CPV
ESPM
–
especializado na
ESPM
R esolvida – Prova E – 16/novembro /2014
MATEMÁTICA
21. O valor da expressão x +
1
+ 2 para x = 400 é igual a:
x
a)4
b)8
a)20,05
b)20,50
c)20,10
d)20,01
e)20,15
1
c)
4
d)16
Resolução:
x2 + 2x + 1
x
1
x+
+2 =
x
Sendo x = 400, temos:
| 400 + 1 |
400
(x + 1)2
=
=
x
|x+1|
x
401
=
= 20,05
20
Alternativa A
22.Um número natural de 2 algarismos distintos é igual
ao triplo do algarismo das unidades menos o dobro do
algarismo das dezenas. Esse número é:
a)primo
b) quadrado perfeito
c)ímpar
d) divisível por 7
e) múltiplo de 5
(1 ≤ x ≤ 9 e 0 ≤ y ≤ 9)
xy = 3y – 2x
10x + y = 3y – 2x
12x = 2y
6x = y
Logo, x = 1 e y = 6 e xy = 16, que é um quadrado perfeito.
Resolução:
xy = 32 e x – y = z, temos:
Dado que x = 4;
●
xy = 32 Þ 4y = 32 Þ 22y = 25 Þ y =
●
x – y = z Þ 4 –
●
xz = 4 2 = (22) 2 = 23 = 8
3
5
2
5
3
=z Þ y=
2
2
3
Alternativa B
não pode ser uma função f : A → A.
a)
b)
c)
d)
e)
f(x) = 0
f(x) = –x
f(x) = x2 – 2
f(x) = x + 1
f(x) = | x |
Resolução:
Alternativa B
ESPMNOV2014
1
e)
8
24. Se A = {x Î Z | –3 < x ≤ 2}, assinale a alternativa que
Resolução:
CPV
23. Se x = 4, xy = 32 e x – y = z , o valor de xz é igual a:
Sendo A = {x Î Z | –3 < x ≤ 2}, a função f (x) = x + 1,
não pode ser uma função f : A → A, pois f (2) = 3 Ï A.
Alternativa D
1
2
CPV –
ESPM – 16/11/2014
especializado na
25.
Seja f : [0, 5] →  uma função real tal que
f(x) = (x – 1) . (x – 3). O conjunto imagem dessa função é:
a) [–1, 3]
b) [–1, +∞[
c) [–1, 8]
d) [3, 5]
e)]– ∞, –1]
27. Um capital, aplicado à taxa de juros simples de 5% ao mês,
vai triplicar o seu valor em:
Resolução:
a)
b)
c)
d)
e)
3 anos e 6 meses
3 anos e 8 meses
3 anos
3 anos e 2 meses
3 anos e 4 meses
Resolução:
As raízes da função ocorrem para f(x) = 0.
(x – 1) . (x – 3) = 0 Û x = 1 ou x = 3
Para x = 0, temos f(0) = (0 – 1) . (0 – 3) = 3
Para x = 5, temos f(5) = (5 – 1) . (5 – 3) = 8
O mínimo da função ocorre para o ponto médio das raízes, ou
1+3
seja, xv =
= 2 e portanto yv = f(2) = (2 – 1) . (2 – 3) = – 1.
2
ESPM
Consideremos:
O gráfico da função no intervalo [0; 5] é:
C = capital aplicado
i = taxa mensal de juros simples
t = tempo de aplicação
Temos:
C . i . t = 2 . C
0,05 . t = 2
y
8
t=
2
= 40 meses = 3 anos e 4 meses.
0,05
Alternativa E
28. Um comerciante avaliou que, para uma certa mercadoria,
o número de unidades vendidas diariamente podia ser
calculado pela expressão n = 100 – 2x , onde x é o preço
de venda por unidade.
3
2
–1
1
3
5
x
Sabendo-se que cada unidade teve um custo de 10 reais, o
preço de venda (x) que garante o maior lucro para ele é:
a)
b)
c)
d)
e)
Observando o intervalo [0; 5], temos Im = [–1; 8]
Resolução:
Alternativa C
Consideremos:
26. Assinale a alternativa correta:
a)
b)
c)
d)
e)
Se x + y = 7 , então x = 3 e y = 4
Se x + y ≠ 7 , então x ≠ 3 e y ≠ 4
Se x + y ≠ 7 , então x ≠ 3 ou y ≠ 4
Se x + y = 7 , então x = 3 ou y = 4
Se x + y ≠ 7 , então x = 3 e y ≠ 4
Consideramos a hipótese x + y ≠ 7.
Nela, se x = 3, então y ≠ 4.
Por outro lado, se y = 4, então x ≠ 3.
Temos, portanto, que x ≠ 3 ou y ≠ 4
CPV
ESPMNOV2014
L = lucro
R = receita
C = custos
Temos:
Resolução:
28 reais
40 reais
30 reais
32 reais
36 reais
L=R–C
L = (100 – 2x) . x – (100 – 2x) . 10
L = –2x2 + 120x – 1000
O maior lucro ocorre para o vértice da parábola, dado por:
xv =
Alternativa C
– 120
= 30 reais
2 . (–2)
Alternativa C
CPV –
especializado na
29. Ana e Bia percorrem uma pista circular com velocidades
constantes, partindo de um mesmo ponto, no mesmo
instante, mas em sentidos contrários. O primeiro encontro
entre elas se dá a 48 metros à esquerda da largada e o
segundo encontro a 20 metros à direita da largada.
O comprimento total da pista é de:
a)
b)
c)
d)
e)
132 m
118 m
152 m
146 m
116 m
Resolução:
a1 = 3
an = 2 . an – 1, se n ≤ 4
an = 5 + an – 1, se n > 4
O 10o termo dessa sequência vale:
a)59
b)54
c)63
d)49
e)74
Resolução:
20 m
48 m
Pelas leis de formação da sequência, temos:
a1 = 3
P2
P1
C – (48 + 20)
Sendo C o comprimento total da circunferência, temos que
os comprimentos dos arcos P0P1 e P1P2 são iguais.
Assim: 48 = C – (48 + 20)
a2 = 2 . a1
Þa2 = 6
a3 = 2 . a2
Þa3 = 12
a4 = 2 . a3
Þa4 = 24
a5 = 5 + a4
Þa5 = 29
a6 = 5 + a5
Þa6 = 34
a7 = 5 + a6
Þa7 = 39
a8 = 5 + a7
Þa8 = 44
a9 = 5 + a8
Þa9 = 49
an = 2 . an – 1, se n ≤ 4
an = 5 + an – 1, se n > 4
a10 = 5 + a9 Þa10 = 54
C = 48 + 48 + 20
C = 116 m
3
ESPM – 16/11/2014
30. Uma sequência numérica (an) é dada por
largada (P0)
ESPM
Alternativa E
Alternativa B
31. Se log 2 = a e log 3 = b ,
o valor de x na expressão 9x = 5 é igual a:
1–a
a)
2b
1–b
b)
a
a–2
c)
b
a–b
d)
2
b–1
e)
2a
Resolução:
10
Þ
2
1–a
10
(10b)2x = a Þ 102bx = 101 – a Þ 2bx = 1 – a Þ x =
2b
10
Temos: 10a = 2 e 10b = 3, então 9x = 5 Þ 32x =
Alternativa A
ESPMNOV2014
CPV
4
ESPM – 16/11/2014
CPV –
especializado na
32. A reta de coeficiente angular 1 intercepta a circunferência
de equação (x – 3)2 + (y – 3)2 = 9 nos pontos (0, 3) e (r, s).
O valor de r + s é igual a:
a)6
b)9
c)12
d)8
e)10
ESPM
35. Só existem 3 estradas ligando as cidades A, B e C e todas
passam pela cidade D, como mostra o esboço abaixo. A
tabela mostra as distâncias, em km, percorridas para se ir
de uma cidade à outra.
B
C
D
A
C
Resolução:
Seja a reta y = x + n, de onde obtemos: 3 = 0 + n Þ y = x + 3.
Fazendo a intersecção, temos:
(x – 3)2 + (x + 3 – 3)2 = 9 Þ x2 – 6x + 9 + x2 = 9 Þ x = 0 ou x = 3
Os pontos de intersecção são (0; 3) e (3; 6), portanto r + s = 9
Alternativa B
33. A medida de um ângulo cujo suplemento tem 100º a mais
que a metade do seu complemento é igual a:
a)40º
b)50º
c)60º
d)70º
e)80º
Chamando de α o ângulo mencionado, temos:
180º – α = 100º +
α = 70º
90º – α
Þ 360º – 2α = 200º + 90º – α Þ
2
Alternativa D
34. Permutando-se as letras de uma palavra, formam-se novas
“palavras”, com ou sem sentido, chamadas anagramas.
O número de anagramas da palavra PORTA que não
possuem vogais nem consoantes juntas é igual a:
a)6
b)24
c)30
d)18
e)12
Resolução:
Devemos ter C V C V C, sendo C = consoante e V = vogal.
Obtemos: 3 . 2 . 2 . 1 . 1 = 12
CPV
ESPMNOV2014
Alternativa E
B
0
112
78
156
Pode-se concluir que, para ir da cidade B até a cidade D, a
distância percorrida é de:
a)
b)
c)
d)
e)
72 km
58 km
49 km
61 km
55 km
Resolução:
Sejam x, y e z as distâncias entre as cidades BD, DA e DC,
respectivamente.
Pela tabela, temos:
Resolução:
A
A
x + y = 78 (distância AB)
x + z = 156 (distância BC)
y + z = 112 (distância AC)
Resolvendo o sistema acima, obtemos:
x = 61
y = 17
z = 95
Alternativa D
CPV –
36. Se f(x) = x2 – 3x
e
x ≠ 0,
f(x + 3) – f(x)
é igual a:
x
a) 1
b) – 3
c) 6
d) 2
e) – 4
especializado na
ESPM
5
ESPM – 16/11/2014
38. O gráfico abaixo mostra a distribuição das notas obtidas
por uma turma de 40 alunos numa prova de Matemática:
o valor de
Resolução:
Do enunciado, temos:
f(x) = x2 – 3x = x(x – 3)
f(x + 3) = (x + 3) . x = x2 + 3x
Substituindo na expressão, obtemos:
f(x + 3) – f(x)
x2 + 3x – (x2 – 3x)
=
=6
x
x
Alternativa C
37. Uma mercadoria, cujo preço de custo era x, foi adquirida
com desconto de 8% e logo em seguida foi vendida com
acréscimo de 10% sobre o preço de custo.
Se o lucro obtido nessa transação foi de R$ 900,00, o valor
de x é:
a)
b)
c)
d)
e)
R$ 4000,00
R$ 5000,00
R$ 3800,00
R$ 4200,00
R$ 5600,00
Nessa transação, temos:
Preço de custo = (1 – 0,08)x = 0,92x
Preço de venda = (1 + 0,10)x = 1,10x
L(x) = 1,10x – 0,92x
900 = 0,18x
x = 5000
Portanto, o valor de x é R$ 5.000,00
a)6,35
b)7,05
c)6,85
d)7,25
e)6,15
Resolução:
A média aritmética (M) é dada por:
M=
M=
1.2+4.3+4.4+6.5+5.6+8.7+8.8+4.9
40
246
= 6,15
40
39. A soma das raízes da equação 4x + 25 = 3 . 2x + 2 é igual a:
Assim,
Pode-se concluir que a média aritmética das notas dessa
turma foi:
Alternativa E
Resolução:
a)5
b)3
c)8
d)12
e)7
Resolução:
4x + 25 = 3 . 2x + 2
22x + 32 = 3 . 2x . 22
22x – 12 . 2x + 32 = 0
Alternativa B
Substituindo 2x por t, obtemos:
t2 – 12t + 32 = 0 Þ t = 4 ou t = 8
Assim,
2x = 4 Þ x = 2 ou 2x = 8 Þ x = 3
Portanto, a soma das raízes é 2 + 3 = 5.
Alternativa A
ESPMNOV2014
CPV
6
CPV –
ESPM – 16/11/2014
especializado na
40. Um prédio de 15m de altura projeta uma sombra de 20m
de comprimento sobre um piso horizontal plano, como
mostra a figura abaixo.
ESPM
COMENTÁRIO
do
CPV
A prova de Matemática do processo seletivo da ESPM
(novembro – 2014) seguiu o padrão dos últimos vestibulares,
tanto no formato quanto na abordagem dos assuntos.
A única exceção observada foi a presença de uma questão
abordando o assunto Lógica, que não consta no programa mas
que não deverá prejudicar o processo seletivo.
A clareza e a objetividade dos enunciados vão de encontro aos
propósitos da Banca Examinadora, beneficiando os candidatos
mais preparados.
A máxima distância que uma pessoa de 1,80m de altura
pode se afastar do prédio para que continue totalmente à
sua sombra é:
a)17,60m
b)18,20m
c)17,40m
d)17,80m
e)18,00m
Resolução:
15 m
1,8 m
x
20 – x
20 m
CPV
Na figura, temos dois triângulos retângulos semelhantes. Assim:
20 – x
1,8
=
20
15
Þ x = 17,60
Portanto, a máxima distância é 17,60 m
ESPMNOV2014
Alternativa A