CPV – 82% de aprovação na ESPM
ESPM – NOVEMBRO/2010 – Prova E
MATemática
21. Assinale a alternativa cujo valor seja a soma dos valores
das demais:
20 + 2−1
25%
–2–2
75% de 3–1
log2 0,5
22. Dividindo-se 218 ou 172 pelo natural n, obtém-se resto
11. Dividindo-se n por 11 obtém-se resto igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
a)
b)
c) –2–2 = -
75 1
25
. =
= 0,25
d) 75% de 3 –1 =
100 3 100
e) log2 0,5 = log2 2–1 = –1
Assim, a alternativa B é igual a soma das demais.
1
3
20 + 2–1 = 1 + = = 1,5
2
25% =
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
Temos:
207

q = n
218 = nq + 11
nq = 207
⇒ 
⇒ 

172 = nq´ + 11

161
nq´ = 161
q´ =
n

25
5
=
= 0,5
100
10
1
= – 0,25
4
3
0
1
2
5
Logo, concluímos que n = mdc (207,161) = 23, e o resto da
divisão de n por 11 é 2.
Alternativa C
Alternativa B
CPV
2
espm10nov
1
2
espm – 14/11/2010
cpv – especializado na espm
23. Sabendo-se que x + y−1 = 7 e que x = 4y, o valor da expressão
x2 + y−2 é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
x + y−1 = 7
x 2 + 2 xy−1 + y−2 = 49
( x + y−1 )2 = 7 2
⇒ 
⇒
⇒ 

x = 4 y
x = 4 y
x = 4 y



49
47
45
43
41
x 2 + y−2 = 49 − 2 xy−1
⇒ 
⇒ x2 + y–2 = 49 – 2 . 4y . y–1 =
x = 4 y

CPV
Assim, x2 + y–2 = 41
espm10nov
= 49 – 8 = 41
Alternativa E
24. Uma pessoa fez um investimento em ações. No
primeiro semestre, ela perdeu 30% do capital
aplicado e no segundo semestre ela recuperou 60%
do que havia perdido. Em relação ao investimento
inicial, seu prejuízo nesses 2 semestres foi de:
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
Sendo C o investimento inicial, temos:
1o semestre: (1 – 0,3) . C = 0,7 C
2o semestre: (C – 0,7 C) . 0,6 = 0,18 C
Assim, nestes 2 semestres, a pessoa ficou com 0,88 C,
ou seja, teve um prejuízo de 12%,
Alternativa B
22%
12%
18%
24%
16%
cpv – especializado na espm
25. A composição de uma certa população, por faixa etária, é
verificada na tabela abaixo:
Num gráfico de setores, o ângulo central correspondente
à população de jovens medirá, aproximadamente:
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
No gráfico de setores temos:
100% ________ 360º
24%
________ θ
θ=
86°
54°
78°
67°
94°
6%
38%
24%
θ
32%
24 . 360
@ 86º
100
Sabendo-se que f (1) = 2, o valor de f [f (π)] é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
Para x ≤ 2. temos que f (x) = Ax + B, assim:
f (1) = A (1) + B
2 = A + B
⇒ 
⇒ A = −1 e B = 3

f (0) = B
3 = B
\ f (x) = – x + 3
Como f (2) = 1, usando o gráfico temos:
f ( x ) = − x + 3, se x ≤ 2

f ( x ) = 1, se 2 < x < 4
1
3/2
3/4
2
5/2
2
f (π)
1
1
CPV
espm10nov
3
26. A figura abaixo representa o gráfico cartesiano da função
f (x).
Alternativa A
espm – 14/11/2010
\ f [f (π)] = f [1] = 2
3π
Alternativa D
4
cpv – especializado na espm
espm – 14/11/2010
27. Numa população de 5000 alevinos de tambacu, estima-se
que o número de elementos com comprimento maior ou
igual a x cm seja dado, aproximadamente, pela expressão
5000
.
n=
x2 + 1
Pode-se concluir que o número aproximado de alevinos
com comprimento entre 3 cm e 7 cm é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
O número de alevinos com comprimento entre 3 cm e 7 cm será
dado pela seguinte expressão:
600
500
400
200
100
S3 – S7 =
(3)2 + 1
−
5000
(7) 2 + 1
espm10nov
Resolução:
Resolvendo o sistema, temos:
 1 5x + y
 
=5
(0, 2)5x + y = 5
 5 

⇒ 
⇒
(0, 5)2 x − y = 2
 2 x − y
1

 
=2
 2 

−(5x + y)


= 51
−5x − y = 1
5
⇒ 
⇒ 
⇒




−
(
2
x
−
y
)
1


−2 x + y = 1
=2

2
= 400 alevinos
Alternativa C
CPV
5000
(0, 2)5x + y = 5

28. O valor de y no sistema 
é igual a:
(0, 5)2 x − y = 2

a) −5/2
b) 2/7
c) −2/5
d) 3/5
e) 3/7
⇒ x =−
2
3
e y=
7
7
Alternativa E
cpv – especializado na espm
 x 2


 e B =  1 x  , a diferença
29. Dadas as matrizes A = 



 1 1
−1 2 
entre os valores de x, tais que Det (A . B) = 3x, pode ser
espm – 14/11/2010
5
igual a:
30. Numa empresa, 60% são homens, dos quais, 10% são
fumantes. Sabe-se que 5% das mulheres são fumantes.
Escolhendo-se ao acaso um dos fumantes dessa empresa,
a probabilidade de ser uma mulher é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
Resolução:
Temos que det (A . B) = 3x Þ det A . det B = 3x
Analisando a tabela, temos:
Þ (x – 2) . (2 + x) = 3x
Þ x2 – 4 = 3x
Þ x2 – 3x – 4 = 0 Þ x = –1 ou x = 4
Portanto, a diferença entre os valores seria
– 1 – 4 = – 5 ou 4 – (–1) = 5
3
−2
5
−4
1
Alternativa C
espm10nov
Homem Mulher Total
Fumante
6%
2%
8%
Não fumante
54%
38%
92%
Total
60%
40%
100%
A probabilidade de ser uma mulher entre os fumantes será
CPV
25%
15%
10%
30%
20%
2%
1
= = 0,25 = 25%
8%
4
Alternativa A
6
espm – 14/11/2010
cpv – especializado na espm
31. Uma parede retangular cujo comprimento mede o dobro da
altura, foi revestida com azulejos quadrados, inteiros e de
mesmo tamanho, sendo que, em todo o contorno externo,
foi feita uma faixa decorativa com 68 peças mais escuras,
como na figura exemplo abaixo.
O número de azulejos mais claros usados no interior da
parede foi de:
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
Pela figura e pelo enunciado, temos que o número de azulejos
escuros é dado por
260
246
268
312
220
2(x) + 2(2x) – 4 = 68 Þ x = 12
Assim, o número de azulejos totais é x . 2x = 288.
Portanto, o número de azulejos claros é 288 – 68 = 220.
Alternativa E
CPV
espm10nov
32. As progressões aritméticas (2, 9, 16, ..., k) e
(382, 370, 358, ..., k) são finitas e têm o mesmo número de
termos. O valor de k é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
156
170
135
142
128
Resolução:
(2, 9, 16, ..., k)
Þ PA de razão 7 e n termos
k = 2 + (n – 1) . 7 Þ k = 7n – 5 (I)
(382, 370, 358, ..., k) Þ PA de razão –12 e n termos
k = 382 + (n – 1) (–12) Þ k = –12n + 394 (II)
Igualando (I) e (II), temos
7n – 5 = – 12n + 394 Þ n = 21
Portanto, k = 7 . 21 – 5 = 142
Alternativa D
cpv – especializado na espm
espm – 14/11/2010
7
33. A soma dos n primeiros termos de uma sequência numérica
é dada pela expressão Sn = 8n 2 − 1.
Pode-se afirmar que seu décimo termo é igual a:
34. Define-se max(a; b) = a, se a ≥ b e max(a; b) = b,
se b ≥ a. A soma dos valores de x, para os quais se tem
max(x2 − 2x + 2; 1 + x2) = 50, é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
Resolução:
Como Sn indica a soma dos n primeiros termos, temos:
Se x2 – 2x + 2 ≥ 1 + x2 Þ x ≤
máx (x2 – 2x + 2; 1 + x2) = x2 – 2x + 2
S10 = a1 + a 2 + ... + a 9 + a10

S9 = a1 + a 2 + ... + a 9

ou seja, queremos
Assim, a10 = S10 – S9
Como
S = 8 . 102 − 1 = 799
 10

S = 8 . 92 − 1 = 647
 9
128
132
146
150
152
1
então,
2
x2 – 2x + 2 = 50
 x1 = –6
x2 – 2x – 48 = 0 

 x2 = 8 (não convém)
1
então,
Se 1 + x2 ≥ x2 – 2x + 2 Þ x ≥
2
Sn = 8n 2 – 1, temos:
\ a10 = 799 – 647 = 152
1
0
2
–13
15
máx (x2 – 2x + 2; 1 + x2) = 1 + x2
ou seja, queremos: x2 + 1 = 50
Alternativa E
 x1 = –7 (não convém)
x2 = 49 Þ 

 x2 = 7
\ a soma dos valores será: – 6 + 7 = 1
Alternativa A
CPV
espm10nov
8
cpv – especializado na espm
espm – 14/11/2010
35. Sobre um segmento de reta de extremidades A(−9; 1) e
B(6; −9) são marcados alguns pontos que o dividem em
n partes iguais. Um desses pontos pertence ao eixo das
ordenadas. O número n pode ser igual a:
36. Os pontos A, B, C e D são vértices consecutivos de um
polígono regular com 20 diagonais, cujo lado mede 1. O
comprimento do segmento AD é igual a:
2
a) 4
b) 6
c) 8
d) 10
e) 12
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
Resolução:
Se um dos pontos que dividem o segmento em n partes iguais
pertence ao eixo das ordenadas, temos, para este ponto, x = 0.
Seja n o número de vértices do polígono regular e como este
polígono possui 20 diagonais, segue-se:
Então a razão entre as distâncias do ponto A para o ponto da
abscissa 0 e deste para o ponto B é:
1+ 2
2 2 –1
2 2 +1
2 2
n = 8 ou
n (n - 3)
= 20 Þ n 2 – 3n – 40 = 0 Þ 
2
n = − 5 (não convém)
Assim, cada ângulo interno do polígono será dado por:
2k
3k
a1 =
–9
0
6
Ao desenharmos os vértices ABCD, temos:
0 − (−9)
9
3
=
=
6 − (−9)
15
5
180 (8 - 2)
= 135º
8
5k
Portanto, n deve ser múltiplo de 5.
Alternativa C
x
x
C
x
45º
H
1
x
Do triângulo ABH, temos:
x2 + x2 = 1 Þ 2x2 = 1 Þ x2 =
\ AD = 1 + x + x = 1 +
espm10nov
45º
1
A
CPV
1
B
D
2
1
Þ x= 2
2
2
2
+
=1+
2
2
2
Alternativa B
cpv – especializado na espm
37. O volume e a altura de um prisma são expressos pelos
polinômios V(x) = x3 − 3x2 + 2x + 6 e A(x) = x + 1,
respectivamente, sendo x um real estritamente positivo.
O menor valor que a área da base desse prisma pode assumir
é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
O volume de um prisma é dado pelo produto da área da base
pela altura. Sendo assim, a área da base em questão pode ser
obtida dividindo-se o volume V(x) = x3 – 3x 2 + 2x + 6 pela
altura A(x) = x + 1.
9
38. Um reservatório de água é constituído por uma esfera
metálica oca de 4 m de diâmetro, sustentada por colunas
metálicas inclinadas de 60° com o plano horizontal e
soldadas à esfera ao longo do seu círculo equatorial, como
mostra o esquema abaixo.
1
1,5
2
2,5
3
Sendo 3 @ 1,73, a altura h da esfera em relação ao solo
é aproximadamente igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
Da figura sugerida na questão, podemos destacar o triângulo
retângulo abaixo:
Utilizando o dispositivo de Briott-Ruffini, temos
espm – 14/11/2010
1
–3 2
6
–1 1
–4 6
0
Donde temos a área da base B(x) = x2 – 4x + 6, cujo valor mínimo
2
é obtido por
(−4) − 4 (1)(6)
−∆
=−
= 2.
4a
4 (1)
Alternativa C
2,40 m
2,80 m
3,20 m
3,40 m
3,60 m
2
2
x
5
60o



2
3
No triângulo retângulo, temos:
x
x
tg60º = 3 ⇔ 3 = 3 ⇔ x = 3 3 m
Substituindo
A altura h pedida pode ser calculada subtraindo-se o raio da esfera
da altura obtida, ou seja, 5,19 – 2 = 3,19 m.
3 = 1,73, temos x = 5,19 m
Alternativa C
CPV
espm10nov
10
cpv – especializado na espm
espm – 14/11/2010
39. A circunferência de equação (x + 1)2 + (y – 1)2 = 1 tangencia
os eixos coordenados nos pontos A e B. A circunferência
λ, de centro C, passa pelo ponto B e tangencia o eixo das
abscissas no ponto D.
Se os pontos A, B e C estão alinhados, podemos concluir
que a abscissa do centro C é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
2+
1+
2 2
2 2
2 2
2
2
−1
+1
CPV
Dy
↔
= 1, ou seja, o ângulo
O coeficiente angular da reta AC é
Dx
entre a reta e o eixo x é de 45º.
b)
c)
d)
e)
Resolução:
log9 160 =
log (24 . 10)
=
log 24 + log 10
log 32
log 32
4 . log 2 + log 10
4a + 1
=
=
2 . log 3
2b
=
Alternativa B
45º
1 (r – 1)
A prova de Matemática do processo seletivo da ESPM 2011
(Dez-2010) seguiu a tendência dos últimos anos, apresentando
questões de bom nível de dificuldade e de criatividade, com
abrangência de quase todo o programa.
Observamos que as questões exigiam bastante interpretação
e raciocínio dos candidatos, privilegiando aqueles que se
prepararam com mais disciplina e rigor às provas.
Acreditamos que a Banca Examinadora alcançou o objetivo de
selecionar os melhores candidatos.
(r – 1)
1
No triângulo retângulo podemos aplicar o teorema de Pitágoras:
(r – 1)2 + (r – 1)2 = r2 Þ r = 2 + 2
Portanto, a abscissa do ponto de tangência é
r–1= 2 +2–1= 2 +1
espm10nov
a)
comentário do CPV
–1
4a + b
2
4a + 1
2b
2a + 3b
2
4b + 2
a
a +1
3b
r
40. Sendo log 2 = a e log 3 = b, o valor do log9 160 é igual a:
Alternativa B