GGM00161- 04/11/2010
Turma M2
Conceitos Primitivos :
- ponto
- reta
- plano
Postulados ou axiomas:
-
Por dois pontos distintos passa uma e somente uma reta
Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles.
Se uma reta tem dois pontos distintos em um plano, então ela está contida
no plano.
Posições relativas entre duas retas no espaço:
Duas retas r e s são :
concorrentes se, e somente se, elas tem um ponto em comum.
paralelas se são coplanares e não tem ponto em comum.
Reversas se não são coplanares, ou seja, não existe plano que contenha as
duas retas.
Posições relativas entre duas retas no espaço:
Duas retas r e s são :
concorrentes se, e somente se, elas tem um ponto em comum.
paralelas se são coplanares e não tem ponto em comum.
Reversas se não são coplanares, ou seja, não existe plano que contenha as
duas retas.
Exemplo:
Quantos são os planos determinados por quatro pontos distintos dois a dois?
Posições relativas entre duas retas no espaço:
Duas retas r e s são :
concorrentes se, e somente se, elas tem um ponto em comum.
paralelas se são coplanares e não tem ponto em comum.
Reversas se não são coplanares, ou seja, não existe plano que contenha as
duas retas.
Exemplo:
Quantos são os planos determinados por quatro pontos distintos dois a dois?
1) Quatro, se os quatros pontos A,B,C e D são distintos.
Posições relativas entre duas retas no espaço:
Duas retas r e s são :
concorrentes se, e somente se, elas tem um ponto em comum.
paralelas se são coplanares e não tem ponto em comum.
Reversas se não são coplanares, ou seja, não existe plano que contenha as
duas retas.
Exemplo:
Quantos são os planos determinados por quatro pontos distintos dois a dois?
1) Quatro, se os quatros pontos A,B,C e D são distintos.
Posições relativas entre duas retas no espaço:
Duas retas r e s são :
concorrentes se, e somente se, elas tem um ponto em comum.
paralelas se são coplanares e não tem ponto em comum.
Reversas se não são coplanares, ou seja, não existe plano que contenha as
duas retas.
Exemplo:
Quantos são os planos determinados por quatro pontos distintos dois a dois?
1) Quatro, se os quatros pontos A,B,C e D são distintos.
2) Um, se os quatro pontos estão sobre o mesmo plano.
Posições relativas entre duas retas no espaço:
Duas retas r e s são :
concorrentes se, e somente se, elas tem um ponto em comum.
paralelas se são coplanares e não tem ponto em comum.
Reversas se não são coplanares, ou seja, não existe plano que contenha as
duas retas.
Exemplo:
Quantos são os planos determinados por quatro pontos distintos dois a dois?
1) Quatro, se os quatros pontos A,B,C e D são distintos.
2) Um, se os quatro pontos estão sobre o mesmo plano.
3) nenhum. Quando?
Posições relativas entre duas retas no espaço:
Duas retas r e s são :
concorrentes se, e somente se, elas tem um ponto em comum.
paralelas se são coplanares e não tem ponto em comum.
Reversas se não são coplanares, ou seja, não existe plano que contenha as
duas retas.
Exemplo:
Quantos são os planos determinados por quatro pontos distintos dois a dois?
1) Quatro, se os quatros pontos A,B,C e D são distintos.
2) Um, se os quatro pontos estão sobre o mesmo plano.
3) nenhum. Quando?
Exercício:
1) Três retas, duas a duas concorrentes, não passando por um mesmo ponto,
estão contidas no mesmo plano. Mostre!
2) É comum encontrarmos mesas com 4 pernas que, mesmo que apoiadas em
um plano, balançam e nos obrigam a colocar um calço em uma das pernas,
se a quisermos firme. Explique porque isso não acontece com uma mesa de
três pernas.
Postulados:
-
-
Três pontos não colineares determinam um único plano.
Qualquer que seja o plano, existem infinitos pontos nesse plano e infinitos
fora dele.
Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, então essa reta
está contida no plano.
Formas de determinar um plano:
Dados
1º : três pontos não colineares,
2º : uma reta e um ponto fora dela,
3º : duas retas concorrentes,
4º : duas retas paralelas e distintas.
Teorema 1:
Se uma reta e um ponto são tais que o ponto não pertence à reta, então eles
determinam um único plano que os contém.
Prova:
Existência
a)
Construção
b)
Prova que α é o plano de r e P.
Unicidade
Teorema 1:
Se uma reta e um ponto são tais que o ponto não pertence à reta, então eles
determinam um único plano que os contém.
Prova:
Existência
a)
Construção
b)
Prova que α é o plano de r e P.
Unicidade
Teorema 2:
Se duas retas são concorrentes, então elas determinam um único plano que as
contém.
Prova:
Teorema 2:
Se duas retas são concorrentes, então elas determinam um único plano que as
contém.
Prova:
Existência
a)
Construção
b)
Prova que α é o plano de r e P.
Unicidade
Teorema 3:
Se duas retas são paralelas entre si e distintas, então elas determinam um único
plano que as contém.
Prova:
Existência
a)
Construção
b)
Prova que α é o plano de r e P.
Unicidade
Teorema 3:
Se duas retas são paralelas entre si e distintas, então elas determinam um único
plano que as contém.
Prova:
Existência
a)
Construção
b)
Prova que α é o plano de r e P.
Unicidade
Exemplo:
Quantos planos passam por dois pontos distintos?
Exemplo:
Classifique em Verdadeiro (V) ou Falso (F).
a)
Três pontos distintos determinam um plano ( )
b)
Um ponto e uma reta determinam um único plano ( )
c)
Duas retas distintas paralelas e uma concorrente com as duas determinam
dois planos distintos ( )
d)
Três retas distintas, duas a duas paralelas, determinam um ou três planos( )
e)
Três retas distintas, duas a duas concorrentes, determinam um ou três
planos( )
Exemplo:
Classifique em Verdadeiro (V) ou Falso (F).
d)
Retas Reversas:
Definição: Duas retas são chamadas reversas se, e somente se não existe um
plano que as contenha.
Retas Reversas:
Definição: Duas retas são chamadas reversas se, e somente se não existe um
plano que as contenha.
Dê um exemplo:
Retas Reversas:
Definição: Duas retas são chamadas reversas se, e somente se não existe um
plano que as contenha.
Dê um exemplo:
Exercício:
Faça o desenho de cubo e considere as retas determinadas pelas arestas deste
cubo. Quais retas são reversas?
Quadrilátero Reverso:
Definição: Um quadrilátero é chamado reverso se, e somente se, não existe um
plano contendo seus quatro vértices.
Exercício: Faça uma figura que represente o quadrilátero reverso.
Quadrilátero Reverso:
Definição: Um quadrilátero é chamado reverso se, e somente se, não existe um
plano contendo seus quatro vértices.
Exercício: Faça uma figura que represente o quadrilátero reverso.
Posições relativas de duas retas:
- Dadas duas retas distintas r e s, ou elas são concorrentes, ou paralelas ou
reversas.
- Se as retas são coincidentes (ou iguais), elas são paralelas.
Exemplo:
Classifique em Verdadeiro (V) ou Falso (F).
a)
Duas retas ou são coincidentes ou são distintas( )
b)
Duas retas ou são coplanares ou são reversas ( )
c)
Duas retas distintas determinam um único plano ( )
d)
Duas retas concorrentes tem um ponto em comum ( )
e)
Duas retas que tem um ponto em comum são concorrentes ( )
f)
Duas retas concorrentes são coplanares ( )
g)
Duas retas coplanares são concorrentes ( )
Exemplo:
Classifique em Verdadeiro (V) ou Falso (F).
a)
Duas retas distintas não paralelas são reversas ( )
b)
Duas retas que não tem ponto em comum são paralelas ( )
c)
Duas retas que não tem ponto em comum são reversas( )
d)
Duas retas coplanares ou são paralelas ou são concorrentes ( )
e)
Duas retas não coplanares são reversas ( )
Postulado da Interseção:
Se dois plano distintos têm um ponto em comum, então eles têm pelo menos
um outro ponto em comum.
Teorema da Interseção:
Se dois planos distintos tem um ponto em comum, então a interseção desses
planos é uma única reta que passa por aquele ponto.
Exercício:
Veja a demonstração do livro Fundamentos de Matemática Elementar- volume
10 – Oswaldo Dolce e José Nicolau Pompeo
Planos Secantes:
Definição: Dois planos distintos que se interceptam são chamados de planos
secantes ( ou concorrentes). A reta comum é a interseção desses
planos ou o traço de uma deles no outro.
Observação:
1)
Para obter a interseção de dois planos distintos, basta obter dois pontos
distintos comum a esses planos;
2)
Para provar que três pontos ou mais do espaço são colineares, basta provar
que eles pertencem a dois planos distintos.
Lista:
Fazer exercícios do livro Fundamentos de Matemática Elementar- volume
10 – Oswaldo Dolce e José Nicolau Pompeo