CPV – 82% de aprovação dos nossos alunos na ESPM
ESPM
R esolvida – Prova E – 11/novembro /2012
MATEMÁTICA
21. A distribuição dos n moradores de um pequeno prédio de
4 x
5 



y  ,
apartamentos é dada pela matriz  1 3
 6 y x + 1


em que cada elemento a ij representa a quantidade de
moradores do apartamento j do andar i.
Sabe-se que, no 1o andar, moram 3 pessoas a mais que
no 2o e que os apartamentos de número 3 comportam
12 pessoas ao todo. O valor de n é:
a)
30b)
31c)
32d)
33e)
34
O número de questões dessa prova era:
a)30
b)25
c)20
d)15
e)10
Resolução:
Resolução:
22. Carlos fazia um teste por computador em que, a cada
resposta dada, era informado sobre a porcentagem de
acertos até então. Ao responder à penúltima questão, sua
porcentagem de acertos era de 37,5% e, ao responder à
última, ela passou para 40%.
4 x
5 



y  , concluímos que moram no:
Da matriz 1 3
 6 y x + 1


o
1 andar: 4 + x + 5 = x + 9 pessoas
 o
 andar: 1 + 3 + y = y + 4 pessoas
2

 o
3
andar: 6 + y + x + 1 = x + y + 7 pessoas
Sabendo que no 1o andar moram 3 pessoas a mais que no 2o, temos:
x + 9 = y + 4 + 3 Þ y = x + 2 (I)
Como os apartamentos de número 3 comportam 12 pessoas ao
todo, temos:
5 + y + x + 1 = 12 Þ
x + y = 6 (II)
Sendo x a quantidade de acertos e
n a quantidade total de questões, temos:
 x − 1

= 0, 375
 x − 1 = 0, 375n − 0, 375
 n − 1
⇒ 
 x
 x = 0, 40n
 = 0, 40
 n
Do sistema, obtemos:
0,40n – 1 = 0,375n – 0,375
0,025n = 0,625
n = 25
O número de questões dessa prova era 25.
Alternativa B
Substituindo (I) em (II):
x + (x + 2) = 6 Þ 2x = 4 Þ x = 2
Voltando em (II): 2 + y = 6 Þ y = 4
CPV
 4 2 5


A distribuição de moradores no prédio fica:  1 3 4
 6 4 3


de onde resulta que n = 32.
Alternativa C
ESPMNOV2012
1
2
ESPM – 11/11/2012
CPV –
especializado na
23. Os números naturais M e N são escritos, na base 10, com
os mesmos dois algarismos, porém em posições invertidas.
A diferença entre o maior e o menor é uma unidade a
menos que o menor deles.
Podemos afirmar que o valor de M + N é:
a)102
b) 67
c)125
d) 98
e)110
Consideremos: M > N, M = 10a + b e N = 10b + a
Assim: 10a + b – (10b + a) = (10b + a) – 1
a)2,78%
b)5,24%
c)3,28%
d)6,65%
e)4,42%
Resolução:
8a – 19b = –1
a =
24. Um empréstimo de R$ 10.000,00 foi pago em 5 parcelas
mensais, sendo a primeira, de R$ 2.000,00, efetuada
30 dias após e as demais com um acréscimo de 10% em
relação à anterior.
Pode-se concluir que a taxa mensal de juros simples
ocorrida nessa transação foi de aproximadamente:
Resolução:
ESPM
As parcelas do empréstimo são:
1a parcela: 2000
19b - 1
8
2a parcela: 2000 . 1,10
A equação possui solução natural para a = 7 e b = 3
Portanto, M + N = 73 + 37 = 110
Alternativa E
3a parcela: 2000 . (1,10)2
4a parcela: 2000 . (1,10)3
5a parcela: 2000 . (1,10)4
Assim:
CPV
ESPMNOV2012
10000 (1 + i . 5) = 2000 + 2000(1,10) + 2000(1,10)2 + 2000(1,10)3 + 2000(1,10)4
10000 (1 + i . 5) = 2000 (1 + 1,10 + 1,21 + 1,331 + 1,4641)
5 (1 + i . 5) = 6,1051
1 + 5i = 1,22102
5i = 0,22102
i = 0,0442 = 4,42%
Alternativa E
CPV –
25. O par ordenado (x; y) Î N
x
especializado na
N é solução da equação
x3 + x2y − 8x − 8y = 7. O valor de x − y é:
a) 1
b) 2
c) – 1
d) 0
e) – 2
ESPM
ESPM – 11/11/2012
3
26. A figura abaixo representa os gráficos das funções
f (x) = x2 + 1 e g(x) = 2x.
Resolução:
x3 + x2y – 8x – 8y = 7
x2 (x + y) – 8 (x + y) = 7
(x + y) . (x2 – 8) = 7
Como (x; y) Î N x N, devemos ter:
 x + y = 7
 x = 3

⇒ 
 2
 x − 8 = 1
 y = 4

O valor de x – y é –1
Alternativa C
A área do quadrilátero ABCD é igual a:
a)2,0
b)1,5
c)0,5
d)2,5
e)1,0
Resolução:
Da figura, temos:
A = (0; g(0)) = (0; 1)
B = (1; g(1)) = (1; 2)
C = (2; g(2)) = (2; 4)
D = (2; f(2)) = (2; 5)
A área do quadrilátero ABCD é dada pela soma das áreas dos
triângulos ABD e BCD, ou seja:
1
2
0 1 1
1 2 1
1 2 1 + 2 4 1
2 5 1
2 5 1
=
1
2
3
| 2 + 1| = 2 = 1,5
Alternativa B
ESPMNOV2012
CPV
4
ESPM – 11/11/2012
CPV –
especializado na
27. A nota final de um concurso é dada pela média aritmética
das notas de todas as provas realizadas.
Se um candidato conseguiu x notas 8, x + 1 notas 6 e x − 1
notas 5 e sua nota final foi 6,5, o número de provas que ele
realizou foi:
a)6
b)9
c)7
d)5
e)12
A nota final desse candidato é dada por:
x . 8 + ( x + 1) . 6 + ( x − 1) . 5
= 6,5
x + x +1+ x −1
CPV
8x + 6 x + 6 + 5x − 5
= 6,5 Þ 0,5x = 1 Þ x = 2
3x
O número de provas que ele realizou foi 6.
ESPMNOV2012
28. Para que a sequência (−9; −5; 3) se transforme numa
progressão geométrica, devemos somar a cada um dos
seus termos um certo número.
Esse número é:
a)par
b) quadrado perfeito
c)primo
d) maior que 15
e) não inteiro
Resolução:
Resolução:
ESPM
Alternativa A
Chamando de x o número procurado, temos:
(–5 + x)2 = (–9 + x) . (3 + x)
25 – 10x + x2 = x2 – 6x – 27
4x = 52 Þ x = 13
Esse número é primo.
Alternativa C
CPV –
especializado na
29. As raízes da equação 3x2 + 7x − 18 = 0 são α e β.
O valor da expressão α2β + αβ2 − α − β é:
29
a)3
31
c)3
5
a)a ≠ –2
b)a ≠ 2
c) a = ±2
d) a = −2
e) a = 2
Resolução:
53
d)3
Multiplicando-se a segunda equação do sistema por –a e
somando-se o resultado à primeira equação, obtemos:
–a2y + 4y = 2a + a2 Þ y (4 – a2) = 2a + a2
26
e)3
Resolução:
Para que essa equação seja indeterminada, devemos ter

 4 – a2 = 0  a = 2 ou a = – 2
Þ
e
Þ a=–2


2 = 0  a = 0 ou a = – 2

2a
+
a


Temos:
ESPM – 11/11/2012
ax + 4 y = a 2
30. O sistema 
, em x e y,
x + ay = − 2

é possível e indeterminado se, e somente se:
49
b)3
ESPM
α2β + αβ2 – α – β = αβ (α + β) –1 (α + β) = (α + β) (αβ – 1)
Alternativa D
Como α e β são raízes da equação 3x2 + 7x – 18 = 0, temos:
7

α + β = − 3


18
α . β = −
3

de onde obtemos:
(α + β) . (αβ – 1) = –
7
3
 18

− − 1 = − 7

3
 3
 21 49
−  =
3
 3 
Alternativa B
ESPMNOV2012
CPV
6
ESPM – 11/11/2012
CPV –
ESPM
especializado na
31.O consumo de combustível de um trator de arado, por
tempo de trabalho, é de 18 litros por hora. Esse mesmo
consumo, por área trabalhada, é de 15 litros por hectare.
32. A figura abaixo mostra um trapézio retângulo ABCD e
um quadrante de círculo de centro A, tangente ao lado
CD em F.
Podemos estimar que, em 10 horas de trabalho, esse trator
poderá arar cerca de:
Se AB = 8 cm e DE = 2 cm, a área desse trapézio é:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
12 hectares
15 hectares
8 hectares
6 hectares
10 hectares
48 cm2
72 cm2
56 cm2
64 cm2
64 cm2
Resolução:
Resolução:
Na figura, chamamos BC = FC = x e DF = y.
Completamos a circuferência e notamos por G o encontro entre
ela e o prologamento do segmento DA.
Sabendo que o consumo por tempo de trabalho é 18 litros/hora:
18 litros ——— 1 hora
x = 180 litros
x
——— 10 horas
C
B
x
x
Determina-se, então, quanto o trator poderá arar nas mesmas
10 horas, sabendo que o consumo por área trabalhada é de
15 litros / hectare:
F
8
y
15 litros ——— 1 hectare
y = 12 hectares
180 litros ———
y
Alternativa A
D
2
E
G
A
H
Aplicando a potência do ponto em D, temos:
DF2 = DE . DG
y2 = 2 . (18) Þ y = 6 cm
Aplicando o teorema de Pitágoras ao ΔDCH, temos:
C
(x + 6)
D
CPV
ESPMNOV2012
(x + 6)2 = 82 + (10 – x)2
32x = 128
x = 4 cm
A área do trapézio ABCD é:
A=
( 10 + 4) . ( 8)
2
(10 – x)
= 56 cm2
8
H
Alternativa C
CPV –
especializado na
33. A solução da equação
x−2
x
3
1
+
=
+
2
2
x +1
x
−
1
x −1
x −1
pertence ao intervalo:
a)
b)
c)
d)
e)
[−3; −1[
[−1; 1[
[1; 3[
[3; 5[
[5; 7[
1 . ( x + 1)
( x − 2)( x − 1)
3
x
+
=
+
( x + 1) ( x − 1) x 2 − 1 ( x − 1) ( x + 1) x 2 − 1
x2 − 1
=
x +1+ x
x2 − 1
 = 1 (não convém)
x

2
x – 5x + 4 = 0 Þ  ou

x
 = 4
7
Desse total, a quantidade dos que são divisíveis por 6 é:
a)10
b)12
c)5
d)8
e)7
Resolução:
x−2
x
3
1
+
=
+
x +1
x2 − 1 x − 1 x2 − 1
x 2 − 3x + 2 + 3
ESPM – 11/11/2012
34. Com os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 podemos formar
60 números naturais de 3 algarismos distintos.
Resolução:
ESPM
Assim, x Î [3; 5[.
Para um número ser divisível por 6, ele deve ser também
divisível por 2 e 3. Assim, deve ser um número par e cuja soma
dos algarismos é um múltiplo de 3.
Dessa forma, os números são:
132
234
342
312
324
354
432
534
Logo, 8 números são divisíveis por 6.
Alternativa D
Alternativa D
ESPMNOV2012
CPV
8
CPV –
ESPM – 11/11/2012
especializado na
35. Seja A = (4; 2) um ponto do plano cartesiano e sejam
B e C os simétricos de A em relação aos eixos coordenados.
A equação da reta que passa por A e é perpendicular à reta
que passa por B e C é:
a)
b)
c)
d)
e)
2x – y = 6
x – 2y = 0
x−y=2
x + 2y = 8
x+y=6
36. O resto da divisão do polinômio x5 − 3x2 + 1 pelo
polinômio x2 − 1 é:
a)
b)
c)
d)
e) (r)
B
A
2
–4
x
4
–2
C
↔
Inicialmente, calculamos o coeficiente angular da reta BC:
y − yC
2 − (−2)
1
m = B
=
=−
BC
x B − xC
−4 − (4)
2
Como a reta pedida (r) é perpendicular a BC, temos:
↔
-1
mr = m
=2
BC
Portanto, a equação de r será:
y – (2) = 2 (x – 4)
2x – y = 6
ESPMNOV2012
Aplicando a divisão pelo método das chaves:
x5
– 3x2
+ 1
x2 – 1
– x5 + x3x3 + x – 3
x3 – 3x2
+1
– x3
+x
– 3x2 + x + 1
3x2
–3
x–2
Temos, no plano cartesiano:
y
CPV
x–1
x+2
2x – 1
x+1
x–2
Resolução:
Resolução:
ESPM
Alternativa A
O resto da divisão pedida é x – 2.
Alternativa E
CPV –
especializado na
37. Em 1997 iniciou-se a ocupação de uma fazenda improdutiva
no interior do país, dando origem a uma pequena cidade.
Estima-se que a população dessa cidade tenha crescido
segundo a função P = 0,1 + log 2 (x − 1996), em que
P é a população no ano x, em milhares de habitantes.
Considerando 2 = 1,4, podemos concluir que a população
dessa cidade atingiu a marca dos 3600 habitantes em
meados do ano:
a)2005
b)2002
c)2011
d)2007
e)2004
Para P = 3,6 milhares de habitantes, temos:
3,6 = 0,1 + log2 (x – 1996)
3,5 = log2 (x – 1996)
x @ 2007
9
38. Na figura abaixo, ABCD é um quadrado, BDE é um
triângulo equilátero e BDF é um triângulo isósceles, onde
AF = AB. A medida do ângulo α é:
a)120°
b)135º
c)127,5°
d)122,5°
e)110,5°
Na figura, o triângulo ABF é isósceles, pois AB = AF.
^ = ABF
^ = 22º30'.
Então, AFB
22º30'
22º30'
45º 45º
23,5 = x – 1996
23 . 20,5 = x − 1996


20,5 = 2 = 1, 4

ESPM – 11/11/2012
Resolução:
Resolução:
ESPM
60º
Alternativa D
^ = α = 22º30’ + 45º + 60º = 127º30’ = 127,5º
O ângulo FBE
Alternativa C
ESPMNOV2012
CPV
10
CPV –
ESPM – 11/11/2012
especializado na
39. O número de soluções inteiras do sistema de inequações
 2 x − 3
 −2 < 3

 2
x + 2 x ≤ 8
é igual a:
a)1
b)2
c)3
d)4
e)5
Resolução:
Resolvendo o sistema do enunciado, temos:
 −2 x − 3
 2 x − 3


<0
 −2 < 3

2
⇒ 


 2

2

x + 2 x ≤ 8


x + 2 x − 8 ≤ 0
–4
●
-
3
2
●
●
40.Um cilindro circular reto de raio da base igual a 4 cm
contém água até uma certa altura. Um objeto é colocado
no seu interior, ficando totalmente submerso.
Se o nível da água no cilindro subiu 3 cm, podemos afirmar
que o volume desse objeto é de, aproximadamente:
a)
b)
c)
d)
e)
174 cm3
146 cm3
162 cm3
183 cm3
151 cm3
Resolução:
2
●
−2 x − 3
<0
2
x2 + 2x – 8 ≤ 0
ESPM
Segundo o Princípio de Arquimedes, o volume deslocado de
líquido é igual ao volume do sólido submerso.
Assim, basta calcularmos o volume do cilindro deslocado:
V = π . R2 . h
V = 3,14 . (4)2 . (3)
V = 151 cm3
Alternativa E
●
●
 3 
S =  − 2 ; 2 , e as soluções inteiras são –1, 0, 1 e 2, ou seja,


4 soluções inteiras.
Alternativa D
COMENTÁRIO DA PROVA DE MATEMÁTICA
A prova de Matemática do Processo Seletivo da ESPM 2013-1
apresentou questões bastante criativas e abrangentes.
Em relação ao grau dificuldade, notamos uma grande evolução,
o que deverá melhorar a qualidade dos aprovados, resultando no
aprimoramento do índice de discriminação.
Torcemos para que a Banca continue neste processo, que beneficiará
principalmente os candidatos mais bem preparados.
CPV
ESPMNOV2012