconjuntos não vazios de A
possui 128 elementos.
03 - (UFJF/2002-2) Considere o conjunto A = { {}, },
onde o símbolo  representa o conjunto vazio. Marque
a alternativa incorreta.
a)   A
b)   A
c) { {} }  A
d) { {} }  A
04 – (UFJF/96) - Considere as seguintes afirmativas:
I - O produto de dois números irracionais é um
número irracional.
II - A soma de um número racional com um número
irracional é um número irracional.
III - Se um número natural “a” é divisor do produto de
dois outros naturais “b” e “c”, então “a” é divisor de
“b” ou de “c”.
IV - O produto de um número complexo pelo seu
conjugado é um número real.
Pode-se afirmar que:
a) todas as afirmativas são falsas;
b) todas as afirmativas são verdadeiras;
c) apenas a afirmativa IV é verdadeira;
d) apenas as afirmativas I e III são falsas;
e) apenas a afirmativa I é falsa.
05 – (UFJF/99-2) - Marque a alternativa
INCORRETA:
a) se x e y são números racionais, então x + y é um
número racional;
b) se x e y são números irracionais, então x + y é um
número irracional;
c) se x e y são números racionais, então x.y é um
número racional;
d) se x é um número racional e y é um número
irracional, então x + y é um número irracional.
06 - De um total de 800 pessoas examinadas por um
grupo de médicos pesquisadores, 500 tinham sintomas
da doença A, 200 tinham sintomas da doença B e 130
tinham sintomas das duas doenças. Quantos não
tinham sintomas nem de A nem de B?
07 - (EPCAR/2002) No concurso para EPCAR foram
entrevistados 979 candidatos dos quais 527 falam a
língua inglesa, 251 a língua francesa e 321 não falam
nenhum desses idiomas. O número de candidatos que
falam as línguas inglesa e francesa é:
a) 778
b) 658
c) 120
d) 131
08 – (AFA/97) Entrevistando 100 oficiais da AFA,
descobriu-se que 20 deles pilotam a aeronave
Tucano, 40 pilotam o helicóptero Esquilo e 50 não
são pilotos. Dos oficiais entrevistados, quantos
pilotam o Tucano e o Esquilo?
a) 5
b) 10
c) 15
d) 20
09 – (UFJF/2001) A parte hachurada no diagrama
que melhor representa o conjunto D = A – (B  C) é:
a)
b)
c)
d)
10 – Esta questão, assim como as demais, só
admite uma opção correta. O número de paus com
que se faz uma canoa pertence ao conjunto:
a) N
b) Z
c) Q
d) N*
e) R
Matemática
3
11 – Considere os conjuntos:
A = { x | x é letra do estado brasileiro cuja capital é
Recife}
B = { y | y é letra da palavra número}
C = { p, a, r, e, o }
D = { b, o }
Assim, a equação A – [(B – C) U D] é igual ao
conjunto de letras da palavra:
a) Brigadeiro
b) Epcar
c) Brasil
d) Barbacena
e) Aeronáutica.
12 – (EEAR-CFS-2/2002-B)
Verdadei
(
) Z   IN
(
) Z   Z  N*  N
(
) Z   IN
(
) Z  Z  Z
(
) Z  Z   Z *
Classifique
em
Assinale a seqüência correta:
a) F – F – V – V – F
b) F – F – V – V – V
c) V – F – V – F – F
d) V – F – V – V – F
13 – (EPCAR-2001) Assinale a alternativa falsa:
a) Z – N = conjunto dos números inteiros negativos
b) Q – Z = conjunto dos números racionais nãointeiros
c) Z   Z  
d) Z = conjunto dos números inteiros não-nulos
14 – (CESD-2/99) Considere as afirmações:
I) 4; 0, 51 e
1
são números racionais
3
II) Todo número inteiro é também racional
III) Todo número racional é também inteiro
As afirmações I, II e III são, respectivamente:
a) F, V, V
b) V, V, V
c) F, F, F
d) V, V, F
15 – Um conjunto A possui 512 subconjuntos.
Retirando-se 4 elementos de A forma-se um novo
conjunto que terá m subconjuntos. Qual o valor de
m?
100 alunos não bebem A e nem B.
Sendo x o número de alunos que bebem apenas o
refrigerante A e y o número de alunos que bebem A ou
B, Determine
x
.
y
17 – Uma população consome três marcas de sabão
em pó: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado,
colheram-se os resultados tabelados abaixo:
Marca
A
B
C
AeB
BeC
AeC
A, B e C
Nenhuma
N.º Cons.
109
203
162
25
41
28
5
115
Determine
quantas pessoas
fizeram a prova?
18 – (C.Tostes/98) Uma editora estuda a possibilidade
de relançar os seguintes clássicos da literatura
brasileira: Helena, Senhora e A Moreninha.
Pesquisando o mercado, concluiu que em cada 1000
pessoas, 600 haviam lido A Moreninha, 400 haviam
lido Helena, 300 haviam lido Senhora, 200 haviam lido
A Moreninha e Helena, 150 haviam lido A Moreninha e
Senhora, 100 haviam lido Senhora e Helena e 20
haviam lido as três obras. Entre as pessoas
pesquisadas, quantas leram pelo menos duas obras?
a) 600
b) 500
c) 460
d) 410
e) 400
19 – (FGV-SP) Sejam A, B e C conjuntos finitos. O
número de elementos de A  B é 30, o número de
elementos de A  C é 20 e o número de elementos
de A  (B  C) é 15. Então, o número de elementos
de A  (B  C) é:
a) 35
b) 15
c) 50
d) 45
e) 20.
16 – (C.Tostes/93) Em uma escola, cujo total de
alunos é 600, foi feita uma pesquisa sobre os
refrigerantes que os alunos costumam beber, os
resultados foram:
20 – (PUCC) Sejam Q e I os conjuntos dos números
racionais e dos irracionais, respectivamente. Então,
sempre é verdadeira a afirmação:
a) x  I; y  I  x + y  I;
b) x  I; y  I  x . y  I;
c) x  Q; y  I  x – y  I;
d) x  Q; y  Q  x/y  Q;
e) n.d.a.
200 alunos bebem o refrigerante A.
20 alunos bebem o refrigerante A e o refrigerante B.
21 – (F.C.CHAGAS-SP) Um subconjunto X de
números naturais contém 12 múltiplos de 4, 7
4
Curso Oficina – Preparatório às Escolas Militares e Vestibulares
múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e 8 números
ímpares. O número de elementos de X é:
a) 32
b) 27
c) 24
d) 22
e) 20.
22 – (PUC-SP) Em um exame vestibular, 30% dos
candidatos eram da área de Humanas. Dentre esses
candidatos, 20% optaram pelo curso de Direito. Do
total dos candidatos, qual a porcentagem dos que
optaram por direito?
a) 50%
b) 20%
c) 10%
d) 6%
e) 5%.
23 – (FAC. MED. JUNDIAÍ) Dados os intervalos A =
]-2, 1] e B = [0, 2], então A  B e A  B são,
respectivamente:
a) ]0, 1[ e ]-2, 2[
b) ]0, 1] e ]-2, 2]
c) [0, 1] e ]-2, 2]
d) [0, 1[ e [-2, 2[
e) [0, 1[ e [-2,2].
24 – (UEBA) Se A = {x   | -1 < x < 2} e B = {x  
| 0  x < 3}, o conjunto A  B é o intervalo:
a) [0, 2[
b) ]0, 2[
c) [-1, 3]
d) ]-1, 3[
e) ]-1, 3].
b)
c)
d)
e)
25 – O gráfico abaixo representa o conjunto:
a) ]1,3] x {1,2,3}
b) [1,3] x ]1,3]
c) {2,3} x ]1,3]
d) {1,2,3} x {2,3}
e) {1,2,3} x ]1,3]
26 – (UFBA) Sendo R = { x  N | x < 5} e S = { x  Z
| -3 < x < 1}, o gráfico cartesiano de R x S é:
a)
27 – (CFO/98) Se A e B são dois conjuntos
quaisquer, então:
a) A – B = B – A
b) A  B = A  B
c) A  B = B  A
d) A  B = B  A
Nível 2 – 

01 – (Epcar/82) Considere o conjunto A = {xN / x23x-40}. Assinale a alternativa que indica o número
de subconjuntos de A.
a)16
b) 32
c) 64
d) 128
e) infinitos
02 – (Epcar/89) Se um conjunto A tiver 4 elementos,
e um conjunto B tiver 3 elementos, então o conjunto
de todas as partes do conjunto AxB (A cartesiano B)
terá um número de elementos equivalente a:
Matemática
5
3
a) 2
4
b) 2
7
c) 2
12
d) 2
14
e) 2
e) 12%
03 – (EEAR/91) Se A = {x  N / x  5} e B = {números
naturais pares menores que 8} e C = {x  N* / x  4},
então, o conjunto diferença entre a união de B com C e
a interseção de A e B é:
a) {0, 1, 3}
b) {0, 3, 6}
c) {1, 3, 4}
d) {1, 3, 6}
e) {1, 4, 6}
04 – (C.Naval/85) Dados dois conjuntos A e B tais
que:
O número de subconjuntos de A está compreendido
entre 120 e 250. B tem 15 subconjuntos não vazios.
O produto cartesiano de A por B tem:
a) 8 elementos
b) 12 elementos
c) 16 elementos
d) 28 elementos
e) 32 elementos
05 – (C.Naval/86) Representando-se por n(X) o
número de elementos de um conjunto X, considere
dois conjuntos A e B tais que n(A  B) = 4, n(A – B)
= 5 e n(A x B) = 36. Podemos afirmar que n(A  B) é
igual a:
a) 4
b) 6
c) 7
d) 9
e) 10
06 – (ESA/93) Marcelo resolveu corretamente 90% das
questões de uma prova e André, 70%. Se nenhuma
questão da prova ficou sem ser resolvida pelo menos
por um deles, e 18 delas foram resolvidas
corretamente pelos dois, podemos concluir que a prova
constava de:
a) 148 questões
b) 100 questões
c) 50 questões
d) 30 questões
e) 20 questões
07 – (C.Naval/83) Numa cidade constatou-se que as
famílias que consomem arroz não consomem
macarrão. Sabe-se que: 40% consomem arroz; 30%
consomem macarrão; 15% consomem feijão e arroz;
20% consomem feijão e macarrão; 60% consomem
feijão. A porcentagem correspondente às famílias
que não consomem esses três produtos é:
a) 10%
b) 3%
c) 15%
d) 5%
6
08 – (U. E. LONDRINA) Em  x , sejam (2m + n; m
– 4) e (m + 1; 2n) dois pares ordenados iguais.
n
Então m é igual a:
a) –2
b) 0
c) 1/2
d) 1
e) 2.
09 – (U.E.C.) Se P = {1,2,5,7,8}, então o número de
2
elementos do conjunto W = {(x,y)  P ; x<y} é:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
10 – (CESGRANRIO) Seja Z o conjunto dos inteiros,
sejam ainda os conjuntos A = {x  Z | -1 < x  2 } e
B = { 3,4,5 }. Então, se D = {(x,y)  A x B | y  x +4 },
tem-se que:
a) D = A x B;
c) D tem um elemento;
b) D tem 2 elementos;
d) D tem três elementos;
e) as 4 opções anteriores são falsas.
11 – (EPCAR/2001) Uma prova com 180 questões
diferentes foi distribuída a 3 estudantes A, B e C, de
modo que cada estudante recebeu um bloco com 60
questões distintas. A apresentou 90% de acertou
nas suas respostas; B respondeu corretamente a
70% do seu bloco e C errou 80% de suas questões.
Desta forma, o número de questões não-resolvidas
da prova é de (não-resolvidas são as questões que
os estudantes não acertaram)
a) 78
b) 72
c) 68
d) 80
12 – (CTU/2002) Sejam A, B e C três conjuntos não
vazios e considerando os diagramas:
1)
2)
Curso Oficina – Preparatório às Escolas Militares e Vestibulares
dia 25/07, a opção que indica o número de dias em
que pelo menos um candidato estava participando
do cursinho é:
a) 10
b) 16
c) 25
d) 36
3)
4)
16 – (CTU/99) Numa aula inaugural do curso de
Eletrotécnica, o professor de Eletricidade Básica
levou um grupo de alunos para conhecer o
laboratório da escola. Desses alunos:
 8 já haviam estado num laboratório, mas não
conheciam
os
instrumentos
de
medição:
amperímetro, voltímetro, etc.;
 3 já conheciam os instrumentos de medição, mas
nunca haviam estado num laboratório;
 ao todo, 10 conheciam os instrumentos de
medição;
 ao todo, 9 nunca haviam estado num laboratório.
Determine o número de alunos.
e as denominações:
I – A  B, C  B, A  C  
II – A  B, C  B, A  C = 
III – A  (B  C), B  C, C  B, A  C
IV – A  C = , A  C, B  C  
Então as associações corretas são:
a) (1, IV), (2, III)
b) (1, I), (4, III)
c) (2, II), (3, IV)
d) (4, III), (1, II)
13 – Num concurso, foram entrevistados 979
candidatos, dos quais 527 falam a língua inglesa, 251 a
língua francesa e 321 não falam nenhum desses
idiomas. Representando por P o número de candidatos
que falam as línguas inglesa e francesa e representando
por Q o número de candidatos que falam as línguas
inglesa ou francesa, podemos afirmar que P e Q são
respectivamente:
a) 120; 778
b) 120; 658
c) 130; 778
d) 130; 658
e) 131; 407
14 – (EEAR-CFS-2/99-B) Foi feita uma pesquisa em
uma escola, em que os alunos optaram por um
esporte. Do total dos alunos pesquisados,
escolheram o futebol e
5
7
1
dos restantes indicaram o
4
voleibol. O número de alunos que não optou nem
pelo futebol nem pelo voleibol foi 60, portanto o total
de alunos pesquisados foi:
a) 200
b) 250
c) 280
d) 300
15 – (EPCAR-2001) Três candidatos ao 1º ano do
EPCAR/2001 fizeram um cursinho preparatório
intensivo. Sabendo-se que o candidato A teve aulas
do dia 20/06 ao dia 05/07, o candidato B, do dia
30/06 ao dia 09/07 e o candidato C, do dia 01/07 ao
17 – (EPCAR/2003) De 2 conjuntos A e B, sabe-se
que:
I) O número de elementos que pertencem a A  B é
45
II) 40% desses elementos pertencem a ambos os
conjuntos
III) O conjunto A tem 9 elementos a mais que o
conjunto B
Então, o número de elementos de cada conjunto é:
a) n(A) = 27 e n(B) = 18
b) n(A) = 30 e n(B) = 21
c) n(A) = 35 e n(B) = 26
d) n(A) = 36 e n(B) = 27
18 – (EPCAR/2001) Numa prova de matemática,
havia 2 problemas. Ao corrigi-la, o professor
responsável determinou que não consideraria
questões meio certas. Assim, a cada prova só
poderia ser atribuído 0,5 ou 10. Dos alunos, 25
obtiveram nota 5, 10 alcançaram nota 10,25
acertaram o segundo problema e 20 erraram o
primeiro problema. O número de alunos que tiraram
nota zero é:
a) 0
b) 5
c) 10
d) 15
19 – (EPCAR/2002) Considere os conjuntos:
*
A = {a  N /a < 5}
B = {b  Z /1 < b < 5}
*
2–
C = {c  N /2c 8c = 0}
D = {x  N/x é primo e x < 7}
Se A  E = {3} e B  E = D  C, então o conjunto E
é igual a:
a) {3}
b) {3,5}
c) {3,5,7}
d) {3,4,5}
Matemática
7
20 – (EEAR/CFS1/2001-B) Sejam os conjuntos A =
[-1,2]; B = [-2,4] e C = [-5,0[
É falso afirmar que:
a) (B – C) – A = [2,4]
b) (A  B)  (B – C) = [0,2]
c) (B – A)  (A  B) = [-2,4]
d) (B  C) – (A  B) = ]-5,-1[  ]2,4]
21 – (CFO/2000) Dados 3 conjuntos finitos A, B e C, o
número de elementos de A  (B  C), sabendo-se
que A  B = 26 elementos, A  C = 10 elementos e A
 B  C = 7 elementos, é:
a) 17 elementos
b) 36 elementos
c) 29 elemento
d) 33 elementos
Nível 3 –

01 – (Epcar/87) Um conjunto A tem m elementos e a
subconjuntos; um conjunto B tem n elementos e b
subconjuntos e um conjunto C tem p elementos e c
subconjuntos. Se b = 8, a = c – 2b e m = 2p – 2n,
então a + b + c vale:
a) 56
b) 12
c) 32
d) 16
e) 48
02 – (C.Naval/84) Num colégio verificou-se que 120
alunos não tem pai professor; 130 alunos não tem
mãe professoras e 5 tem pai e mãe professores.
Qual o número de alunos do colégio, sabendo-se
que 55 alunos possuem pelo menos um dos pais
professor e que não existem alunos irmãos?
a) 125
b) 135
c) 145
d) 155
e) 165
03 – (CTU/97) Uma pesquisa de mercado sobre o
consumo de três marcas A, B e C de um
determinado produto apresentou os seguintes
resultados:
A – 48%
A e B – 18%
C – 50%
A e C – 15%
B – 45%
B e C – 25%
Nenhuma das três – 5%
04 – (Col.Militar/96) Considere os conjuntos A={n 
N / n = 2k+1, k  N*} e B={n  N / n é primo e n 
2}. Determinar o conjunto C={x  A  B / x = 3k, k 
N e x  30}
05 – (EPCAR/2003) Numa turma de 31 alunos da
EPCAR, foi aplicada uma Prova de Matemática
valendo 10 pontos no dia em que 2 alunos estavam
ausentes. Na prova, constavam questões subjetivas: a
1ª, sobre conjuntos, a 2ª, sobre funções e a 3ª, sobre
geometria plana. Sabe-se que dos alunos presentes:
 nenhum tirou zero;
 11 acertaram a 2ª e a 3ª questões;
 15 acertaram a questão sobre conjuntos;
 1 aluno acertou somente a parte de geometria
plana;
 e 7 alunos acertaram apenas a questão sobre
funções.
É correto afirmar que o número de alunos com grau
máximo igual a 10 foi:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
06 – (EEAR-CFS1/2001-B) Considere os conjuntos
A = [1,2]  [3,4]; B = ]1,4] – {3}; C = [2,3[  {4} e X =
(A – B)  (A  C). Assinale a alternativa correta:
a) X  A = B
b) X  C = X
c) X  A = X
d) X  B = C
2. CAPÍTULO 2 – TEORIA DAS FUNÇÕES
Tarefa 1
01 – Dados os diagramas:
a) Qual é a porcentagem dos entrevistados que
consomem as três marcas A, B e C?
b) Qual é a porcentagem dos entrevistados que
consomem uma e apenas uma das três marcas?
8
Curso Oficina – Preparatório às Escolas Militares e Vestibulares
05 – (UFJF/95) Na figura abaixo está o gráfico de
uma função f, definida no intervalo [-2,5]. Se g(x) =
f(x-2), então considere as afirmativas:
I - g(0) + g(3) + g(5) = 1;
III -
g(7 / 2)
 1
g(6)
II - 2g(4) - g(7) = 3;
Podemos afirmar que:
a) I, II e IV representam funções de A em B;
b) I, III e IV representam funções de A em B;
c) I e IV representam funções de A em B;
d) IV não representa função de A em B;
e) todos representam funções de A em B.
x
02 – Sendo f: definida por f(x) = 2 , é correto
afirmar que:
a) f(0) = 0;
b) f(1) = f(-1);
c) f(1) + f(0) = f(2);
d) f(0) . f(2) = 4;
e) f(1) + f(2) + f(3) = 10.
03 – (FUVEST) As funções f e g são dadas por
3
4
x  1 e g( x )  x  a . Sabe-se que f(0) – g(0) =
5
3
1
1
. O valor de f(3) - 3g( ) é:
3
5
f ( x) 
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4.
04 – (UFJF/2003) A figura abaixo representa, no
plano cartesiano, o gráfico de uma função y = f(x)
definida no intervalo [-2, 5]. Com base nesse gráfico,
é incorreto afirmar que:
Assinale a opção correta:
a) todas são verdadeiras;
b) I e II são verdadeiras;
c) apenas II é falsa;
d) apenas II é verdadeira;
e) todas são falsas.
06 – (UFJF/97) Sendo A = {1,2,3,4,5} e sabendo-se
que o gráfico da função injetiva f:AA passa pelos
pontos (1,3), (2,5) e (3,4), podemos concluir que:
a) o gráfico de f passa pelo ponto (3,1);
b) a função f admite inversa;
c) a função f é crescente;
d) a função f é decrescente;
e) o gráfico de f passa pelo ponto (5,4).
07 – (UFJF/95) Se f é uma função de * em  tal
que 2f(x) + f(1/x) = -5x, então f(3) é igual a:
a) –15
b) –11
85
9
5
d) 
3
85
e) 
3
c) 
08 – (Espcex/93) Considere as funções f: R  R e
2
g : R  R definidas por f(x) = x + 1 e g(x) = 2x - 3.
-1
O conjunto dos valores de x tais que (fog)(x) = f (x)
está contido em:
a) [-2,0]
b) [-1,2]
c) [-10,-2]
d) [1,10]
a) f(4) > f(5)
b) o conjunto imagem de f contém o intervalo [-1,4]
c) f(x) < 0 se – 2  x  0
d) f(f(1)) = 0
e) o conjunto {x  [-2,5] / f(x) = 3} possui exatamente dois
elementos.
09 – (Espcex/94) As funções f: R  R e g: R  R são
definidas por f(x) = 2x + 3 e g(x) = 3x + m. Se f(g(x)) =
g(f(x)), então f(m) vale:
a) 3
b) 6
c) 9
Matemática
9
d) 12
e) 15
10 – (UFJF/99) Seja f: uma função tal que f(x +
y) = F(x) + f(y) para quaisquer x e y reais. Se f(1) = 1/2, determine f(-1/2).
11 – (Espcex/99) Sendo f uma função real tal que f(x
- 2) = ax + b,  x  R, f(2) = 5 e f(3) = 8, então o
valor de a · b é:
a) -32
b) -23
c) -21
d) 12
e) 36
12 – (EEAR/2005-2) Seja a função f de -{3} em {1}, definida por f(x) =
x3
. Pela inversa de f, o
x3
número 5 é imagem do número:
a) 1/4
b) 1/3
c) 4.
d) 3.
13 – (EEAR/2004-2) Para que a relação definida por
y  x  x  4 represente uma função real, os
conjuntos Domínio e Imagem dessa relação devem
ser, respectivamente, iguais a:
a) + e +.
b) + e ]4; [.
c) [4; [ e [4; [.
d) [4; [ e [2; [.
14 – (EEAR/2004-2) Seja: f:    uma função
bijetora tal que f(5) = 2. Se g:    é a função
–1
inversa de f, então g (5) é igual a:
a) 2.
b) –2.
1
c) .
2
1
d)  .
2
15 – (EEAR/2003-2) É par a função f:  *  
definida por:
1
a) f ( x )  2 .
x
1
b) f ( x )  .
x
c) f(x) = x.
5
d) f(x) = x .
16 – (ESPCEX/2004) Analise os itens abaixo para a
função f:   :
I. Se f (x) + f (–x) = 0, então f é uma função par
II. Se f (x) é uma função constante, então f é função
par.
10
III. Se |f (x)| = f (x), então Im (f)  +.
IV Se |f (x)| = f (x), então f (x) é função bijetora.
São corretas as afirmativas:
a) I e II.
b) II e IV.
c) II e III.
d) I e III.
e) III e IV.
17 – (ESPCEX/2004) Com relação à função
x 1
g ( x) 
, definida para x  –1, pode-se afirmar
x 1
que a única alternativa correta é:
a) g (x)  0 para todo x   –{–1, 0}.
b) Não existe x   tal que g (x) = 0.
c) g (x)  0 para todo x  ] –1, + [.
d) g (x) < 0 para todo x  ] –1, 1[.
e) Não existe x   tal que g (x) = 2.
18 – (ESPCEX/2004) Sejam as funções reais f (x)
x
e g (x). Se f (x) = x + 2 e f(g (x)) =
, pode-se
2
afirmar que a função inversa de g (x) é:
f (x)
–1
.
a) g (x) =
2
x4
–1
.
b) g (x) =
2
–1
c) g (x) = f (x).
–1
d) g (x) = 2 f (x).
x4
–1
.
e) g (x) =
2
Tarefa 2
Nível 1 –

01 – (PUC-SP) Dizemos que uma relação entre dois
conjuntos A e B é uma função ou aplicação de A em B
quando todo elemento de:
a) B é imagem de algum elemento de A;
b) B é imagem de um único elemento de A;
c) A possui somente uma imagem em B;
d) A possui no mínimo uma imagem em B;
e) A possui somente uma imagem em B e viceversa.
02 – (UFRG) Sendo A = {1, 2} e B = {3, 4}, então
podemos definir, no máximo:
a) uma função de A em B;
b) duas funções de A em B;
c) três funções de A em B;
d) quatro funções de A em B;
e) cinco funções de A em B.
1
03 – (FUVEST) f: associa a x o número
.
1 x2
Quanto vale f( 4 7 )?
a) 1 7 ;
Curso Oficina – Preparatório às Escolas Militares e Vestibulares
b)
7 1
;
6
a) Im(f) = [1,4];
c)
7 1
;
8
b) Im(f) = [2,3];
7
;
7
e) 0,0714285.
c) Im(f) = ]1,4];
d) 1
d) Im(f) = ]2,3];
04 – (UFJF/94) Considere as funções dadas por
2
f(x) = 2x + 1 e g(x) = x -1. Então as raízes da
equação f(g(x)) = 0 são:
a) inteiras;
b) negativas;
c) racionais não inteiras;
d) inversas uma da outra;
e) simétricas.
e) Im(f) = [1,3].
09 – (PUC-SP) Para a função cujo gráfico é:
x
05– (MACK-SP) Seja f: definida por f(x) = e .
Então f(x) . f(y) é igual a:
a) f(x.y)
b) f(x-y)
c) f(x+y)
d) f(x/y)
e) f xy .
 
06 – (CESGRANRIO) Seja f: uma função. O
conjunto dos pontos de intersecção do gráfico de f com
uma reta vertical:
a) possui exatamente dois elementos;
b) é vazio;
c) é não enumerável;
d) possui, pelo menos, dois elementos;
e) possui um só elemento.
07 – (GV-SP) Duas curvas A e B se interceptam nos
pontos (0,3) e (0,-3). Assinale dentre as afirmações
abaixo, a correta:
a) A e B podem ser representações gráficas de
funções;
b) somente A ou B poderá ser a representação gráfica de
uma função;
c) nem A nem B poderá ser a representação gráfica de
uma função;
d) A ou B é a representação gráfica da função dada por
2
2
y =9-x ;
e) A ou B é a representação gráfica da função dada
por x = 0.
08 – O digrama seguinte representa uma função f do
intervalo [1,3] em . Quanto à imagem é correto
afirmar que:
podemos dizer:
a) O domínio é ;
b) O conjunto imagem é ;
c) O domínio é o conjunto  - {a};
d) O conjunto imagem é { x   | a < x < b };
e) O conjunto imagem é { x   | 0 < x < b }.
10 – (PUC-SP) Qual dos gráficos não representa uma
função:
a)
b)
c)
Matemática
11
12 – (U. Fortaleza) O gráfico abaixo:
d)
e)
a) representa uma função f:[a;b] R
b) não representa uma função de [a;b] em R porque
existe yR que não é imagem de qualquer x[a;b]
c) não representa uma função de [a;b] em R porque
existe elemento x[a;b] com mais de uma imagem
d) representa uma função f:[a;b] [p;d]
11 – (PUC-SP) Qual dos gráficos
representam uma função f de  * em ?
a)
b)
seguintes
13 – (UCMG) O valor da expressão y 
0,25  x 2
para
0,5  x
x = - 2,1 é:
a) –1,6
b) –1,2
c) 1,3
d) 2,6
e) 3,1
14 – (UFPA) Dada a função f:Rr definida por:
f(x) = - 5 se x é racional
f(x) = 3 se x é irracional


2
3
Qual o valor da expressão f  2  f   ?
c)
a) –10
b) – 8
c) 0
d) 6
e) 8
15 – (FGV) Seja uma função y = f(x), cujo gráfico
está representado abaixo. Assinale a afirmação
correta:
d)
e)
a) f(0) = 0
b) f(x1) = f(x3) = f(x5) = 0
c) a função é crescente no intervalo [x3 ;x5]
d) a função é decrescente no intervalo [x3 ;x5]
e) f(x2) = f(x4) = 0
16 – (UFPA) Dada a função de A = (0, 1, 2} em
B = {-2, -1, 0, 1, 2} definida por f(x) = x –1, qual o
conjunto imagem de f?
12
Curso Oficina – Preparatório às Escolas Militares e Vestibulares
–
a) {-1, 0, 1}
b) {-2, -1, 0, 1, 2}
c) {0, 1, 2}
d) {-2, -1, 0}
e) {0, -1, 2}
05
Nível 2 – 
a) 1/3
b) -1/3
c) -1
d) 1
e) 2/3
(Espcex/97)
Seja
a
função
f(x)
=
1, se x é irracional

1, se x é racional
O valor da expressão
f ( ) - f (0)- f (1,33...)
é:
3f ( 2 )

01 – (Espcex/93) O diagrama a seguir representa:
06 – (Espcex/98) Os gráficos abaixo representam
duas funções reais “f” e “g”, cujas únicas raízes são -1
e 2, respectivamente.
a) uma relação de A em B cuja inversa é uma função
de B em A.
b) um sub-conjunto de A x B.
c) uma função de domínio A e imagem B.
d) uma função de A em B que associa ao elemento
do domínio um elemento da imagem maior que esse
elemento.
02 – (Espcex/93) Sejam f: R  R* e g: R  R*,
funções sobrejetoras tais que:
i) f(x) > 0, se e somente se, x  3 ou x  -2
ii) g(x) > 0, se e somente se, 1  x  5
Nestas condições,
f ( x)
 0, somente se
g( x )
a) x  -2 ou 1  x < 3 ou x > 5
b) x  -2 ou 3 < x  5
c) x  -2 ou x  5 ou 1 < x < 3
d) -2  x < 3 ou x  5
07 – Se f: é definida por f ( x ) 
03 – (Espcex/94) Sendo f: R  R e g: R  R definida
por:
1

f(x) =  x , se x  Z *

2, se x  R - Z *
b)
1, se x  Q

e g(x) =  1
Então (f o g o f o g) (2 +
a) -1
O conjunto de todos os números reais tais
que f(x).g(x) < 0 é dado por:
a) x > 0 ou x < -1
b) -1 < x < 0
c) 0 < x < 2
d) -1 < x < 2
e) x < -1 ou x > 2

2
, se x  R - Z *
2 ) é igual a:
1
2
x 1
x2  2
, então:
a) existem dois valores distintos de x para os quais
f(x)=0;
b) existe x   tal que f(x) = 1;
c) o número 2 não pertence à imagem de f;
d) o número 1/4 pertence à imagem de f;
e) f(-1) = -2.
08 – Se f:NN é tal que:
e) -2
n
 , se n é par.
, temos que:
f (n)   2
 n  1 , se n é ímpar.
 2
04 – (Espcex/95) Na função f(x) = 3x - 2, sabemos
que f(a) = b - 2 e f(b) = 2b + a. O valor de f(f(a)) é:
a) 2
b) 1
c) 0
d) -1
e) -2
a) f(0) = 0 e f(3) = 1;
b) a imagem de f é o conjunto dos naturais ímpares;
c) os números 2, 3 e 5 não pertencem à imagem de f;
d) existem dois números naturais distintos p e q tais que
f(p) = f(q);
e) existem números naturais distintos p e q tais que
f(p) = p(q) = 0.
c) 2
2
d) 1 2
Matemática
13
09 – (UFBA) Sendo P = {1,2,3}, o conjunto imagem
de R = {(x,y)  P x P | y = x + 1} é:
a) {1,2,3}
b) {2,3,4}
c) {2,3}
d) {1,2}
e) {1,3}.
c) 24
d) 32
e) impossível de ser calculado.
10 – (UFPE/85) Dados os conjuntos A = {a, b, c, d} e B =
{1, 2, 3, 4, 5}, assinale a única alternativa que define
uma função de A em B.
a) {(a,1),(b,3),(c,2)}
b) {(a,3),(b,1),(c,5),(a,1)}
c) {(a,1),(b,1),(c,1),(d,1)}
d) {(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,5)}
e) {(1,a),(2,b),(3,c),(4,d),(5,a)}
a)
11 – (UFPA/84) Sejam os conjuntos A ={1,2} e B =
{0,1,2}. Qual das alternativas abaixo é verdadeira?
a) f : x  2x é uma função de A em B.
b) f : x  x+1 é uma função de A em B.
2
c) f : x  x -3x+2 é uma função de A em B.
2
d) f : x  x -x é uma função de B em A.
e) f : x  x –1 é uma função de B em A.
17 – Se f:ZZ é tal que f(n+1) = n – 1, então o valor de
f(n –1) é:
a) n + 1
b) n
c) n – 1
d) n – 2
e) n – 3
12 – (MACK) A função f de R em R é tal que, para
todo x  R, f(3x) = 3f(x). Se f(9) = 45, então:
a) f(1) = 5
b) f(1) = 6
c) f(1) = 9
d) f(1) não pode ser calculado
e) não sei
18 – A função de Euler  é definida para todo natural
n1 da seguinte maneira: (n) é o número de
números naturais primos com n menores que n.
Quanto vale  (12)
a) 4
b) 5
c) 3
d) 6
e) 0
13 – (UFMG) Uma função f : R  R é tal que f(5x) =
5f(x) para todo número real x. Se f(25) = 75, então o
valor de f(1) é:
a) 3
b) 5
c) 15
d) 25
e) 45
14 – (PUC-SP) A função f : R  R tem a
propriedade:
f(m.x) = m.f(x) para m  R e x R. Podemos garantir
que:
a) f(0) = -1
b) f(0) = 1
c) f(0) = 4
d) f(0) = 0
e) f(0) = 2
15 – (CESCEM) É dada a função real tal que:
I – f(x)  f(y) = f(x + y)
II – f(1) = 2
III – f( 2 ) = 4
O valor de f(3+

a) 3  2
b) 16
14

2
2 ) é:
16 – A função f satisfaz a relação f(x + 1) = xf(x), x 
 1
2
3
2
0. Se f     , o valor de f   é:

2
b) 2 
c)
3
2
d)  2
e) 
19 – (UFMG) Na figura estão esboçados os gráficos
de duas funções f e g. O conjunto {xR; f(x)  g(x) 
0} é dado por:
a) x  0 ou x  -1
b) -1  x  0
c) 0  x  2
d) -1  x  2
e) x  -1 ou x  2
20 – (CESCEM) Se f : A  B é uma função e se D 
A, chamamos de imagem de D pela função f ao
conjunto anotado e definido por f  D  = {y  B /
existe x  D tal que f(x) = y}. Se g é a função de R
em R cujo gráfico está representado ao lado, então a
imagem g  [5;9]  do intervalo fechado [5;9] é:
Curso Oficina – Preparatório às Escolas Militares e Vestibulares
a) (2; 6)
b) (2; 6)
c) (3; 6)
d) (3; 6)
e) (2; 4)
21 – (CESGRANRIO) Seja a função que associa, a
cada número real x, o menor dos números (x + 1) e
(-x + 5). Então, o valor máximo de f(x) é:
a) 1
b) 3
c) 4
d) 5
e) 7
22 – Seja f : R  R uma função satisfazendo as
seguintes propriedades:
I – f(0) = 1
II – f(x + y) = f(x) . f(y)
 x, y  R
III – 0  f(1)  1
Então o valor da expressão f(0) + f(1) + f(2) + ... + f(9)
é igual a:
f (1)10  f (1)
a)
f (1)  1
b) f (1)10  1
c) f (1)10  f (1)
d)
f (1)10  1
f (1)  1
23 – (UFRN) A imagem da função f : R  R, definida
1
por f(x) =
, contém o elemento:
1 x2
a) –2
b) 0
c) 1/2
d) 2
e) 5
25 – (UFJF/98) O conjunto X tem 4 elementos e o
conjunto Y tem 7 elementos. O número de funções
f:XY que se pode definir é:
a) 24
b) 28
c) 840
d) 2.401
e) 16.384.
26 – (MACKENZIE-SP) Se f e g são funções reais
2
dadas por f(x) = x - 1 e g(x) = x + 1, então ( g o f ) (2)
é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
27 – (Fundação Carlos Chagas-SP) Dadas as
funções reais f(x) = 1 - 2x e g(x) = 2x + k, o valor de
k de modo que f[g(x)] = g[f(x)] é:
a) –3
b) -1 e 1/2
c) -1/3
d) 1/3
e) 1.
28 – (FUVEST) Se f: é da forma f(x) = ax + b e
verifica f[f(x)] = x + 1 para todo x real, então a e b valem
respectivamente:
a) 1 e 1/2
b) -1 e 1/2
c) 1 e 2
d) 1 e -2
e) 1 e 1
29 – (FGV-SP) Sejam f e g funções reais tais que
2
f(x) = x + 1 e g(y) = 1/y. Então f[g(2)] é igual a:
a) 0
b) 5/4
c) 2/5
d) 5/2
e) 1/5.
24 – (CESGRANRIO) Sendo x  4, o conjunto
imagem da função y = x  x  4 é dado por:
a) {y  R / y  0}
b) {y  R / 0  y  2}
c) {y  R / y  2}
d) {y  R / y  4}
e) nra
Matemática
15
GA B A R I TO
Capítulo 1 – Conjuntos
Tarefa 1
01)
06) E
11) C
16) 450
02)
07) A
12) D
17) C
03)
08) E
13) C
18) B
04) A
09) C
14) C
19)
05) C
10) D
15) D
02) C
07) C
12) D
17) 500
22) D
27) D
03) C
08) B
13) C
18) D
23) C
04) E
09) A
14) D
19) A
24) A
05) B
10) D
15) 32
20) C
25) E
02) D
07) D
12) D
17) D
03) D
08) C
13) B
18) B
04) D
09) C
14) C
19) B
05) D
10) D
15) D
20) A
01) A
02) D
03)
a) 10%
b) 57%
04) {3, 9, 15, 21, 27}
05) B
06) C
Nível 1
01) C
06) 230
11) B
16) 3/5
21) D
26) E
Nível 2
01) A
06) D
11) B
16) 24
21) C
Nível 3
16
Curso Oficina – Preparatório às Escolas Militares e Vestibulares
Matemática
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