Universidade Federal do Rio de Janeiro
Centro de Ciências Matemáticas e da Natureza
INSTITUTO DE MATEMÁTICA
VI Regional da SBM
Universidade Federal de Viçosa
Abril de 2004
P
M
dobra
Cônicas:
Das dobraduras ao
Computador
F
reta vertical
Angela Rocha dos Santos
Algumas construções das Cônicas
1) Parábola
a) Com régua e barbante - Método de Kepler
Definição da parábola
Como o barbante tem o mesmo comprimento da régua, a construção acima permite deduzir
a propriedade geométrica que caracteriza a parábola.
Parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano tais que a distância a um ponto fixo (F
no desenho), dito foco, é igual a distância a uma reta fixa (a mesa, na construção acima),
dita diretriz.
Podemos simular a construção acima no computador, seguindo os seguintes passos:
i) Comece traçando uma reta (esconda os pontos que a definem). Na simulação,
esta reta estará representando a mesa e um ponto fora da reta, que será o foco da
parábola.
ii) Escolha um ponto sobre a reta. Para isso, no sketchpad, selecione a reta e no
menu CONSTRUCT escolha point on object.
iii) Trace, por este ponto, uma perpendicular a reta traçada em (i). Para isso, no
sketchpad, selecione a reta e o ponto e, no menu CONSTRUCT, escolha
perpendicular line. Esta reta estará representando a régua que se desloca sobre a
mesa.
iv) Para determinar o lugar da caneta, isto é, o ponto da régua que pertence à
parábola, construa o segmento que une o ponto móvel sobre a reta ao foco. Para
isso, no sketchpad, selecione os dois pontos e no menu CONSTRUCT escolha
segment. Determine a mediatriz deste segmento. Para isso, no sketchpad,
selecione o segmento e no menu CONSTRUCT escolha point at midpoint e, a
seguir, selecione o ponto e o segmento e no menu CONSTRUCT escolha
perpendicular line.
v) O ponto de interseção da mediatriz construída em (iv) com a reta que representa
a régua é o ponto sobre a parábola. Para construir este ponto, selecione as duas
retas e no menu CONSTRUCT escolha point at intersection.
vi) Para obter a parábola, selecione o ponto construído em (v) e no menu DISPLAY
escolha trace line. A seguir mova o ponto sobre a reta. Esta construçao marca o
rastro do ponto e se desfaz ao próximo clique do mouse.
vii) Para obter, realmente, a curva , selecione o ponto sobre a régua, o ponto sobre a
mesa e a reta que representa a mesa. A seguir, no menu CONSTRUCT, escolha
locus.
viii) Para obter uma animação automática, selecione, nesta ordem, o ponto sobre
a curva, o ponto móvel sobre a reta e a reta e, com estes pontos selecionados, no
menu EDIT, escolha ACTION BUTTON e, a seguir, ANIMATION. Dê OK na
caixa de diálogo que aparece. Para animar dê dois cliques no botão Animation
que aparece na tela.
Observação: Para selecionar mais de um objeto, mantenha a tecla SHIFT, do teclado,
pressionada enquanto faz as múltiplas seleções. Para mudar a cor dos objetos no menu
DISPLAY selecione COLOR e, então, a cor escolhida. Para mudar o tipo de traço, no menu
DISPLAY, escolha LINE STYLE e a seguir, o tipo de taço desejado (THICK = grosso,
THIN = fino, DASHED = tracejado). Para esconder objetos, selecione-os e no menu
DISPLAY selecione HIDE ....Para criar botões de aparecer e esconder, selecione os objetos
e no menu EDIT escolha ACTION BUTTON e, a seguir, HIDE/SHOW. Os botões
correspondentes a estas ações aparecerão na tela.
Simetria : Uma parábola com foco F e diretriz r é simétrica em relação à reta s que,
passando por F, é perpendicular a r.
Prove a afirmação anterior, mostrando que, se P' é a imagem espelhada de P, em relação à
reta s, então FP' = P'Q' . Conclua, daí, que P' pertence à parábola dada. (Veja o desenho
abaixo).
A reta s é chamada eixo de simetria ou simplesmente eixo da parábola. O vértice da
parábola é definido como sendo o ponto V onde a parábola corta o seu eixo. Se F ' é a
projeção ortogonal do foco de uma parábola sobre a sua diretriz, observe que o seu vértice
é o ponto médio entre F e F '. (Por quê?)
b) Construção por dobraduras: Método de Van Schooten (aquele holandês que
construía aparelhos para traçar cônicas).
i) Desenhe uma reta, horizontalmente numa folha de papel e marque, fora dessa
reta, um ponto fixo F.
ii) Selecione um ponto D sobre a reta, e dobre o papel de forma a fazer coincidir os
pontos D e F. Trace sobre o papel a reta que coincide com a dobra. A figura
abaixo, ilustra a construção de uma dobra.
iii) Repita essa operação para diferentes escolhas do ponto D. Quando você a tiver
realizado esta operação um número suficiente de vezes, poderá observar que as
dobras parecem tangenciar uma curva. Esta curva parece uma parábola. Os
passos da simulação no computador, permitem provar que a curva é realmente
uma parábola.
R
F
dobra
Q
diretriz
Simulação no computador:
i) Contrua uma reta. Esconda os pontos que a definem.
ii) Contrua um ponto D sobre a reta.
iii) Construa um ponto F fora da reta.
iv) Contrua o segmento DF e o seu ponto médio M.
v) Construa a reta perpendicular ao segmento DF que passa por M.
vi) Selecione a perpendicular e no menu DISPLAY escolha TRACE LINE.
vii) Anime o ponto D sobre a reta. Esta construçao se desfaz ao clique do mouse.
dobra
F
M
D
reta horizontal
viii)
Para obter a curva, precisamos determinar o ponto P, sobre a tangente, que
pertence à curva. Este ponto é determinado pela interseção da dobra (tangente)
com a perpendicular à reta diretriz que passa por D. Construa este ponto e para
comprovar esta conjectura faça este ponto deixar rastro. Para isso, selecione o
ponto e no menu DISPLAY escolha TRACE POINT. Anime o ponto D sobre a
reta.
ix) Prove que a curva é uma parábola mostrando que os triângulos PDM e PMF são
congruentes.
Nosso experimento dobrando papel ilustra uma outra propriedade importante das parábolas.
A reta formada por cada uma das dobras é tangente à parábola. Como a reta RQ foi obtida
superpondo-se o ponto D sobre o ponto F, os ângulos FPQ e DPQ são iguais. Os ângulos
DPQ e EPR são opostos pelo vértice e, portanto, são congruentes. Dessa maneira,
concluímos que os ângulos EPR e FPQ têm a mesma medida.
E
R
F
P
dobra
D
Q
diretriz
Se imaginarmos a parábola como um espelho, qualquer raio de luz que viaje ao longo da
reta EP, ao bater no espelho, será refletido na direção de PF, como mostra a figura. De um
modo geral, os raios de luz paralelos ao eixo de simetria da parábola são por ela refletidos
de tal maneira que o raio refletido passa pelo seu foco. Reciprocamente, raios de luz que
partem do foco de uma parábola são por ela refletidos paralelamente ao seu eixo de
simetria.
Equação da Parábola :
Para determinar a equação cartesiana da parábola, vamos escolher um conveniente sistema
de coordenadas. Façamos o eixo y passar pelo ponto F e escolhamos a origem como o
ponto médio entre F e o pé da perpendicular à reta horizontal, passando por F. Veja a
figura.
Dessa maneira, o ponto F tem coordenadas (0, p) e a reta horizontal tem equação y = − p,
para algum número positivo p. Considere um ponto P de coordenadas (x,y) sobre a curva.
Dessa maneira, o ponto D, pé da perpendicular à reta horizontal passando por P, tem
coordenadas (x, -p). Assim, pela definição de parábola, os segmentos PF e PD são
congruentes, isto é, têm a mesma medida..
Usando a fórmula da distância entre dois pontos e lembrando que as coordenadas dos
pontos P, F e D são, respectivamente, (x,y), (0,p) e (x, -p), esta última afirmação resulta na
equação
x 2 + ( y − p ) 2 = ( y + p )2
x2
Simplificando esta equação, obtemos y =
4p
Assim, se o foco de uma parábola é colocado sobre o eixo y e se a diretriz r é paralela ao
eixo x e localizada a p unidades abaixo dele, a parábola resultante se representa como na
x2
. De um modo geral, toda equação da forma
4p
y = a ( x − h )2 + k ou x = a ( y − k ) 2 + k descreve uma parábola.
figura e sua equação é dada por y =
Mostre que a parábola de foco em (h, k+p) e tendo como diretriz a reta y = k -p tem como
equação y =
(x − h )2
+ k . Sugestão: Observe o desenho e use o fato que PF = PD.
4p
Qual é o foco e a diretriz da parábola
de equação x = a ( y − k ) 2 + k ?
c) Outra construção: utilizando uma reta e uma circunferência
i) Construa uma reta. (Esconda os pontos que a determina.)
ii) Construa uma circunferência , c. Chame o seu centro de D.
iii) Construa um ponto E, sobre a circunferência.
iv) Construa o raio DE.
v) Construa o ponto I, determinado pela interseção da reta com o raio DE.
vi) Construa a reta p, perpendicular ao raio DE e que passa por I.
vii) Faça com que a perpendicular deixe rastro. Para isso, selecione a perpendicular
e no menu DISPLAY, escolha TRACE LINE.
viii) Anime o ponto E sobre a circunferência c.
ix) Prove que a curva é realmente uma parábola.
D
A
E
B
C
Para provar isto é preciso, primeiro, determinar a diretriz e o ponto sobre a tangente que
pertence a parábola. A diretriz é fácil. Construa o ponto C', simétrico de C, em relaçlão à
reta AB. A seguir construa a paralela à AB, passando por C' . Esta reta é a diretriz da
parábola. O ponto sobre à parábola é determinado pela interseção da perpendicular à reta
AB, que passa pela interseção da diretriz com a semi-reta CD. Veja a figura.
D
G
A
B
Para provar que a curva é uma parábola, basta observar que os triângulos GPE e PEC são
congruentes. De fato, lado comum, ângulo reto e CE congruente a EG pois os triângulos
hachurados são congruentes (3 ângulos congruentes e os lados CV e GG' congruentes).
Para quem tem sketchpad, estas construções podem ser encontradas nos arquivos:
PARAB1.GSP, PARB2.GSP e PARAB3.GSP.
2) Elipse
a) Construção com barbante, lápis e percevejo.
Marque sobre o papel duas retas perpendiculares com interseção mais ou menos no centro
da folha. Estas retas determinam, sobre a folha de papel um sistema de coordenadas
cartesianas com origem no ponto de interseção das mesmas. Posicione os percevejos sobre
a reta horizontal, afastando-os mais ou menos 3 cm da origem, em direções opostas. Use os
pecervejos para prender o papel na madeira. Amarre o barbante nos percevejos deixando
mais ou menos 15 cm entre os nós. Se um lápis for inserido no laço de corda assim
construído e for deslocado de um lado para outro de modo a manter o fio sempre esticado,
uma curva fechada será desenhada no papel. A ilustração abaixo mostra esta construção.
Os percevejos estão localizados nos pontos F[1] e F[2].
Definição:
A partir desta construção, é fácil ver que a elipse pode ser definida como o lugar
geométrico dos pontos P, do plano, cuja soma das distâncias a dois pontos fixos F[1] e F[2]
é constante. Os pontos fixos são chamados pontos focais ou focos da elipse. O ponto médio
do segmento de reta F[1]F[2] é chamado centro da elipse. A distância entre os pontos
focais é designada, em geral, por 2 c e a distância fixa PF[1]+PF[2], por 2a.
Qual a equação da curva traçada no papel?
Para responder a esta pergunta com segurança, vamos obter a equação desta curva. Para
isto, vamos usar o sistema de coordenadas definido pelas retas perpendiculares. Se você
seguiu corretamente as instruções dadas para o traçar a curva, os percevejos devem estar
localizados no eixo x e a igual distância da origem. Assim, os pontos F1 e F2 têm,
respectivamente, coordenadas (-c,0) e (c,0), para algum número c positivo.
Como a curva foi construída mantendo-se sempre o barbante esticado, se o comprimento do
barbante entre os nós é 2a e P = (x,y) é um ponto qualquer da curva, podemos concluir,
imediatamente, que a soma das distâncias entre o ponto P e os dois pontos fixos, onde estão
localizados os percevejos, é constante e igual a 2a, isto é PF1 + PF2 = 2a.
(a) Use a condição acima e a fórmula de distância entre dois pontos do plano para mostrar
que x e y devem satisfazer à equação
( x + c ) 2 + y2 + ( x − c )2 + y2 = 2 a
(b) Mostre que a equação obtida no item anterior pode ser reduzida a
( a 2 − c2 ) x 2 + a 2 y2 = a 2 ( a 2 − c2 )
(c) Observando o gráfico acima, prove que a condição c < a é necessária para garantir a
existência da curva.
2
2
A condição c < a implica que a − c > 0 e, dividindo-se ambos os termos da equação
2
2
2
obtida no item (b) por a ( a − c ) obtemos
x2
y2
+
=1
a2 a2 − c2
que é a equação da elipse traçada.
Se denotarmos o número a 2 − c2 por b2 obtemos a equação da elipse na sua forma padrão
x2
a2
+
y2
b2
=1
e, além disso, toda equação desta forma descreve uma elipse de acordo com a nossa nova
definição geométrica.
A elipse aparece naturalmente na natureza. Em 1609, o astrônomo alemão Johann Kepler,
após coletar dados referentes a treze anos de observações relativas aos movimentos do
planeta Marte, estabeleceu que cada planeta se move sobre uma elipse com o sol em um
dos focos.
Simetrias:
Usando somente a definição geométrica, ao invés da sua equação, é fácil provar que a
elipse é simétrica em relação à reta que passa pelos focos. Para isso, precisamos mostrar
que se P é um ponto qualquer da elipse, sua imagem espelhada em relação a reta que passa
por F1 e F2 , que designaremos por P', também pertence à elipse. Veja a figura.
Como a reta que passa pelos focos é
mediatriz do segmento PP' (por quê?),
usando congruência de triângulos, podemos
concluir que os segmentos PF1 e P' F1 têm
a mesma medida. A mesma conclusão vale
para os segmentos PF2 e P' F2 . Como P
pertence à elipse temos que PF1 + PF2 = 2a
logo P' F1 + P' F2 = 2a e daí, usando a
defiinição geométrica de elipse, concluímos
que o ponto P' também pertence à elipse.
Uma elipse também é simétrica em relação à mediatriz do segmento de reta que passa pelos
seus focos.
Observe o desenho ao lado e prove essa
afirmação. (Use congruência de triângulos e
a definição geométrica de elipse).
Tornando a usar congruência de triângulos,
podemos provar, também, que se uma curva
é simétrica em relação a duas retas
perpendiculares, é simétrica em relação ao
seu ponto de interseção. Observe o desenho
abaixo
Neste desenho as retas r e s são
perpendiculares, o ponto P' é a imagem
espelhada de P em relação à reta r e P'' é a
imagem espelhada de P' em relação à reta s.
Para provar a afirmação anterior basta
mostrar que os segmentos OP e OP' são
congruentes, que é equivalente a mostrar que
P'' é a imagem espelhada de P em relação ao
ponto O, interseção das retas dadas.
Demontre a afirmação anterior e use-a para
concluir que uma elipse é simétrica em
relação ao seu centro.
3) Mostre que a equação de uma elipse com centro no ponto (h,k) e focos F1 = ( h − c, k )
( x − h )2 ( y − k )2
2
2
2
e F2 = ( h + c, k ) é dada por
+
= 1 , onde b = a − c . Sugestão:
2
2
a
b
Use a fórmula da distância entre dois pontos do plano e o fato que P F1 + P F2 = 2 a .
Repare que, neste caso, os focos da elipse que são equidistantes do seu centro estão
localizados sobre a reta y = k, que é paralela ao eixo x.
4) Deduza a equação da elipse cujo centro está localizado no ponto de coordenadas (h,k) e
focos nos pontos (h,k-c) e (h,k+c). Neste caso, os focos da elipse estão sobre a reta x =
h, paralela ao eixo y.
Os quatro pontos onde uma elipse corta os seus dois eixos de simetria são chamados
vértices da elipse. O segmento de reta entre os dois vértices que contém os dois focos
chama-se eixo maior da elipse, enquanto que o segmento de reta entre os dois vértices
restantes chama-se eixo menor.
Numa elipse, os números a, b e c representam, respectivamente, o comprimento do semieixo maior, do semi-eixo menor e da semi-distância focal. (Por quê?)
2
2
2
2
2
2
Como b = a − c e c > 0, a última equação mostra que b < a , de forma que b < a ,
ou ainda 2 b < 2 a ou seja, o eixo maior de uma elipse é sempre mais longo que o seu eixo
menor e os focos estão localizados a c unidades de cada um dos lados do centro, ao longo
do seu eixo maior.
.
a) Construção por dobraduras: Método de Van Schooten
Para esta atividade você necessitará de papel manteiga, tesoura e compasso. Marque um
ponto C mais ou menos no centro da folha de papel. Com o auxílio do compasso, desenhe
uma circunferência de pelo menos 16 cm de raio, com centro em C e, a seguir, recorte a
circunferência que você desenhou. Marque outro ponto qualquer dentro do círculo. Vamos
chamar este ponto de F. Escolha um ponto D sobre a circunferência e dobre o círculo de tal
maneira que o ponto D coincida com o ponto F, como mostra a figura ao lado. Tenha
certeza de que a dobra seja bem marcada no papel e, então, desdobre o papel.
Repita essa operação para diferentes escolhas do ponto D. Quando você tiver realizado esta
operação um grande número de vezes, poderá observar que as dobras parecem tangenciar
uma curva. Esta curva parece uma elipse. (Veja a figura.) Será que é mesmo uma elipse?
Cada dobra foi obtida dobrando-se o papel de forma a fazer o ponto D coincidir com o
ponto F. Tendo este fato em e usando-se congruência de triângulos é fácil concluir que
a dobra assim obtida é a mediatriz do segmento de reta determinado pelos pontos F e D,
como a figura ao lado ilustra.
D
A
B
F
C
Como a reta BA é a mediatriz do segmento de reta FD, os triângulos FBA e DAB são
congruentes. De fato, estes triângulos são retângulos em A, têm o lado comum BA e,
além disso, FA = AD. Para provar que a curva traçada é de fato é uma elipse,
precisamos mostrar que a soma CB + BF é constante. Repare que BF = BD, pois os
triângulos FBA e DAB são congruentes. Assim, CB + BF = CB + BD = CD o que
prova que B está sobre uma elipse de focos em C e F, pois CD é o raio da
circunferência que é constante, qualquer que seja o ponto D da circunferência. Além
disso, para outro ponto qualquer T, sobre a dobra RS temos que TC +TF = TC + TD >
CD (pois o lado CD do triângulo CTD é menor do que a soma dos outros dois). Assim,
T não está na elipse. Veja a figura.
D
A
F
B
C
Isto é, o único ponto da dobra que pertence à elipse Té B. Este fato prova também que a
dobra RS é realmente tangente à elipse em B e explica porque as dobras envolvem a
elipse. Repare aind a que o comprimento do eixo maior desta elipse (2a) é igual ao raio
da circunferência.
Além disso, como os ângulos FBA e ABD são congruentes e os ângulos ABD e CBR,
opostos pelo vértice, esta construção nos permite concluir também que os ângulos CBR
e FBA são congruentes. Se você imaginar a elipse como um espelho, um raio de luz
viajando na direção CB, toca o espelho em CB e é refletido segundo a reta BF, na
direção de F e vice-versa. Isto é, um raio de luz emitido de um dos focos de uma elipse,
ao bater na curva, é refletido e seguindo o caminho da corda no nosso primeiro
experimento, atingirá o outro foco. Mais ainda, como BC + BF = 2a, todos os raios
emitidos do ponto B, não importa em que direção sigam, chegarão ao mesmo tempo em
F porque eles percorrem distâncias iguais. Esta propriedade de reflexão das elipses é
usada para bombardear pedras nos rins, sem necessidade de cirurgia para extraí-las.
Usando esta propriedade, é possível também construir salas do suspiro, existentes em
muitos museus da Ciência espalhados pelo mundo: uma pessoa que esteja em um dos
focos da elipse ouvirá qualquer som emitido por outra localizada no outro foco, mesmo
que este som seja um sussurro e que as duas pessoas estejam muito afastadas ou de
costas uma para a outra.
R
F
B
C
S
Excentricidade
Vamos construir elipses com várias distâncias entre os focos. Clique aqui para explorar esta
idéia.
Como se altera a forma de uma elipse quando os focos estão mais próximos do seu centro?
Como se altera a forma de uma elipse quando os focos se aproximam dos vértices?
Com que curva se parece a elipse quando os dois focos coincidem com o seu centro?
A atividade anterior nos leva a concluir que a circunferência é um caso especial de elipse.
Também podemos concluir que uma elipse cujos focos estão próximos dos vértices ´tem
uma forma muito "achatada" ou "alongada" enquanto que outra cujos focos estão próximos
do centro é mais "redondinha". O grau de alongamento de uma elipse é definido pelo que
chamamos de excentricidade da elipse. A excentricidade de uma elipse é denotada por e,
c
podendo ser calculada pela razão
.
a
Qual deve ser a excentricidade de uma circunferência?
Explique por que a excentricidade de uma elipse muito achatada deve estar próxima de 1. É
possível esta excentricidade ser igual a 1? Conclua que para qualquer elipse temos que 0 ≤
e < 1.
b) Outra construção: utilizando circunferências concêntricas
i) Escolha dois pontos sobre o papel C1 e C2. Tendo C1 como centro, trace
circunferências concêntricas com raios variando de uma unidade. Por exemplo,
trace circunferências concêntricas de raios 1, 2, 3, ...... 15 cm. Faça o mesmo
com o ponto C2.
ii) Agora vamos marcar pontos de interseção das circunferências da seguinte
maneira:
(1) Escolha um número menor do que 15, por exemplo 12.
(2) Marque o ponto de interseção da circunferência de centro em C1 e raio um
com a circunferência de centro em C2 e raio 11. (Repare que a soma dois
raios deve ser constante e igual ao número que você escolheu. Continue
assim, escolhendo raios que somem sempre o número escolhido.
iii) Trace a curva unindo os pontos marcados.
iv) Prove que esta curva é uma elipse. (Isto é fácil de provar!)
Simulando esta construção no computador
a)
b)
c)
d)
Marque um segmento de reta AB.
Construa um ponto C sobre o segmento.
Construa o segmento AC e o segmento CB.
Construa dois pontos F1 e F2 fora e do mesmo lado do segmento AB de tal maneira
que a distância entre F1 e F2 seja menor que o comprimento do segmento AB.
e)
f)
g)
h)
Construa a circunferência de centro F1 e raio AC.
Construa a circunferência de centro em C2 e raio CB.
Marque os pontos de interseção E e H, das duas circunferências.
Para marcar o rastro dos pontos E e H, com os pontos selecionados, no menu
escolha DISPLAY, e, a seguir, TRACE POINTS.
i) Anime o ponto C sobre o segmento AB.
P1
D
E
Esta construção se desfaz ao clicar o mouse.P2 Para torná-la permanente é preciso construir o
lugar geométrico. Para isso, selecione, um de cada vez, os pontos de interseção das
circunferências, o ponto C e o segmento AB. No menu, escolha CONSTRUCT e, a seguir,
LOCUS. A curva será construída. Para animar automaticamente, selecione o ponto C e o
segmento AB e no menu EDIT, selecione ACTION BUTTON e, a seguir, ANIMATION.
Dê ok na caixas de diálogo. Para animar, dê um duplo clique no botão sobre a tela.
3) Hipérbole
Motivação: Reconhecendo a curva
Numa viagem de longo curso, o sistema de rádio navegação, que permite localizar a
posição de um avião ou de um navio, é baseado na transmissão simultânea de um sinal de
rádio por duas estações terrestres localizadas em pontos conhecidos. Estes sinais são
captados pelo computador de bordo da aeronave ou embarcação que converte a diferença
de tempo entre o recebimento dos sinais na diferença entre as distâncias do avião ou navio
até cada uma das estações terrestres. A partir desta informação, é possível localizar a
posição da embarcação.Vamos entender como isto é possível?
Suponha que um transmissor localizado em um aeroporto transmita um sinal
eletromagnético para uma aeronave. Este sinal se propaga com a velocidade da luz, cerca
de 300 metros a cada microsegundo (1 microsegundo = 1/1000000 de segundo). A
aeronave recebe também, um outro sinal transmitido de uma torre localizada a 50 km do
aeroporto. O avião ajusta o seu curso de tal maneira que sempre recebe o sinal transmitido
do aeroporto 100 microsegundos antes do recebimento do sinal transmitido pela torre. Isto
significa que o avião está sempre 30 km (300 metros x 100 microsegundos = 30000 metros
ou 30 km) mais perto do aeroporto do que da torre. O problema que nos interessa é
descobrir que tipo de curva é determinada pela rota do avião. A maneira mais fácil de
resolver este problema é tentar achar uma equação que descreva essa rota.
Para isso, vamos localizar o aeroporto e a torre de controle num sistema de coordenadas
apropriado, como mostrado na figura abaixo. Nesta figura, o aeroporto e a torre equidistam
da origem do sistema e estão localizados no ponto F1 de coordenadas (-c,0) e no ponto
F2 de coordenadas (c,0), respectivamente e o avião num ponto P de coordenadas (x,y). A
distância entre a torre e o aeroporto é, portanto, igual a 2c. Denotando por 2a a diferença
entre as distâncias do avião ao aeroporto e à torre, temos também que
distância ( PF1 ) − distância ( PF2 ) = 2 a .
Distância entre a Torre e o Aeroporto: 2c
distância ( PF1 ) − distância ( PF2 ) = 2 a
Usando a fórmula da distância entre dois pontos do plano e as coordenadas estabelecidas
para os pontos P, F1 e F2 , obtemos que x e y devem satisfazer à equação
( x − c )2 + y 2 − ( x + c ) 2 + y 2 = 2 a
(Como o avião está sempre mais perto do aeroporto do que da Torre, a distância de P a F2
é maior do que a distância de P a F1 . Daí, vem que o primeiro membro da equação é
positivo e, portanto, igual ao seu módulo.)
– Simplifique a equação anterior e mostre que ela é equivalente à
( c2 − a 2 ) x 2 − a2 y2 = a2 ( c2 − a2 )
Na realidade o problema proposto nos fornece uma definição geométrica para a curva que
chamamos de hipérbole.
Podemos definir uma hipérbole como o lugar geométrico dos pontos P, no plano, cujo valor
absoluto da diferença entre as distâncias de P a dois pontos fixos F1 e F2 é constante e
igual a um número positivo 2a. Os pontos fixos são chamados de focos da hipérbole. Veja a
figura ao lado.
O avião do problema anterior traça somente o ramo esquerdo da hipérbole. Para traçar o
ramo direito é necessário ajustar seu curso para receber o sinal do aeroporto 100 micro
segundos depois de ter recebido o sinal proveniente da torre de controle.
2
2
2
Chamando o número c − a (que é positivo) de b , obtemos a equação da hipérbole na
sua forma canônica, isto é,
x2 y2
− =1
a 2 b2
Da mesma maneira, se os focos da hipérbole estivessem localizados sobre o eixo y, a
equação do lugar geométrico seria dada por
y2
a2
−
x2
=1
b2
Os dois pontos V1 e V 2 onde os dois ramos da hipérbole interceptam o eixo de simetria
que passa pelos focos, chamam-se vértices da hipérbole. O segmento de reta que une os
dois vértices de uma hipérbole chama-se eixo transverso. A distância entre os focos da
hipérbole é dada por 2c e a distância entre os vértices é 2a. Assim, a distância CV 2 do
centro a um dos vértices é a, enquanto que a distância CF2 do centro a um dos focos é c,
como mostra a figura abaixo.
Mais geralmente, podemos estabelecer os
seguinte fatos:
5) Toda equação na forma
( x − h )2
a2
−
( y − k )2
b2
=1
ou
( y − k )2 ( x − h )2
−
=1
a2
b2
descreve uma hipérbole. (Observe que a
partir da translação X = x - h e Y = y - k as
equações acima podem ser reduzidas à forma
canônica.)
Se c 2 = a2 + b2 ou, equivalentemente,
b 2 = c2 − a 2 , os focos da hipérbole estão
localizados a c unidades de cada lado do
centro, ao longo da reta que suporta o seu
eixo transverso.
1) Utilizando circunferências concêntricas. (Semelhante a da elipse)
a) Escolha dois pontos sobre o papel C1 e C2. Tendo C1 como centro, trace
circunferências concêntricas com raios variando de uma unidade. Por exemplo,
trace circunferências concêntricas de raios 1, 2, 3, ...... 15 cm. Faça o mesmo
com o ponto C2.
b) Agora vamos marcar pontos de interseção das circunferências da seguinte
maneira:
c) Escolha um número bem menor do que 15, por exemplo 5.
d) Marque o ponto de interseção da circunferência de centro em C1 e raio 15 com a
circunferência de centro em C2 e raio 10. (Repare que a diferença dos dois raios
deve ser constante e igual ao número que você escolheu. Continue assim,
escolhendo raios cuja diferença seja sempre o número escolhido.
e) Trace a curva unindo os pontos marcados.
f) Prove que esta curva é uma elipse. (Isto é fácil de provar!)
Simulando esta construção no computador
j) Construa uma reta r e três pontos A, B e C sobre ela, de modo que B esteja entre A e
C.
k) Construa os segmentos AC e CB.
l) Construa dois pontos F1 e F2 fora e do mesmo lado da reta de tal maneira que a
distância entre F1 e F2 seja menor que o comprimento do segmento AC.
m) Construa a circunferência de centro F1 e raio AC.
n) Construa a circunferência de centro em C2 e raio CB.
o) Marque os pontos de interseção E e H, das duas circunferências.
p) Para marcar o rastro dos pontos E e H, com os pontos selecionados, no menu,
escolha DISPLAY, e, a seguir, TRACE POINTS.
q) Anime o ponto C sobre a reta r.
Esta construção se desfaz ao clicar o mouse. Para torná-la permanente é preciso construir o
lugar geométrico. Para isso, selecione, um de cada vez, os pontos de interseção das
circunferências, o ponto C e o segmento AB. No menu, escolha CONSTRUCT e, a seguir,
LOCUS. A curva será construída. Para animar automaticamente, selecione o ponto C e o
segmento AB e no menu EDIT, selecione ACTION BUTTON e, a seguir, ANIMATION.
Dê ok na caixas de diálogo. Para animar, dê um duplo clique no botão sobre a tela.
a) Dobrando papel (Semelhante a da elipse).
Tente esta construção: desenhe um círculo num pedaço de papel manteiga, marque um
ponto F no seu exterior e dobre o papel diversas vezes de tal modo que o ponto F coincida
com pontos sobre o bordo do círculo. Após dobrar o papel um grande número de vezes, as
dobras devem ter definido no papel uma curva com o aspecto mostrado na figura abaixo.
A
C
D
A curva obtida parece ser uma hipérbole. Neste ponto você já deve estar convicto de que
deveremos demonstrar que a curva obtida com esta construção é mesmo uma hipérbole.
Cada dobra foi obtida dobrando-se o papel de forma a fazer o ponto D coincidir com o
ponto F. Como no caso da elipse, é fácil concluir que a dobra assim obtida é a mediatriz do
segmento de reta determinado pelos pontos F e D, como a figura.
D
C
F
É preciso demostrar que quando D percorre a circunferência, o ponto B de tangência,
determinado pela interseção da dobra com o raio CD, traça realmente uma hipérbole com
focos nos pontos C e F. A figura abaixo nos ajudará nesta tarefa. Vamos usar também a
definição geométrica de hipérbole.
Como a reta BA é a mediatriz do segmento de reta FD, os triângulos FBA e DAB são
congruentes. Para provar que a curva traçada é de fato é uma hipérbole, precisamos mostrar
que a diferença BF - BC é constante. Repare que BF = BD, pois os triângulos FBA e DAB
são congruentes. Assim, BF - BC = BD - BC = CD o que prova que B está sobre uma
elipse de focos em C e F, pois CD é o raio da circunferência que é constante, qualquer que
seja o ponto D da circunferência. Além disso, para outro ponto qualquer T, sobre a dobra
RS temos que TF - TC = TD - TC < CD (pois o lado CD do triângulo CTD é maior do
que a diferença dos outros dois). Assim, T não está na hipérbole. Veja a figura.
Isto é, o único ponto da dobra que pertence à hipérbole é B. Este fato prova também que a
dobra RS é realmente tangente à hipérbole em B e explica porque as dobras envolvem a
hipérbole.
Além disso, como os ângulos FBA e ABD são congruentes e os ângulos ABD e CBR,
opostos pelo vértice, esta construção nos permite concluir também que os ângulos CBR e
FBA são congruentes. Se você imaginar a hipérbole como um espelho, um raio de luz
viajando na direção CB, toca o espelho em CB e é refletido segundo a reta BF, na direção
de F e vice-versa. Isto é, um raio de luz emitido de um dos focos de uma hipérbole, ao
bater na curva, é refletido na direção do outro foco.
Assíntotas: uma dobra especial
Na construção dahipérbole por dobraduras que fizemos no início desta seção, é possível
observar que existem dois pontos no círculo, D[1] e D[2], onde as semi-retas que partem do
ponto exterior F, são tangentes à circunferência. Sabemos que tangentes a circunferências
são perpendiculares ao raio no ponto de tangência.
Para construir as tangentes à hipérbole, devemos dobrar o papel de tal modo que o ponto F
coincida com algum ponto D, sobre a circunferência. Além disso, sabemos que a dobra
assim obtida será a mediatriz do segmento de reta que liga os pontos D e F. Portanto, ao
dobrarmos o papel de maneira a fazer coincidir os pontos D[1] e F (ou D[2] e F), a dobra
resultante, mediatriz do segmento de reta que liga os pontos D[1] e F ( ou D[2] e F), será
paralela as retas que passam pelos pontos C e D[1] (ou C e D[2]), como mostra o desenho
ao lado e, consequentemente, não têm nenhum ponto em comum.
Como o ponto da dobra, tangente à hipérbole, é determinado pela interseção da reta que
passa por C e D[1]; (ou C e D[2];) com a mediatriz do segmento FD[1]; (ou FD[2]; ) não
existe nenhum ponto nesta dobra que pertença à hipérbole. Veja a figura ao lado.
Estas duas retas (dobras) são especiais. Como é possível caracterizá-las?
Se você observou com atenção, pôde concluir que estas retas são as assíntotas à hipérbola,
como é ilustrado na figura. Esta construção ilustra e nos faz compreender melhor a
afirmação que fizemos neste texto: à medida em que percorremos à hipérbole, seus pontos
se aproximam cada vez mais de suas assíntotas mas nunca se encontram.
Elipses, parábolas e hipérboles aparecem com freqüência na natureza. Um cometa que entra
no sistema solar com mais energia do que a necessária para escapar da atração gravitacional
do Sol descreve um ramo de uma hipérbole .Com menos energia, uma elipse e descreverá
uma parábola se entrar na atmosfera exatamente, com a energia necessária para escapar da
atração gravitacional da Terra.