CPV
ESPM
MATEMÁTICA
21.O valor numérico da expressão
para x = 48 é:
(x2 + 4x + 4) . (x2 – 2x)
x2 – 4
a)4800
b)1200
c)2400
d)3500
e)1800
Fatorando a expressão, temos:
(x2 + 4x + 4) . (x2 – 2x) (x + 2)2 . x (x – 2)
=
= (x + 2) . x
(x2 – 4)
(x + 2) . (x – 2)
(x + 2) . x = 50 . 48 = 2400
CPV
ESPMJUN2013
ESPM
R esolvida – Prova E – 23/junho/2013
22. Um número natural N, quando dividido por 18 ou por 15,
deixa o mesmo resto R. Se R é o maior possível e N o
menor possível, o valor de N + R é:
Para x = 48,
especializado na
a)98
b)121
c)100
d)105
e)118
Resolução:
Resolução:
–
Alternativa C
N = 18 q + R (0 ≤ R ≤ 17)
N = 15 q' + R (0 ≤ R ≤ 14)
Como R é o maior valor possível, temos R = 14. Assim,
N = 18 q + 14,
Þ
N = 15 q' + 14,
N – 14 = 18 q
N – 14 = 15 q'
Como N tem que ser o menor valor possível e N – 14 tem que ser
múltiplo de 18 e 15, temos que:
N – 14 = mmc (18; 15) Þ N – 14 = 90 Þ N = 104
Portanto, N + R = 104 + 14 = 118
Alternativa E
1
2
CPV –
ESPM – 23/06/2013
especializado na
23. As soluções inteiras da equação x2 – y2 = 7 formam 4 pares
ordenados. Esses pares representam, no plano cartesiano,
os vértices de um quadrilátero cuja área vale:
a) 30
b)48
c)24
d)32
e)36
ESPM
24. Na função f (x) = 2x – x, o valor de
fof (0) + fof (1) + fof (2) + fof (3) é:
a)28
b)29
c)30
d)31
e) 32
Resolução:
Resolução:
x2 – y2 = 7 Û (x + y) . (x – y) = 7
Pelo enunciado temos:
fof (0) + fof (1) + fof (2) + fof (3)
Para soluções inteiras, temos:
f(f (0)) + f(f (1)) + f(f (2)) + f(f (3))
x+y=7
Þ (x = 4 e y = 3) ou
x–y=1
f (0) = 20 – 0 = 1
x+y=1
Þ (x = 4 e y = –3) ou
x–y=7
f (1) = 21 – 1 = 1
f (2) = 22 – 2 = 2
f (3) = 23 – 3 = 5
f (1) + f (1) + f (2) + f (5)
f (5) = 25 – 5 = 27
Portanto, 1 + 1 + 2 + 27 = 31
x + y = –7
Þ (x = – 4 e y = –3) ou
x – y = –1
x + y = –1
Þ (x = – 4 e y = 3)
x – y = –7
Então, o quadrilátero em questão pode ser representado no plano
cartesiano:
y
3
4
–4
x
–3
A área do quadrilátero é 8 . 6 = 48
()
1
25.O valor máximo que a função f (x) =
2
asumir é:
x2 – 4x
pode
a)16
b)32
c)8
d)1
e) 4
Resolução:
Alternativa B
Alternativa D
()
2
1 x – 4x
é uma função exponencial
2
decrescente, ela será máxima quando seu expoente (x2 – 4x) for
Como a função f (x) =
mínimo; como o expoente é dado por uma função quadrática, seu
valor mínimo será:
yv =
CPV
ESPMJUN2013
((–4)2 – 4 . 1 . 0)
–Δ
=–
=–4
4.1
4a
Portanto, o valor máximo de f (x) é:
()
1 –4
= 16
2
Alternativa A
CPV –
especializado na
26. O mais amplo domínio da função real
f (x) = log2x–2 (x2 – 3x + 2) é o conjunto
D = {x Î  | x > k}. O valor de f (k + 1) é:
Resolução:
Analisando o domínio da função logarítmica, temos:
x2 – 3x + 2 > 0
x < 1 ou x > 2
2x – 2 > 0
Þ x > 1
2x – 2 ≠ 1x ≠ 1,5
Ou seja: D = {x Î  | x > 2} e k = 2.
f (2 + 1) = f (3) = log2 . 3 – 2 (32 – 3 . 3 + 2) = log4(2) =
x>2
1
2
27.Sabe-se que as raízes da equação x2 + kx + 6 = 0 são
dois números naturais primos. O valor de k pertence ao
intervalo:
a)
b)
c)
d)
e)
3
O número de entrevistados que disseram não ter viajado
nessas férias foi:
a)240
b)180
c)120
d)90
e)200
Resolução:
Þ
Alternativa E
ESPM – 23/06/2013
28.Uma agência de turismo fez uma consulta a um grupo
de clientes. 40% dos consultados disseram que tinham
viajado nas últimas férias, sendo que, destes, 60% viajaram
pelo Brasil, 30% para a América do Norte e as outras 12
pessoas foram para a Europa.
a)–1
b)0
1
c)
4
d)2
1
e)
2
ESPM
[–8; –6]
[–6; –3]
[–3; 0]
[0; 4]
[4; 7]
Chamado de T o total das pessoas consultadas, temos que:
40% T → viajou
60% T → não viajou
Dos que viajaram temos:
40% T . 60 % → viajaram pelo Brasil
40% T . 30 % → viajaram pela América do Norte
40% T . 10 % → viajaram pela Europa.
Como 40 % . T . 10% = 12
T = 300
Logo, o número de entrevistados que disseram não ter viajado é
dado por:
60% . 300 = 180
Alternativa B
Resolução:
Analisando a soma e o produto das raízes da equação
x2 + kx + 6 = 0 temos:
soma = – k
produto = 6
Como as raízes são dois números naturais primos e de produto 6,
elas só podem ser os números 2 e 3.
Soma = 2 + 3 = – k Þ k = – 5
Portanto, k pertence ao intervalo [– 6; –3].
Alternativa B
ESPMJUN2013
CPV
4
ESPM – 23/06/2013
CPV –
especializado na
ESPM
29. Um produto que custou R$ 1300,00 foi vendido com lucro
de 20% sobre o preço de custo. Depois disso, foi vendido
novamente, mas com um lucro de 20% sobre o preço de
venda. Podemos afirmar que este último preço de venda
foi de:
30.Um tanque abastecido por duas torneiras de mesma
vazão fica completamente cheio em 4 horas. Ao meio-dia
iniciou-se o enchimento desse tanque com as duas torneiras
abertas, mas duas horas depois uma delas foi fechada,
completando-se o processo com uma só torneira.
Podemos concluir que o tanque ficou totalmente cheio às:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 1870,00
R$ 1980,00
R$ 2105,00
R$ 1950,00
R$ 1890,00
Resolução:
Na primeira venda temos:
17 h
17 h30 min
18 h
18 h30 min
19 h
Resolução:
v1 → preço de venda
Como as duas torneiras possuem a mesma vazão, uma torneira
sozinha enche o tanque em 8 horas. Após duas horas em que as
torneiras estão abertas, metade do tanque foi cheio, sobrando a
outra metade para uma torneira sozinha. Como ela leva 8 horas
para encher o tanque todo, em 4 horas ela encherá metade.
Sendo assim:
c1 = 1300 → custo
L1 = 0,2 . c1 → lucro
Como L1 = v1 – c1
0,2 . 1300 = v1 – 1300
v1 = 1560
Como o produto foi vendido novamente, para o revendedor, 1560
é o preço de custo, preço pelo qual ele comprou o produto na
primeira venda.
2 horas + 4 horas = 6 horas
duasuma
torneirastorneira
juntassozinha
Na segunda venda temos:
v2 → preço de venda
c2 = 1560
L2 = 0,2 v2
Como L2 = v2 – c2 Þ 0,2 v2 = v2 – 1560
v2 = 1950,00
CPV
ESPMJUN2013
Alternativa D
Como o trabalho iniciou-se ao meio dia, terminou às 18 h
(6 horas depois.)
Alternativa C
CPV –
especializado na
31. Duas matrizes quadradas de mesma ordem são inversas se
o seu produto é igual à matriz identidade daquela ordem.
[ ]
[ ]
2 1
x y
e B=
matrizes inversas, o
0 –1
z w
valor de x + y + z + w é:
a)0
b)1
c)–2
d)3
e) – 4
Sendo A =
Resolução:
[ ] [ ] [ ]
[
] [ ]
2 1 . x y = 1
0 –1
z w
0
0
1
2y + w = 1
–w
0
2x + z
–z
2x + z = 1
2y + w = 0
Þ
– z = 0
– w = 1
0
1
x = 1/2
y = 1/2
z=0
w=–1
Logo, x + y + z + w = 0
32. Sabendo-se que
Alternativa A
a b
= 2, podemos afirmar que:
|
m n|
| |
a m
b)
= –2
|
b n |
2m 2n
c)
= –4
|
a b |
–a –b
d)
= –2
|
–m –n |
a a + b = 4
e)
|
m m + n |
2a 2b
a)
= 4
2m 2n
| |
Logo,
| |
m n
a b
m n = 2 Þ – a b = 2 Þ
| | | |
2m
a
5
33. O campeonato de futsal de uma faculdade será disputado
por 6 equipes. Na primeira fase de classificação, todas as
equipes jogam entre si, uma única vez. Das 4 melhores
colocadas, a primeira joga com a quarta e a segunda joga
com a terceira e os vencedores dessas partidas jogam entre
si, resultando daí a equipe campeã.
O número total de jogos realizados será igual a:
a) 15
b)20
c)18
d)16
e)21
Na primeira fase temos:
C6,2 = 15 jogos
Na fase seguinte temos:
1a x 4a e 2a x 3a Þ 2 jogos
Na fase final:1 jogo
Assim, o número total de jogos será igual a 18.
Alternativa C
34.No curso de Administração de uma faculdade, 80% dos
alunos são homens, mas no curso de Propaganda esse
percentual cai para 60%. Escolhendo-se, ao acaso, um
aluno de cada curso, a probabilidade de que sejam duas
mulheres é igual a:
a) 20%
b)16%
c)12%
d)8%
e)6%
Resolução:
Resolução:
ESPM – 23/06/2013
Resolução:
Assim:
ESPM
| |
m n
a b = – 2
m n
2n
= 2 . a b = – 4
b
No curso de Administração, 80% são homens e 20% mulheres.
No curso de Propaganda, 60% são homens e 40% mulheres.
Assim, escolhendo-se ao acaso um aluno de cada curso, a
probabilidade de que sejam mulheres é dada por:
20% . 40% = 8%
Alternativa D
Alternativa C
ESPMJUN2013
CPV
6
ESPM – 23/06/2013
CPV –
especializado na
35. Um polinômio P(x) dividido por x – 1 tem como quociente
Q(x) e resto 2. Quando esse polinômio é dividido por x – 2
tem o mesmo quociente Q(x) e resto 3.
Podemos afirmar que o valor de Q(1) + Q(2) é:
a) 1
b)0
c)–2
d)–1
e)2
ESPM
36. Na figura abaixo, ABCD é um quadrado. BCE e EBF são
triângulos isósceles de bases BE e BF, respectivamente.
Sabendo-se que A, C e E estão alinhados e que A, B e F
também estão alinhados, a medida do ângulo x é:
Resolução:
P(x) = (x – 1) . Q(x) + 2
e
P(x) = (x – 2) . Q(x) + 3 P(1) = 2
P(2) = 3
Assim,
P(2) = (2 – 1) . Q(2) + 2
Þ
P(1) = (1 – 2) . Q(1) + 3 Logo, Q(1) + Q(2) = 2
3 = Q(2) + 2
Þ
2 = – Q(1) + 3
Q(1) = 1 Q(2) = 1
a)22º30'
b)30º
c)15º
d)45º
e)60º
Resolução:
Alternativa E
α
45º
α
45º
ESPMJUN2013
β
Da figura, temos:
2α = 45º
α + β = 90º
x + 2β = 180º
CPV
β
Þ α = 22º30', β = 67º30' e x = 45º
Alternativa D
CPV –
especializado na
37. Na progressão aritmética finita (–5, ..., 15), sabe-se que
o último termo é igual à soma de todos os anteriores. O
produto da razão pelo número de termos dessa PA é igual a:
a) 24
b)18
c)12
d)30
e)15
Resolução:
Þ (–5 + 15) .
39. A parábola de equação x2 = 2y + 4 e a circunferência de
equação x2 + y2 = 4 interceptam-se nos pontos A, B e C.
A área do triângulo ABC é igual a:
a)4
b)12
c)8
d)2
e)16
Assim,
7
x2 = 2y + 4
Þ (x = 2 e y = 0) ou (x = –2 e y = 0)
x2 + y2 = 4
ou
(x = 0 e y = –2)
n
= 30 Þ n = 6
2
a6 = a1 + 5r Þ 15 = –5 + 5r Þ
ESPM – 23/06/2013
Resolução:
Na PA finita (–5, ..., 15), temos:
Sn – 15 = 15 Þ Sn = 30
ESPM
r=4
Portanto, n . r = 6 . 4 = 24
y
No plano cartesiano, temos:
B
Alternativa A
38. Uma reta do plano cartesiano tem equações paramétricas
dadas por x = 2t + 1 e y = t – 1, com t Î . O coeficiente
angular (ou declividade) dessa reta é igual a:
a)–2
b)2
1
c)–
2
d)–1
1
e)
2
A
(2;0)
(–2;0)
x
C (0;–2)
A área do triângulo ABC é
4.2
= 4
2
Alternativa A
Resolução:
x = 2t + 1
x = 2t + 1
y = t – 1
–2y = –2t + 2
Somando membro a membro as duas equações, temos:
x – 2y = 3 Þ y =
Portanto, o coeficiente angular da reta é
Þ
1
3
x–
2
2
1
.
2
Alternativa E
ESPMJUN2013
CPV
8
ESPM – 23/06/2013
CPV –
especializado na
40.A base de um prisma reto é um triângulo retângulo
que possui um ângulo interno de 30º e a hipotenusa
medindo 8 cm.
Se a altura desse prisma é igual ao maior cateto da base,
seu volume é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
108 cm3
96 cm3
218 cm3
154 cm3
84 cm3
Chamemos de x o valor do maior cateto do triângulo retângulo.
Assim:
x
30º
x
Þ x = 4 3 cm
8
1
A área da base é AB = . 4 3 . 8 . sen 30º = 8 3 cm2
2
cos 30º =
O volume do prisma é V = AB . x = 8 3 . 4 3 = 96 cm3
Alternativa B
CPV
ESPMJUN2013
A prova de Matemática do processo seletivo da ESPM (junho de
2013) premiou os vestibulandos com uma avaliação primorosa,
de enunciados claros e precisos, escolha adequada de assuntos
e apesar de sua simplicidade, muita criatividade.
Parabenizamos a Banca examinadora por esta excepcional
demonstração de competência.
8
COMENTÁRIO DO CPV
Acreditamos que os candidatos mais preparados puderam
deliciar-se em meio a estas questões, mostrando o seu potencial.
Resolução:
ESPM