UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB
1 PROGRAD – DCET
CAMPUS I – SALVADOR
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
CONJUNTOS, NÚMEROS REAIS E RELAÇÕES
Georg Cantor (1845–1918)
NOTAS DE AULAS
Eron
Salvador, fevereiro de 2011.
PARTE II – CONJUNTOS 2 APRESENTAÇÃO
Estas notas complementam os conteúdos da disciplina “Lógica”.
PARTE II – CONJUNTOS
PARTE III – CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
PARTE IV – RELAÇÕES E DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
Desde já, assumo total responsabilidade por todos os erros que possa conter este material,
ainda incompleto, e agradeço a quem indicar as correções, críticas e sugerir melhorias.
No final, há uma lista com a bibliografia utilizada para confeccionar este material, você
deve procurar obter pelo menos uma delas que verse sobre o conteúdo pretendido. Observo
também que este material não substitui a consulta, leitura e estudo de textos e livros citados na
bibliografia, deve servir como um material de auxílio, principalmente no momento em que se
realizam a aulas.
Salvador, fevereiro de 2011.
Eron
[email protected]
PARTE II – CONJUNTOS Figura da capa – Georg Cantor
Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor nasceu na cidade de São Petersburgo em 3 de março de
1845 e faleceu no hospital de doenças mentais de Halle em 1918. Passou a maior parte de sua
vida na Alemanha. Seus pais eram cristãos de ascendência judia, e Georg logo se interessou pelos
conceitos de continuidade e infinito da Teologia medieval.
Estudou em Zurich, Göttingen e Berlim, concentrando-se em Filosofia, Física e Matemática,
possuindo grande imaginação, em 1867 obteve o grau de doutor em Berlim, com uma tese sobre
Teoria dos Números.
Muito atraído pela Análise, sua preocupação estava voltada para a idéia do “infinito”, que até
1872 foi muito discutida tanto em Teologia como em Matemática, mas sem se chegar a uma
conclusão precisa. Em 1874, Cantor publicou no Journal de Crelle o mais revolucionário artigo
que até mesmo seus editores hesitaram em aceitar. Havia reconhecido a propriedade fundamental
dos conjuntos infinitos e, ao contrário de Dedekind (1831−1916), percebeu que nem todos eram
iguais, passando a construir uma hierarquia destes conjuntos conforme suas potências.
Mostrou que o conjunto dos quadrados perfeitos tem a mesma potência que o dos inteiros
positivos, pois podem ser postos em correspondência biunívoca; provou que o conjunto de todas
as frações é contável (enumerável) e que a potência, do conjunto dos pontos de um segmento de
reta unitário é igual à potência do conjunto dos pontos de um quadrado de lado unitário. Alguns
destes resultados eram tão paradoxais que o próprio Cantor, certa vez escrevendo a Dedekind,
disse: “Eu vejo isso, mas não acredito”, e pediu ao seu amigo que verificasse a demonstração. Seus
incríveis resultados levaram ao estabelecimento da Teoria dos Conjuntos como uma disciplina
matemática completamente desenvolvida, de profundos efeitos no ensino. Os matemáticos da
época duvidavam da teoria da infinidade completa de Cantor, mas este, juntando as provas,
construiu toda uma aritmética transfinita.
Cantor passou a maior parte de sua carreira na Universidade de Halle, de pouca importância,
nunca conseguindo realizar uma de suas grandes aspirações que era a de ser professor na
Universidade de Berlim, devido à perseguição de Kronecker (1823−1891).
O reconhecimento de suas realizações mereceu a exclamação de Hilbert (1862−1943):
“Ninguém nos expulsará do paraíso que Cantor criou para nós”.
PARTE II – CONJUNTOS 3 PARTE II – CONJUNTOS
4 Toda a Matemática atual é formulada na linguagem de conjuntos. Portanto, a noção de
conjunto é a mais fundamental: a partir dela, todos os conceitos matemáticos podem ser
expressos. Ela é também a mais simples das idéias matemáticas.
A Matemática se ocupa primordialmente de números e do espaço. Portanto, os conjuntos
mais freqüentemente encontrados na Matemática são os conjuntos numéricos, as figuras
geométricas (que são conjuntos de pontos) e os conjuntos que se derivam destes, como os
conjuntos de funções, de matrizes etc.
A linguagem dos conjuntos, hoje universalmente adotada na apresentação da Matemática,
ganhou esta posição porque permite dar aos conceitos e às proposições desta ciência a precisão e a
generalidade que constituem sua característica básica.
Conteúdos
1. Conjuntos – um pouco de história
2. Conjunto, elemento e pertinência
3. Relação de inclusão e igualdade de conjuntos
4. Diagramas de Venn
5. Intersecção e união de conjuntos
6. Diferença simétrica e complementar
7. Quantidade de elementos de conjunto finito
8. Conjuntos nos argumentos lógicos
9. Exercícios de Aprendizagem e Fixação
PARTE II – CONJUNTOS Conjuntos
A Teoria dos conjuntos se reporta aos primórdios da Matemática. Os conceitos da teoria dos
conjuntos, tais como funções e relações, aparecem explícita ou implicitamente em cada ramo da
Matemática. Aqui, trataremos de um resumo dos conceitos de conjuntos de modo “informal” sem
discussão axiomática detalhada, que pode ser encontrada em livros da referência.
Conceitos primitivos: conjunto, elemento e relação de pertinência.
Georg Cantor: “agrupamento em um todo de objetos bem definidos da nossa intuição ou do nosso
pensamento”.
Um conjunto pode ser determinado pela
i) designação dos seus elementos;
ii) propriedade dos elementos.
Relação de pertinência. Usamos o símbolo a ∈ A para indicar que o elemento a pertence ao
conjunto A . Usamos o símbolo a ∉ A para indicar que o elemento a não pertence ao conjunto A .
Notação: a ∈ A e a ∉ A .
Exemplos
A = {−1, 0,1}
B = {x ∈
{
; x + 1 = 3} = {2}
}
C = x ∈ ;x 2 < 0 = {
D = {x ∈
}=∅
; x é par} = {0,2, 4, 6,...}
Relação de inclusão (subconjunto). Um conjunto A é dito um subconjunto de um conjunto B ou
A está contido em B (denotamos A ⊂ B ) ou B contém A se e somente se todo elemento que
pertence a A pertence também a B . Resumindo, A ⊂ B ⇔
( ∀x ∈ A
⇒ x ∈ B).
PARTE II – CONJUNTOS 5 Exemplos
a) A = {1, 3, 5} é subconjunto de B = {1,2, 3, 4, 5, 6} .
b) M = {x ∈
; x é par} ⊃ {x ∈
6 ; x é multiplo de 6} .
c) Qualquer que seja o conjunto A cumpre-se: ∅ ⊂ A e A ⊂ A .
Observações
1) Se A ⊂ B e existe um elemento em B que não está em A dizemos que A é subconjunto
próprio de B .
2) Se A ⊂ B dizemos também que a é uma parte de B .
Proposição. Para qualquer conjunto A , temos que ∅ ⊂ A .
Dem] Para mostrar que ∅ ⊂ A temos que tomar um elemento x qualquer e mostrar que
x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A ( x ∈ ∅ → x ∈ A é verdade). Como x ∈ ∅ é falso temos que a condicional
x ∈ ∅ → x ∈ A é verdadeira, logo a implicação x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A vale para todo conjunto A .
Propriedades da inclusão. Dados quaisquer conjuntos A, B e C tem-se:
i) Reflexividade: A ⊂ A
ii) Anti-simétrica: se A ⊂ B e B ⊂ A então A = B .
iii) Transitividade: se A ⊂ B e B ⊂ C então A ⊂ C .
Demonstração de iii) Se A ⊂ B e B ⊂ C então A ⊂ C .
Hipóteses: A ⊂ B e B ⊂ C
Tese: A ⊂ C .
Dem] Seja x ∈ A , por hipótese A ⊂ B , logo, x ∈ B . Como, por hipótese, B ⊂ C temos que
x ∈ C . Logo, se todo elemento x ∈ A deduzimos que x ∈ C , temos que A ⊂ C .
PARTE II – CONJUNTOS Igualdade de conjuntos. Dados dois conjuntos A e B , dizemos que A = B se e somente se
A ⊂ B e B ⊂ A . De outro modo, A = B ⇔ A ⊂ B e B ⊂ A .
7 Exemplo – Algumas igualdades entre conjuntos
a) A = {1, 3, 5, 7} e B = {7, 5, 3,1} .
b) M = {2, 4,2, 6} e N = {4,2, 6} .
{
c) E = x ∈
}
; x 2 − 3x + 2 = 0 , F = {2,1} e G = {1,2,2,1} .
Conjunto das partes. Dado um conjunto A o conjunto de todos os subconjuntos de A é chamado
de conjunto das partes de A é indicado por P (A) = {X ; X ⊂ A} .
Exemplos
{
}
a) Seja A = {4, 5} , então P (A) = ∅, {4}, {5}, {4, 5}
{
}
b) Seja B = {a, b, c } , então P (B ) = ∅, {a }, {b }, {c }, {a, b }, {a, c }, {b, c }, {a, b, c } .
Observação. Em a), {4} ∈ P (A) , assim como {4, 5} ∈ P (A) .
Diagramas de Venn–Euler. De modo simples podemos ilustrar as relações entre conjuntos
mediante os chamados “diagramas de Venn–Euler” ou simplesmente “diagramas de Venn”, que
representam um conjunto em uma região plana, limitada geralmente por círculos, quadrados,
retângulos, losangos.
PARTE II – CONJUNTOS Operações entre conjuntos
Dados dois conjuntos A e B (subconjuntos de um determinado conjunto universo U ) definimos:
União. A reunião (ou união) de A e B , indicamos por A ∪ B , é o conjunto de todos os elementos
que pertencem a A ou a B ou a ambos.
A ∪ B = {x ; x ∈ A ou x ∈ B }
O conectivo lógico “ou” é no sentido “inclusivo” de fato, quando dizemos que x está em A ou x
está em B , queremos dizer que x está em pelo menos um dois conjuntos com a possibilidade de
estar em ambos.
Graficamente podemos indicar a união de dois conjuntos A e B pela figura abaixo.
Propriedades da união de conjuntos
U1) Comutativa
A∪B = B ∪A
U2) Associativa
(A ∪ B ) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )
U3) Idempotente
A∪A= A
U4) Identidade
A∪∅ = A
U5)
A ∪U = U
U6)
A⊂B ⇔ A∪B = B
U7)
A, B ⊂ C ⇒ (A ∪ B ) ⊂ C
U8)
A ⊂ (A ∪ B ) e B ⊂ (A ∪ B )
PARTE II – CONJUNTOS 8 Intersecção. A intersecção de A e B , indicamos por A ∩ B , é o conjunto de todos os elementos
que pertencem a A e a B simultaneamente.
9 A ∩ B = {x ; x ∈ A e x ∈ B }
Graficamente podemos indicar a intersecção de dois conjuntos A e B pela figura abaixo.
Propriedades da intersecção de conjuntos
I1) Comutativa
A∩B = B ∩A
I2) Associativa
(A ∩ B ) ∩ C = A ∩ (B ∩ C )
I3) Idempotente
A∩A= A
I4) Identidade
A∩∅ = ∅
I5)
A ∩U = A
I6)
A⊂B ⇔ A∩B = A
I7)
A∩B ⊂A e A∩B ⊂B
Observação. Se A ∩ B = ∅ dizemos que A e B são conjuntos disjuntos.
Propriedades adicionais
1) a) ∅ = F
b) U = V
2) a) A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C )
b) A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B ) ∩ (A ∪ C )
PARTE II – CONJUNTOS Exemplos – Demonstre as seguintes propriedades citadas anteriormente:
10 U8) A ⊂ (A ∪ B ) e B ⊂ (A ∪ B )
I7) A ∩ B ⊂ A e A ∩ B ⊂ B
U6) A ∪ B = B ⇔ A ⊂ B
Como a demonstração envolve uma equivalência, temos que mostrar (a) “ida” e (b) “volta”:
a) A ∪ B = B ⇒ A ⊂ B
Ex 1)
hip
Dem] x ∈ A ⇒ x ∈ A ∪ B ⇒ x ∈ B .
b) A ⊂ B ⇒ A ∪ B = B
Dem] Como a tese ( A ∪ B = B ) envolve uma igualdade de conjuntos, temos que mostrar que
i) A ∪ B ⊂ B
Dem] Seja x ∈ A ∪ B , então x ∈ A ou x ∈ B . Se x ∈ B temos A ∪ B ⊂ B . Se x ∈ A , por
hipótese A ⊂ B também concluímos que x ∈ B , logo, A ∪ B ⊂ B .
ii) B ⊂ A ∪ B (já foi feito, veja demonstração do exercício 2)
Portanto, de a) e b) A ∪ B = B ⇔ A ⊂ B .
I6) A ∩ B = A ⇔ A ⊂ B
A definição abaixo só faz sentido para conjuntos A e B subconjuntos de um determinado
conjunto universo U . Assim,
Diferença. A diferença entre dois conjuntos A e B , indicamos por A − B , é o conjunto dos
elementos que pertencem a A e não pertencem a B .
A − B = {x ; x ∈ A e x ∉ B }
PARTE II – CONJUNTOS Observação. Outras notações para diferença: A ∼ B , A / B .
11 Graficamente, representa-se pela figura abaixo.
Propriedade da diferença de conjuntos. Para todos os subconjuntos A e B de um conjunto
universal U tem-se:
D1) A − A = ∅
D2) A − ∅ = A
D3) (A − B ) ⊂ A
D4) Se A ⊂ B então A − B = ∅ .
D5) ∅ − A = ∅
D6) Se A ⊂ B então A ∪ (B − A) = B .
D7) Os conjuntos A − B , A ∩ B e B − A são disjuntos dois a dois.
Observação. Em geral, A − B ≠ B − A .
Demonstração de algumas propriedades
D1) A − A = ∅
Dem] Suponhamos, por absurdo, que A − A ≠ ∅ . Então, existe x ∈ A − A , ou seja, que
x ∈ A e x ∉ A , que representa uma contradição. Logo, só podemos ter A − A = ∅ .
PARTE II – CONJUNTOS D3) (A − B ) ⊂ A
12 Dem] x ∈ (A − B ) ⇒ x ∈ A e x ∉ B ⇒ x ∈ A .
Diferença simétrica. A diferença simétrica (ou soma booleana) entre dois conjuntos A e B (nessa
ordem), denotada por AΔB , é definida como o conjunto
AΔB = (A − B ) ∪ (B − A) .
A parte sombreada mostrada na figura representa a diferença simétrica.
Complementar. Dados dois conjuntos A e B , se A ⊂ B , então a diferença B − A é chamada
complementar de A em relação a B e indicamos por C BA = B − A .
Se considerarmos o complementar de A em relação a um conjunto universo U , indicamos CUA ou
A ou A′ . Outra maneira de representar CUA = {x ∈ U ; x ∉ A} , desse modo, podemos identificar
o complementar como a negação (lógica).
Propriedades do complementar de um conjunto
C1) A = A
C2) a) A ∪ B = A ∩ B
b) A ∩ B = A ∪ B
C3) a) A ∪ A = U
b) A ∩ A = ∅
C4) a) ∅ = U
b) U = ∅
C5) A = B ⇔ A = B
PARTE II – CONJUNTOS C6) A ⊂ B ⇔ B ⊂ A
13 C7) A − B = A ∩ B
C8) AΔB = (A ∩ B ) ∪ (B ∩ A)
Demonstrações de algumas propriedades
C2) a) A ∪ B = A ∩ B
Dem] A ∪ B = {x ∈ U ; x ∉ (A ∪ B )} = {x ∈ U ; x ∉ A e x ∉ B )} = A ∩ B .
C2) b) A ∩ B = A ∪ B
Dem] x ∈ A ∩ B ⇔ x ∉ (A ∩ B ) ⇔ x ∉ A ou x ∉ B ⇔ x ∈ A ∪ B .
C3) a) A ∪ A = U
Dem] Supondo A ∪ A ≠ U , temos que existe x ∈ U tal que x ∉ A ∪ A ⇒ x ∉ A ou x ∉ A ⇒
x ∉ A ou x ∈ A que é uma contradição, logo, A ∪ A = U .
C3) b) A ∩ A = ∅
Dem]
5) A = B ⇔ A = B
Dem]
C6) A ⊂ B ⇔ B ⊂ A
i) A ⊂ B ⇒ B ⊂ A
PARTE II – CONJUNTOS Dem] Seja x ∈ B , isto é, x ∉ B . Como A ⊂ B , concluímos que x ∉ A , ou seja, x ∈ A .
14 ii) B ⊂ A ⇒ A ⊂ B
Dem] Seja x ∈ A , isto é, x ∉ A . Como B ⊂ A , temos que x ∉ B , logo, x ∈ B .
De i) e ii) concluímos que A ⊂ B ⇔ B ⊂ A .
C7) A − B = A ∩ B
Dem] A − B = {x ; x ∈ A ∧ x ∉ B } = {x ; x ∈ A ∧ x ∈ B } = A ∩ B .
Exemplos Resolvidos – Mostre que
1) B ∩ (A − B ) = ∅
Dem] Supondo B ∩ (A − B ) ≠ ∅ existe x ∈ B ∩ (A − B ) então x ∈ B ∧ x ∈ A ∧ x ∉ B , isto implica
em x ∈ B ∧ x ∉ B que é uma contradição. Portanto, B ∩ (A − B ) = ∅ .
2) ⎡⎣⎢A − (A ∩ B )⎤⎦⎥ ∩ ⎡⎣⎢B − (A ∩ B )⎤⎦⎥ = ∅
{
}
Dem] Supondo ⎡⎢⎣A − (A ∩ B )⎤⎦⎥ ∩ ⎡⎣⎢B − (A ∩ B )⎤⎦⎥ ≠ ∅ existe x ∈ ⎡⎣⎢A − (A ∩ B )⎤⎦⎥ ∩ ⎡⎣⎢B − (A ∩ B )⎤⎦⎥ então
x ∈ ⎡⎢⎣A − (A ∩ B )⎤⎥⎦ ∧ x ∈ ⎡⎢⎣B − (A ∩ B )⎤⎥⎦ , ou seja, x ∈ A ∧ x ∉ (A ∩ B ) ∧ x ∈ B ∧ x ∉ (A ∩ B ) , daí
deduzimos que x ∈ A ∧ x ∈ B , que significa x ∈ (A ∩ B ) o que é uma contradição.
3) Se B ⊂ A então B ∪ (A − B ) = A .
Dem] Hipótese: B ⊂ A
Tese: B ∪ (A − B ) = A
a) B ∪ (A − B ) ⊂ A
x ∈ B ∪ (A − B ) ⇒ x ∈ B ∨ (x ∈ A ∧ x ∉ B ) ⇒ (x ∈ B ∨ x ∈ A) ∧ (x ∈ B ∨ x ∉ B )
⇒ x ∈ (B ∪ A) ∧ x ∈ U ⇒ x ∈ ⎡⎢⎣(B ∪ A) ∩ U ⎤⎦⎥ ⇒ x ∈ (A ∩ U ) ⇒ x ∈ A.
PARTE II – CONJUNTOS b) A ⊂ ⎡⎢⎣B ∪ (A − B )⎤⎥⎦
15 Seja x ∈ A , como B ⊂ A , temos duas alternativas a considerar
i) x ∈ B . Logo, x ∈ B ∪ (A − B ) .
ii) x ∈ A e x ∉ B , isto implica em x ∈ (A − B ) , logo, x ∈ B ∪ (A − B ) .
De a) e b) temos que B ∪ (A − B ) = A .
Número de elementos de um conjunto finito. Dado um conjunto finito A , indicamos o número de
elementos de A por n(A) ou card(A) ou #(A) (também chamado de cardinalidade de A ).
Observações
i) O número de elementos de um conjunto finito não muda.
ii) Por definição, n(∅) = 0 .
iii) Todo subconjunto A de um conjunto finito B é finito e n(A) ≤ n(B ) .
iv) Tem-se que A = B ⇒ n(A) = n(B ) .
Proposição 1. Se A ∩ B = ∅ então n(A ∪ B ) = n(A) + n(B ) .
Dem]
Proposição 2. Se A ⊂ B então n(B − A) = n(B ) − n(A) .
Dem] Se A ⊂ B então B = A ∪ (B − A) . Além disso, sabemos que A ∩ (B − A) = ∅ . Portanto,
n(B ) = n ⎡⎣⎢A ∪ (B − A)⎤⎦⎥ = n(A) + n(B − A) .
Proposição 3. n(A ∪ B ) = n(A) + n(B ) − n(A ∩ B ) .
Dem] Utilizaremos os resultados a) e b) abaixo
PARTE II – CONJUNTOS a) A ∪ B = ⎡⎢⎣A − (A ∩ B )⎤⎥⎦ ∪ ⎡⎢⎣B − (A ∩ B )⎤⎥⎦ ∪ (A ∩ B )
De fato, A ∩ B ⊂ A e A ∩ B ⊂ B então pelo Exercício Resolvido 3 anterior temos que
⎡A − (A ∩ B )⎤ ∪ (A ∩ B ) = A e ⎡B − (A ∩ B )⎤ ∪ (A ∩ B ) = B . Desses resultados e operando
⎢⎣
⎥⎦
⎢⎣
⎥⎦
A ∪ B , temos o resultado em a).
b) Os conjuntos ⎡⎢⎣A − (A ∩ B )⎤⎦⎥ , ⎡⎣⎢B − (A ∩ B )⎤⎦⎥ e (A ∩ B ) são disjuntos dois a dois, ou seja,
podemos “ver” isso usando os Exercícios Resolvidos 1 e 2 anteriores, então
⎡A − (A ∩ B )⎤ ∩ ⎡B − (A ∩ B )⎤ = ∅
⎢⎣
⎥⎦ ⎢⎣
⎥⎦
⎡A − (A ∩ B )⎤ ∩ (A ∩ B ) = ∅
⎢⎣
⎥⎦
⎡B − (A ∩ B )⎤ ∩ (A ∩ B ) = ∅
⎣⎢
⎦⎥
De a) e b) temos que
n(A ∪ B ) = n ⎡⎣⎢A − (A ∩ B )⎤⎦⎥ + n ⎡⎣⎢B − (A ∩ B )⎤⎦⎥ + n(A ∩ B )
= n(A) − n(A ∩ B ) + n(B ) − n(A ∩ B ) + n(A ∩ B )
= n(A) + n(B ) − n(A ∩ B ).
Exemplos de Problemas envolvendo conjuntos finitos
1 – Numa escola que tem 415 alunos, 221 amam Estatística, 163 amam Lógica e 52 amam ambas
as disciplinas.
a) Quantos alunos amam Estatística ou Lógica?
b) Quantos alunos não amam essas disciplinas?
2 – Uma população consome três marcas de sucos: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado
nesta população, colheram-se os seguintes dados
Marca
Nº. Consumidores
A
B
C
AeB
BeC
AeS
A, B e C
Não bebem sucos
109
203
162
25
41
28
5
115
PARTE II – CONJUNTOS 16 Determine:
17 a) o número de pessoas consultadas;
b) o número de pessoas que só bebem a marca A;
c) o número de pessoas que não bebem as marcas A ou C;
d) o número de pessoas que consomem ao menos duas marcas.
Um pouco mais de Lógica em Conjuntos. Pelas definições vistas vemos que as operações lógicas
estão intimamente relacionadas com as operações entre conjuntos. Podemos estabelecer as relações
Lógica
Conjuntos
Conjunção
∧
∩
Intersecção
Disjunção
∧
∪
União
Condicional
→
⊂
Relação de inclusão
Bicondicional
↔
=
Igualdade
Negação
∼
C
Complementar
Contradição
F
∅
Conjunto vazio
Tautologia
V
U
Conjunto universo
Mais alguns exemplos de demonstrações
1) Mostrar que ∅ ⊂ A .
Dem] Devemos mostrar que x ∈ ∅ ⇒ x ∈ A .
Para todo x ∈ U , a proposição “ x ∈ ∅ ” é falsa e, portanto, a proposição " x ∈ ∅ → x ∈ A " é
verdadeira.
PARTE II – CONJUNTOS 2) Mostrar que A ⊂ A ∪ B
18 Dem] Devemos mostrar que " x ∈ A ⇒ x ∈ A ∪ B " .
Segue
da
implicação
de
adição
p ⇒ p ∨q
que
" x ∈ A ⇒ x ∈ A ou x ∈ B " .
Portanto
"x ∈ A ⇒ x ∈ A ∪ B " .
3) Mostrar que A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ) .
Dem]
Devemos
mostrar
que
" x ∈ A ∩ (B ∪ C ) ⇔ x ∈ (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C ) " ,
" x ∈ A ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C ) ⇔
(x ∈ A ∧ x ∈ B ) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C ) " .
propriedade distributiva p ∧ (q ∨ r ) ⇔ (p ∧ q ) ∨ (p ∧ r ) .
Esta
ou
equivalência
seja,
que
segue da
Argumentos e conjuntos (Demonstração indireta). Vejamos alguns exemplos de como o método
da demonstração indireta está presente nas demonstrações matemáticas, em particular, nas
propriedades de Conjuntos.
1) Mostre que (A − B ) ∩ B = ∅ .
Dem] Suponhamos, por absurdo, que (A − B ) ∩ B ≠ ∅ . Então existe um elemento x tal que
x ∈ A − B e x ∈ B o que é equivalente a afirmar que x ∈ A e x ∉ B e x ∈ B , o que é uma
contradição!
2) Mostre que: Se A ⊂ B , C ⊂ D e B ∩ D = ∅ então A ∩ C = ∅ .
Neste caso, as premissas são:
P1 : A ⊂ B
P2 : C ⊂ D
P3 : B ∩ D = ∅
e a conclusão é
Q : A ∩C = ∅
PARTE II – CONJUNTOS Dem] Vamos negar a conclusão, isto é, supor A ∩ C ≠ ∅ . Assumindo as premissas verdadeiras
vamos usar “argumentos” que nos levem a uma contradição. Se A ∩ C ≠ ∅ , temos que existe um
elemento x tal que x ∈ A e x ∈ C . De P1 e P2 concluímos que x ∈ B e x ∈ D . Mas, isto contradiz
a premissa P3 .
Argumentos e diagramas de Venn. Os resultados obtidos dos conjuntos e os diagramas de Venn são
muito úteis na verificação da validade de determinados argumentos, principalmente quando as
premissas envolvem proposições quantificadas. Vamos mostrar isto apresentando alguns exemplos.
Esquematicamente, o conjunto A , constituído por todos os elementos possuidores da propriedade a ,
é representado por uma região limitada do plano, ficando fora desta região os elementos não
possuidores desta propriedade:
A
.x
.y
A: conjunto dos possuidores da propriedade a ;
x : possui a propriedade a .
y : não possui a propriedade a .
Temos, então, os seguintes diagramas, correspondendo às quatro proposições básicas:
Proposição
Diagrama de Euler
Todo a é b .
A
Nenhum a é b .
B
B
A
Algum a é b .
A
B
(ou existe a que é b .)
Algum a não é b .
A
B
(ou existe a que não é b .)
PARTE II – CONJUNTOS 19 Exemplo 1 – Consideremos o seguinte argumento
20 P1 : Bebês são ilógicos.
P2 : Ninguém é desprezado se pode domar crocodilos.
P3 : Pessoas ilógicas são desprezadas.
Q : Bebês não podem domar crocodilos.
Utilizando conjuntos, façamos a seguinte associação:
B = Conjunto dos bebês
I = Conjunto das pessoas ilógicas
D = Conjunto das pessoas desprezadas
C = Conjunto dos domadores de crocodilos
Podemos reinterpretar o argumento usando a associação de conjuntos acima, assim:
P1 : B ⊂ I
P2 : D ∩ C = ∅
P3 : I ⊂ D
Q : B ∩C = ∅
Abaixo, vemos o diagrama correspondente. Este diagrama nos mostra que a conclusão é válida.
D
I
B
C
Exemplos 2 – Verifique a validade dos seguintes argumentos utilizando os diagramas de Venn.
Argumento 1
P1 : Alguns estudantes são preguiçosos.
PARTE II – CONJUNTOS P2 : Todos os homens são preguiçosos.
21 Q : Alguns estudantes são homens.
Sejam: E = conjunto dos estudantes; H = conjunto dos homens; P = conjunto dos preguiçosos.
Com esta notação, reescrevemos o argumento 1 como
P1 : E ∩ P ≠ ∅
P2 : H ⊂ P
Q :E ∩H ≠ ∅
O diagrama abaixo nos mostra uma situação em que as premissas são verdadeiras com a conclusão
falsa.
P
E
H
O argumento não é válido, apesar de podermos construir também um diagrama onde a conclusão
é verdadeira.
Observação. Para concluirmos a validade do argumento a representação do diagrama não pode
deixar dúvida quanto a conclusão.
Argumento 2
P1 : Todo número primo é ímpar.
P1 : Pr ⊂ I
P2 : Nenhum número ímpar é par.
P2 : I ∩ P = ∅
Q : Existe um número primo que é par.
Q : Pr ∩ P ≠ ∅
Pr
Pr
P
O argumento não é válido apesar da proposição Q ser “verdadeira”. Isto porque a conclusão
não decorre das premissas.
PARTE II – CONJUNTOS Argumento 3
22 P1 : Todos os advogados são ricos. ( A ⊂ R )
P2 : Poetas são temperamentais. ( P ⊂ T )
P3 : Nenhuma pessoa temperamental é rica. (T ∩ R = ∅ )
Q : Nenhum advogado é poeta. ( A ∩ P = ∅ )
A conclusão é válida.
T
R
P
A
Argumento 4
P1 : Todos os artistas são famosos. (P1 : A ⊂ F )
P2 : Para ser diplomado pela universidade é suficiente ser professor. (P2 : P ⊂ U )
P3 : Existem diplomados pela universidade famosos. (P3 : U ∩ F ≠ ∅)
Para cada conclusão apresentada abaixo, analise a validade do argumento quando:
Q1 : Professores não são famosos.
Q2 : Artistas não são professores.
Q3 : Se João é diplomado pela universidade então ele não é artista.
U
F
P
A
U
F
A
P
PARTE II – CONJUNTOS U
F
A
23 P
U
F
A
P
Argumento 5
P1 : Todo matemático estudou na universidade. M ⊂ U
P2 : É suficiente ser biólogo para ter estudado na universidade. B ⊂ U
P3 : Nenhum biólogo é matemático. B ∩ M = ∅
P4 : Existem matemáticos que são sábios. M ∩ S ≠ ∅
P5 : Ninguém que estuda na universidade é analfabeto. A ∩ U = ∅
P6 : Existem sábios analfabetos. S ∩ A ≠ ∅
Para cada conclusão apresentada abaixo, analise a validade do argumento quando:
a) Q1 : Nenhum biólogo é analfabeto.
b) Q2 : Existem sábios que estudam na universidade.
c) Q3 : Todos os sábios estudam na universidade.
d) Q4 : Nenhum biólogo é sábio.
e) Q5 : Existem pessoas que estudaram na universidade e não são sábios.
PARTE II – CONJUNTOS EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM E FIXAÇÃO – CONJUNTOS
24 1 – Considere os conjuntos:
A = conjunto dos quadriláteros planos.
P = {X ⊂ A ; X tem lados 2 a 2 paralelos}
L = {X ⊂ A ; X tem 4 lados congruentes}
R = {X ⊂ A ; X tem 4 ângulos retos}
Q = {X ⊂ A ; X tem 2 lados paralelos e 2 ângulos retos}
Determine os conjuntos abaixo:
a) L ∩ P
b) R ∩ P
c) L ∩ R
d) Q ∩ R
e) L ∩ Q
f) P ∪ Q
2 – Usando as operações entre conjuntos e suas propriedades, simplifique as seguintes expressões:
a)
(A ∩ B )
b) (A ∩ B ) ∪ (A ∩ B )
c) A ∩ B ∩ A ∩ B
d) ⎡⎢A ∩ (B ∪ C )⎤⎥ ∪ ⎡⎢A ∩ (A ∩ B )⎤⎥ ∪ ⎡⎢A ∩ (A ∩ C )⎤⎥
⎣
⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎦
e) ⎡⎣⎢(A ∪ B ) ∩ A⎤⎦⎥ ∪ A ∪ B
f)
(A ∩ B ∩ C ) ∪ (A ∩ B ∩ C )
3 – Verifique se a equações dadas abaixo são sempre verdadeiras, usando diagramas de Venn.
ƒ No caso de verdadeira, demonstre;
PARTE II – CONJUNTOS ƒ No caso de falsa dê contra-exemplo.
25 a) A ∩ (B − C ) = (A ∩ B ) − (A ∩ C )
b) A ∪ (B − C ) = (A ∪ B ) − (A ∪ C )
c) A − (B ∩ C ) = (A − B ) ∪ (A − C )
d) A − (A ∩ B ) = A − B
e) A ∩ B = A − (A − B )
f) A ∪ B = A ∪ (B − A)
g) A ∪ (B ΔC ) = (A ∪ B )Δ(A ∪ C )
h) A − (B ΔC ) = (A − B )Δ(A − C )
i) AΔB = A ∩ B
j) A − B = A − (A − B )
4 – Mostre que:
a) Se B ⊂ C e C ⊂ A então B ∪ C ⊂ A .
b) Se A ⊂ B e A ⊂ C então A ⊂ B ∩ C .
c) P (A) ∩ P (B ) = P (A ∩ B )
d) Se A ∩ B = ∅ então A ∩ B = A .
e) Se A ∩ B = ∅ então A ∪ B = B .
f) A ⊂ B se e somente se A − B = ∅ .
g) Se A ∩ B = A e A ∩ C ≠ ∅ então B ∩ C ≠ ∅ .
5 – Dados os conjuntos A = {1,2} e B = {1,2, 3, 4} , determine todos os conjuntos X ≠ B tais que
A⊂X ⊂B.
Considere A = {1,2, 3} e B = {3, 4, 5} . Então determine
PARTE II – CONJUNTOS a) P (A)
26 b) P (B )
c) P (A ∩ B )
d) P (A ∪ B )
6 – Determine todos os elementos dos conjuntos A , B e E sabendo-se que A, B ∈ P (E ) e que
A ∪ B = {1, 3, 8, 9} , C EA = {4, 6, 9} e C EB = {3, 4, 6} .
7 – No relatório de uma pesquisa encomendada por uma editora, para saber sobre as preferências
dos leitores em relação a três revistas A, B e C . Observou-se as seguintes estatísticas: 90% liam
a revista A; 6% a B; 7% a C; 4% liam A e a B; 5% a A e a C; 2% a C e a B e 1% liam as três
revistas.
a) Supondo-se que as pessoas pesquisadas eram leitoras de pelo menos uma das revistas,
pergunta-se: As estatísticas do relatório são consistentes?
b) Caso no universo das pessoas consultadas nem todas lessem revistas desta editora, o que se
poderia concluir?
8 – Em um levantamento feito por 100 estudantes de uma certa universidade para verificar o
aprendizado de língua inglesa, francesa e alemã, verificou-se o seguinte:
78 estudavam pelo menos uma destas três línguas;
47 estudavam inglês, 32 francês e 21 alemão;
31 estudavam apenas inglês e 17 apenas francês;
6 estudavam francês e alemão;
5 estudavam inglês e alemão mas não estudavam francês.
a) Quantos estudavam as três línguas?
b) Quantos estudavam inglês e francês mas não estudavam alemão?
PARTE II – CONJUNTOS c) Quantos estudavam apenas alemão?
27 d) Quantos não estudavam qualquer das três línguas?
e) Quantos não estudavam francês?
9 – Dados os conjuntos A, B e C tais que: n(A ∪ B ∪ C ) = 25 ; n(A ∩ B ∩ C ) = 1 ; n(A) = 10 ;
n(B ) = 14 ; n(A ∪ B ) = 20 ; n ⎡⎢⎣B − (A ∪ C )⎤⎥⎦ = 6 ; n ⎡⎢⎣A − (B ∪ C )⎤⎥⎦ = 2 . Determine:
a) n ((A ∩ C ) − B )
b) n ((B ∩ C ) − A)
10 – Dados os conjuntos A, B e C tem-se que: n (AΔB ) = 32 ; n (A ∪ B ) = 35 ; n (B ΔC ) = 31 ;
n (B ∪ C ) = 37 ; n(A ∩ B ∩ C ) = 2 ; n ⎡⎢⎣C − (A ∪ B )⎤⎥⎦ = 12 ; n ⎡⎢⎣(A ∪ B ) − C ⎤⎥⎦ = 26 . Determine
a) n ((A ∩ C ) − B )
b) n (A − (B ∪ C ))
c) n (B − (A ∪ C ))
d) n ((A ∩ B ) − C )
11 – Utilize os diagramas de Venn para decidir quais das seguintes afirmações são válidas.
a) Todos os girassóis são amarelos e alguns pássaros são amarelos, logo nenhum pássaro é um
girassol.
b) Alguns livros são verdes e algumas coisas verdes são comestíveis. Concluímos que alguns
livros são comestíveis.
c) Como todos os peixes são mamíferos, todos os mamíferos são aves e existem minerais que
são peixes, concluímos que existem minerais que são aves.
d) Alguns homens sabem nadar. Não existem peixes que não sabem nadar. Conclusão: os
peixes sabem nadar.
PARTE II – CONJUNTOS e) Alguns baianos são surfistas. Alguns surfistas são louros. Não existem professores surfistas.
Conclusões
28 i) Alguns baianos são louros.
ii) Alguns professores são baianos.
iii) Alguns louros são professores.
iv) Existem professores louros.
12 – Considere as seguintes premissas:
(1) É suficiente ser artista para ser uma pessoa sensível
(2) Existem pessoas sensíveis que não são determinadas.
(3) Ser determinada é condição necessária para uma pessoa ser pragmática.
(4) Somente pessoas que não são pragmáticas se tornam artistas.
(5) Existem artistas que são pessoas determinadas.
Escreva, justificando através do diagrama de Venn, quais das seguintes conclusões são válidas e
quais as falsas:
a) Toda pessoa pragmática não é sensível.
b) Existem artistas que não são determinadas.
c) Existem pessoas determinadas que são sensíveis.
d) Nenhuma pessoa pragmática é sensível.
e) Existem pessoas determinadas que não são sensíveis e nem são artistas.
PARTE II – CONJUNTOS LEITURA COMPLEMENTAR
29 Axiomatização
Em um desenvolvimento axiomático de um ramo da Matemática, iniciamos com
ƒ Termos indefinidos (ou primitivos)
ƒ Relações indefinidas
ƒ Axiomas relacionando os termos indefinidos e as relações indefinidas.
Em seguida, desenvolvem-se teoremas baseados em axiomas e definições. No desenvolvimento
axiomático da Teoria dos Conjuntos, temos
ƒ “elemento” e “conjunto” são termos indefinidos;
ƒ “elemento pertencente a um conjunto” é uma relação indefinida;
ƒ Dois dos axiomas são
Axioma de extensão. Dois conjuntos A e B são iguais se, e somente se, cada elemento de
A pertence também a B e cada elemento em B pertence a A .
Axioma de especificação. Sejam P (x ) uma proposição qualquer e A um conjunto. Existe
um conjunto B = {a; a ∈ A, P (a ) é verdadeira } .
Aqui, P (x ) é uma sentença em uma variável para a qual P (a ) é verdadeira ou falsa para
qualquer a ∈ A . Existem outros axiomas que não estão relacionados que são utilizados para uma
discussão mais longa e detalhada da Teoria dos conjuntos.
PARTE II – CONJUNTOS 30 Algumas Equivalências Lógicas
1
2
3
4
5
6
p∧p ⇔ p
7
p∨p ⇔ p
p ∧V ⇔ p
p ∨F ⇔ p
p ∧F ⇔ F
p ∨V ⇔ V
p∧ ∼ p ⇔ F
p∨ ∼ p ⇔ V
p ∧ (q ∨ r ) ⇔
p ∨ (q ∧ r ) ⇔
(p ∧ q ) ∨ (p ∧ r )
(p ∨ q ) ∧ (p ∨ r )
p ∧ (p ∨ q ) ⇔ p
∼ (p ∧ q ) ⇔ ∼ p∨ ∼ q
∼ (p ∨ q ) ⇔ ∼ p∧ ∼ q
8
∼ ( p → q ) ⇔ p∧ ∼ q
9
p → q ⇔ ∼ p ∨q
10
∼ (p ↔ q ) ⇔
11
p ↔ q ⇔ (p → q ) ∧ (q → p)
(p∧ ∼ q ) ∨ (∼ p ∧ q )
12
p ∨ (p ∧ q ) ⇔ p
Algumas Regras de Inferência
AD
p A p ∨q
q A p ∨q
SIMP
p ∧q A p
p ∧q A q
CONJ
p, q A p ∧ q
MP
p → q, p A q
MT
p → q, ∼ q A ∼ p
SH
p → q, q → r A p → r
PARTE II – CONJUNTOS PARTE III – CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
′
Enquanto os conjuntos constituem um meio auxiliar, os números são um dos dois objetos
principais de que se ocupa a Matemática. (O outro é o espaço, junto com as figuras geométricas
nele contidas.)
A Teoria dos conjuntos é bastante geral, no entanto, os conjuntos importantes que
encontramos em Matemática elementar são os conjuntos de números e, dentre eles, o conjunto
dos números reais.
Números são entes abstratos, desenvolvidos pelo homem como modelos que permitem
contar e medir, portanto avaliar as diferentes quantidades de uma grandeza. Nesta parte das
notas, estudaremos um pouco dos números reais e suas propriedades.
Conteúdos
1. Números – um pouco de história
2. Conjunto dos naturais, dos inteiros, racionais e dos irracionais
3. Conjunto dos números reais
4. R é corpo
5. R é ordenado
6. Módulo
7. Equações e inequações
8. Exercícios de Aprendizagem e Fixação
PARTE III – CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 1
Comentário sobre alguns conjuntos numéricos
2
O desenvolvimento formal da construção dos conjuntos numéricos será feito em outra disciplina
deste curso: Álgebra I. Aqui, faremos um breve comentário dos conjuntos numéricos naturais,
inteiros, racionais e irracionais e desenvolveremos algumas propriedades importantes dos reais
que nos ajudarão a entender conteúdos como relações e funções reais.
Números Naturais. Os números naturais constituem um modelo matemático, uma escala padrão,
que nos permite a operação de contagem. A seqüência desses números é uma livre e antiga
criação do espírito humano. Comparar conjuntos de objetos com essa escala abstrata ideal é o
processo que torna mais precisa a noção de quantidade; esse processo (a contagem) pressupõe
portanto o conhecimento da seqüência numérica. Sabemos que os números naturais são 1, 2, 3,
4, 5,… A totalidade desses números constitui um conjunto, que indicaremos com o símbolo ` e
= {1,2, 3, 4, 5,...} .
que chamaremos de conjunto dos naturais. Portanto
Deve-se a Giusepe Peano (1858-1932) a constatação de que o conjunto ` dos números naturais
possui propriedades fundamentais, das quais resultam como conseqüências lógicas, todas as
afirmações verdadeiras que se pode fazer sobre esses números, são os Axiomas de Peano. Uma
dessas propriedades fundamentais é o Princípio da Indução – um eficiente instrumento para a
demonstração de fatos referentes aos números naturais.
= {0,1,2, 3, 4, 5,...}
Operações definidas em
:
Adição
Multiplicação
Números Inteiros. Este conjunto aparece como ampliação do conjunto dos números naturais. O
conjunto dos números inteiros, indicado pela letra
, é o conjunto
= {..., −3, −2, −1, 0,1,2, 3,...}
Em
, podemos distinguir três subconjuntos notáveis
ƒ
+
= {0,1,2, 3,...} =
ƒ
−
= {..., −3, −2, −1, 0} : conjunto dos inteiros não positivos
ƒ
* = {..., −3, −2, −1,1,2, 3,...} : conjunto dos inteiros não nulos
: conjunto dos inteiros não negativos
PARTE III – CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS Operações definidas em
. Neste conjunto também são definidas as operações de adição e
multiplicação que temos para os naturais e conservam as mesmas propriedades mais a seguinte:
, existe um único y ∈
Elemento simétrico aditivo (ou oposto). Para todo x ∈
tal que
x + y = 0 (simétrico ou oposto para a operação de adição). Denotamos y = −x .
Observações
I. Devido à existência do elemento oposto, podemos definir em
a operação de subtração,
estabelecendo que x − y = x + (−y ) para todos x , y ∈
é fechado em relação à
.
subtração.
temos a existência do 0 (zero), chamado elemento neutro da adição: ∀x ∈
II. Em
,
x +0 = 0+x =x.
III. A equação x + 4 = 0 tem solução em
IV.
( x = −4 ) mas não tem solução em
.
é não fechado para a operação de divisão. Por exemplo, −1 e 2 são inteiros, mas
−1
= −0, 5 ∉
2
.
Números Racionais. Assim como o conjunto dos números inteiros podem ser vistos como uma
ampliação do conjunto dos números naturais, o conjunto dos números racionais pode ser
construído como uma ampliação do conjunto dos números inteiros.
Como não existe um inverso multiplicativo em
, esta dificuldade foi superada introduzindo os
números racionais.
Sejam a,b ∈
com b ≠ 0 . Se a é múltiplo de b , então existe um único elemento r ∈
de
maneira que a = b ⋅ r . Este elemento r é chamado quociente (ou divisão) de a por b e
indicamos
r=
a
ou r = a ÷ b ou r = a / b
b
a
de fração onde a é numerador e b é denominador. Assim, definimos
b
então o conjunto de todos os números que podem ser escritos na forma de fração como o
Também chamamos
conjunto dos números racionais (ratio=razão)
⎧⎪a
= ⎪⎨ ; a, b ∈
⎪⎩⎪b
⎪⎫
e b ≠ 0⎪⎬
⎪⎭⎪
PARTE III – CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 3
Note que todo número inteiro x é racional, pois x =
x
. Isto quer dizer que
1
⊂
.
4
Vamos definir alguns tipos de frações
ƒ
Frações equivalentes:
ƒ
Frações próprias:
ƒ
Frações
ƒ
Frações
ƒ
Frações
ƒ
Frações
a ac
=
, a, b, c ∈
b
bc
e b, c ≠ 0 .
a
com a < b , a,b ∈ e b ≠ 0 .
b
a
impróprias:
com a > b , a,b ∈ e b ≠ 0 .
b
a
aparentes: , a, b ∈ , b ≠ 0 , ∃c ; a = bc .
b
a
decimais:
, a∈ e n∈ .
10n
a
irredutíveis: , a,b ∈ , b ≠ 0 , mdc(a,b) = 1 .
b
Exercício – Dê exemplos de cada um dos tipos de frações definidas acima.
Operações em
. Podemos definir em
as operações já estruturadas em
: adição,
multiplicação e subtração e, além disso, definiremos uma outra, a divisão. Vejamos tais
operações:
Adição:
a c
ad + bc
, a, b, c, d ∈
+ =
b d
bd
e b, d ≠ 0 .
Observações
•
•
a
a
é dado por − e tem a seguinte propriedade:
b
b
a
−a
a
para a, b ∈ e b ≠ 0 .
− =
=
−b
b
b
Assim, podemos definir a operação de subtração entre dois números racionais:
O elemento oposto de
a c
a −c ad − bc
, a, b, c, d ∈
− = +
=
b d
b
d
bd
Multiplicação:
a c
ac
, a, b, c, d ∈
⋅ =
b d bd
e b, d ≠ 0 .
e b, d ≠ 0 .
PARTE III – CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS As operações de adição e multiplicação definidas para os racionais apresentam todas as
propriedades das mesmas operações para os inteiros. Além disso, em
Elemento inverso multiplicativo. Para todo x =
a
∈
b
− {0} , existe um único y ∈
xy = yx = 1 (inverso multiplicativo). Denotamos por y = x −1 =
Por exemplo, se x =
, existe o
b
.
a
3
4
3 4
, então x −1 = e, portanto, xx −1 = ⋅ = 1 .
4 3
4
3
Esta propriedade nos mostra como podemos definir a operação de divisão em
com y ≠ 0 , a divisão de x por y , é o número racional
Exemplo: x =
tal que
. Se x , y ∈
x
1
= x ⋅ = xy −1 .
y
y
4
1
x
4 6 24
e y = , então = xy −1 = ⋅ =
.
y
5 1
5
5
6
Representação decimal. Qualquer número racional pode ser escrito na forma decimal. Para isto,
basta dividir o numerador pelo inteiro denominador. Nessa divisão, podem ocorrer dois casos:
1. O número decimal tem uma quantidade finita de algarismos diferentes de zero, isto é, é uma
decimal exata.
Exemplos:
4
=4
1
−1
= −0, 5
2
4
= −0,16
−25
−17
= 0, 0017
−10000
2. O número decimal tem uma quantidade infinita de algarismos que se repetem periodicamente,
isto é, é uma dízima periódica.
Exemplos
1
= 0, 3333... = 0, 3 (período 3)
3
13
b)
= 2,1666... = 2,16 (período 6)
6
3
c) = 0, 428571428571... = 0, 428571 (período 428571)
7
a)
PARTE III – CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 5
6
Assim, dado um número decimal, decidimos se é ou não racional, se for possível representá-lo
a
(chamada de fração geratriz, geralmente uma fração irredutível), pois os números
b
racionais são caracterizados por poderem ser representados sob a forma de fração. Vejamos
sob a forma
alguns exemplos
1. Decimal exata:
0, 050 =
50
1
=
1000 20
−2,24 =
−224
56
=−
100
25
2. Dízima periódica: alguns exemplos abaixo
⎧
⎪x = 0, 4444...
4
4
a) 0, 4 = 0, 444... = , pois ⎪
⇒ 10x − x = 4 ⇒ x = .
⎨
⎪
10x = 4, 444...
9
9
⎪
⎩
b) 6, 43 = 6, 434343... =
⎧
⎪x = 6, 434343...
637
637
.
, pois ⎪⎨
⇒ 100x − x = 637 ⇒ x =
⎪
100x = 643, 4343...
99
99
⎪
⎩
c) 2, 5791 = 2, 57919191... =
25534
, pois
9900
⎧
⎪
x = 2, 57919191...
⎪
⎪
25534
⎪
⎪
⇒ 10000x − 100x = 25534 ⇒ x =
⎨100x = 257, 919191...
⎪
9900
⎪
⎪
10000x = 25791, 9191...
⎪
⎪
⎩
Exercício – Determine a fração geratriz de cada dízima. Observe que, em geral, a fração geratriz
de uma dízima não pode ser escrita como fração decimal (denominador uma potência de dez).
a) 5, 6 = 1, 6666...
b) −0, 371 = 0, 371371...
c) 2, 0845 = 2, 084545...
d) 0, 9 = 0, 999...
Ordem em _ . Para compararmos duas frações, elas devem ter o mesmo denominador, assim
sendo, a maior fração é aquela que possui maior numerador.
Exemplo – Complete com os símbolos de =, < ou > entre as frações:
a) −
3
5
2
5
b)
250
1000
1
4
c)
17
18
22
23
d) −
3
5
−2
3
PARTE III – CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS Números Irracionais. Os gregos sempre pensaram que o número é a medida de todas as coisas.
Os números medem também as áreas, os comprimentos, os lados de um triângulo, a conta
bancária de um indivíduo, etc. também foram os gregos que descobriram que nem todos os
segmentos podiam ser medidos por um número inteiro positivo ou uma fração entre números
inteiros, fato este conhecido como a descoberta de
2 pelos pitagóricos no século V a.C.
Consideremos um triângulo retângulo e isósceles, cujos catetos
sejam iguais a 1. Segundo o Teorema de Pitágoras: d 2 = 12 + 12 = 2
onde d indica o comprimento da hipotenusa deste triângulo e
satisfaz a igualdade d 2 = 2 .
Chamamos este número de raiz quadrada de 2 e representamos pelo
símbolo
2.
Evidentemente a hipotenusa possui um comprimento, conforme se pode observar na figura, mas
era simplesmente impossível achar o número que pudesse ser associado ao exato comprimento
3
7
é grande demais,
é um pouco menor. De qualquer maneira que
2
5
se buscasse esse número, encontra-se apenas valores aproximados, que ora excedem o valor real,
expresso por
2 . O valor
ora permanecem inferiores a ele, sempre por uma pequena diferença. Provaremos então que
2 é um número não racional. Aristóteles (384–322 a.C.), como exemplo de uma demonstração
por redução ao absurdo, demonstrou que
2 não é um número racional, isto é, não se pode
escrever como uma fração de dois inteiros.
Demonstração. Suponha que existem dois números naturais p e q primos, tais que
⎛ p ⎞2
irredutível] e ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = 2 . Então,
⎜⎝ q ⎠⎟
p 2 = 2q 2 , isto implica que
2=
p p
[ é
q q
p 2 é um número par e,
conseqüentemente, p também é par [porque se fosse ímpar teríamos p = 2k + 1 para algum
número natural k e
p 2 = (2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1 = 4 (k 2 + k ) + 1 seria ímpar]. Se p é um
número par, existe um natural n tal que p = 2n e assim 4n 2 = 2q 2 ⇔ q 2 = 2n 2 . Então q é
par [porque q 2 é par], o que é absurdo visto que p e q são primos entre si.
Se um número é irracional a parte decimal não segue um padrão, isto é, não se repete nunca.
Com o auxílio de um computador, podemos calcular a representação decimal de
2 com muitas
casas decimais para nos convencer deste fato. Embora este número com suas aproximações
PARTE III – CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 7
vistas em computador com até bilhões de casas decimais sejam convincentes, isto não basta
como uma prova matemática. Do mesmo modo que mostramos logicamente que
2 é irracional,
também podemos mostrar que os números π e e são irracionais.
Alguns exemplos de números irracionais:
ƒ
2 = 1, 4142135623730950488016887242097... (medida da diagonal de um quadrado de
lado medindo 1 unidade)
ƒ
π = 3,1415926535897932384626433832795... (a letra grega “pi” representa a área e
também metade do perímetro de um círculo de raio 1)
ƒ
e = 2, 7182818284590452353602874713... (base do sistema de logaritmos, inventado em
1617 pelo escocês John Napier)
Observações
ƒ
Os números racionais têm representação decimal finita ou infinita periódica, mas os
números irracionais não têm essa representação.
ƒ
Existem infinitos números irracionais, uma maneira de “ver” isto é escrevendo a
seqüência seguinte: ..., − 3 2, − 2 2, − 2,
2, 2 2, 3 2, ... .
Exercícios
1. Mostre que se c ∈
2. Mostre que
− {0} então c 2 é irracional.
3 é um número irracional.
3. Dê exemplo de dois irracionais tais que:
a) a soma é racional;
b) o produto é racional;
c) a divisão é racional.
4. Dê exemplos de um número racional e um irracional tal que o produto é racional.
Observação. Note que o exercício (3) mostra que o conjunto dos irracionais é não fechado para
as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão definidas anteriormente.
PARTE III – CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 8
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
=
∪
′
=
9
∪( −
)
∩
′=∅
irracionais
Número real algébrico. Um número real diz-se algébrico se ele satisfaz a uma equação do tipo
an x n + an −1x n −1 +
+ a2x 2 + a1x + a 0 = 0 onde os coeficientes ai ∈ , i = 0,1,2,..., n .
Transcendente é um número que não é algébrico.
Exemplos
a) Todo número racional é algébrico.
b)
2 é algébrico.
c) π = 3,14... é transcendente (Lindemann, 1882)
d) e = 2, 7182... é transcendente (Hermite, 1873)
Estruturação algébrica do conjunto dos números reais
\ é um corpo
Definimos em \ duas operações:
Adição
+: ×
(x , y )
Multiplicação
i : × →
→
(x , y )
x +y
x ⋅y
Essas operações cumprem as seguintes condições:
Associatividade: ∀x , y, z ∈
Comutatividade: ∀x , y ∈
tem-se (x + y ) + z = x + (y + z ) e (x ⋅ y ) ⋅ z = x ⋅ (y ⋅ z ) .
tem-se x + y = y + x e x ⋅ y = y ⋅ x .
Elementos neutros: Existem em
os elementos 0 e 1 tais que ∀x ∈
, x + 0 = x e x ⋅1 = x .
PARTE III – CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS Inversos: ∀x ∈
possui inverso aditivo −x ∈
tal que x + (−x ) = 0
Se x ≠ 0 , existe também um inverso multiplicativo x
Distributividade: ∀x , y, z ∈
−1
∈
tal que x ⋅ x
10
−1
= 1.
tem-se x ⋅ (y + z ) = xy + xz .
como um corpo.
Definidas a adição e multiplicação com as condições acima, caracterizamos
Exercícios de sala de aula
1 – Defina as operações de subtração e divisão em
.
2 – Utilize a distributividade e o elemento oposto para mostrar que x ⋅ 0 = 0 , ∀x ∈
3 – ∀x , y ∈
.
, mostre que se x ⋅ y = 0 então x = 0 ou y = 0 .
4 – Utilize 3 e conclua que x 2 = y 2 ⇒ x = ±y .
5 – Demonstre as “regras de sinais”, ou seja, ∀x , y ∈
tem-se
i) −(−x ) = x
ii) (−x ) y = − (xy )
iii) −x (−y ) = xy
é um corpo ordenado
Definimos em
um subconjunto
+
⊂
, chamado de conjunto dos números reais positivos,
que cumpre as seguintes condições:
P1. ∀x , y ∈
+
P2. Dado x ∈
Indicamos
−
{
⇒ x +y ∈
+
e x ⋅y ∈
+
.
ocorre uma única das alternativas: x = 0 ou x ∈
= x ∈ ; −x ∈
+
+
ou −x ∈
+
.
} conjunto dos números reais negativos.
PARTE III – CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS P2 indica que
=
+
∪
−
∪ {0} tem duas uniões disjuntas.
Exercício – Mostre que todo número real x ≠ 0 tem quadrado positivo.
Escrevemos x < y ( x menor que y ) quando y − x ∈
z∈
+
+
, isto significa que y = x + z onde
.
Se x ∈
se −x ∈
+
(positivo), indicaremos x > 0 e
+
(negativo), indicaremos x < 0 .
Valem as seguintes propriedades da relação de x < y em
:
O1. Transitividade: x < y e y < z implica x < z .
O2. Tricotomia: Dados ∀x , y ∈
x =y
, ocorre uma única das alternativas:
ou
x >y
ou
O3. Monotonicidade da adição: Se x < y , ∀z ∈
O4. Monotonicidade da multiplicação:
x <y.
temos x + z < y + z .
Se x < y , ∀z > 0 tem-se xz < yz .
Porém, se z < 0 , temos xz > yz .
Exercícios – A partir do que conhecemos até agora, mostre os seguintes resultados:
a) x < y e a < b implica que x + a < y + b .
b) 0 < x < y e 0 < a < b implica que xa < yb .
c) Se 0 < x < y então y −1 < x −1 .
PARTE III – CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 11
Intervalos (alguns tipos de subconjuntos de
). Usamos as seguintes notações para indicar
e chamamos intervalos.
determinados subconjuntos de
Intervalos (subconjuntos de \ )
[a, b ]
{x ∈ ; a ≤ x ≤ b }
(a, b ]
{x ∈ ; a < x ≤ b }
a
b
[a, b )
{x ∈ ; a ≤ x < b }
a
b
(a,b )
{x ∈ ; a < x < b }
(−∞, b ]
{x ∈ ; x ≤ b }
(−∞, b )
{x ∈ ; x < b }
⎡a, +∞)
⎢⎣
{x ∈ ; a ≤ x }
(a, +∞)
{x ∈ ; a < x }
a
a
b
b
b
b
a
a
(−∞, +∞)
Quando a = b o intervalo reduz-se a um único elemento e chamamos de intervalo degenerado.
Resolução de equações e inequações produto e quociente.
Valor absoluto (ou módulo) de um número real. Seja x ∈
, o módulo de x é definido por
⎧
⎪x se x ≥ 0
.
x = ⎪⎨
⎪−
x se x < 0
⎪
⎩
Podemos definir o módulo de x ∈
dizendo que x = x 2 .
PARTE III – CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 12
Interpretação geométrica do módulo de um número real. Temos, também, que:
x < a ⇔ −a < x < a
.
e
x >a ⇔
Teorema. Sejam ∀x , y ∈
x > a ou x < −a
, mostre que:
i) x + y ≤ x + y
ii) x ⋅ y = x y
iii) Seja ε ∈
, x −a < ε ⇔ a − ε < x < a + ε.
Exercícios – Resolver as seguintes equações e inequações modulares
a) x − 3 = 3x − 1
b) x + 2x − 1 = 1
c) x + 2x − 1 > 1
d)
x −2
≤1
x +3
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM E FIXAÇÃO – CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS
1 – Prove as seguintes unicidades:
PARTE III – CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 13
a) Se x + α = x para algum x ∈
b) Se x β = x para todo x ∈
então α = 0 .
14
então β = 1 .
c) x + y = 0 ⇒ y = −x .
d) xy = 1 ⇒ y = x −1 .
2 – Usando as propriedades de ordem em
, prove que:
a) Sejam x e z reais positivos. Se x < y e z < w então xz < yw .
b) Se x 3 = y 3 e x , y têm o mesmo sinal então x = y .
3 – Mostre que:
a) Se a > b e c > d então a + c > b + d .
b) Se a > b > 0 e c > d > 0 então ac > bd .
c) Se a > b ≥ 0 então a 2 > b 2 .
d) Se a > 0 e b > 0 e a 2 > b 2 então a > b .
e) Se a ≥ 0 e b ≥ 0 então a = b se e somente se a 2 = b 2 .
f) Se x < y então x <
x +y
<y.
2
4 – Explique, justificando, onde está o erro na demonstração a seguir:
Sejam a, b ∈
não nulos. Suponha a = b . Então
Multiplicando os dois lados da igualdade por a temos a 2 = ab
Subtraindo b 2 dos dois lados da igualdade anterior temos a 2 − b 2 = ab − b 2
Fatorando os dois membros da igualdade acima temos (a + b )(a − b ) = b (a − b )
Dividindo ambos os membros por (a − b ) temos a + b = b
PARTE III – CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS Como sabemos que a = b , podemos substituir a por b obtendo b + b = b
Que implica em 2b = b
Dividindo ambos os membros por b , chegamos à conclusão de que 2 = 1 .
5 – Faça um esboço, na reta, dos resultados seguintes:
a) ⎡⎣⎢−1,2⎤⎥⎦ ∩ (0, 3⎤⎦⎥
c)
b) ⎡⎣⎢−1,2⎤⎥⎦ ∪ (0, 3⎤⎦⎥
∩ (0,1)
d) ⎡⎣⎢−1, 4⎤⎥⎦ ∪ (−∞, 3⎤⎦⎥
e) ⎡⎢⎣−1, 4⎤⎥⎦ ∩ (−∞, 3)
f) ⎡⎢⎣−1,2⎤⎥⎦ ∩ (2,1⎤⎥⎦
⎡ 0,1⎤ ∩ ⎡1, 5)
⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣
h)
⎛ 1 ⎞
i) {−2} ∪ ⎜⎜⎜− ,1⎟⎟⎟
⎝ 2 ⎠⎟
j)
g)
⎡1, +∞) ∪ (−∞, 0⎤
⎢⎣
⎥⎦
− (−∞, 0)
6 – Determine todos os números reais que satisfazem a desigualdade. Expresse a solução com a
notação de intervalos e represente-a na reta dos reais.
9 5 2
< + x
4 2 3
x −1
d)
>0
x +1
a) 10x < 18 + 4x
b)
c) 2 ≤ 5 − 3x < 11
e) (x − 1)(x − 3) ≤ 0
7 – Sejam x , y ∈
f) x 2 + x + 1 > 3
, mostre que:
a) x − y ≤ x − y
b) x − y < ε ⇒ x < y + ε
c) Se x < ε , para todo ε > 0 , então x = 0 .
d) Para quaisquer x , y, z ∈
e) Dados x , y ∈
, prove que x − z ≤ x − y + y − z .
, se x 2 + y 2 = 0 prove que x = y = 0 .
8 – Determine todos os números reais que satisfazem as equações:
a) x − 3 = 1
b) 5x = 3 − x
PARTE III – CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 15
c) x − 2 + x − 5 = 8 − x
d) 4x + 5 = 2x + 3
e) x + x − 5 = 8 − x
f) x 2 − 4x + 4 = x − 2
10 – Determine o intervalo solução das seguintes desigualdades:
a)
x +1
x
<
2−x
3+x
b)
c)
1
4
≥
3x − 7 3 − x
d) x 3 + 1 > x 2 + x
e) 3x > 6 − 3x
g)
5
1
≥
2x − 1
x −2
1
2
<
x + 1 3x − 1
f) 3 + 2x < 4 − x
h) 2x + 4 ≥ x + 1
i) x + 4 + x − 1 ≤ x + 3
j) x + x − 1 > x + 2
k) 3x − 1 + x < 3x + 1
l)
3−x
4
≤
1−x
1+x
PARTE III – CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS 16
PARTE IV – RELAÇÕES E DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
1 Nesta seção estudaremos a definição relação (binária), conceito que dá suporte a entender uma
função como substrato da teoria dos Conjuntos. Também é uma “preparação” para estudarmos
algumas características gerais das funções (reais) e tipos de funções elementares cujo estudo mais
detalhado faremos na disciplina chamada Fundamentos de Matemática 1.
Conteúdos
1. Produto cartesiano
2. Relações binárias
3. Domínio e imagem de uma relação
4. Representação gráfica
5. Relação inversa
6. Função
7. Gráfico de uma função
8. Igualdade, prolongamento e restrição de funções
9. Exercícios de Aprendizagem e Fixação
PARTE IV – RELAÇÕES E DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO Produto Cartesiano
2 Par ordenado. Dados dois elementos x e y pertencentes a determinados conjuntos definimos o
par ordenado como o elemento que indicaremos por (x , y )
x é o 1º. elemento ou 1ª. coordenada
y é o 2º. elemento ou 2ª. coordenada.
Igualdade de pares ordenados. Dizemos que dois pares ordenados (x1, y1 ) e (x 2, y2 ) são iguais se e
somente se x1 = x 2 e y1 = y2 .
Exemplos
a)
b)
Produto cartesiano. Dados dois conjuntos não vazios A e B , o produto cartesiano ou
simplesmente produto de A por B , indicamos A × B , é o conjunto de todos os pares ordenados
(x , y ) tal que x ∈ A e y ∈ B .
A × B = {(x , y ) ; x ∈ A e y ∈ B }
Observações
1) A ×∅ = ∅ .
2) n(A) = p e n(B ) = q então n(A × B ) = pq .
3) Se A = B então A × B = A × A = A2 .
4) Em geral, A × B ≠ B × A , ou seja, o produto cartesiano é não comutativo.
PARTE IV – RELAÇÕES E DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO Representação gráfica de uma relação. Existem algumas formas de representar um produto
cartesiano graficamente.
3 Exemplo – Sejam A = {1,2} e B = {a,b } .
a) Tabela de dupla entrada
A/B
a
B
1
1,a
1,b
2
2,a
2,b
b) Diagrama sagital
c) Diagrama cartesiano. Se A, B ⊂ \ , então (x , y ) ∈ A × B ⇒ x ∈ \ e y ∈ \ .
\
y
( x,y)
x
\
Exercício – Represente no plano cartesiano os seguintes produtos:
a) {−1,1} × {0,1}
b) {−1,1} × ⎡⎢ 0,1⎤⎥
⎣ ⎦
c) ⎡⎢⎣−1,1⎤⎥⎦ × ⎡⎢⎣ 0,1⎤⎥⎦
PARTE IV – RELAÇÕES E DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO Algumas Propriedades
4 1) A × (B ∪ C ) = (A × B ) ∪ (A ×C )
2) A × (B ∩ C ) = (A × B ) ∩ (A ×C )
3) A × (B − C ) = (A × B ) − (A ×C )
4) (A × B ) ∩ (C × D ) = (A ×C ) ∩ (B × D )
5) A ⊂ B ⇒ (A ×C ) ⊂ (B ×C )
Demonstrações.
2)
3)
Generalizações
A1 × A2 × " × An =
{(x1, x 2,..., xn ); x1 ∈ A1, x 2 ∈ A2, ..., xn ∈ An }
(x1, x 2,..., xn ) é chamada de n-upla.
Relação (binária). Dados os conjuntos A e B , uma relação binária (ou simplesmente, relação de
A em B ) R é qualquer subconjunto de A × B . Isto é, R é uma relação de A em B ⇔
R ⊂ A×B .
Notação: xRy ⇔ (x , y ) ∈ R .
Observação. (x , y ) ∈ R se (x , y ) satisfaz a determinada sentença aberta que caracteriza R .
Exemplos
1 – Considere A = {a, b, c } e B = {x , y } .
a) R1 = {(a, x ),(b, y )} é uma relação de A em B .
PARTE IV – RELAÇÕES E DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO b) R2 = {(c, x )}
5 2 – Sejam A = {1,2, 4} e B = {1, 3, 4, 6, 8} .
a) R1 = {(x , y ) ∈ A × B ; x < y }
b) R2 = {(x , y ) ∈ A × B ; x | y }
c) R3 = {(x , y ) ∈ A × B ; x + y = 2}
3 – Caracterize os elementos de
{
}
a) R4 = (x , y ) ∈ \2 ; x 2 + y 2 = 0
b) R5 = {(x , y ) ∈ ` × ` ; x + y = 4}
Domínio de uma relação. Seja R uma relação de A em B , o domínio de R , indicamos D(R) é o
conjunto de todos os elementos x ∈ A tais que y ∈ B e (x , y ) ∈ R . Isto é,
D(R) = {x ∈ A ; ∃y ∈ B e (x , y ) ∈ R} ⊂ A
Imagem de uma relação. A imagem de R , indicamos Im(R) , é o conjunto de todos os elementos
y ∈ B para os quais existe x ∈ A e (x , y ) ∈ R . Isto é,
Im(R) = {y ∈ B ; ∃x ∈ A e (x , y ) ∈ R} ⊂ B
Exemplos
Representação gráfica de relações
Como R ⊂ A × B temos as seguintes representações
PARTE IV – RELAÇÕES E DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO Tabela de dupla entrada
6 Diagrama sagital
Diagrama cartesiano
Exemplos – Determine a representação gráfica no plano cartesiano das seguintes relações,
indicando para cada uma delas o domínio e a imagem.
{
}
a) R1 = (x , y ) ∈ \2 ; y = x ⊂ \2
b) R2 = {(x , y ) ∈ ] × ] ; y = x }
{
c) R3 = (x , y ) ∈ \2 ; y ≥ x
}
{
}
{
}
{
}
d) R4 = (x , y ) ∈ \2 ; x 2 + y 2 ≥ 1
e) R5 = (x , y ) ∈ \2 ; x + y < 1
f) R6 = (x , y ) ∈ \2 ; y > x + x
g) R7 = {(x , y ) ∈ A × B ; y = x } onde A = ⎡⎢⎣−1,1⎤⎥⎦ e B = ⎡⎢⎣ 0,2⎤⎥⎦ .
Se R é uma relação de A em A , dizemos simplesmente que R é uma relação em A ou sobre A .
PARTE IV – RELAÇÕES E DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO Propriedades das relações em A. Seja R uma relação em A , então:
7 i) R é reflexiva ⇔ ∀x ∈ A, (x , x ) ∈ R .
ii) R é simétrica ⇔ (x , y ) ∈ R ⇒ (y, x ) ∈ R .
iii) R é anti-simétrica ⇔ (x , y ) ∈ R e (y, x ) ∈ R ⇒ x = y .
iv) R é transitiva ⇔ (x , y ) ∈ R e (y, z ) ∈ R ⇒ (x , z ) ∈ R .
v) R é equivalência ⇔ R é reflexiva, simétrica e transitiva.
vi) R é ordem ⇔ R é reflexiva, anti-simétrica e transitiva.
Exemplos e classificação das propriedades
1 – A = {1,2, 3, 4}
a) Em A , definimos R1 = {(1,1),(2,2),(3, 4),(4,1)} . Então
i) R1 é não reflexiva pois (3, 3) ∉ R1 e (4, 4) ∉ R1 .
ii) R1 é não simétrica...
iii) R1 é anti-simétrica.
b) R2 = {(1,1),(2,2),(3, 3),(4, 4),(1,2),(2,1),(1, 3),(3,2)}
i) R2 é reflexiva;
ii) R2 é não simétrica;
iii) R2 é não anti-simétrica.
PARTE IV – RELAÇÕES E DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO Exercícios/Exemplos
8 Reflexiva
1 – Em A = {1,2, 3, 4} definimos as relações
a) R1 = {(1,1),(2,2),(1, 3)}
b) R2 = {(1,1),(2,2),(3, 3),(4, 4)}
2 – xRy ⇔ x é múltiplo de y R ⊂ ` × `
Note que ∀x ∈ ` , x é múltiplo de x , ou seja, (x , x ) ∈ R e, portanto, R é reflexiva.
3 – xRy ⇔ (x − y )2 >1
4 – xRy ⇔ x < y
Simétrica
1 – Em A = {1,2, 3, 4} definimos as relações
a) R1 = {(1,1),(2,1),(1,2),(3,1)}
b) R2 = {(2,1),(1,2),(3,2),(2, 3)}
2 – xRy ⇔ x é múltiplo de y R ⊂ ` × `
3 – xRy ⇔ (x − y )2 >1
4 – xRy ⇔ x ≤ y R ⊂ \2
Anti-simétrica
1 – Em A = {1,2, 3, 4} definimos as relações
a) R1 = {(1,1),(2, 3),(3,2)}
b) R2 = {(2, 3)}
PARTE IV – RELAÇÕES E DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO c) R3 = {(1,2),(2,1),(3, 4)}
d) R4 = {(1,2),(3, 4)}
9 2 – xRy ⇔ x é múltiplo de y R ⊂ ` × `
3 – xRy ⇔ (x − y )2 >1
4 – xRy ⇔ x ≤ y R ⊂ \2
Transitiva
1 – Em A = {1,2, 3, 4} definimos as relações
a) R1 = {(1,2),(2, 3)}
b) R2 = {(1,2),(3, 4)}
c) R3 = {(2,1)}
2 – xRy ⇔ x é múltiplo de y R ⊂ ` × `
3 – xRy ⇔ (x − y )2 >1
4 – xRy ⇔ x < y R ⊂ \2
Relação inversa. Dada a relação R ⊂ A × B , a relação inversa de R , denotada por R−1 , é
definida por R−1 = {(y, x ); (x , y ) ∈ R} .
Observações
i) (x , y ) ∈ R ⇔ (y, x ) ∈ R−1 .
ii) R ⊂ A × B então R−1 ⊂ B × A .
Exemplos
PARTE IV – RELAÇÕES E DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO 1 – Considere A = {1,2, 3} , a relação definida por R = {(1,1),(2, 3),(1, 3)} tem relação inversa
R−1 = {(1,1),(3,2),(3,1)} .
2
–
A = {2, 3}
e
10 B = {5, 4, 6}
definimos
xRy ⇔ x divide y
R ⊂ A×B .
Vemos
que
R = {(2, 4),(2, 6),(3, 6)} ................
Propriedades da relação inversa. Seja R ⊂ A × B
i) (R−1 )−1 = R
ii) D(R) = Im(R−1 )
iii) Im(R) = D(R−1 )
Exemplos
1 – Sejam A = {1,2, 3} , B = ⎡⎢⎣0, 5⎤⎥⎦ e R = {(x , y ) ∈ A × B ; x < y } . Determine os gráficos de R e de
R −1 .
6
y
y
5
4
4
3
3
2
2
1
x
1
−1
1
2
3
4
5
6
x
−1
1
2
3
Gráfico da relação R .
4
Gráfico da relação inversa R−1 .
Note que: Dada uma relação R o gráfico de R−1 é o simétrico do gráfico de R em relação à 1ª.
bissetriz, isto é, (x , y ) e (y, x ) são pontos simétricos em relação à 1ª. bissetriz.
PARTE IV – RELAÇÕES E DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO 2 – Determine o gráfico de R−1 sabendo que o gráfico de R é dado na figura abaixo.
Função. Sejam A e B conjuntos não vazios e f uma relação de A em B . Dizemos que f é uma
função de A em B se e somente se para todo x ∈ A , existe um único y ∈ B tal que (x , y ) ∈ f .
Isto é,
f ⊂ A × B é uma função ⇔ ∀x ∈ A ; ∃ y ∈ B; (x , y ) ∈ f .
Exemplos
{
a) f1 = (x , y ) ∈ \ × \ ; y = x
{
}
b) f2 = (x , y ) ∈ \ + × \ ; y = x
}
c) f3 = {(x , y ) ∈ ` × ` ; x − y ∈ ]}
Observações. Se f é uma função de A em B então
ƒ
A = D( f ) é o domínio de f ;
ƒ
B = CD( f ) é chamado de contra-domínio de f ;
ƒ
Im( f ) = {y ∈ B; ∃x ∈ A, (x , y ) ∈ f } ;
ƒ Se x ∈ A então o único elemento y ∈ B tal que (x , y ) ∈ f é denotado por y = f (x ) e é
chamado de imagem de x pela função f .
ƒ Notação: Existem várias formas de indicarmos que f é uma função de A em B .
a) f : A → B
b) A f B
c)
f :A→B
x 6 y = f (x )
d) f = {(x , y ) ∈ A × B ; y = f (x )}
PARTE IV – RELAÇÕES E DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO 11 ƒ Os símbolos x , f (x ), f são distintos, pois
f (x ) ∈ B
x ∈A
12 f ⊂ A×B
ƒ Quando simplificamos a notação e dizemos simplesmente “considere a função f (x ) ”, fica
subentendido que f deve ser considerada no domínio e contra-domínio os mais amplos
possíveis.
ƒ Uma função deve ser identificada pelo seu domínio, contra-domínio e a lei de formação.
Assim,
f :A→B
x 6 f (x )
Exemplos
a) f : \ − {1} → \
x 6
b) g : ⎢⎣⎡2, +∞) → \
1
x 6
x −1
1
x −1
Algumas definições. Uma função f : A → B tal que:
i) A ⊂ \ é dita uma função de uma variável real.
ii) B ⊂ \ é dita uma função real.
iii) A ⊂ \ e B ⊂ \ é dita uma função real de uma variável real.
Exemplos
a) f : (−∞,2⎤⎥⎦ → \
x 6 2−x
é uma função real de uma variável real.
b) f : \2 → \
é uma função real de duas variáveis reais.
(x , y ) 6 xy
c) J : \ + × \ + × \ + → \
cit
cit 6
100
PARTE IV – RELAÇÕES E DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO d) g : \ → \2
x 6 (x , x + 1)
13 e) h : \ → ^
x 6 x + ix
Determinação do domínio. aaa
Exemplos – Determine o domínio D das seguintes funções:
a) f : D ⊂ \ → \ , f (x ) = 2 − x + x .
b) g : D ⊂ \ → \ , g(t ) =
1
.
t −t
c) h : D ⊂ \2 → \ , h(x , y ) = 1 − x 2 − y 2 .
Gráfico de uma função. Considere uma função f : A → B onde A ⊂ \ e B ⊂ \ . O gráfico de f é
{
}
uma curva no plano definido por graf( f ) = (x , y ) ∈ \2 ; y = f (x ) .
Igualdade de funções. Dadas as funções f : A → B e g : C → D , dizemos que f = g se e somente
se A = C , B = D e f (x ) = g(x ), ∀x ∈ A .
Exemplos
a)
b)
f :\→\
x 6 x
f :\→\
x 6 x +1
g:\→\
x 6 x2
g : \ − {1} → \
x2 −1
x 6
x −1
PARTE IV – RELAÇÕES E DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO a)
f : \ − {1} → \
x 6 x +1
g : \ − {1} → \
x 6
x2 − 1
x −1
14 Prolongamento de funções. Sejam f : A → B e g : C → D duas funções. Dizemos que g é
prolongamento de f se e somente se A ⊂ C , B ⊂ D e f (x ) = g(x ), ∀x ∈ A .
Exemplos
1–
f : ⎡⎢⎣ 0,1⎤⎥⎦ → \ g : \ → \
e
x 6 x
x 6 x
2 – Considere f : ⎡⎢⎣−1,1⎤⎥⎦ → \, x 6 x − 1 . Quais das seguintes funções são prolongamentos de f ?
a) g : \ → \, x 6 x − 1
x2 − 1
b) h : \ − {1} → \, x 6
x +1
c) y : ⎡⎢⎣0,2⎤⎦⎥ → \, x 6 x − 1
Restrição de funções. Seja f : A → B , definimos a restrição de f à parte X ⊂ A como a função
g :X →B
. Assim, D(g ) = X e g(x ) = f (x ), ∀x ∈ X .
x 6 f (x )
Notações: f
X
ou fX .
Exemplos
1 – Seja f : \ → \, x 6 x e X = ⎡⎢⎣−1,2⎤⎦⎥ . Então f
X
2 – Seja f : \ → \, x 6 x 2 e X = ⎡⎣⎢0, +∞) . Então f
: ⎡⎣⎢−1,2⎤⎦⎥ → \, x 6 x .
X
: ⎡⎢⎣0, +∞) → \, x 6 x 2 .
PARTE IV – RELAÇÕES E DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO Comentário importante
Praticamente todos os textos escolares em uso no nosso país definem uma função f : A → B como
um subconjunto do produto artesiano A × B com as propriedades G1 e G2 acima enunciadas.
Essa definição apresenta e o inconveniente de ser formal, estática e não transmitir a idéia
intuitiva de função como correspondência, transformação, dependência (uma grandeza função de
outra) ou resultado de um movimento. Quem pensaria numa rotação como um conjunto de pares
ordenados? Os matemáticos e (principalmente) os usuários da Matemática olham para uma
função como uma correspondência, não como um conjunto de pares ordenados. Poder-se-ia talvez
abrir uma exceção para os lógicos, quando querem mostrar que todas as noções matemáticas se
reduzem, em última análise, à idéia pura de conjunto.
EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM E FIXAÇÃO – RELAÇÕES E A DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO
1 – Construa o diagrama cartesiano dos seguintes produtos:
a) (1, 4⎥⎦⎤ × ⎢⎣⎡−2, 3)
b) {1, 4} × ⎡⎢⎣−2, 3)
c) (1, 4⎤⎥⎦ × ⎡⎣⎢ 4, +∞)
d) (1, 4⎤⎦⎥ × {−2, 3}
e) {1, 4} × {−2, 3}
f) (−∞, 3) × (4, +∞)
2 – Mostre que:
a) A × (B ∪ C ) = (A × B ) ∪ (A ×C )
b) A × (B ∩ C ) = (A × B ) ∩ (A ×C )
c) A × (B − C ) = (A × B ) − (A ×C )
d) (A × B ) ∩ (C × D ) = (A ×C ) ∩ (B × D )
e) A ⊂ B ⇒ (A ×C ) ⊂ (B ×C )
3 – Construa o diagrama cartesiano das seguintes relações. Determine D(R), Im(R), R−1 .
PARTE IV – RELAÇÕES E DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO 15 {
a) R = (x , y ) ∈ \2 ; x = 4 e y ∈ ⎡⎢⎣−2, 4⎤⎥⎦
}
{
16 }
b) R = (x , y ) ∈ \2 ; x 2 + y 2 = 25 e y ≥ 0
{
c) R = (x , y ) ∈ \2 ; x + y = 5 ou 2x − y = 4
{
d) R = (x , y ) ∈ \2 ; x + y = 5 e 2x − y = 4
{
}
}
}
e) R = (x , y ) ∈ \2 ; x ≥ 3 e y ≥ 2
{
}
{
}
{
}
f) R = (x , y ) ∈ \2 ; x + y = 4
g) R = (x , y ) ∈ \2 ; y > x + x
h) R = (x , y ) ∈ \2 ; x − y = 4
{
}
{
}
i) R = (x , y ) ∈ \2 ; x + y = 3
j) R = (x , y ) ∈ \2 ; x + y > 3
4 – Considere as seguintes relações em \ :
{
S = (x , y ) ∈ \2 ; y > x 2
{
}
{
}
T = (x , y ) ∈ \2 ; y ≤ x + 2
⎧
⎪
4 2 ⎫⎪
2
V =⎪
⎨(x , y ) ∈ \ ; y ≤ x ⎪⎬
⎪
9 ⎪⎭⎪
⎪
⎩
}
U = (x , y ) ∈ \2 ; x 2 + y 2 ≤ 25
Construa o diagrama cartesiano e determine domínio e imagem das seguintes relações:
a) S ∩ T
b) U ∩ V
c) S ∩ U
d) S ∩ V
e) T ∩ V
f) S ∪ T
g) T ∪ V
h) U ∪ V
PARTE IV – RELAÇÕES E DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO 5 – Verifique se as relações abaixo são reflexivas, simétricas, anti-simétricas, transitivas, de
ordem, de equivalência.
17 a) Relações em `
i) xRy ⇔ x − y é divisível por 5.
ii) xRy ⇔ x é múltiplo de y.
iii) xRy ⇔ (x − y )2 > 1.
iv) xRy ⇔ x − y ∈ ]
b) Relações em A = {1,2, 3, 4}
i) R1 = {(1,1),(2,2),(3, 3),(4, 4),(1,2),(2,1)}
ii) R2 = {(1,2),(2, 3)}
iii) R3 = A × A
iv) R4 = {(1,1),(2,2),(3, 3),(4, 4),(1,2)}
v) R5 = {(1,1),(2,2),(4, 4),(1,2)}
c) (x , y )R(z , t ) ⇔ x ≤ z e y ≤ t
d) (x , y )R(z , t ) ⇔ x = z
R ⊂ `2 × `2 .
R ⊂ \2 × \2 .
6 – Seja E ≠ ∅ . Dados X ,Y ∈ P (E ) , mostre que as seguintes relações são de equivalência em
P (E ) . Onde A é subconjunto fixo de E .
a) XRY ⇔ X ∩ A = Y ∩ A
b) XSY ⇔ X ∪ A = Y ∪ A
PARTE IV – RELAÇÕES E DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO 7 – Sejam R1 e R2 relações reflexivas, simétricas e transitivas num conjunto A . Mostre que:
a) R1 ∩ R2 é reflexiva, simétrica e transitiva.
b) R1 ∪ R2 é reflexiva e simétrica.
c) Dê exemplo para mostrar que R1 ∪ R2 não é transitiva.
8 – Determine o domínio das funções reais definidas pelas seguintes sentenças:
a) f (x ) = 4 − x 2
b) f (x ) = −(x − 3)2
c) f (x ) = x − x 3
d) f (x ) = 1 + x + 3 − x
e) f (x ) =
1
f) f (x ) =
x −x
1
x +x
9 – Dada a função f : \ + → \ definida por f (x ) = x , verifique quais das seguintes funções são
um prolongamento de f :
a) g1
: ⎡⎢⎣−2, +∞) → \ definida por g1(x ) = x .
b) g2 : ⎡⎣⎢−1,1⎤⎦⎥ → \ definida por g2 (x ) = x .
c) g 3 : \ → \ definida por g 3 (x ) = x .
d) g 4 : \ → \ definida por g 4 (x ) =
x+x
2
.
10 – Sejam as funções f : B → A e g : C → A tais que f
B ∩C
=g
B ∩C
. Mostre que se h = f ∪ g
então:
a) h é uma função de B ∪ C → A ;
b) f = h
B
e g =h .
C
PARTE IV – RELAÇÕES E DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO 18 11 – Esboce o gráfico das funções reais definidas pelas sentenças abaixo determinando domínio,
imagem.
a) f (x ) =
x+x
2
b) f (x ) =
x
+1
x
x4 −1
c) f (x ) = ( x − 1)(x + 2)
d) f (x ) =
e) f (x ) = x 2 − x − 2 + 3
f) f (x ) = x 2 − 1 + x
g) f (x ) = x + x (x − 1)2
h) f (x ) = (x + 2)3 + 1
i) f (x ) = −x 2 x
j) f (x ) =
1−x
x
l) f (x ) =
⎡x ⎤
⎢⎣ ⎥⎦
⎡x ⎤ − x
⎢⎣ ⎥⎦
k) f (x ) =
m) f (x ) =
o) f (x ) =
1
x
x 3 − 2x 2
x −2
n) f (x ) =
p) f (x ) =
x2 −1
x −1 + 4
x 3 − x 2 − 13x − 3
x +3
⎧
⎪
⎪3x − 2 se x < 1
q) f (x ) = ⎨
⎪
x 2 se x ≥ 1
⎪
⎪
⎩
⎧⎪x 2 − 4 se x < 3
⎪
r) f (x ) = ⎨
⎪⎪2x − 1 se x ≥ 3
⎪⎩
⎧⎪1 / x se x < 0
⎪⎪
⎪
s) f (x ) = ⎪⎨ x 2 se 0 ≤ x < 4
⎪⎪
⎪⎪−x 2 se x ≥ 4
⎪⎩
⎧⎪ x 3 + 9x 2 + 27x + 35 − 4
⎪⎪
se x ≠ −5
t) f (x ) = ⎪⎨
x +5
⎪⎪
7
se x = −5
⎪⎪⎩
PARTE IV – RELAÇÕES E DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO 19 REFERÊNCIAS
1 Parte I – Lógica Matemática
[1] ALENCAR FILHO, Edgard. Iniciação à Lógica Matemática. Editora Nobel, 1984.
[2] DAGHLIAN, Jacob. Lógica e Álgebra de Boole, 3ª. edição. São Paulo, Atlas, 1990.
[3] IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar – conjuntos e funções, vol 1.
Atual, 2005.
[4] MACHADO, Nilson José. Lógica? é Lógico! – Coleção Vivendo a Matemática.
Scipinoe, 2000.
[5] LIPSCHUTZ, Seymour. Teoria dos Conjuntos – Coleção Schaum. McGraw–Hill,
1972.
[6] MACHADO, Nilson José & CUNHA, Marisa Ortega. Lógica e linguagem cotidiana –
Coleção Tendências em Educação Matemática. Autêntica Editora, 2005.
[7] CRUZ, Angela & MOURA, José Eduardo. A Lógica na Construção dos Argumentos
– Notas em de Matemática Aplicada 14. SBMAC, 2004.
[8] CARNIELLI, Walter A. & EPSTEIN, Richard L. Computabilidade, funções
computáveis, lógica e os fundamentos da Matemática. São Paulo – Editora UNESP,
2006.
[9] FOSSA, John. Introdução às Técnicas de Demonstração em Matemática. Editora
Livraria da Física, 2009.
[10] CARAÇA, Bento. Conceitos Fundamentais da Matemática, 4ª. edição. Editora
Gradiva, Lisboa, 2002.
[11] COURANT, R e ROBBINS, H. O que é a Matemática? Editora Ciência Moderna,
Rio de Janeiro, 2000 (tradução do original What is Mathematics? 1969).
[12] STEWART, Ian. Mania de Matemática: diversão e jogos de Lógica matemática. Rio
de Janeiro, Jorge Zahar editora, 2005.
Parte II e IV – Conjuntos e Relações
APENDICE – RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS E REFERENCIAS [1] LIPSCHUTZ, Seymour. Teoria dos Conjuntos – Coleção Schaum. McGraw–Hill,
1972.
2 [2] LIMA, Elon L. A Matemática do Ensino Médio, volume 1. SBM, 2000.
[3] IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar – conjuntos e funções, vol 1.
Atual, 2005.
[4] HALMOS, Paul. Teoria Ingênua dos Conjuntos – Coleção Clássicos da Matemática.
Livro de 1960 reeditado pela Ciência Moderna, 2001.
[5] LIMA, Elon L. Meu professor de matemática e outras histórias. Coleção do professor
de matemática. SBM, 1991.
[6] CARAÇA, Bento. Conceitos Fundamentais da Matemática. 4a edição, Gradiva,
Lisboa, 2002.
[7] CARNIELLI, Walter A. & EPSTEIN, Richard L. Computabilidade, funções
computáveis, lógica e os fundamentos da Matemática. São Paulo – Editora UNESP,
2006.
[8] COURANT, R e ROBBINS, H. O que é a Matemática?. Ed. Ciência Moderna, Rio
de Janeiro, 2000 (tradução do original What is Mathematics? 1969).
Parte III – Conjunto dos Números Reais (ou Números e Conjuntos Numéricos)
[1] LIMA, Elon Lages. A Matemática do Ensino Médio, volume 1. SBM, 2000.
[2] RIPOLL, Jaime B., RIPOLL, Cydara C. e SILVEIRA, José Francisco P. Números
Racionais, Reais e Complexos. Editora UFRGS, 2006.
[3] LIMA, Elon L. Análise Real, vol 1 – Coleção Matemática Universitária. Rio de
Janeiro, IMPA, 1997.
[4] AVILA, Geraldo. Análise Matemática para Licenciatura. Edgard Blücher, 2006.
[5] MILIES, Cesar P. & COELHO, Sonia P. Números: uma introdução à Matemática.
EdUSP, 2001.
[6] DOMINGUES, Hygino H. Fundamentos de Aritmética. Atual Editora, 1991.
APENDICE – RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS E REFERENCIAS [7] FERNANDES, Ângela Maria V. [et al.]. Fundamentos de Álgebra. Editora UFMG,
2005.
3 [8] NIVEN, Ivan. Números Racionais e Irracionais. SBM, 1984.
[9] FIGUEIREDO, Djairo G. Números irracionais e transcendentes. Coleção iniciação
cientifica. SBM, 2002.
[10] MENDES, Iran Abreu. Números: o simbólico e o racional na história. São Paulo,
Editora Livraria da Física, 2006.
[11] CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos Fundamentais da Matemática, 4a edição,
Gradiva, Lisboa, 2002.
[12] COURANT, R e ROBBINS, H. O que é a Matemática?. Ed. Ciência Moderna, Rio
de Janeiro, 2000 (tradução do original What is Mathematics? 1969).
Artigos e revistas
[1] Geraldo Ávila. Cantor e a Teoria dos Conjuntos. RPM, número 43, páginas 6–14,
2000.
[2] Christian Q. Pinedo. História da Teoria dos conjuntos. Monografias em Ensino da
Matemática vol. 1(2002), No. 01, pp. 139-150. IFBA (Pato Branco, PR).
[3] Irineu Bicudo. Peri apodeixeos/de demonstratione. In Educação Matemática:
pesquisa e movimento, Maria Aparecida V. Bicudo e Marcelo C. Borba
(organizadores). São Paulo, Cortez editora, 2004.
[4] Ana Catarina P. Hellmeister. Lógica através de exemplos: vamos usar a RPM?.
RPM, número 47, páginas 32–37, 2001.
[5] Iaci Malta. Linguagem, leitura e Matemática in Disciplinas Matemáticas em cursos
superiores: reflexões, relatos, propostas. Helena Noronha Cury (organizadora).
EDPUCRS, Porto Alegre, 2004.
[6] As diferentes faces do infinito – Edição especial, Cientific American Brasil, n° 15.
[7] RPM – Revista do Professor de Matemática, diversos números, SBM.
[8] Desvendando os números reais. Cristina Cerri, USP.
APENDICE – RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS E REFERENCIAS [9] A construção dos números reais nos ensinos fundamental e médio. Cydara C. Ripoll,
UFRGS.
[10]
4 João Carlos Sampaio e Pedro Luiz Malagutti. Mágicas, Matemáticas e outros
Mistérios – III Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática - UFGO
Divulgação e História da Matemática
[1] EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Unicamp, 2002.
[2] IFRAH, Georges. Os números – a história de uma grande invenção, 2ª edição. Globo,
1989.
[3] BOYER, Carl B. História da matemática, 2ª. Edição. Edgard Blücher, 1998.
[4] GUNDLACH, Bernard H. Tópicos de história da matemática para uso em sala de
aula: Números e numerais e Computação. Atual editora, 1998.
[5] MAOR, Eli. e : a história de um número. Record, 2003.
[6] AABOE, Asger. Episódios da história antiga da matemática. SBM, 2002.
[7] KAPLAN, Robert. O nada que existe – uma história natural do zero. Editora Rocco,
2001.
[8] ACZEL, Amir O. O Mistério de Aleph – A Matemática, a cabala e a procura pelo
infinito. Rio de Janeiro, Editora Globo, 2003.
[9] GARBI, Gilberto G. A Rainha das Ciências – um passeio histórico pelo maravilhoso
mundo da Matemática. São Paulo, Editora Livraria da Física, 2006.
[10] NETZ, Reviel & NOEL, William. Códex Arquimedes – como um livro de orações
revelou a genialidade de um dos maiores cientistas da antiguidade. Rio de Janeiro,
Record, 2009.
APENDICE – RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS E REFERENCIAS