ESCOLA SUPERIOR AGRÁRIA DE PONTE DE LIMA
Economia e Gestão
Teoria da Produção
Traduzido e adaptado de:
Doll, J.P., Orazem, F. (1984). Production Economics – Theory with Applications. New York.
John Wiley & Sons.
Por:
José Carlos da Silva Medeira dos Santos
Versão Electrónica revista em Novembro de 2006
1 – INTRODUÇÃO
A produção agrícola depende da reprodução e do crescimento natural das plantas e dos
animais. Contudo, os agricultores podem controlar e estimular estes processos, com
vista à produção de alimentos e outros bens para consumo humano. Para esta actividade
produtiva, os agricultores têm de estar fornecidos com uma série de recursos produtivos
tais como terra, sementes, animais reprodutores, conhecimentos técnicos, mão de obra,
ferramentas, máquinas, etc. Estes recursos produtivos são, como já vimos
anteriormente, conhecidos pela designação genérica de Factores de Produção e, como
também já discutimos, agrupam-se normalmente nas seguintes categorias: (1) Trabalho;
(2) Capital; (3) Empresário.
Podemos então dizer, mesmo antes de avançarmos no estudo da produção agrícola, que
a principal tarefa do agricultor é produzir alimentos e outros bens de que a nossa espécie
carece para sobreviver. E dizendo isto, é lícito colocar uma primeira questão:
O Que é a Produção?
Aparentemente, a resposta a esta questão pode parecer banal. Em certa medida trata-se
aqui de um conceito de fácil apreensão. De facto, agricultura não é mais do que isso –
produção, criação de bens que, directa ou indirectamente, serão transformados em
comida ou bebida para consumo humano. Contudo, no momento em que começarmos a
reflectir em tudo o que de facto aqui está envolvido – em como na realidade a produção
é levada a efeito – então o assunto torna-se mais complexo.
Evidentemente que existem razões para aquela complexidade. Pensemos primeiro numa
definição para Produção. A produção é um processo coordenado que junta trabalho,
capital e empresário de vários modos e em várias formas – matérias-primas, produtos
já processado, equipamentos de toda a espécie, plantas, tecnologia, força de trabalho,
conhecimentos de gestão – com o objectivo de criar um bem ou, de forma crescente em
agricultura, um serviço que é desejado pela comunidade consumidora.
A primeira complexidade, muito real quando falamos de produção agrícola, tem a ver
com o facto de nos ser difícil “visualizar” a produção. Em agricultura nem sempre
podemos ver a produção enquanto ela acontece, e por vezes nem tão pouco a podemos
medir, pelo menos até se atingir o fim do ciclo de produção.
A segunda complexidade, e para nós não só a mais importante neste momento como
também aquela sobre que nos vamos debruçar ao longo dos próximos capítulos, tem a
ver com a última parte da definição de produção que acima foi dada. Nela se referiu a
produção de “bens ou serviços desejados pela comunidade consumidora”. Mas que
factores podem influenciar esse desejo de consumir? No fundo, qual o factor que terá
influência preponderante na procura dos bens e serviços que o agricultor tem para
oferecer à comunidade consumidora? Se tentarmos recordar o que possamos saber sobre
as Teorias da Oferta e da Procura, certamente que a palavra preço acorrerá à nossa
memória. De facto, sabemos que o desejo de comprar um bem por parte de um
indivíduo ou grupo de indivíduos, tem sempre a suportá-lo a capacidade e a vontade de
o comprar a um certo preço. Se esse preço for ultrapassado, o desejo de comprar o bem,
logicamente, diminui.
2
Não será então surpreendente admitir que esta situação seja de vital importância, e tenha
implicações vitais, para o produtor de bens e serviços agrícolas. Numa situação de
competição normal, onde os preços de mercado são, mais do que determinados por ele,
determinados para ele, ele necessita de produzir a um nível de eficiência económica tal
que, aos preços reinantes dos bens de que é vendedor, ele possa obter um lucro
aceitável. Se assim não acontecer, mais cedo ou mais tarde o nosso produtor estará fora
do negócio. Para cada situação concreta de preços e custos ele terá portanto que se
preocupar mais com a eficiência económica do que com a eficiência técnica, uma vez
que esta última ignora a influência dos preços na procura dos bens e serviços agrícolas.
Mesmo que os agricultores / gestores não estejam sempre e apenas interessados em
literalmente maximizar os lucros, no fim do dia, feitas as contas, eles não podem ignorar
a necessidade e a importância da eficiência económica.
Para que essa eficiência de algum modo seja atingida, para que sejam gerados lucros
que o agricultor considere aceitáveis nas suas circunstâncias, ele tem que despender
muito do seu tempo a decidir sobre três questões fundamentais:
O Que produzir?
Como produzir?
Quanto produzir?
Os economistas têm respondido a estas questões recorrendo à chamada “Teoria da
Produção”. Ela descreve as condições que devem existir para que os lucros sejam
maximizados ou, inversamente, para que os custos sejam minimizados.
A primeira questão, “0 que produzir?” é referida como sendo uma questão do tipo
“Produto-Produto”. Ela está relacionada com a combinação de uma actividade com
outra, ou com outras.
A segunda questão, “como produzir?” ou ainda, “que métodos empregar” na produção
de uma dada actividade (isto é, quanta maquinaria, quanto trabalho, etc.), é conhecida
como uma questão do tipo “Factor-Factor”. Ela tem a ver com a combinação de dois
ou mais factores que deve ser empregue na produção de um dado produto.
A terceira e última questão, “quanto produzir?” é conhecida como uma questão do tipo
“Factor-Produto”. Ela está relacionada com o nível até ao qual se deverá expandir o
uso de um determinado factor na produção de um determinado produto.
É a resposta a estas três perguntas que tentaremos encontrar nas páginas seguintes deste
texto de apoio. Começaremos pela última, por se tratar da que lida com os princípios
mais elementares e por o seu conhecimento ser basilar para a compreensão das outras
duas.
3
2 – AS RELAÇÕES FACTOR-PRODUTO
Neste capítulo falaremos das relações básicas factor-produto ou input-output. O
processo de produção agrícola é, como vimos, complexo e está em permanente
mudança, à medida que novas tecnologias aparecem. A investigação agrícola não só
contribui para o desenvolvimento da qualidade, dos tipos, das marcas dos inputs
(factores de produção), como afecta também o uso e as combinações desses mesmos
inputs. Assim, aquilo sobre que nos vamos debruçar em seguida tem que ser olhado
como estando em permanente mudança. A situação real, pelo menos nos países mais
desenvolvidos, é a de um fluxo permanente de informação saindo dos sectores da
investigação e dirigindo-se aos sectores de produção agrícola, o qual altera
constantemente as razões às quais inputs ou recursos são transformados em outputs ou
produtos.
Obviamente que nenhum produto é produzido recorrendo apenas ao uso de um só input.
Contudo, o efeito que um só input tem no output de um dado produto pode ser estudado
se, variando a quantidade usada desse input, mantivermos as quantidades usadas de
outros inputs constantes. É esta a situação que estudaremos neste capítulo.
2.1 – O CONCEITO DE FUNÇÃO DE PRODUÇÃO
Comecemos por falar do conceito fundamental de toda a Teoria da Produção – o de
Função de Produção.
Uma Função de Produção é um retrato de uma relação input-output ou, como lhe temos
vindo a chamar, de uma relação factor-produto. Ela é uma descrição quantitativa ou
matemática das várias possibilidades técnicas de produção enfrentadas por uma
empresa. Ela dá, em termos físicos, o máximo output possível para cada nível de input
usado.
Uma função de produção pode ser expressa de várias maneiras
- listando as quantidades de factor de facto usadas e as quantidades de produto que delas
resultam numa tabela;
- representando essas mesmas quantidades num gráfico ou diagrama;
- representando-a através de uma equação algébrica.
Simbolicamente, a função de produção pode ser escrita da seguinte forma:
Y = f ( X 1 , X 2 , X 3 ,K, X n )
onde Y é o output ou quantidade de produto e X1 ... Xn são diferentes inputs que tomam
parte no processo produtivo de Y. O símbolo f representa o tipo de relação que
transforma inputs em outputs. Para cada combinação de inputs haverá apenas um único
nível de output. Por exemplo, Y pode representar uma colheita de milho; X1 determinado
fertilizante; X2 humidade do solo na altura da sementeira; X3 densidade de sementeira;
X4 precipitação durante o crescimento vegetativo; etc. A relação simbólica apresentada
apenas indica os inputs. Na sua presente forma abstracta não especifica a importância de
4
cada um, ou as suas contribuições para o processo produtivo. Do mesmo modo, ela
também não indica que factores são fixos ou que factores são variáveis. Por exemplo,
rações ou fertilizantes frequentemente representam factores variáveis que são aplicados
a um factor fixo como uma vaca leiteira ou um hectare de terra. Os factores fixos têm
um papel muito importante na produção agrícola. Simbolicamente, eles podem ser
incluídos na expressão de uma função de produção inserindo uma linha vertical entre os
factores variáveis e os factores fixos. Por exemplo,
Y = f ( X 1 , X 2 , X 3 , K, X n−1 X n )
indica que Xn é um factor fixo, enquanto todos os outros são factores variáveis. Neste
capítulo iremos estudar a situação em que apenas um factor se comporta como variável,
sendo todos os restantes mantidos fixos. Simbolicamente, esta situação pode ser
representada da seguinte maneira:
Y = f ( X 1 X 2 , X 3 , K, X n )
2.2 – A FUNÇÃO DE PRODUÇÃO CLÁSSICA
Um estudo detalhado de todos os tipos de funções de produção existentes em agricultura
implicaria mais espaço do que o disponível em qualquer enciclopédia. Os investigadores
agrícolas nunca poderão ambicionar vir a medir e registar todas as funções de produção
possíveis. O objectivo da investigação em funções de produção é apenas o de obter uma
melhor compreensão das relações input-output, e assim fornecer linhas de orientação e
indicações a agricultores e gestores agrícolas; em última análise, cada agricultor/gestor
agrícola deverá procurar as respostas da produção nas suas condições específicas, na sua
empresa agrícola.
Assim, para o nosso estudo, torna-se necessário procurar alguns princípios gerais que
sejam aplicados em todas as situações, independentemente do tipo e forma da função de
produção. Começaremos por dois conceitos que podem ser determinados a partir de
qualquer função de produção – a Produtividade Média e a Produtividade Marginal.
A função de produção que estudaremos em detalhe está representada na Tabela 1 e,
graficamente, na Figura 1.
Esta função de produção será usada para demonstrar os princípios gerais, importantes
na, análise económica da produção. A sua forma gráfica, bem patente na Figura 1, é em
geral bastante comum. Este facto, aliado ao facto de ser um dos tipos de funções de
produção mais estudados e também ao facto de possuir todas as características
necessárias ao estudo destas, valeu-lhe o nome por que é normalmente conhecida, ou
seja, o de Função de Produção Clássica.
5
Tabela 1 – A Função Clássica de Produção
(1)
Input ou
Factor
(2)
Output ou
Produto
(3)
Produtividade
Média
(4)
(5)
Produtividade Marginal
Pmg
X
0
Y
0
PM
-
Exacta
0
2
3,7
1,9
3,6
Média
1,9
(6)
Elasticidade
da Produção
Pmg/PM
0
1,9
5,1
4
13,9
3,5
6,4
1,8
7,5
6
28,8
4,8
8,4
1,8
9,1
8
46,9
5,9
9,6
1,6
9,9
10
66,7
6,7
10,0
1,5
9,9
12
86,4
7,2
9,6
1,3
9,1
14
104,5
7,5
8,4
1,1
7,5
16
119,5
7,5
6,4
0,8
5,1
18
129,6
7,2
3,6
0,5
1,9
20
133,3
6,7
0,0
0,0
-2,1
22
129,1
5,9
-4,4
-0,7
Fonte: Doll & Orazem (1984)
Figura 1 – Aspecto gráfico da Função Clássica de Produção
A forma da função de produção descreve a variação do output, Y, à medida que
crescentes quantidades de um input variável, X, são acrescentadas a um conjunto de
factores fixos. Na Figura 1, o output é zero quando o jnput é zero. O output cresce a
uma taxa crescente à medida que as primeiras unidades de input são acrescentadas;
6
continua a crescer, mas a uma taxa decrescente, para níveis mais altos de input. A
produção máxima é de 133,3 unidades de Y, resultantes da aplicação de 20 unidades de
X. Para níveis mais altos de input, o output decresce continuamente.
A função de produção representada em forma de tabela na Tabela 1 e graficamente na
Figura 1 pode também, como seria de prever, ser expressa algebricamente. A sua
equação é a seguinte:
Y = X2 −
1 3
X
30
onde Y representa as unidades de output resultantes do uso de um certo número de
unidades de factor variável ou input 1 X.
O output Y é frequentemente chamado de Produto Físico Total ou Produção Física
Total (PFT), para o distinguir das Produtividades Média e Marginal que a seguir se
discutirão.
2.2.1 - A Produtividade Média
A Produtividade Média (PM) é obtida dividindo o montante total do output, Y, pelo
montante total de factor variável gasto, X. Ela representa portanto, para cada ponto da
curva de produção 2 , o produto obtido por unidade de factor empregue. Pela Tabela 1,
podemos ver que, quando X = 2 e Y = 3,7 a PM = 3,7 / 2 = 1,9 ; quando X = 10 e Y =
66,7 a PM = 66, 7 / 10 ou seja, como seria de esperar, PM = 6,7. Então:
PM =
Y
X
Geometricamente a Produtividade Média, Y/X, é definida como o declive de uma recta
muito particular. Esse declive representa a taxa média à qual o factor, X, é transformado
em produto, Y. A linha recta (raio) tem sempre que passar pela origem e intersectar a
função de produção, ou melhor dizendo a curva de produção, no ponto em que se
pretende determinar PM. Por exemplo, se olharmos para a Figura 2, a linha recta cruza a
curva do PFT nos pontos A e C, quando X = 8 e X = 22 respectivamente. Uma vez que
os pontos A e C da curva do PFT estão sobre o mesmo raio que possui, obviamente,
sempre o mesmo declive, as Produtividades Médias nesses pontos terão de ser iguais.
Geometricamente, o declive do raio pode ser calculado através de um cociente de
distâncias:
A− B C − D
O que sobe
=
=
O que avança B − O D − O
ou
1
ao longo destes apontamentos, as palavras output e input serão usadas, respectivamente, como
sinónimos de produto (ou Produção Física Total) e de factor variável.
2
curva de produção não é mais do que a representação gráfica da função de produção.
7
49,6 129,1
=
= 5,9
8
22
Uma vez que o declive do raio (linha recta que passa pela origem) corresponde ao valor
numérico da PM, então a PM deverá crescer à medida que o raio se move no sentido
contrário ao dos ponteiros do relógio. Qualquer raio desenhado abaixo do raio OC
representado na Figura 2 intersectará a função de produção em pontos onde a PM será
menor que 5,9. Raios acima do raio OC determinarão PM’s maiores. O raio OE
determina o valor máximo da PM, a qual é 7,5 quando X = 15. Um raio com um declive
superior ao de OE não tocaria a função de produção.
Figura 2 – Relação geométrica entre a Produção Física Total e a Produtividade Média
A equação para a PM pode ser obtida a partir da equação da função de produção. No
caso particular que estamos a estudar teríamos,
PM =
Y
1⎛
1 3⎞
1 2
= ⎜X2 −
X ⎟= X −
X
X X⎝
30
30
⎠
8
Substituindo os valores de X nesta equação, encontramos os valores indicados para a
PM na Tabela 1. Uma vez que a divisão por zero não é possível, a PM não está definida
quando X = 0.
A Produtividade Média mede, como já se referiu, a taxa média à qual um input é
transformado em produto. Uma das preocupações do economista agrícola é o uso
eficiente de recursos. A eficiência por seu lado é medida pelo output dividido pelo
input 3 . Então, a PM mede a eficiência do factor variável usado no processo produtivo.
2.2.2 - A Produtividade Marginal
A Produtividade Marginal (Pmg) é a variação de output que resulta de um incremento
unitário ou de uma variação unitária no uso do factor variável. Ela mede a quantidade
que o PFT (produto total) cresce ou decresce, à medida que o input cresce.
Geometricamente, a Pmg representa o declive da própria função de produção, ou seja, é
numericamente igual ao valor da primeira derivada da equação que define a função de
produção, em ordem à variável X (factor variável).
Assim, há dois métodos de calcular a Produtividade Marginal: um que nos conduz a
uma Produtividade Marginal média e outro que nos conduz a uma Produtividade
Marginal exacta. A Pmg média é usada quando se usa a função de produção na forma
tabular e não necessita do recurso ao cálculo matemático. O método exacto usa o
cálculo (derivação) e por isso mesmo só pode ser aplicado quando a função de produção
é expressa por uma função matemática.
A Pmg média é calculada dividindo a variação no output pela quantidade causal do
input, isto é, pelo incremento ou variação do input que causou a variação no output.
Algebricamente isto pode ser expresso do seguinte modo:
Pmg =
ΔY
ΔX
onde ΔY se lê “variação no montante de output” e ΔX se lê “variação no montante de
input”. Na Tabela 1, coluna (5), a Pmg entre os montantes de input X = 10 e X = 12 é
igual a
Pmg =
86,4 − 66,7 19,7
=
= 9,9
12 − 10
2
Entre os montantes de input 10 e 12, uma unidade adicional de input aumenta o produto
total de 9,9 unidades. A Pmg pode também ser negativa.Por exemplo, entre os
montantes de input 20 e 22
Pmg =
129,1 − 133,3 − 4,2
=
= −2,1
22 − 20
2
3
A PM mede a eficiência técnica ou física do factor variável, o que, como veremos adiante, é distinto da
eficiência económica de que falámos no início destes apontamentos.
9
Portanto, a adição de uma unidade adicional de factor variável, quando 20 unidades já
estão a ser usadas, causará um decréscimo no output de 2,1 unidades.
Dissemos que a Pmg representava o declive da função de produção. Mas nos dois
exemplos que acabámos de ilustrar, a que declive nos estaremos a referir? Obviamente
que entre os pontos da curva de produção onde X = 10 e X = 12 ou X = 20 e X = 22
existem inúmeros declives. Assim, as Pmg encontradas de 9,9 e -2,1 não representam
mais do que a média de todos os declives da curva entre aqueles pontos. Por este motivo
nos temos vindo a referir a esta determinação da Produtividade Marginal como sendo
uma determinação média.
Como é sabido, o declive exacto de uma curva num dado ponto é determinado pela
primeira derivada da função matemática que a define. Então, a equação da Pmg exacta
pode ser encontrada a partir da função de produção.
Se a função de produção é, como já vimos:
Y = X2 −
1 3
X
30
e a equação da Pmg é a primeira derivada da função de produção em ordem ao factor
variável, a equação exacta da Produtividade Marginal é:
Pmg =
1
dY
= 2X − X 2
dX
10
Esta equação define o declive da curva da PFT ou a Pmg exacta para qualquer nível de
X. Por exemplo, quando X = 12, a Pmg exacta é (2 × 12) - (0,l × 144) = 9,6 ; quando X
= 14, a Pmg = 8,4. A média destas duas Pmg exactas aproxima-se da Pmg média de 9,1
entre os níveis de input X = 12 e X = 14, como se pode constatar pela Tabela 1.
Uma análise, ainda que breve, da Figura 1 e da Tabela 1 mostra que a Pmg, tal como a
PM, não é constante ao longo da função de produção clássica, mas varia com o
montante de factor variável usado. Se representarmos graficamente os valores que a
Pmg toma, verificamos que a forma da sua curva depende da forma da curva da função
de produção. Para a função de produção que nos está a servir de exemplo, a Pmg cresce
até um máximo quando Y = 66,7 e X = 10 (no ponto de inflexão da função de
produção), e decresce depois à medida que o uso de factor variável aumenta. A Pmg é
igual a zero para 20 unidades de input, onde o output é máximo (133,3), e negativa para
valores superiores de input.
Quando a Pmg é crescente, a PFT está a crescer a uma taxa crescente. Quando a Pmg é
decrescente mas positiva, a PFT é crescente mas a uma taxa decrescente. Quando a Pmg
se anula, a PFT atinge o seu máximo. Quando a Pmg é negativa a PFT é decrescente.
Todas estas relações podem ser observadas na Figura 3.
10
Figura 3 – Relação geométrica entre a Produção Física Total e a Produtividade Marginal
2.3 – A LEI DOS RENDIMENTOS DECRESCENTES
A Lei dos Rendimentos Decrescentes foi desenvolvida pelos primeiros economistas
para descrever a relação entre o output e um input variável quando outros inputs são
mantidos constantes em quantidade. Acredita-se que esta lei tem uma aplicação quase
universal. Ela pode ser enunciada do seguinte modo:
Se quantidades iguais de um factor de produção forem sendo
sucessivamente acrescentadas a outros factores de produção cujos níveis se
mantêm constantes, os sucessivos incrementos de output dai resultantes
acabarão por diminuir.
Esta lei sugere portanto que há um montante “certo” de factor variável a ser usado em
combinação com os factores fixos. O agricultor/gestor não deverá usar nem muito
pouco nem demasiado desse recurso variável. Métodos para descobrir esse montante
ideal, do ponto de vista econ6mico, serão discutidos adiante.
11
A lei dos rendimentos decrescentes requer que o método de produção não mude à
medida que mudanças são efectuadas no uso do factor variável. Ela refere-se a
mudanças proporcionais entre os factores variáveis e fixos e não tem qualquer aplicação
quando todos os inputs são variáveis. Frequentemente esta lei é também conhecida
como Lei da Produtividade Decrescente ou Lei das Proporções Variáveis.
A aplicação da Lei dos Rendimentos Decrescentes ao conceito de função de produção
resulta numa função de produção do tipo clássico como o que temos vindo a estudar.
Esta função exibe inicialmente rendimentos (ou produtividades) marginais crescentes
seguidos de rendimentos marginais decrescentes, tal como a lei prevê.
2.4 – AS TRÊS FASES DA PRODUÇÃO
A função de produção clássica pode ser dividida em três regiões ou fases, todas elas
importantes do ponto de vista da eficiência do uso do factor variável. Essas três fases
estão indicadas na Figura 4.
A fase I ocorre quando a Pmg é maior que a PM. A PM é crescente ao longo da fase I,
indicando que a taxa média à qual o factor variável X é transformado em produto Y
cresce até a PM atingir o seu máximo no final da fase I.
A fase II ocorre quando a Pmg é decrescente, menor do que a PM e maior do que zero.
Como se pode ver na Figura 4, a fase II fica entre, e inclui, as quantidades de factor
variável 15 e 20. A eficiência física do factor variável atinge um pico no início da fase
II, para um montante de input de 15 unidades.
A fase III ocorre quando a Pmg é negativa. A fase III ocorre quando excessivas
quantidades do factor variável se combinam com os factores fixos. É tal o excesso que,
de facto, o output total (PFT) começa a diminuir.
2.4.1 – Recomendações Económicas
Adiante usaremos funções de produção para determinar o montante de uso mais
lucrativo de factores variáveis e, simultaneamente, o montante mais lucrativo de
produto. Nessa altura, os preços dos inputs e dos produtos terão de ser conhecidos para
que se possa proceder a uma análise económica completa. Contudo, quando a relação
técnica entre input e output – a função de produção – é conhecida, algumas
recomendações sobre o uso do input podem ser feitas, ainda que os preços não sejam
especificados.
Em primeiro lugar, se o produto tem algum valor, o uso do input, uma vez começado,
deverá ser continuado até a fase II de produção ser atingida. Isto porque, como vimos, a
eficiência física do factor variável, medida pela PM, cresce ao longo da fase I; não será
razoável parar de aumentar o uso do factor quando a sua eficiência ainda está a
aumentar, ou seja, quando ainda é possível obter maiores quantidades de produto por
cada unidade de factor empregue. Quer isto dizer que, para a função de produção que
estamos a estudar (representada na Figura 4), pelo menos 15 unidades de input devem
ser usadas.
12
Em segundo lugar, mesmo que o input fosse gratuito, jamais deveria ser usado na última
fase de produção (fase III). A produção máxima ocorre na fronteira superior da fase II;
incrementos de input para além desta fronteira conduzem à diminuição directa da
produção. Não é pois razoável aumentar o uso do factor quando isso já implica uma
diminuição no nível do produto. Assim, observando a Figura 4, verificamos que naquela
situação o montante máximo de input a usar será de 20 unidades.
Figura 4 – A Função Clássica de Produção e as Três Fases da Produção
A fase II e as suas fronteiras definem a área de relevância económica. O uso do factor
de produção variável deverá situar-se algures dentro da fase II, mas o seu montante
exacto só pode ser determinado quando certos indicadores de escolha, tais como os
preços do input e do output, são conhecidos.
2.4.2 - Interpretação Algébrica
A interpretação das três fases da produção e a sua delimitação com base nas relações
entre a PM e a Pmg podem ser deduzidas a partir da informação contida na Tabela 1
13
e/ou na Figura 4. As mesmas conclusões podem também ser obtidas recorrendo a
cálculos algébricos, com a grande vantagem de, deste modo, o rigor obtido ser muito
maior.
O declive da curva da PFT é nulo quando essa mesma PFT atinge o seu valor máximo.
Uma vez que a equação da Pmg define exactamente o declive da curva da PFT para
qualquer nível de input X, o montante de X que conduz ao máximo da PFT pode ser
calculado igualando a equação da Pmg a zero:
Pmg = 2 X − 0,10 X 2 = 0
Pmg = X (2 − 0,10 X ) = 0
de onde se obteriam as soluções X = 0 e X = 20. Contudo, quando X = 0 também Y é
nulo. Então, podemos concluir que a PFT é máxima quando X = 20. Esta solução dános a fronteira entre as fases II e III. Ela localiza o ponto onde a tangente à função de
produção tem declive nulo.
De um modo semelhante, a primeira derivada da equação da PM define o declive da
curva da PM, para cada nível de input X. Quando a PM atinge o seu máximo, a sua
derivada anula-se. Tínhamos já visto que:
PM = X −
1 2
X
30
então
1
dPM
= 1 − X = 0 ⇒ X = 15
dX
15
Ficamos assim a saber que a PM atinge o seu máximo quando X = 15. Esta solução dános, como já havíamos visto na Figura 4, a fronteira entre as fases I e II de produção.
Sabemos também que, neste ponto, a PM e a Pmg se igualam. De facto, se fizermos X =
15 nas equações da PM e da Pmg podemos provar que PM = Pmg = 7,5. Esta situação
implica que o montante de X para o qual a PM é máxima, ou seja, o montante de X que
define a fronteira entre as fases I e II, também pode ser calculado igualando as equações
da PM e da Pmg, e resolvendo-as em ordem a X:
PM = Pmg ⇒ 2 X − 0,10 X 2 = X −
⇒X−
1 2
X ⇒
30
2 2
2 ⎞
⎛
X = 0 ⇒ X ⎜1 −
X⎟=0
30
⎝ 30 ⎠
de onde obteríamos as soluções X = 0 e X = l5. Logicamente, quando X = 0 não só Y =
0 como a própria PM não está definida (como já tínhamos visto). Portanto, de acordo
com este método, o máximo da PM tem de ser quando X = 15, tal como já tínhamos
determinado anteriormente.
14
2.5 – A ELASTICIDADE DA PRODUCAO E O PONTO DOS RENDIMENTOS
DECRESCENTES
Uma discussão da lei dos rendimentos decrescentes e da função de produção clássica
conduz inevitavelmente à determinação do “ponto” dos rendimentos decrescentes, isto
é, à determinação dos montantes de input e de produto a partir dos quais os rendimentos
começam a diminuir. Mas qual será esse ponto? A lei por si só é ambígua. O estudo da
Figura 4 mostra que a Produtividade Marginal começa a diminuir a um nível de input de
10, ou seja, no ponto de inflexão da curva da Produção Física Total, onde a curva da
Pmg atinge o seu máximo. Por outro lado, a Produtividade Média começa a diminuir às
15 unidades de input, ao passo que a Produção Física Total só o faz a partir das 20
unidades de aplicação de factor variável. Torna-se claro que o ponto dos rendimentos
decrescentes depende de qual destas medidas queremos discutir.
Para evitar esta situação dúbia, alguns autores aplicam a lei dos rendimentos
decrescentes directamente à Produtividade Marginal. Esses, chamam-lhe então “Lei dos
Rendimentos Marginais Decrescentes” e especificam na sua definição que, os
rendimentos marginais acabarão por decrescer. Se bem que seja apropriado definir a lei
dos rendimentos decrescentes em termos de Produtividade Marginal, alguma confusão
surge por o ponto dos rendimentos decrescentes, nestas condições, não coincidir com a
fronteira entre as fases I e II da produção. Se nos reportarmos de novo à Figura 4,
verificamos que a fronteira entre aquelas fases ocorre quando X = 15 e não quando X =
10, ponto em que a Produtividade Marginal começa a diminuir. Assim, uma nova
definição de ponto dos rendimentos decrescentes teve de ser encontrada. A solução
proposta, e hoje generalizadamente aceite, recorre-se de um conceito novo que
seguidamente começaremos a abordar: o conceito de Elasticidade da Produção.
A Elasticidade da Produção é uma medida do grau de resposta do output a variações no
uso do input. Como qualquer outra elasticidade da produção (EP) é independente de
unidades de medida e é definida como sendo:
EP =
Percentagem de variação no output
Percentagem de variação no input
A partir daqui podemos determinar o valor da Elasticidade da Produção:
ΔY
X ΔY Pmg
EP = Y = ×
=
ΔX
Y ΔX
PM
X
Olhemos de novo para a Figura 4 e observemos que:
1 - na fase I a Pmg é maior que a PM, logo a EP é também maior que um;
2 - na fase II a Pmg é menor que a PM, logo a EP é menor que um mas maior que zero;
3 - na fase III a Pmg é negativa, e a EP também o será (ver a última coluna da Tabela 1).
Todas estas variações da Elasticidade da Produção à medida que o uso do factor
variável aumenta, e também a relação entre os valores que aquela toma e as três fases da
15
produção, pode ser observada na Figura 5, para o caso específico da função de produção
que nos tem vindo a servir de exemplo.
O "Ponto dos Rendimentos Decrescentes" pode agora ser definido como sendo aquele
em que a Elasticidade da Produção é igual a um, correspondendo esta situação ao ponto
em que a PM = Pmg ou seja, à fronteira inferior da fase II de produção. A este ponto
corresponde o montante mínimo de factor variável que deve ser usado e ocorre quando a
eficiência técnica do factor variável é máxima. Usando esta definição pode-se
argumentar, sem saber os preços do input ou do output, que o uso do factor variável
deverá ser sempre extendido até ao ponto dos rendimentos decrescentes. Na outra
fronteira da fase II a Pmg anula-se, anulando-se de igual modo a EP. Então, o intervalo
de produção relevante para um factor variável é o intervalo em que:
0 ≤ EP ≤ 1
Figura 5 – Relação entre a Elasticidade da Produção e as Três Fases da Produção.
2.6 – A APLICAÇÃO DE UM INPUT VARIÁVEL
Os problemas associados com a aplicação de um factor variável são frequentemente,
como já vimos, referidos como “Relações Factor-Produto”. O objectivo do estudo das
relações factor-produto é o de determinar a quantidade de input variável que deverá ser
usado em combinação com os inputs (factores) fixos. Questões como: Que quantidade
de fertilizante aplicar por hectare? Quanta água aplicar numa determinada cultura?
Quantas vacas leiteiras numa dada área forrageira? Quantas galinhas poedeiras numa
determinada gaiola com dada área? Todas se encontram no âmbito das relações factorproduto.
A resposta a este tipo de problemas de aplicação de um factor variável depende dos
objectivos do agricultor/gestor. O agricultor dispõe de quantidades limitadas de recursos
para aplicar na sua exploração. O seu problema é usar esses recursos para atingir os seus
objectivos. No estudo da Teoria da Produção, o objectivo do agricultor/gestor mais
16
frequentemente assumido é a "eficiência económica", a qual inclui o objectivo mais
restrito de “maximização do lucro”,
2.6.1 - A Eficiência Económica
A Eficiência Económica refere-se à combinação de inputs que maximiza os objectivos
individuais e sociais. É normalmente definida em termos de duas condições: a
necessária e a suficiente.
2.6.1.1 - A Condição Necessária
Esta condição é satisfeita num processo produtivo em que:
a) não haja possibilidade de produzir a mesma quantidade de produto recorrendo ao
emprego de menor quantidade de inputs (factores de produção);
b) não haja possibilidade de produzir mais produto recorrendo ao emprego da mesma
quantidade de inputs.
Na análise das funções de produção verificamos que esta condição se verifica na fase II
de produção, isto é, quando a elasticidade de produção está compreendida entre zero e
um (0 ≤ EP ≤ 1).
A condição necessária refere-se apenas à relação física. Ela é universal, porque se aplica
em qualquer sistema económico. Ninguém, em plena consciência, produziria na fase III
de produção uma vez que a mesma ou maior quantidade de produto poderia ser obtido
na fase II usando menor quantidade de input. Para uma dada relação input-output
(factor-produto), muitas combinações input-output satisfarão a condição necessária. Por
esta razão, uma condição adicional é necessária para isolar, escolher, apenas uma das
muitas combinações que satisfazem a condição necessária.
2.6.1.2 - A Condição Suficiente
Ao contrário da condição necessária, que é objectiva, a condição suficiente para a
eficiência económica tem a ver com metas e objectivos, sociais e individuais, e com
valores. É subjectiva por natureza e, portanto, pode variar muito de indivíduo para
indivíduo, já que os seus gostos, preferências e valores são variáveis. À condição
suficiente podemos chamar de indicador de escolha. Este indicador de escolha ajuda o
agricultor a determinar o montante de input variável compatível com os seus objectivos.
Assim, em agricultura de subsistência, por exemplo, uma família que prefere batatas a
couves porá mais ênfase na produção daquelas. A condição suficiente para um
indivíduo lutando por obter as mais altas produções possíveis por hectare será diferente
da de um outro que tente obter o máximo lucro possível por hectare. Em qualquer dos
casos, ainda que os indicadores de escolha que satisfazem a condição suficiente variem,
a eficiência económica é atingida uma vez que o agricultor atinge os seus objectivos.
Ao longo destes apontamentos será sempre assumido que o indicador de escolha, isto é,
a condição suficiente para a eficiência económica, será a maximização do lucro.
17
2.6.2 - Nível Óptimo de Aplicação do Factor
Recapitulemos então o fundamental:
Até ao ponto onde a Produtividade Média é máxima (óptimo técnico), como vimos,
cada dose de factor que se aplica aumenta a produtividade média das doses já aplicadas.
Assim, cada unidade de produção é obtida com base em quantidades incorporadas de
factor que vão, sem cessar, diminuindo. Interessa como vimos ultrapassar esse ponto, ou
seja, a fronteira inferior da fase II de produção.
Não devemos por outro lado insistir na aplicação do factor para além do valor que
corresponde à máxima Produção Física Total (máximo técnico), ou seja, não devemos
ultrapassar a fronteira superior da fase II de produção. O nível de aplicação mais
aconselhável de factor, isto é, aquele a que corresponde o máximo resultado líquido ou
lucro (óptimo económico), encontra-se assim balizado pelos valores de X (factor) que
por um lado conduzem ao óptimo técnico e por outro ao máximo técnico – a fase II de
produção, como não é demais repetir.
Voltemos à função de produção que nos tem vindo a servir de exemplo e que
representámos na Tabela 1. A Tabela 2, na página seguinte, volta a representar a mesma
função, introduzindo-lhe agora alguns novos conceitos:
- Custo Variável Total (CVT) – que será o custo que decorre para a exploração agrícola
da aplicação de factores de produção variáveis. No nosso caso presente, e uma vez que
estamos a considerar apenas a aplicação de um desses factores (considerando todos os
demais como fixos), o Custo Variável Total dependerá apenas do preço do factor X (PX)
e da quantidade aplicada de factor (X):
CVT = X × PX
- Custo Fixo Total (CFT) – que será o custo que decorre para a exploração agrícola da
existência de um conjunto de factores de produção que são tidos como fixos. Uma vez
que este custo é independente da quantidade aplicada do factor variável, poderemos
dizer que o seu montante é uma constante:
CFT = K
- Custo Total (CT) – que obviamente representa a soma dos dois custos anteriores:
CT = CVT + CFT
- Rendibilidade Total (RT) – que representa o valor (em dinheiro) da totalidade da
produção. Ela tem forçosamente que depender do preço de mercado do produto (PY) e
da quantidade produzida do mesmo (Y):
RT = Y × PY
- Lucro (π) - que será o que resta do Rendimento (ou rendibilidade) Total depois de
pagos todos os Custos, ou seja, o Custo Total:
18
Π = RT − CT
Neste exemplo, é fácil ver qual o nível óptimo de aplicação do factor variável, se o
objectivo for o de maximizar o lucro. A quantidade de X a aplicar seria de 18 unidades,
que dariam origem a uma Produção Física Total de 129,6 unidades e que conduziriam a
um lucro de 1088 unidades monetárias.
Tabela 2 – Determinação do Ponto Óptimo de Produção e do Nível Óptimo de
Aplicação do Factor Variável (PX = 100; PY = 30; CFT = 1.000)
(1)
Input
X
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
(2)
Output
Y
0,0
3,7
13,9
28,8
46,9
66,7
86,4
104,5
119,5
129,6
133,3
129,1
CVT + CFT =
CT
1.000
1.200
1.400
1.600
1.800
2.000
2.200
2.400
2.600
2.800
3.000
3.200
(3)
Y × PY =
RT
0
111
417
864
1.407
2.001
2.592
3.135
3.585
3.888
3.999
3.873
RT – CT =
π
-1.000
-1.089
-983
-736
-393
1
392
735
985
1.088
999
673
Mas será mesmo este o nível de aplicação do factor que conduz ao mais alto lucro? O
que nos garante que um outro montante qualquer compreendido entre X = 16 e X = 20
não nos conduza a um lucro ainda superior? A solução seria prolongar a Tabela 2 até se
encontrar um valor de X que nos desse uma resposta tão exacta quanto possível à nossa
questão (como maximizar o lucro?). Mas convenhamos que tal se tornaria, no mínimo,
fastidioso.
Sabemos que, quando uma determinada função contínua atinge um ponto máximo, a sua
primeira derivada é nula e a sua segunda derivada é negativa. Então, se dispusermos da
função matemática que determina o Lucro, nada mais temos a fazer que maximizá-la
recorrendo ao ponto em que a sua primeira derivada é nula e a sua segunda derivada é
negativa. O montante de X correspondente a esse ponto é o montante óptimo de
aplicação do factor variável. Ora sabemos que:
Π = RT − CT , e sabemos que
RT = Y × PY e CT = CVT + CFT = X × PX + K , então
Π = Y × PY − ( X × PX + K )
uma vez que como assumimos desde o princípio Y = f (X), então
Π = f ( X ) × PY − ( X × PX + K )
Esta função será então máxima quando:
19
dΠ
=0
dX
d 2Π
<0
dX 2
e
A derivada da função lucro em ordem a X é fácil de calcular:
dΠ
= f ' ( X ) ⋅ PY − PX
dX
esta expressão, uma vez igualada a zero, mostra-nos que:
f ' ( X ) ⋅ PY = PX
Como vimos logo no princípio, a Produtividade Marginal de X (Pmg) é exactamente
igual a f’(X). Então, a expressão anterior ficará:
Pmg × PY = PX
Pmg =
ou
PX
PY
e se ao produto Pmg × PY chamarmos de Rendibilidade Marginal de X (Rmg), teremos
então:
Rmg = PX
ou seja, o montante óptimo de aplicação de um factor variável é aquele que conduz a
uma Rendibilidade Marginal do referido factor igual ao seu próprio preço. Por outras
palavras, dir-se-á que é preciso empregar o factor variável em quantidade tal que ele
“pague” exactamente aquilo que “custa”.
Um exemplo:
Algebricamente, o montante óptimo de X pode ser calculado quando a função de
produção é conhecida. Voltemos à função que nos tem acompanhado desde o princípio:
Y = X2 −
1 3
X
30
a sua primeira derivada em ordem a X dá-nos a equação da Produtividade Marginal
(Pmg). Na página 9 esta já foi determinada:
Pmg = 2 X −
1 2
X
10
Se tivermos PX =100 e PY =30, então o ponto óptimo de aplicação do factor variável,
aquele que conduz ao máximo lucro, verifica-se quando:
1
⎛
⎞
30⎜ 2 X − X 2 ⎟ = 100
10
⎝
⎠
ou, doutro modo
60 X − 3 X 2 − 100 = 0
20
o que pode facilmente ser resolvido em ordem a X recorrendo à “fórmula resolvente”
das equações quadráticas 4 . Feito isto, os valores de X encontrados seriam:
X = 18,2
e
X = 1,8
Mas como quando X = 1,8 a segunda derivada da função lucro não é negativa mas sim
positiva, o valor que procuramos é então X = 18,2. Se atentarmos de novo na Tabela 2
verificamos que este valor se aproxima muito do valor nela encontrado para o ponto de
máximo lucro. A título de curiosidade, podemos também verificar que o outro valor
encontrado (X = 1,8) corresponde exactamente ao ponto em que o lucro é mínimo.
2.6.2.1 - Determinação gráfica do nível óptimo de input
Todos os métodos de determinação do nível óptimo de aplicação de um factor variável
(aquele nível que, como já se viu, conduz ao lucro máximo) derivam do estudo da
Rendibilidade Total (RT) e dos Custos Totais (CT) ou, em última análise, do estudo da
função Lucro (RT-CT). Isso mesmo foi o que vimos na Tabela 2 onde, com facilidade
mas alguma falta de rigor, se determinou o nível óptimo de aplicação de X. O mesmo se
passou no ponto anterior quando determinámos o mesmo nível algebricamente.
Também com o recurso a gráficos se pode chegar ao mesmo resultado, desde que se
analisem os comportamentos gráficos das funções RT e CT (ou Lucro) como se mostra
na parte superior da Figura 6; ou o comportamento gráfico da função Rmg em relação a
PX como se mostra na parte inferior da mesma figura.
No primeiro caso, o lucro é máximo quando a curva da Rendibilidade Total passa acima
da recta do Custo Total e a distância vertical entre as duas é máxima. Isto ocorre, como
seria de esperar, quando X = 18,2. No segundo caso, por comparação com o gráfico
anterior, podemos observar que de facto, quando Rmg = PX também X = 18,2 e portanto
o lucro é máximo.
4
aX 2 + bX + c = 0 ⇒ X =
− b ± b 2 − 4ac
2a
21
Figura 6 – Determinação Gráfica do Óptimo Económico, recorrendo à RT e ao CT e
também à Rmg e ao PX.
22
3 – AS RELAÇÕES FACTOR–FACTOR
No capítulo anterior desenvolvemos conceitos de análise económica básicos para as
relações factor-produto. Como vimos, aquele processo de produção elementar tem lugar
quando o montante de aplicação de um factor é variado e o montante de aplicação dos
restantes factores é mantido constante.
Neste capítulo, as relações fundamentais entre um produto e dois factores variáveis
serão abordadas. Os princípios a desenvolver serão como que um prolongamento, uma
continuação, dos até aqui discutidos.
Nas relações factor-produto um determinado nível de produto (uma dada Produção
Física Total) só pode ser produzido de um único modo. Como vimos com o exemplo da
Tabela 1, 2 unidades de X quando combinadas com os restantes factores fixos produzem
3,7 unidades de produto Y, 10 unidades de X produzem 66,7 unidades de Y, e assim
sucessivamente. De igual modo, podemos verificar pela mesma tabela que 3,7 unidades
de Y só podem ser produzidas recorrendo à aplicação de 2 unidades de X e 66,7
unidades de Y exigem o emprego de 10 unidades de X. Na situação que agora vamos
estudar, em que dois factores (inputs) são variáveis, um dado nível de output (de
produto) pode ser produzido de mais do que uma maneira. As possibilidades de
substituição entre os dois factores variáveis são inúmeras. Isto é particularmente
verdade em agricultura. Na realidade, quase todos os factores de produção agrícola, uma
vez tomados dois a dois, são substituíveis entre si (note-se que este conceito de
substituição implica que o nível de produção seja mantido constante). É o caso dos
alimentos verdes e dos alimentos concentrados (dois factores), que podem ser
combinados de inúmeras maneiras, dentro de certos limites, para conduzirem por
exemplo ao mesmo nível de produção de leite ou de carne (produtos). Também os
diversos tipos de adubos são substituíveis entre si e mesmo os adubos e as sementes, e
até a própria terra, se podem combinar em diferentes proporções substituindo-se
mutuamente com vista à obtenção de um dado volume de produção. A própria
mecanização da exploração agrícola consiste em última análise na substituição do factor
trabalho pelo factor capital na concretização da produção. Então, do ponto de vista do
agricultor/gestor e até do economista, o problema fundamental a estudar é o seguinte:
Como deve o produtor combinar factores que são substituíveis? Para um dado nível de
produção, qual a combinação de factores economicamente mais eficiente?
As questões aqui apontadas constituem o âmbito das chamadas relações factor-factor de
que temos vindo a falar e, constituirão a nossa preocupação nas próximas páginas destes
apontamentos.
3.1 - A FUNÇÃO DE PRODUÇÃO PARA DOIS FACTORES VARIÁVEIS
A função de produção para dois factores variáveis não difere conceptualmente da que
vimos anteriormente para um só factor variável. Cada combinação dos dois inputs
produz uma só dada quantidade de produto. Em notação simbólica esta função é
usualmente representada do seguinte modo:
Y = f ( X 1 , X 2 X 3 , K, X n )
23
Se ignorarmos os factores fixos, a função de produção para dois factores variáveis pode
ser mais simplesmente representada do seguinte modo:
Y = f (X1, X 2 )
onde Y é o montante de produto (ou Produção Física Total - PFT) e X1 e X2 são os
montantes dos dois factores variáveis. Esta expressão diz que o montante de output Y
depende de modo único dos montantes dos factores variáveis X1 e X2 usados no
processo de produção em conjunto com os factores fixos.
3.1.1 - A Superfície de Produção
Uma função de produção hipotética para dois factores variáveis está representada na
Tabela 3.
Tabela 3 – Output resultante da aplicação de diferentes combinações de dois factores
variáveis X1 e X2
X1
10
80
93
104
113
120
125
128
129
128
125
120
9
81
94
105
114
121
126
129
130
129
126
121
8
80
93
104
113
120
125
128
129
128
125
120
7
77
90
101
110
117
122
125
126
125
122
117
6
72
85
96
105
112
117
120
121
120
117
112
5
65
78
89
98
105
110
113
114
113
110
105
4
56
69
80
89
96
101
104
105
104
101
96
3
45
58
69
78
85
90
93
94
93
90
85
2
32
45
56
65
72
77
80
81
80
77
72
1
17
30
41
50
57
62
65
66
65
62
57
0
0
13
24
33
40
45
48
49
48
45
40
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Níveis de
aplicação de
X1 e X2
X2
As quantidades dos dois inputs X1 e X2 estão indicadas na coluna do lado esquerdo e na
última linha da tabela. O corpo da tabela representa o montante de output resultante de
cada combinação de inputs. Assim, o output zero tem lugar quando nenhum input é
usado; 30 unidades de output resultam da aplicação de uma unidade de cada um dos
inputs, e assim sucessivamente. O output máximo, 130, resulta do uso de 9 unidades de
X1 e de 7 de X2.
A informação contida na Tabela 3 é tida como contínua, e as combinações input-output
nela contidas representam apenas algumas de todas as combinações possíveis. Assim,
para 2 unidades de X1 e 2,5 unidades de X2 uma certa quantidade de produto, entre 56 e
24
65, será produzida. O mesmo é verdade para qualquer outra combinação de inputs não
representada por números inteiros.
Uma vez que a função representada na Tabela 3 se trata de uma função do tipo Y = f
(X1, X2), se pretendermos representá-la graficamente teremos que o fazer num sistema
de três eixos ortogonais. Num deles representaremos os valores de X1, no outro os
valores de X2, e finalmente no terceiro representaremos os valores de Y resultantes das
diversas combinações de X1 e X2. Assim, a cada uma dessas combinações está
associado um ponto no espaço cuja cota representa a quantidade de Y correspondente. O
lugar geométrico de todos os pontos Y é, como se pode verificar pela Figura 7 onde está
representada a informação contida na Tabela 3, uma superfície que se designa por
Superfície de Produção.
Figura 7 – Representação gráfica da Superfície de Produção resultante da informação
contida na Tabela 3.
3.1.2 - Alguns Conceitos Fundamentais
As noções estabelecidas no capítulo anterior, no domínio da função de produção
clássica, são igualmente válidas para o caso das funções de produção com mais de um
factor variável, como a função Y = f (X1, X2) que nos propomos estudar. Assim,
também para este tipo de funções podemos definir os conceitos de Produção Física
Total, Rendibilidade Total, Produtividade e Rendibilidade Média de um Factor
Variável, Produtividade e Rendibilidade Marginal de um Factor Variável.
Evidentemente que uma vez que estamos na presença de dois factores variáveis,
teremos que considerar duas Produtividades Médias e duas Produtividades Marginais e,
25
consequentemente, duas Rendibilidades Médias e duas Rendibilidades Marginais.
Assim teremos:
PFT = Y
PM X 1 =
RT = Y × PY
Y
X1
PM X 2 =
RM X 1 = PM X 1 × PY
Pmg X 1 =
δY
δX 1
Y
X2
RM X 2 = PM X 2 × PY
Pmg X 2 =
Rmg X 1 = Pmg X 1 × PY
δY
δX 2
Rmg X 2 = Pmg X 2 × PY
Atendendo a que se trata de uma função de duas variáveis, as noções que acabámos de
definir para cada um dos factores X1 ou X2 pressupõem a constância do outro factor. Por
exemplo: a Produtividade Marginal do factor X1 será o acréscimo da produção física
total, obtido pela aplicação adicional de uma quantidade infinitesimal de X1,
permanecendo constante o nível de aplicação do factor X2. Tal facto é expresso na
própria definição da Produtividade Marginal, já que ela é afinal a derivada parcial da
função Y = f (X1, X2) relativamente a X1 que, como é sabido, se calcula considerando
tudo o que é função de X2 como sendo constante.
A informação contida na Tabela 3 foi obtida da seguinte função de produção quadrática:
Y = 18 X 1 − X 12 + 14 X 2 − X 22
O output proveniente de qualquer combinação de inputs pode ser calculado por simples
substituição dos respectivos valores na equação acima referenciada. O output ou
Produção Física Total cresce a uma taxa decrescente para valores baixos de X1 e X2.
Como vimos, quando ambos os factores são iguais a zero também Y = 0. O output
atinge um máximo quando as Produtividades Marginais de X1 e X2 são nulas. Isto pode
ser determinado fazendo:
Pmg X1 = 18 − 2 X 1 = 0 ⇒ X 1 = 9
Pmg X 2 = 14 − 2 X 2 = 0 ⇒ X 2 = 7
Quando X1 = 9 e X2 = 7, como também já tínhamos visto na Tabela 3, o output atinge
um máximo de 130 unidades. Para níveis de input superiores àqueles, ambas as
Produtividades Marginais são negativas e os níveis de output deles resultantes são
inferiores a 130. Portanto, como vimos pelo exemplo que acabámos de dar, o
comportamento da função de produção com dois factores variáveis é idêntico ao que já
tínhamos visto para a função de produção clássica.
26
3.1.3 - Isoquantas
As relações factor-factor e as possibilidades de substituição entre factores variáveis
delas resultantes, permitem que um dado nível de output seja produzido com diferentes
combinações de inputs. Com a excepção do output mínimo, zero, e do output máximo,
130, todos os demais níveis de output podem ser produzidos usando várias combinações
diferentes de inputs. Por exemplo, a Tabela 3 mostra que 105 unidades de output podem
ser produzidas usando as seguintes combinações de inputs:
X1
9
6
5
4
5
X2
2
3
4
7
10
Como apontado anteriormente, as combinações inputs-output indicadas na Tabela 3
representam apenas algumas das possíveis. Uma vez que se assume que os inputs são
divisíveis, deve haver muitas mais combinações de inputs que conduzem a um output de
105 unidades. A representação gráfica de todas as combinações de dois factores
variáveis que conduzem a um dado nível de output dá origem a uma curva chamada de
Isoquanta ou Curva de Isoproduto. A isoquanta para 105 unidades de output (da função
que temos vindo a estudar) encontra-se representada na Figura 8. As combinações de
inputs retiradas da Tabela 3 e indicadas na página anterior encontram-se nela
representadas. Todos os pontos da curva são aqueles que conduzem à obtenção de 105
unidades de produto.
A correcção da Isoquanta depende do número de pontos disponíveis para a representar.
Se a função de produção for expressa por uma equação, então também a equação da
Isoquanta pode ser determinada. No nosso exemplo, a equação da função de produção
pode ser resolvida para X1 como função de X2 e Y através do uso da conhecida fórmula
resolvente. Para isso, a nossa função de produção:
Y = 18 X 1 − X 12 + 14 X 2 − X 22
seria escrita do seguinte modo:
(
)
− X 1 + 18 X 12 + 14 X 2 − X 22 − Y = 0
o que substituído na fórmula resolvente daria:
X1 =
18 − 324 + 56 X 2 − 4 X 22 − 4Y
2
ou
X 1 = 9 − 81 + 14 X 2 − X 22 − Y
27
Assim, para a isoquanta que vimos, substituindo Y por 105 e atribuindo valores a X2,
determinaríamos os valores de X1 necessários a uma correcta representação da
isoquanta.
Figura 8 – Representação da Isoquanta para 105 unidades de Y.
Deste modo, podem ser determinadas isoquantas para cada nível de output ou, o que é
dizer o mesmo, a cada nível de output corresponde uma isoquanta. Por exemplo, existe
uma isoquanta para cada nível de output entre zero e 130 (no nosso exemplo). A Figura
9 mostra várias isoquantas para o mesmo exemplo, desenhadas a partir da equação geral
das isoquantas acima calculada. A este tipo de representação dá-se o nome de Mapa ou
Família de Isoquantas. Como se pode verificar pela Figura 9, numa família de
isoquantas, quanto mais afastadas da origem elas estiverem, mais elevado é o nível de
produção a que correspondem.
Figura 9 – Mapa ou Família de Isoquantas representando seis níveis de produção: Y = 0,
Y = 26, Y = 52, Y = 78, Y = 104 e Y = 130.
28
Note ainda que uma Isoquanta pode ser vista como uma “Curva de Nível” numa
Superfície de Produção. A Figura 10 representa precisamente essa perspectiva. No lado
esquerdo da figura encontra-se representada a já nossa conhecida Superfície de
Produção, anteriormente apresentada na Figura 7, mas agora cortada pelo plano que une
todos os pontos do espaço em que Y = 105. Se observássemos agora o mesmo gráfico
desce cima, veríamos a intersecção da Superfície de Produção com o Plano, ou seja, a
Isoquanta para Y = 105.
Figura 10 – A Isoquanta como uma “Curva de Nível” na Superfície de Produção
3.1.4 - Razão Marginal de Substituição de Factores
A Razão Marginal de Substituição de Factores está para as relações factor-factor como a
Produtividade Marginal está para as relações factor-produto. Tal como esta última
representava o declive da curva da Produção Física Total em cada nível de utilização do
factor variável, a. Razão Marginal de Substituição de Factores representa o declive da.
isoquanta para cada combinação dos dois factores variáveis. Olhemos de novo a Figura
8. Quando X2 = 2 então X1 = 9 mas, quando X2 = 3 então temos X1 = 6. Assim, se
pretendermos manter o nível de output constante nas 105 unidades, quando X2 é
aumentado de 2 para 3, X1 deve descer de 9 para 6. Neste caso, a. Razão Marginal de
Substituição de X1 por X2 é definida como o montante que X1 tem que decrescer para
que o output se mantenha constante, quando X2 é aumentado de uma unidade. Entre os
pontos (2,9) e (3,6) a Razão Marginal de Substituição de X1 por X2 será então:
RMS X 1 X 2 =
ΔX 1 6 − 9 − 3
=
=
= −3
ΔX 2 3 − 2
1
A RMS é negativa porque o declive da isoquanta também o é. Este método de calcular a
RMS assemelha-se em tudo ao método que usámos no capítulo anterior para determinar
a Produtividade Marginal Média de um factor. E nessa altura vimos que em alternativa
se podia optar pelo método de cálculo da Produtividade Marginal Exacta. Ora no
domínio da RMS passa-se exactamente o mesmo. A determinação que acima fizemos
deu-nos de facto a RMS média entre os pontos (2,9) e (3,6). Para determinarmos a RMS
exacta num dado ponto da isoquanta teremos de nos recorrer daquilo que dissemos logo
no início deste ponto: que a RMS é dada pelo declive da isoquanta. Como vimos, a
equação de uma isoquanta é do tipo:
29
X1 = f (X 2 )
assim, a primeira derivada desta função afectada do sinal menos, ou seja
−
dX 1
dX 2
é a Razão Marginal de Substituição de X1 por X2. Resolvendo matematicamente esta
expressão, chegaríamos à conclusão que:
RMS X1 X 2 = −
Pmg X 2
Pmg X 1
o que nos dá um método exacto e expedito de cálculo da RMS de factores num dado
ponto da isoquanta. Graficamente, a RMS entre factores num ponto da isoquanta tem
então que ser representada pela tangente à curva nesse ponto.
Resumindo:
A Razão Marginal de Substituição entre Factores exprime a quantidade
de X1 que é necessário acrescentar (ou diminuir) por cada quantidade
infinitesimal de X2 que é diminuída (ou acrescentada), pressupondo
constante o nível de produção.
3.2 - LINHAS DE ISOCUSTO
Cada combinação de inputs tem consigo um custo associado, como parece evidente.
Uma vez que os inputs considerados são variáveis, esse custo só pode ser variável.
Indicando o custo de cada unidade de X1 por PX1 e o custo de cada unidade de X2 por
PX2, o Custo Variável Total (CVT) será dado por
CVT = PX 1 X 1 + PX 2 X 2
Assumindo que os preços dos inputs são conhecidos, o CVT pode ser calculado para
cada combinação de inputs. Se PX1 = 2 e PX2 = 3, então o custo de 5 unidades de X1 e de
2 unidades de X2 é de (2×5) + (3×2) = 16. Assim sendo, o CVT é função dos montantes
de X1 e X2 e pode ser representado graficamente de um modo semelhante à superfície
de produção. Uma Superfície de Custo Variável Total encontra-se representada na
Figura 11. A superfície é linear e toca a base apenas quando X1 = X2 = 0, uma vez que
nesse ponto não ocorrem custos variáveis. O declive da superfície é determinado pelos
preços dos inputs. A superfície é linear porque os preços por unidade de input são
considerados constantes para qualquer combinação de inputs.
30
Figura 11 – Representação tridimensional de uma Superfície de Custo Variável.
Tal como as Superfícies de Produção são caracterizadas por Isoquantas, as Superfícies
de Custo Variável Total podem ser descritas usando Linhas ou Rectas de Isocusto. Uma
Recta de Isocusto traça um conjunto de pontos na Superfície de Custo Variável que têm
como característica possuírem todos um CVT igual. Mas representá-las numa Superfície
de Custo Variável seria tão inútil como representar as isoquantas na Superfície de
Produção. Por isso, a melhor solução será fazer como se fez para as isoquantas, ou seja,
representá-las num gráfico bidimensional onde os eixos representem os montantes de X1
e X2. A Figura 12 representa três linhas de isocusto para PX1 = 2 e PX2 = 3 e Custos
Variáveis Totais de 9, 18 e 27.
Figura 12 - Família de Rectas de Isocusto.
31
Debrucemo-nos então um pouco sobre a Figura 12. Suponhamos que pretendemos
analisar as combinações de inputs que conduzem a um Custo Variável Total de 18; isto
é, admitamos que o agricultor tem 18 unidades monetárias (quaisquer) para gastar em
inputs variáveis. Então ele pode comprar, se os preços dos factores forem os já
indicados, CVT /PX1 ou seja, 18/2 = 9 unidades de X1 se não comprar nenhuma de X2
como indicado na figura. De igual modo, ele pode comprar CVT/PX2, ou seja, 18/3 = 6
unidades de X2 se não comprar nenhuma de X1, como também é fácil de ver pela figura.
A Recta de Isocusto para CVT = 18 pode então ser traçada, unindo os dois pontos que
acabámos de determinar sobre os eixos ortogonais. O mesmo se poderia fazer para CVT
= 9, concluindo-se que se poderiam comprar 4,5 unidades de X1 e nenhuma de X2 ou 3
unidades de X2 e nenhuma de X1, ou ainda qualquer das combinações de inputs
localizada sobre o segmento de recta (Recta de Isocusto) que une aqueles dois pontos.
Aquilo que fizemos de um modo empírico para desenhar as Rectas de Isocusto, poderia
ser feito recorrendo à equação que define as mesmas. Já tínhamos visto que
CVT = PX 1 X 1 + PX 2 X 2
o que também pode ser representado de outro modo,
PX 1 X 1 = CVT − PX 2 X 2
donde se retira que
X1 =
CVT PX 2
−
X2
PX1
PX1
que é a equação da Recta de Isocusto. Como se pode concluir, e confirmar pela Figura
12, as Rectas de Isocusto têm de ordenada na origem CVT/PX1 e de declive –PX2/PX1.
No caso da Figura 12, a equação da Recta de Isocusto para CVT = 18 seria então:
X1 = 9 −
3
X2
2
Como também observámos na Figura 12, é possível representar no mesmo gráfico mais
do que uma Recta de Isocusto para os mesmos preços dos factores mas diferentes níveis
de Custo Variável Total. Como vimos, cada recta corresponde a um CVT. Aquele
conjunto de Rectas de Isocusto recebe normalmente o nome de Família de Rectas de
Isocusto.
3.3. - O CRITÉRIO DO CUSTO MÍNIMO
Tal como nas relações factor-produto, a eficiência económica nas relações factor-factor
é atingida quando as condições necessária e suficiente são atingidas. No caso que agora
estamos a estudar, as relações factor-factor, a condição necessária verifica-se quando a
RMS é igual ou menor que zero. Para seleccionar uma combinação de inputs que
verifique a condição suficiente, ou seja, que respeite os objectivos individuais e sociais,
32
é necessário mais um critério. Como sempre, os objectivos variam com os desejos dos
agricultores / gestores. Por exemplo, um produtor pode desejar produzir um certo nível
de output com o mínimo esforço possível. Mas outro pode desejar atingir o mesmo nível
com o mínimo custo possível. Geralmente é este último critério, minimização dos
custos, o que é empregue nas análises económicas. E será ele que vai ser usado nos
exemplos que se seguem.
Como já se viu, um dado nível de input pode ser produzido usando muitas combinações
diferentes dos dois factores variáveis. De um modo geral, duas combinações diferentes
de factores terão custos diferentes. Assim, uma das combinações deve ser a mais barata.
O problema da minimização dos custos é o de determinar a combinação dos dois inputs
que produz um dado nível de produto, ao mínimo custo possível. Uma maneira de fazer
isto é calcular o custo de todas as combinações possíveis e seleccionar a mais barata.
Contudo este método só é exequível quando esse número de combinações é restrito.
Mesmo assim, ficamos sempre sem a certeza sobre se a solução encontrada é de facto a
desejada ou não, já que pode sempre haver alguma combinação intermédia de factores
não analisada e que seja mais barata. A localização exacta da combinação mais barata
de factores pode ser encontrada geometricamente mas para isso, conceitos associados
com a RMS e as Rectas de Isocusto têm de ser utilizados.
3.3.1 – Determinacão Geométrica do Ponto de Custo Mínimo
Uma isoquanta tem um número infinito de pontos. Só um, contudo, corresponde à
combinação de factores que conduz ao custo variável mínimo. Nesse ponto, o seguinte
critério, denominado de Critério do Custo Mínimo, terá que se verificar:
RMS X 1 X 2 = −
PX 2
PX 1
Devido à definição de RMS, o mesmo critério também pode ser escrito como:
PX
ΔX 1
=− 1
ΔX 2
PX 2
onde o lado esquerdo da expressão representa o declive da isoquanta e o lado direito o
declive da recta de isocusto, como já havíamos visto. Então a combinação mais barata
de inputs ocorre no ponto onde a recta de isocusto é tangente à isoquanta.
A Figura 13 evidencia a solução de custo mínimo para a isoquanta Y = 105 (que já
usámos noutros exemplos) quando PX1 = 200 e PX2 = 300. Neste caso o custo variável
mínimo para produzir 105 unidades de Y é desconhecido. A solução pode contudo ser
encontrada, encontrando o ponto onde uma recta com declive de -300/200 é tangente à
isoquanta, isto é, encontrando o ponto onde a isoquanta tem um declive de -3/2. Uma
vez localizada, esta recta pode ser interpretada como uma recta de isocusto e ser
prolongada até atingir os eixos do gráfico. Como se mostra na Figura 12, o ponto de
tangencia ocorre quando X1 = 6,2 e X2 = 2,8: O custo variável total para esta
combinação de factores é de 2.080, ou seja, (6,2 × 200) + (2,8 × 300).
33
Figura 13 – Determinação geométrica da combinação de inputs que produzem 105
unidades de output a um custo mínimo.
3.3.2 – Determinação Algébrica do Ponto de Custo Mínimo
A determinação algébrica segue o mesmo esquema. O princípio é o de igualar os
declives da Isoquanta e da Recta de Isocusto. Para o exemplo da Figura 13 seria:
RMS X 1 X 2 = −
Pmg X 2
Pmg X 1
=−
PX 2
PX1
⇒
7− X2
3
=−
9 − X1
2
de onde :
3 X 1 − 13
X2 =
2
Seguidamente, os valores de X1 e X2 têm de ser calculados. Substituindo X2 na função
de produção pela expressão acabada de calcular, ficamos com uma equação quadrática
em Y e X1. Fazendo neste caso Y = 105 e resolvendo a equação usando a fórmula
resolvente chegaríamos ao valor já nosso conhecido X1 = 6,2. Então,
X2 =
(3 × 6,2) − 13
= 2,8
2
como seria de esperar.
3.4. – ISOCLINAS, CAMINHO DE EXPANSÃO E MAXIMIZAÇÃO DO LUCRO
3.4.1. – Isoclinas e Caminho de Expansão
Isoc1inas são linhas ou curvas que passam por pontos de igual razão Marginal de
Substituição num Mapa de Isoquantas. Uma dada isoclina passará por todas as
34
isoquantas, em pontos onde essas isoquantas têm um dado declive. Há tantas isoclinas
diferentes quantos os declives ou Razões Marginais de Substituição da isoquanta.
Uma isoclina muito particu1ar é o Caminho de Expansão. E1e é uma isoclina especial
que liga as combinações de factores que satisfazem o critério do custo mínimo para
todos os níveis de output. O Caminho de Expansão é pois o lugar geométrico das
combinações óptimas de factores. Desta forma, no Caminho de Expansão a Razão
Marginal de Substituição tem que igualar a razão entre os preços dos factores.
3.4.2. – Caminho de Expansão e Maximização do Lucro
Vimos que o Caminho de Expansão define todas as combinações de factores que
conduzem ao custo mínimo de produção para cada nível de produção. Será então, sem
dúvida, uma dessas combinações que deve ser usada pelo agricultor que se preocupa em
minimizar os custos. Mas se o Caminho de Expansão abarca todos os níveis possíveis
de produção, então o agricultor interessado em maximizar os lucros deverá perguntar:
“qual o nível de produção que me fará obter o máximo lucro?”
Conceptualmente esta questão é respondida seguindo ao longo do Caminho de
Expansão, isto é, aumentando o output até que o valor do produto acrescentado pelo
aumento do uso dos inputs seja igual ao custo desse aumento de uso de inputs. Visto
pelo lado dos inputs, isto é o mesmo que dizer que a Rentabilidade Marginal de cada
factor deve igualar o preço unitário desse factor. Ao longo do Caminho de Expansão, só
um ponto representa combinação de factores que conduz ao máximo lucro.
Analiticamente há vários métodos para determinar o ponto de máximo lucro mas, o
método mais seguido é o de maximizar directamente a função Lucro. Numa situação
corno a que estamos a estudar, ou seja, no âmbito das relações factor-factor, a equação
do lucro será:
Π = ( PY × Y ) − ( PX 1 × X 1 ) − ( PX 2 × X 2 ) − CFT
onde Py representa o preço unitário do produto Y e CFT representa o Custo Fixo Total
(uma constante, portanto) e onde Y = f (Xl, X2). Maximizar esta função em relação aos
factores variáveis implica calcular os pontos onde as duas derivadas parciais da função
em ordem aos dois factores variáveis sejam nulas. Então teremos:
δΠ
δY
= PY
− PX = 0 e
δ X1
δ X1
δΠ
δY
= PY
− PX = 0
δ X2
δ X2
1
2
que é o mesmo que dizer que:
PY ⋅ Pmg X 1 = PX 1
ou
Rmg X 1 = PX 1
PY ⋅ Pmg X 2 = PX 2
e
ou
Rmg X 2 = PX 2
35
Vejamos um exemplo:
Para a função de produção que temos vindo a acompanhar, se por exemplo Py = 0,65 ;
PX1 = 9 e PX2 = 7 teriamos:
9 = (18 – 2 Xl) × 0,65
e
7 = (14 – 2 X2) × 0,65
donde se concluiria que para o lucro ser máximo Xl = 2,08 e X2 = 1,6. Estes valores
poderiam ser substituídos na função de produção, podendo-se então calcular o nível de
produção que conduziria ao máximo lucro e que seria Y = 53.
36
4 – AS RELAÇÕES PRODUTO– PRODUTO
Nos dois capítulos anteriores, a breve análise económica dos processos de produção
colocou ênfase na repartição e distribuição de inputs. Neste capítulo apresentaremos um
ponto de vista diferente sobre o processo produtivo. Em vez de o olharmos pelo lado da
distribuição de inputs por uma dada actividade, olhá-lo-emos pelo lado da combinação
de actividades, isto é, discutiremos aquilo a que vulgarmente se chamam de relações
produto-produto.
O agricultor produz, normalmente, várias "coisas" na sua exploração, sendo justamente
no seio da unidade produtiva que se encontra uma dada combinação de factores e
produções, isto é, um dado sistema de produção. Assim é evidente que se põe na prática
o problema de repartir um dado factor variável por duas ou mais produções, exigindo-se
ao agricultor decisões que conduzam ao exame das relações produto-produto ou seja, ao
exame das substituições entre produtos.
Este novo problema exige hipóteses de base diferentes das que até agora utilizámos mas
pode apreender-se, no plano teórico, utilizando conceitos de algum modo próximos dos
que já anteriormente se manejaram. Tal problema é um problema corrente da produção
agrícola. O empresário dispõe com efeito de recursos que deve combinar da melhor
forma possível e que deve repartir entre as suas utilizações possíveis de modo a
maximizar o seu resultado final. A terra é rara nas pequenas explorações e ao afectá-la à
cultura do milho para grão, o empresário priva-se evidentemente de a afectar à cultura
do milho para silagem. O mesmo se passa com a mão-de-obra (nas explorações em que
ela é rara em certos momentos, devendo ser judiciosamente repartida entre as diversas
produções) e também com as construções, instalações diversas e, em suma, com os
outros capitais da empresa.
O problema é portanto o seguinte: Como repartir o montante X0 do factor X de que
se dispõe entre as produções Y1 e Y2 de molde a maximizar o resultado final da
empresa?
4.1. – A CURVA DE POSSIBILIDADES DE PRODUCAO
A Curva de Possibilidades de Produção é um importante instrumento para o desenho de
duas funções de produção num só gráfico. Para começar, imagine-se que um input X
pode ser usado para produzir dois produtos, Y1 e Y2, e que todos os outros inputs usados
na sua produção são fixo. Assim, o agricultor tem de determinar quanto input X vai usar
em cada produção. A questão mais relevante que então se põe é saber “de quanto input
se dispõe?”. As duas situações possíveis são: dispõe-se de quantidade limitada ou
ilimitada:
– Quantidade Ilimitada:
Quando a quantidade de input disponível é ilimitada, a sua distribuição e aplicação é
determinada pela regra enunciada na página 20 destes apontamentos, ou seja, igualando
o preço do recurso à sua rentabilidade marginal. Nenhum problema novo surge. O
agricultor / gestor pode usar o nível óptimo do recurso em ambas as produções.
37
Aumentar o uso de um input (ou recurso) num dos processos produtivos não fará
diminuir a quantidade disponível para uso no outro. Assim, para além do facto de os
produtos serem produzidos na mesma empresa e de estarem sob a supervisão do mesmo
agricultor / gestor, eles não estão relacionados um como outro. O termo ilimitada
significa que o agricultor dispõe de suficiente quantidade do input para o usar no
montante óptimo em todas as actividades. Não quer isto significar que o fornecimento
do input possa ser ilimitado. Se assim fosse, tratar-se-ia de um bem gratuito.
– Quantidade Limitada:
Quando a quantidade de input disponível é limitada, o montante óptimo não pode ser
usado em cada actividade. Assim, por definição, limitada significa que a quantidade de
input disponível é menor do que a quantidade necessária para aplicar o montante óptimo
em cada actividade. Situações de inputs limitados são também referidas como situações
de Capital Limitado. Quer isto dizer que a quantidade de input que pode ser adquirida é
limitada pela quantidade de Capital disponível. “Capital Limitado” quer portanto dizer
que o Capital disponível não é suficiente para permitir ao agricultor o uso óptimo de
input em cada actividade. Quando os inputs são limitados em quantidade, as actividades
realizadas numa empresa deixam de poder ser consideradas independentes. O grau de
interdependência entre elas depende das suas relações técnicas e económicas.. Nalguns
casos, se o output de uma actividade for expandido os recursos têm de ser desviados
para ela, tendo o output de outras actividades de ser reduzido. Noutros casos, a
expansão de uma actividade pode também conduzir à expansão de outra. O objectivo do
estudo das relações produto-produto é o de determinar a combinação de actividades que
melhor vai ao encontro dos objectivos do agricultor / gestor, uma vez conhecidas as
limitações de recursos.
O principal uso das Curvas de Possibilidades de Produção é a determinação da
combinação de actividades mais lucrativa para uma dada quantidade limitada de um
input.
4.1.1. – Determinação de Curvas de Possibilidade de Produção
As Curvas de Possibilidades de Produção mostram as combinações de produtos que
podem ser produzidas com um determinado conjunto de inputs. De certo modo, uma
Curva de Possibilidades de Produção pode ser vista como uma fronteira que separa as
combinações de produtos que podem ser produzidas com um dado conjunto de factores,
daquelas que não podem ser produzidas com o mesmo conjunto de factores. Vejamos
como estas Curvas podem ser construídas a partir de duas funções de produção.
A Tabela 4-A apresenta duas funções de produção, uma para Y1 e outra para Y2. Estas
funções de produção usam o mesmo recurso limitado, X. Suponhamos que estão
disponíveis quatro unidades de X. Antes de qualquer daquelas unidades ser usada, o
agricultor / gestor tem oportunidade de se debruçar sobre as várias alternativas de que
dispõe par as usar. Se usar as quatro unidades na produção de Y1 pode produzir 22
unidades deste produto mas, se usar as quatro unidades na produção de Y2 pode
produzir 36 unidades deste. Muitas outras combinações são possíveis entre estes dois
extremos. Algumas dessas combinações, ou possibilidades de produção, para uma
disponibilidade de quatro unidades de X estão representadas na Tabela 4-B. O mesmo
38
se fez para uma disponibilidade de sete unidades de X. Algumas das possibilidades de
produção para esta nova situação estão representadas na Tabela 4-C.
Tabela 4 – Determinação de Possibilidades de Produção a partir de duas funções de
produção.
A
X
Y1
X
Y2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
7
13
18
22
25
27
28
27
25
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
12
22
30
36
40
42
43
43
40
B
Possibilidades de
Produção para X = 4
C
Possibilidades de
Produção para X = 7
Y2
Y1
Y2
Y1
36
30
22
12
0
0
7
13
18
22
43
42
40
36
30
22
12
0
0
7
13
18
22
25
27
28
Na posse da informação disponibilizada pelas Tabelas 4-B e 4-C torna-se fácil construir,
graficamente, as Curvas de Possibilidades de Produção. Para tanto há que recorrer a um
sistema de dois eixos, representando um os valores de Y1 e o outro os valores de Y2, e
nele marcar as combinações de Y1 e Y2 encontradas. Unindo os pontos assim
determinados obtém-se então a Curva de Possibilidades de Produção. É o que se mostra
na Figura 14.
As Curvas de Possibilidades de Produção da Figura 14 representam todas as
possibilidades de produção quando as disponibilidades de input X são de 4 ou de 7
unidades. Todas as combinações representadas nas curvas devem ser consideradas
aquando do planeamento da produção. Contudo, e obviamente, apenas uma das
combinações poderá ser produzida. E essa deverá ser aquela que satisfaça os objectivos
do agricultor / gestor ou, como até aqui temos vindo a considerar, aquela que maximize
o lucro. Como se pode ver, a Curva de Possibilidades de Produção é também um bom
método para analisar duas funções de produção ao mesmo tempo, dentro dos limites
determinados pela disponibilidade de input.
A Figura 14 mostra que a Curva de Possibilidades de Produção para X = 7 representa
um nível de produção mais alto para ambos os produtos (como seria de esperar) do que
a para X = 4, ficando portanto aquela mais afastada da origem dos eixos do que esta.
39
Igualmente se verifica que a forma das curvas não é exactamente igual para todas as
disponibilidades de input X.
Figura 14 – Curvas de Possibilidades de Produção, desenhadas a partir de duas Funções
de Produção.
4.2. – RELAÇÕES ENTRE PRODUTOS
As Curvas de Possibilidades de Produção ilustram as relações entre actividades na
exploração. Estas relações podem tomar diferentes formas dependendo de cada situação
particular. Em geral, as actividades podem ser competitivas, complementares ou
suplementares.
4.2.1. – Produtos Competitivos
Dois produtos são denominados Competitivos quando a quantidade produzida de um só
pode ser aumentada reduzindo a quantidade produzida do outro. Esta situação sucede
porque os produtos necessitam dos mesmos inputs ao mesmo tempo. Frequentemente,
enquanto planeia a sua produção, o agricultor / gestor chega à conclusão que só pode
ampliar uma dada actividade transferindo certos factores de produção - trabalho, capital
e empresário - de outras actividades para essa, reduzindo assim a produção daquelas.
Quando a Curva de Possibilidades de Produção apresenta um declive negativo, os
produtos em causa são Competitivos. A Figura 15-A apresenta dois exemplos de
Produtos Competitivos.
4.2.2. – Produtos Complementares
Dois produtos dizem-se Competitivos se o aumento da quantidade produzida de um
produto causar o aumento da quantidade produzida do outro. A Complementaridade
ocorre normalmente quando um dos produtos produz um input usado pelo outro
40
produto. Um exemplo disto é a introdução de uma Leguminosa numa rotação de
Gramíneas. Os produtos complementares, a partir de certa altura, tornam-se
competitivos. Quer isto dizer que, usando muito do input em causa na produção de um
dos produtos, se acabará por diminuir a produção do outro. Quando a Curva de
Possibilidades de Produção apresenta um declive positivo, os produtos em causa são
Complementares. A Figura 15-B apresenta dois exemplos de produtos complementares.
No lado esquerdo vemos um exemplo em que o produto Y1 é complementar ao produto
Y2 desde o eixo vertical até ao ponto A. Quer isto dizer que até esse ponto foi possível
aumentar a produção de Y1 (que inicialmente era nula), aumentando também a produção
de Y2 (e consumindo a mesma quantidade de factor limitado). No lado direito da figura
temos um exemplo em que ambos os produtos são complementares. Se caminharmos do
eixo vertical até ao ponto B, temos uma situação exactamente igual à anterior. Se por
outro lado caminharmos do eixo horizontal até ao ponto C, é o produto Y2 que é
complementar ao produto Y1. Note-se que quer na figura da esquerda, quer na figura da
direita, os produtos acabam por se comportar como competitivos.
Y2
Y2
A – Produtos
Competitivos
Y1
Y2
A
Y1
Y2
B
C
B – Produtos
Complementares
Y1
Y2
Y1
Y2
D
E
F
Y1
C – Produtos
Suplementares
Y1
Figura 15 – Curvas de Possibilidades de Produção, conforme o tipo de produtos.
41
4.2.3. – Produtos Suplementares
Dois produtos dizem-se Suplementares se for possível aumentar a quantidade produzida
de um deles sem afectar em nada a quantidade produzida do outro. Actividades
Suplementares sucedem normalmente quando há, em determinada altura do ano, um
excesso do input limitado em causa. Quando o declive da Curva de Possibilidades de
Produção é nulo ou indeterminado, os produtos dizem-se Suplementares. Isto mesmo
pode-se verificar nos dois exemplos de produtos suplementares apresentados na Figura
15-C. No lado esquerdo da figura temos Y1 a comportar-se como suplementar de Y2 até
ao ponto D. No lado direito da figura ternos uma situação igual à anterior desde o eixo
vertical até ao ponto E, e uma situação em que é Y2 a comportar-se como suplementar
de Y1 desde o eixo horizontal até ao ponto F. Note-se que tal como no exemplo dos
produtos complementares, também os produtos suplementares acabam a partir de certa
altura por se comportar como competitivos.
4.3. – COMBINAÇÃO DE PRODUTOS PARA MÁXIMO RENDIMENTO
4.3.1. – A Razão Marginal de Substituição de Produtos
O conceito de Razão Marginal de Substituição de Produtos é semelhante àquele
definido nas relações factor-factor. A Razão Marginal de Substituição de Produtos
refere-se à quantidade de variação num output quando o outro output é aumentado de
uma unidade ao longo da Curva de Possibilidades de Produção (o uso de input mantémse constante). A Razão Marginal de Substituição de Produtos é definida como o declive
da Curva de Possibilidades de Produção. Então:
RMS Y1
Y2
=
ΔY2
ΔY1
Outro modo de calcular a Razão Marginal de Substituição de Produtos, se se conhecer a
equação que define a Curva de Possibilidades de Produção, será então calcular a
primeira derivada desta (já que a primeira derivada duma função nos dá o declive dessa
função). Então, se a Curva de Possibilidades de Produção fosse definida por uma
equação do tipo:
Y2 = g (Y1 )
a Razão Marginal de Substituição de Y1 por Y2 seria dada por:
RMS Y1
Y2
=
dY2
dY1
Assim, e tal como já tinhamos visto para o caso da Produtividade Marginal, há duas
maneiras de calcular a Razão Marginal de Substituição de Produtos. A primeira aqui
apresentada chama-se de medida aproximada ou média da RMS; à segunda chama-se de
medida exacta da RMS.
42
4.3.2. – Rectas de Isoreceita
O Rendimento Bruto é o valor do output produzido. Por exemplo, se se produzissem 36
unidades de Y2 e 18 unidades de Y1 e se o preço por unidade desses produtos fosse de 1
e 2 unidades monetárias respectivamente, então o Rendimento Bruto seria de:
RB = (1 × 36) + (2 × 18) = 72
ou, em notação simbólica:
RB = PY1 ⋅ Y1 + PY2 ⋅ Y2
Uma linha representando qualquer nível de Rendimento Bruto pode ser representada
sobre o gráfico das Curvas de Possibilidades de Produção. Considere-se por exemplo
um Rendimento Bruto de 80 unidades monetárias. Quando PY2 = 1 e PY1 = 2, as 80
unidades de Rendimento podem ser ganhas vendendo 80 unidades de Y2 e nenhuma de
Y1, ou 40 de Y1 e nenhuma de Y2. Outras combinações de produtos também renderiam
80 unidades monetárias. Por exemplo 20 unidades de Y1 e 40 unidades de Y2, 30
unidades de Y1 e 20 unidades de Y2, 10 unidades de Y1 e 60 de Y2 dariam origem a 80
unidades de Rendimento Bruto. Quando desenhados num gráfico, estes pontos cairiam
todos sobre uma linha recta, designada por Recta de Isorreceita. A Figura 16 representa
a Recta de Isorreceita que passa por todas as combinações de Y1 e Y2 que rendem 80
unidades monetárias quando PY1 = 2 e PY2 = 1. Trata-se de facto de uma recta porque os
preços dos produtos não variam conforme a quantidade que é vendida.
A equação da recta de isorreceita é de fácil determinação. Basta transformar a equação
do Rendimento Bruto acima indicada numa outra que defina por exemplo Y2 em função
de Y1. Ficaria então:
PY2 ⋅ Y2 = RB − PY1 ⋅ Y1
ou
Y2 =
RB PY1
−
⋅ Y1
PY2 PY2
o que como se pode ver, se trata da equação de uma recta de declive -PYl/PY2 e de
ordenada na origem RB/PY2.
A distância da Recta de Isorreceita à origem dos eixos é determinada pelo nível do
Rendimento Bruto. À medida que o rendimento aumenta, a recta afasta-se da origem.
43
Figura 16 – Representação de uma Recta de Isorreceita para um Rendimento Bruto de
80, com PY1 = 2 e PY2 = 1.
4.3.3. – A Combinação de inputs que maximiza o Rendimento Bruto
A Curva de Possibilidades de Produção une todas as combinações possíveis de dois
produtos que podem ser produzidas com um determinado quantitativo de input variável.
Na prática, contudo, só uma dessas combinações pode ser produzida. Duas questões têm
então de ser postas: “que combinação deve ser escolhida?” e “como determinar essa
combinação?”.
Os custos totais são constantes para todas as combinações de produtos sobre uma Curva
de Possibilidades de Produção. Os lucros serão maiores, ou as percas menores, se a
combinação que conduz ao máximo Rendimento Bruto for escolhida. Para evitar
confusões com a combinação de produtos mais lucrativa, que seria determinada com
inputs ilimitados e que portanto poderia estar sobre qualquer outra Curva de
Possibilidades de Produção, note-se que aqui estamos a falar da combinação de
produtos que maximize o Rendimento.
A combinação de outputs que conduz ao máximo Rendimento Bruto (para uma dada
Curva de Possibilidades de Produção) pode ser determinada usando o seguinte critério:
RMS Y1
Y2
=−
PY1
PY2
ou, devido à definição de RMS de Produtos:
PY
ΔY2
=− 1
ΔY1
PY2
onde o lado esquerdo da expressão representa o declive da Curva de Possibilidades de
Produção, e o lado direito o declive da Recta de Isorreceita. O ponto de Rendimento
44
Bruto máximo é o ponto do gráfico onde a Recta de Isorreceita é tangente à Curva de
Possibilidades de Produção.
Vejamos um exemplo:
Imaginemos que conhecíamos a equação de uma Curva de Possibilidades de Produção:
Y2 = 100 − 0,0065 Y1
2
Torna-se então fácil determinar a RMS:
RMS Y1
Y2
=
dY2
= − 0,013 Y1
dY1
Se os preços de Y1 e Y2 forem respectivamente 6 e 5, então a combinação de produtos
que conduz ao máximo Rendimento Bruto obtém-se igualando a RMS à razão dos
preços, do seguinte modo:
− 0,13 Y1 = − 6
5
donde se conclui que Y1 teria de ser
Y1 = 92,3
e Y2 não poderia deixar de ser
Y2 = 10 − 0,0065 (92,3) 2 = 44,6
45
5 – UMA BREVES PALAVRAS SOBRE CUSTOS
Desde o principio destes apontamentos que temos vindo a falar do processo produtivo.
É por demais evidente que ao empreendermos um processo produtivo incorremos quase
que automaticamente em custos que têm que ser suportados. Várias vezes nos referimos
A eles, nomeadamente aos Custos Fixos e aos Custos Variáveis.
Por Custos Fixos Totais (CFT) entendemos todos aqueles custos que decorrem da
utilização de factores de produção considerados como fixos. Assim, o seu montante não
varia e portanto o seu valor pode ser considerado como uma constante:
CFT = K
Já os Custos Variáveis Totais (CVT) são aqueles que decorrem do emprego de factores
de produção variáveis. Assim, o seu montante dependerá da quantidade de factor(es)
aplicado(s) e do(s) seu(s) preço(s):
CVT = PX ⋅ X
ou
CVT = PX1 ⋅ X 1 + PX 2 ⋅ X 2
O Custo Total (CT), logicamente é igual ao somatório dos Custos Fixos e dos Custos
Variáveis Totais:
CT = CFT + CVT
Um outro conceito de Custo com que nos podemos deparar é o de Custo Médio e
Unitário. O Custo Médio propriamente dito (CM) refere-se ao Custo Total por unidade
de produto produzida:
CM =
CT
Y
Se pensarmos contudo em termos de Custo Fixo ou de Custo Variável, temos então os
chamados Custos Unitários. O Custo Variável Unitário (CVU) não é mais do que o
Custo Variável Total por unidade de produto produzida:
CVU =
CVT
Y
O Custo Fixo Unitário (CFU) terá então que ser o Custo Fixo Total por unidade de
produto produzida:
CFU =
CFT
Y
Visto tudo o que se disse, então também é licito dizer que:
CM =
CT CFT + CVT
=
= CFU + CVU
Y
Y
46
Um último conceito relativo a custos que convém acrescentar é o de Custo Marginal
(Cmg). Ele é definido como a variação no Custo Total por unidade de aumento do
produto Y, ou seja, ele mede quanto é que os custos totais variam quando se aumenta a
produção de urna unidade;
Cmg =
ΔCT
ΔY
Geometricamente, o Custo Marginal representa o declive da curva de Custo Total (ou da
Curva de Custo Variável Total). Assim, se tivermos maneira de definir o CT em função
da quantidade produzida Y, ou seja, se conhecermos uma função do tipo CT = f (Y),
então podemos dizer que:
Cmg =
dCT dCVT
=
dY
dY
A representação gráfica das funções de custos que acabámos apresentar tem como
característica principal o facto de a curva de Marginal cruzar as Curvas de Custo Médio
e de Custo Variável Unitário quando estas estão no seu ponto mínimo. Isso mesmo se
pode ver na Figura 17.
€
Cmg
CM
CVU
Y
Figura 17 – Aspecto Gráfico típico de algumas curvas de custos.
Assim podemos afirmar que Cmg = CM e Cmg = CVU quando CM e CVU são
mínimos.
Um outro aspecto importante das funções de custo é o de ser possível determinar o nível
de produção que conduz ao máximo lucro sob determinadas condições de preços. O
lucro (π) podemos defini-lo do seguinte modo:
47
π = Y ⋅ PY − f (Y )
onde f(Y) representa a função de Custo Total (em relação a Y) e Y e PY são
respectivamente a quantidade produzida de Y e o preço unitário de Y. Se queremos
maximizar esta função lucro, então temos de encontrar o ponto onde a sua primeira
derivada em ordem a Y é nula:
dπ
= Py − f ' (Y ) = 0
dY
isto é,
Py = f ' (Y )
o que é dizer que:
PY = Cmg
Concluindo:
O Lucro obtido é máximo quando o Custo Marginal de Produção for igual ao
preço unitário do produto.
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