Lista de Exercı́cios de Inferência Estatı́stica
Joel Maurı́cio Corrêa da Rosa
Estatı́stica XI - 2009
Obs: A resolução da lista foi feita com auxı́lio do pacote R que pode ser
carregado a partir do site www.r-project.org. Para a solução foi adotada a
convença abaixo :
Tamanho de amostra (n)
Média Populacional µ (m)
Variância Populacional σ 2 (sigma2)
Desvio Padrão Populacional σ (sigma)
Média Amostral X̄ (xbarra)
Variância Amostral S 2 (S2)
Desvio padrão Amostral S =
p
(S 2 ) (S)
Quantil da distribuição normal z (z)
Quantil da distribuição t de Student t (tst)
Quantil da distribuição Qui-quadrado χ2 (q.sup e q.inf)
Erro Padrão
√σ
n
(ep)
Margem de Erro (me)
1. Os prazos de substituição para CD players tem distribuição normal com
média de 7,1 anos e desvio-padrão de 1,4 anos. Determine a probabilidade de 45 CD players selecionados aleatoriamente terem prazo médio de
substituição superior a 7,0 anos.
>
>
>
>
>
>
# media
m<-7.1
# erro padrao
ep<-1.4/sqrt(45)
# probabilidade
1-pnorm(7,m,ep)
1
[1] 0.6840867
2. . Uma analise dos números de horas por semana que os calouros universitários dedicam ao estudo acusam média de 7,06 horas e desvio-padrão
de 5,32 horas. Selecionados aleatoriamente 55 calouros, determine a probabilidade de seu tempo semanal médio de estudo exceder 7,00 horas, assumindo que o tempo dedicado aos estudos segue a distribuição normal.
>
>
>
>
>
m<-7.06
sigma<-5.32
n<-55
ep<-sigma/sqrt(n)
1-pnorm(7,m,ep)
[1] 0.5333292
3. A Basf garante que as gravações feitas com suas fitas de vı́deo podem ser
reproduzidas 1000 vezes com variância igual a 900. Tomada uma amostra
de 20 fitas, qual a chance de obter um desvio padrão para as reproduções
:
> m<-1000
> sigma2<-900
> n<-20
(a) menor que 25?
> q1<-(n-1)*(25^2)/sigma2
> pchisq(q1,n-1)
[1] 0.1715302
(b) maior que 13?
> q1<-(n-1)*(13^2)/sigma2
> 1-pchisq(q1,n-1)
[1] 0.9999565
(c) entre 20 e 40?
> q1<-(n-1)*(20^2)/sigma2
> q2<-(n-1)*(40^2)/sigma2
> pchisq(q2,n-1)-pchisq(q1,n-1)
[1] 0.962095
(d) entre 15 e 30?
> q1<-(n-1)*(15^2)/sigma2
> q2<-(n-1)*(30^2)/sigma2
> pchisq(q2,n-1)-pchisq(q1,n-1)
[1] 0.5427735
2
4. Uma v.a. X tem distribuição normal, com média 100 e desvio padrão 10.
> m<-100
> sigma<-10
(a) Qual a P (90 < X < 110)?
> pnorm(110,m,sigma)-pnorm(90,m,sigma)
[1] 0.6826895
(b) Se X̄ for a média de uma amostra de 16 elementos retirados dessa
população, calcule P (90 < X̄ < 110).
> n<-16
> ep<-sigma/sqrt(n)
> pnorm(110,m,ep)-pnorm(90,m,ep)
[1] 0.9999367
(c) Represente, num único gráfico, as distribuições de X e X̄.
(d) Que tamanho deveria ter a amostra para que P (90 < X̄ < 110) =
0, 95?
> z<-qnorm(1-(0.05/2))
> n<-(z^2)*(sigma^2)/(90-m)^2
> n
[1] 3.841459
5. Suponha que uma indústria farmacêutica deseja saber a quantos voluntários se deva aplicar uma vacina, de modo que a proporção de indivı́duos
imunizados na amostra difira de menos de 2% da proporção verdadeira de
imunizados na população, com probabilidade de 90%. Qual o tamanho de
amostra a escolher ? (Bussab & Morettin, exercicio 17, seção 10.11)
> me<-0.02 # margem de erro
> n<-((z^2)*0.5*0.5)/me^2
> n
[1] 2400.912
6. No problema anterior suponha que a indústria tenha a informação de que
a proporção de imunizados pela vacina seja p≥0,80. Qual o novo tamanho
de amostra a escolher ? Houve redução ? (Bussab & Morettin, exercı́cio
18, seção 10.11)
> me<-0.02 # margem de erro
> n<-((z^2)*0.8*0.2)/me^2
> n
[1] 1536.584
3
7. Uma v.a. X tem distribuição normal com média 10 e desvio padrão 4. Aos
participantes de um jogo é permitido observar uma amostra de qualquer
tamanho e calcular a média amostral. Ganha um prêmio aquele cuja média
amostral for maior que 12. Se um participante escolher uma amostra de
tamanho 16, qual é a probabilidade de ele ganhar um prêmio? (Bussab &
Morettin, exercı́cio 21, seção 10.13)
>
>
>
>
>
m<-10
sigma<-4
n<-16
ep<-sigma/sqrt(n)
1-pnorm(12,m,ep)
[1] 0.02275013
8. Cada seção usada para a construção de um oleoduto tem um comprimento
médio de 5m e desvio padrão de 20cm. O comprimento total do oleoduto
será de 8 km. (Bussab & Morettin, exercı́cio 25, seção 10.13)
> m<-5
> sigma<-0.2
(a) Se a firma construtora do oleoduto encomendar 1600 seções, qual é a
probabilidade de ela ter de comprar mais do que uma seção adicional
(isto é, de as 1600 seções somarem menos do que 7995m) ?
> m.soma<-5*1600
> sigma.soma<-sqrt((1600)*0.2)
> pnorm(7995,m.soma,sigma.soma)
[1] 0.3899273
(b) Qual é a probabilidade do uso exato de 1599 seções, isto é, a soma
das 1599 seções estar entre 8000 e 8005 m ?
> m.soma<-5*1599
> sigma.soma<-sqrt((1599)*0.2)
> pnorm(8005,m.soma,sigma.soma)-pnorm(8000,m.soma,sigma.soma)
[1] 0.1018784
9. Assuma que X1 , X2 , . . . , X9 seja uma amostra aleatória da distribuição
normal com média desconhecida µ e variância σ 2 =1.
> sigma<-1
> n<-9
> ep<-sigma/sqrt(n)
(a) Calcule P (|X − µ| ≤ 1/2)
4
> z1<--0.5/sigma
> z2<-0.5/sigma
> pnorm(z2)-pnorm(z1)
[1] 0.3829249
(b) Calcule P (|X̄ − µ| ≤ 1/2)
> z1<--0.5/ep
> z2<-0.5/ep
> pnorm(z2)-pnorm(z1)
[1] 0.8663856
10. Assuma que X1 , X2 , . . . , X1 0 é uma amostra aleatória da distribuição normal. Qual a probabilidade de que |X̄ − µ| ≤ S com S sendo a raiz da da
variância amostral S 2 .
11. Considere uma amostra aleatória de tamanho n de uma população cuja
média
é E(X) = µ e a variância é E[(X − µ)2 ] = σ 2 . Mostre que σ̂ 2 =
P
( (Xi −X̄)2
é um estimador viciado para variância populacional σ 2 . A
n
prova deste resultado está presente em Bussab & Morettin
12. Suponha que uma agência governamental deseja estimar o consumo médio
de combustı́vel de um novo modelo de automóvel que será lançado no
mercado. Para fazer esta verificação, a agência adquire um destes carros,
treina um motorista para dirigir o carro por 100 milhas. Ao fazer n = 10
vezes o percurso de 100 milhas, o consumo, em galões, foi registrado com
os seguintes resultados:
> n<-10
4,78
3,94
4,42 3,94 4,15
4,68 4,32 4,23
4,90
3,92
> x<-c(4.78,4.42,3.94,4.15,4.9,3.92,3.94,4.68,4.32,4.23)
Assumindo que estes valores representam uma amostra aleatória de uma
variável normalmente distribuı́da com média µ e variância σ 2 .
(a) Calcule estimativas pontuais para µ e σ 2
> xbarra<-mean(x)
> xbarra
[1] 4.328
> S2<-var(x)
> S2
[1] 0.1303067
5
(b) Calcule um intervalo de confiança para µ o número médio de galões
necessários para este carro percorrer 100 milhas.Calcule um intervalo
de 95 % de confiança para σ 2 , a variância do número de galões.
> tst<-qt(1-(0.05/2),n-1)
> me<-tst*sqrt(S2)/sqrt(n)
> xbarra+c(-1,1)*me
[1] 4.06977 4.58623
>
>
>
>
>
q.sup<-qchisq(1-(0.05/2),n-1)
q.inf<-qchisq(0.05/2,n-1)
lim.inf<-(n-1)*S2/q.sup
lim.sup<-(n-1)*S2/q.inf
c(lim.inf,lim.sup)
[1] 0.06165033 0.43429290
13. De 50.000 válvulas fabricadas por uma companhia retira-se uma amostra
de 400 válvulas, e obtém a vida média de 800 horas e o desviopadrão de
100 horas.
>
>
>
>
n<-400
xbarra<-800
S<-100
S2<-S^2
(a) Qual o intervalo de confiança de 99% para a vida média da população?
> tst<-qt(1-(0.01/2),n-1)
> me<-tst*sqrt(S2)/sqrt(n)
> xbarra+c(-1,1)*me
[1] 787.059 812.941
(b) Com que intervalo dir-se-ia que a vida média é 800 ± 0, 98?
(c) Que tamanho deve ter a amostra para que seja de 95% a confiança
na estimativa 800 ± 7, 84?
(d) Que suposição você fez para responder às questões acima?
14. (Intervalo de Confiança)Os dados abaixo são uma amostra aleatória da
distribuição Bernoulli(p). Obter IC’s a 90% e 99%.
0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1
> x<-c( 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1)
> n<-length(x)
> n
[1] 25
6
>
>
>
>
>
>
# Intervalos conservadores
# 90% de confianca
z<-qnorm(1-(0.1/2))
pchap<-mean(x)
me<-z*sqrt(0.5*(0.5))/sqrt(n)
pchap+c(-1,1)*me
[1] 0.5555146 0.8844854
>
>
>
>
>
# 99% de confianca
z<-qnorm(1-(0.01/2))
pchap<-mean(x)
me<-z*sqrt(0.5*(0.5))/sqrt(n)
pchap+c(-1,1)*me
[1] 0.4624171 0.9775829
>
>
>
>
>
>
# Intervalos otimistas
# 90% de confianca
z<-qnorm(1-(0.1/2))
pchap<-mean(x)
me<-z*sqrt(pchap*(1-pchap))/sqrt(n)
pchap+c(-1,1)*me
[1] 0.5722925 0.8677075
>
>
>
>
>
# 99% de confianca
z<-qnorm(1-(0.01/2))
pchap<-mean(x)
me<-z*sqrt(pchap*(1-pchap))/sqrt(n)
pchap+c(-1,1)*me
[1] 0.4886911 0.9513089
15. (Intervalo de Confiança)Encontre o intervalo de confiança de 95% para a
média de uma distribuição Normal com variância 1 dada a amostra abaixo:
9.5 10.8 9.3 10.7 10.9 10.5 10.7 9.0 11.0 8.4
10.9 9.8 11.4 10.6 9.2 9.7 8.3 10.8 9.8 9.0
>
>
>
>
sigma2<-1
x<-c(9.5, 10.8,
n<-length(x)
n
9.3 ,10.7, 10.9, 10.5 ,10.7,
[1] 20
7
9.0 ,11.0,
8.4,
10.9,
9.8 ,11.4 ,10
> xbarra<-mean(x)
> xbarra
[1] 10.015
> z<-qnorm(1-(0.05/2))
> z
[1] 1.959964
> me<-z*sqrt(sigma2)/sqrt(n)
> me
[1] 0.4382613
> xbarra+c(-1,1)*me
[1]
9.576739 10.453261
16. (Intervalo de Confiança/ Teste de Hipóteses) Dez observações do tempo
efetivo de vida de um catalisador usado em reações quı́micas produziram os
resultados: 1176, 1191, 1214, 1220, 1205, 1192, 1201, 1190, 1183 e 1185 .
Supondo que estes tempos sigam a distribuição normal, construa um intervalo de 95% de confiança para o tempo médio de vida e teste a hipótese
de que este tempo é superior a 1200.
> x<-c(1176,1191,1214,1220,1205,1192,1201,1190,1183,1185)
> n<-length(x)
> n
[1] 10
> xbarra<-mean(x)
> xbarra
[1] 1195.7
> S2<-var(x)
> S2
[1] 196.9
> S<-sqrt(S2)
> S
[1] 14.03211
> tst<-qt(1-(0.05/2),n-1)
> me<-tst*S/sqrt(n)
> me
8
[1] 10.03796
> xbarra+c(-1,1)*me
[1] 1185.662 1205.738
17. Um pesquisador está estudando a resistência de um determinado material
sob eterminadas condições. Ele sabe que essa variável é normalmente
distribuı́da com desvio padrão de duas unidades.
> sigma<-2
(a) Utilizando os valores 4,9; 7,0; 8,1; 4,5; 5,6; 6,8; 7,2; 5,7; 6,2 unidades,
obtidos de uma amostra de tamanho 9, determine o intervalo de
confiança para a resistência média com um coeficiente de confiança
1 − α = 0, 90.
> x<-c(4.9, 7.0, 8.1, 4.5, 5.6, 6.8, 7.2, 5.7, 6.2)
> n<-length(x)
> n
[1] 9
> z<-qnorm(1-(0.1/2))
> z
[1] 1.644854
> me<-z*sigma/sqrt(n)
> me
[1] 1.096569
> xbarra<-mean(x)
> xbarra
[1] 6.222222
> xbarra+c(-1,1)*me
[1] 5.125653 7.318791
(b) Suponha que no item(a) não fosse conhecido o desvio padrão. Como
você procederia para determinar o intervalo e confiança, e que suposições você faria para isso?
> # Utilizaç~
ao da t de Student
> S<-sqrt(var(x))
> S
[1] 1.161656
> tst<-qt(1-(0.1/2),n-1)
> tst
[1] 1.859548
9
> me<-tst*S/sqrt(n)
> me
[1] 0.7200517
> xbarra<-mean(x)
> xbarra
[1] 6.222222
> xbarra+c(-1,1)*me
[1] 5.502171 6.942274
A suposição que deve ser feita é a de que os dados foram amostrados
da distribuição normal
18. Antes de uma eleição em que existiam dois candidatos, A e B, foi feita
uma pesquisa com 400 eleitores escolhidos ao acaso, e verificou-se que
208 deles pretendiam votar no candidato A. Construa um intervalo de
confiança, com coeficiente de confiança 1 − α = 0, 95, para a porcentagem
de eleitores favoráveis ao candidato A na época das eleições.
> n<-400
> n
[1] 400
> pchap<-208/n
> pchap
[1] 0.52
>
>
>
>
z<-qnorm(1-(0.05/2))
# Intervalo conservador
me<-z*(0.5*0.5)/sqrt(n)
pchap+c(-1,1)*me
[1] 0.4955005 0.5444995
> # Intervalo otimista
> me<-z*(pchap*(1-pchap))/sqrt(n)
> pchap+c(-1,1)*me
[1] 0.4955396 0.5444604
19. Estão sendo estudado dois processos para conservar alimentos, cuja principal variável de interesse é o tempo de duração destes. No processo A, o
tempo X de duração segue a distribuição N (µA , 100), e no processo B o
tempo Y obdece à distrbuição N (µB , 100). Sorteiam-se duas amostras independentes: a com A, com 16 latas, apresentou tempo médio de duração
igual a 50, e a de B, com 25 latas, duração média igual a 60.
(a) Construa um IC para µA e µB , separadamente.
10
>
>
>
>
>
# Para a media da populacao A
sigma2_a<-100
sigma_a<-sqrt(sigma2_a)
na<-16
na
[1] 16
>
>
>
>
xbarra<-50
z<-qnorm(1-(0.05/2))
me<-z*sigma_a/sqrt(na)
xbarra+c(-1,1)*me
[1] 45.10009 54.89991
>
>
>
>
>
# Para a media da populacao B
sigma2_b<-100
sigma_b<-sqrt(sigma2_b)
nb<-25
nb
[1] 25
> me<-z*sigma_b/sqrt(nb)
> ybarra<-60
> ybarra+c(-1,1)*me
[1] 56.08007 63.91993
(b) Para verificar se os dois processos podem ter o mesmo desempenho,
decidiu-se construir um IC para a diferença µA −µB . Caso o zero pertença
ao intervalo, pode-se concluir que existe evidência de igualdade dos processos. Qual seria sua resposta?
>
>
>
>
>
w<-xbarra-ybarra
sigma2_w<-(sigma2_a/na)+(sigma2_b/nb)
z<-qnorm(1-(0.05/2))
me<-z*sqrt(sigma2_w)
w+c(-1,1)*me
[1] -16.274946
-3.725054
20. Nas situações abaixo, escolha como hipótese nula, H0 , aquela que para
você leva a um erro tipo I mais importante. Descreva quais os dois erros
em cada caso.
11
(a) O trabalho de um operador de radar é detectar aeronaves inimigas.Quando surge alguma coisa estranha na tela, ele deve decidir
entre as hipotéses: 1. está começando um ataque; 2. tudo bem,
apenas uma leve interferência.
(b) Num júri, um indivı́duo está sendo julgado por um crime. As hipóteses sujeitas ao júri são: 1. o acusado é inocente; 2. o acusado é
culpado.
(c) Um pesquisador acredita que descobriu uma vacina contra refriado.
Ele irá conduzir uma pesquisa de laboratório para vereficar a veracidade da afirmação. De acordo com o resultado, ele lancará ou não a
vacina no mercado. As hipóteses que pode testar são: 1. a vacina é
eficaz; 2. a vacina não é eficaz.
Nesta questão, o aluno deve escolher como hipótese nula aquela cuja sua
rejeição de forma errada pode trazer as piores consequências.
21. Uma fábrica de automóveis anuncia que seus carros consomem, em média,
11 litros por 100 km, com desvio padrão de 0,8 litros. Uma revista resolve
testar essa afirmação e analisa 35 automóveis dessa marca, obtendo 11,3
litros por 100 km como consumo médio (considerar distribução normal).
O que a revista pode concluir sobre o anúncio da fábrica, no nı́vel de 10%?
>
>
>
>
# H0: media = 11
mediaH0<-11
sigma<-0.8
sigma
[1] 0.8
> n<-35
> n
[1] 35
> ep<-sigma/sqrt(n)
> xbarra<-11.3
> xbarra
[1] 11.3
>
>
>
>
# construcao de uma regiao critica para H0 supondo H1: media>11
# valores acima de
xcrit<-qnorm(0.9,mediaH0,ep)
xcrit
[1] 11.17330
> decisao<-ifelse(xbarra>xcrit,print('rejeita H0'),print('nao rejeita H0'))
12
[1] "rejeita H0"
>
>
>
>
# construcao de uma regiao critica para H0 supondo H1: media<11
# valores abaixo de
xcrit<-qnorm(0.1,mediaH0,ep)
xcrit
[1] 10.82670
> decisao<-ifelse(xbarra<xcrit,print('rejeita H0'),print('nao rejeita H0'))
[1] "nao rejeita H0"
> # construcao de uma regiao critica para H0 supondo H1: media diferente de 11
> # valores acima de
> qnorm(0.95,mediaH0,ep)
[1] 11.22242
> # valores abaixo de
> qnorm(0.05,mediaH0,ep)
[1] 10.77758
para a hipótese bilateral H1 : µ 6= 11 a região crı́tica é formada pela união
dos intervalos (−∞, 10.7776)∪(11.2224, ∞). Como o valor observado para
X̄(11,3) está incluı́do neste intervalo de valores pouco prováveis , neste
caso rejeita-se H0 .
22. Duas máquinas, A e B, são usadas para empacotar pó de café. A experiência passada garante que o desvio padrão para ambas é de 10 g. Porém,
suspeita-se que elas têm médias diferentes. Para verificar, sortearam-se
duas amostras: uma com 25 pacotes da máquina A e outra com 16 pacotes da máquina B. As médias foram, respectivamente, x̄A = 502, 74g e
x̄B = 496, 60g. Com esses números, e com o nı́vel de 5%, qual seria a
coclusão do teste H0 : µA = µB ?
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
nA<-25
nB<-16
xbarraA<-502.74
xbarraB<-496.60
sigmaA=10
sigmaB=sigmaA
w<-xbarraA-xbarraB
sigma2_w<-(sigmaA^2)/nA+(sigmaB^2)/nB
sigma_w<-sqrt(sigma2_w)
z<-qnorm(1-(0.05/2))
me<-z*sigma_w
w+c(-1,1)*me
13
[1] -0.1349464 12.4149464
O fato do valor zero estar no interior do intervalo de confiança faz com
que a hipótese H0 não seja rejeitada, com nı́vel de 5 % de significância e
admitindo que a alternativa H1 é bilateral
23. Uma fábrica de embalagens para produtos quı́micos está estudando dois
processos para combater a corrosão de suas latas especiais. Para verificar
o efeito dos tratamentos, foram usadas amostras cujos resultados estão
no quadro abaixo (em porcentagem de corrosão eliminada). Qual seria a
conclusão sobre os dois tratamentos ?
Método
A
B
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
Amostra
15
12
Média
48
52
Desvio Padrão
10
15
nA<-15
nB<-12
xbarra<-48
ybarra<-52
SA<-10
SB<-15
w<-xbarra-ybarra
S2w<-(SA^2)/nA+(SB^2)/nB
tst<-qt(1-(0.05/2),nA+nB-2)
me<-tst*sqrt(S2w)
# Intervalo de 95% de confianca
w+c(-1,1)*me
[1] -14.383152
6.383152
como o intervalo de confiança inclui o valor 0(zero), com base nestas
amostras não há evidências para rejeitar a hipótese de igualdade entre
os tratamentos
24. Para investigar a influência da opção profissional sobre o salário incial
de recém-formados, investigaram-se dois grupos de profissionais: um de
liberais em geral e outro de formandos em Administração de Empresas.
Com os resultados abaixo, expressos em salários mı́nimos, quais seriam
suas conclusões?
Liberais
Administradores
>
>
>
>
6,6
8,1
10,3
9,8
10,8
8,7
12,9
10,0
9,2
10,2
x<-c(6.6,10.3,10.8,12.9,9.2,12.3,7)
y<-c(8.1,9.8,8.7,10,10.2,8.2,8.7,10.1)
nx<-length(x)
nx
14
12,3
8,2
7,0
8,7
10,1
[1] 7
> ny<-length(y)
> ny
[1] 8
> S2x<-var(x)
> S2x
[1] 5.919048
> S2y<-var(y)
> S2y
[1] 0.7878571
> xbarra<-mean(x)
> xbarra
[1] 9.871429
> ybarra<-mean(y)
> ybarra
[1] 9.225
> w<-xbarra-ybarra
> w
[1] 0.6464286
> S2w<-(S2x/nx)+(S2y/ny)
> S2w
[1] 0.9440604
> tst<-qt(1-(0.05/2),nx+ny-2)
> tst
[1] 2.160369
> me<-tst*sqrt(S2w)
> me
[1] 2.099074
> w+c(-1,1)*me
[1] -1.452645
2.745503
15
há 95% de confiança de que a verdadeira diferença entre as médias (µx −
µy ) esteja neste intervalo que inclui o valor zero. Deste modo, com base
nesta amostra, ainda não há evidência para dizer que os salários médios
dos profissionais liberais e administradores sejam diferentes.
25. Num levantamento feito com os operários da indústria mecânica, chegouse aos seguintes números: salário médio = 3,64 salários mı́nimos e desvio
padrão = 0,85 salário mı́nimo. Supeita-se que os salários de subclasse
formada pelos torneiros mecânicos são diferentes dos sálarios do conjunto
todo, tanto na média como na variância. Que conclusões você obteria
se uma amostra de 25 torneiros apresentasse salário médio igual a 4,22
salários mı́nimos e desvio padrão igual a 1,25 salário mı́nimo?
> # Intervalo de confianca para a media
> sigma<-0.85
> sigma
[1] 0.85
> n<-25
> xbarra<-4.22
> xbarra
[1] 4.22
> z<-qnorm(1-(0.05/2))
> me<-z*sigma/sqrt(n)
> xbarra+c(-1,1)*me
[1] 3.886806 4.553194
com base nesta amostra há evidencias para rejeitar que o salário médio é
diferente de 3,64 pois este não pertence ao intervalo de 95% de confiança
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
# Intervalo de confianca para a varianca
S<-1.25
S2<-S^2
n<-25
q.sup<-qchisq(1-(0.05/2),n-1)
q.inf<-qchisq(0.05/2,n-1)
lim.inf<-(n-1)*S2/q.sup
lim.sup<-(n-1)*S2/q.inf
# o intervalo e dado por
c(lim.inf,lim.sup)
[1] 0.9526452 3.0239131
16
com base nesta amostra há evidencias para rejeitar que a variância do
salario é diferente de 0, 852 = 0, 7225 pois este não pertence ao intervalo
de 95% de confiança
26. Uma amostra de 100 trabalhadores de uma fábrica grande demora, em
média, 12 minutos para completar uma tarefa, com um desvio padrão de
dois minutos. Uma amostra de 50 trabalhadores de uma outra fábrica
demora, em média, 11 minutos para completar a mesma tafera, com desvio
padrão igual a três minutos.
>
>
>
>
>
>
>
>
# Primeira amostra
nx<-100
xbarra<-12
Sx<-2
# Segunda amostra
ny<-50
ybarra<-11
Sy<-3
(a) Construa um IC de 95% para a diferença entre as duas médias populacionais.
>
>
>
>
>
w<-xbarra-ybarra
Sw<-sqrt((Sx^2)/nx+(Sy^2)/ny)
tst<-qt(1-(0.05/2),nx+ny-2)
me<-tst*Sw
w+c(-1,1)*Sw
[1] 0.5309584 1.4690416
(b) Deixe bem claro quais as suposições feitas para a solução apresentada.
a suposição é de que o tempo para completar a tarefa é uma variável
normalmente distribuı́da e as variâncias populacionais são diferentes
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