Ajuda GeoGebra 3.0
Última alteração na versão original: Outubro 11, 2007
Autores
Markus Hohenwarter, [email protected]
Judith Preiner, [email protected]
Tradução e adaptação para português de Portugal
António Ribeiro, [email protected]
Última alteração: Outubro 14, 2007
GeoGebra Online
Website: www.geogebra.org
Help Search: http://www.geogebra.org/help/search.html
Conteúdos
1.
O que é o GeoGebra? ............................................................. 5
2.
Exemplos ................................................................................. 6
2.1.
Triângulo e Ângulos ......................................................... 6
2.2.
Equação Linear y = m x + b ............................................. 6
2.3.
Centróide de Três Pontos A, B, C.................................... 7
2.4.
Dividir o Segmento [AB] na Razão 7:3 ............................ 8
2.5.
Sistema de Duas Equações Lineares com Duas
Incógnitas .................................................................................... 8
2.6.
Tangente ao Gráfico de uma Função .............................. 9
2.7.
Investigação de Funções Polinomiais............................ 10
2.8.
Integrais ......................................................................... 10
3.
Janela Geométrica................................................................. 11
3.1.
Notas Gerais .................................................................. 11
3.1.1.
Menu de Contexto.................................................. 11
3.1.2.
Exibir e Esconder ................................................... 11
3.1.3.
Traço ...................................................................... 12
3.1.4.
Zoom ...................................................................... 12
3.1.5.
Razão Entre Eixos ................................................. 12
3.1.6.
Protocolo de Construção........................................ 12
3.1.7.
Barra de Navegação .............................................. 13
3.1.8.
Redefinir................................................................. 13
3.1.9.
Diálogo de Propriedades........................................ 13
3.2.
Modos ............................................................................ 14
3.2.1.
Modos Gerais......................................................... 14
3.2.2.
Ponto...................................................................... 16
3.2.3.
Vector..................................................................... 17
3.2.4.
Segmento............................................................... 17
3.2.5.
Semirecta ............................................................... 18
3.2.6.
Polígono ................................................................. 18
3.2.7.
Recta...................................................................... 18
3.2.8.
Cónica .................................................................... 20
3.2.9.
Arco e Sector ......................................................... 20
3.2.10. Número e Ângulo ................................................... 21
3.2.11. Booleano ................................................................ 22
3.2.12. Lugar Geométrico .................................................. 22
3.2.13. Transformações Geométricas................................ 23
3.2.14.
3.2.15.
3.2.16.
4.
Texto ...................................................................... 24
Imagens ................................................................. 25
Propriedades das Imagens .................................... 26
Entrada Algébrica .................................................................. 28
4.1.
Notas Gerais .................................................................. 28
4.1.1.
Alterar Valores ....................................................... 28
4.1.2.
Animação ............................................................... 28
4.2.
Entrada Directa .............................................................. 29
4.2.1.
Números e Ângulos................................................ 29
4.2.2.
Pontos e Vectores.................................................. 30
4.2.3.
Recta...................................................................... 30
4.2.4.
Cónica .................................................................... 31
4.2.5.
Função de x ........................................................... 31
4.2.6.
Listas de Objectos.................................................. 32
4.2.7.
Operações Aritméticas........................................... 32
4.2.8.
Variáveis Booleanas .............................................. 34
4.2.9.
Operações Booleanas............................................ 34
4.3.
Comandos...................................................................... 35
4.3.1.
Comandos Gerais .................................................. 35
4.3.2.
Comandos Booleanos............................................ 35
4.3.3.
Número .................................................................. 36
4.3.4.
Ângulo .................................................................... 38
4.3.5.
Ponto...................................................................... 39
4.3.6.
Vector..................................................................... 41
4.3.7.
Segmento............................................................... 42
4.3.8.
Semirecta ............................................................... 42
4.3.9.
Polígono ................................................................. 42
4.3.10. Recta...................................................................... 42
4.3.11. Cónica .................................................................... 44
4.3.12. Função ................................................................... 45
4.3.13. Curvas Paramétricas.............................................. 46
4.3.14. Arco e Sector ......................................................... 46
4.3.15. Imagem .................................................................. 48
4.3.16. Texto ...................................................................... 48
4.3.17. Locus...................................................................... 48
4.3.18. Sequência .............................................................. 48
4.3.19. Transformações Geométricas................................ 49
5.
Imprimir e Exportar ................................................................ 51
5.1.
Imprimir .......................................................................... 51
5.1.1.
Zona Gráfica .......................................................... 51
5.1.2.
Protocolo de Construção........................................ 52
5.1.3.
Zona Gráfica como Imagem................................... 52
5.2.
Zona Gráfica / Área de Transferência............................ 53
5.3.
Protocolo de Construção / Página Web ......................... 53
5.4.
Folha Dinâmica como Página Web................................ 54
6.
Opções .................................................................................. 56
6.1.
6.2.
6.3.
6.4.
6.5.
6.6.
6.7.
6.8.
6.9.
6.10.
6.11.
6.12.
7.
Ferramentas .......................................................................... 58
7.1.
7.2.
8.
Captura de Pontos ......................................................... 56
Unidade de Ângulo ........................................................ 56
Casas Decimais ............................................................. 56
Continuidade.................................................................. 56
Estilo do Ponto............................................................... 56
Estilo do Ângulo Recto................................................... 57
Coordenadas ................................................................. 57
Rotular ........................................................................... 57
Tamanho da Fonte......................................................... 57
Idioma ........................................................................ 57
Zona Gráfica .............................................................. 57
Gravar Configurações ................................................ 57
Ferramentas Definidas pelo Utilizador........................... 58
Configurar Caixa de Feramentas ................................... 59
Interface JavaScript ............................................................... 59
8.1.
Exemplos ....................................................................... 59
8.2.
Métodos utilizáveis......................................................... 61
8.2.1.
Linha de Comando................................................. 61
8.2.2.
Definir o estado de um objecto .............................. 61
8.2.3.
Conhecer o estado de um objecto ......................... 62
8.2.4.
Construção / Interface utilizador ............................ 63
8.2.5.
Comunicação GeoGebra / JavaScript.................... 64
8.2.6.
Formato XML do GeoGebra................................... 66
Índice ............................................................................................. 68
1. O que é o GeoGebra?
O GeoGebra é um software de matemática dinâmica que junta
geometria, álgebra e cálculo. É desenvolvido principalmente para o
ensino e aprendizagem da matemática nas escolas básicas e
secundárias, por Markus Hohenwarter, na universidade americana
Florida Atlantic University.
Por um lado, o GeoGebra é um sistema de geometria dinâmica.
Permite construir vários objectos: pontos, vectores, segmentos,
rectas, secções cónicas, gráficos representativos de funções e
curvas parametrizadas, os quais podem depois ser modificados
dinamicamente.
Por outro lado, equações e coordenadas podem ser introduzidas
directamente com o teclado. O GeoGebra tem a vantagem de
trabalhar com variáveis vinculadas a números, vectores e pontos.
Permite determinar derivadas e integrais de funções e oferece um
conjunto de comandos próprios da análise matemática, para
identificar pontos singulares de uma função, como raizes ou
extremos.
Estas duas perspectivas caracterizam o GeoGebra: a uma
expressão na janela algébrica corresponde um objecto na janela de
desenho (ou zona gráfica) e vice-versa.
2. Exemplos
Para ter uma visão geral das potencialidades do GeoGebra vamos
ver alguns exemplos.
2.1. Triângulo e Ângulos
Seleccione o modo
Novo ponto na barra de ferramentas. Clique
na zona gráfica para criar os vértices A, B, C do triângulo.
Depois, seleccione o modo
Polígono e clique sucessivamente
nos pontos A, B, C e outra vez em A. Na janela algébrica pode ver
o número correspondente à área do triângulo.
Para obter os ângulos internos do triângulo deve seleccionar o
Ângulo na barra de ferramentas e clicar sobre o triângulo.
modo
Mover e arraste os vértices do triângulo.
Agora, escolha o modo
Se não necessitar da janela de álgebra nem dos eixos
coordenados esconda-os, usando o menu Exibir.
2.2. Equação Linear y = m x + b
Vamos ver o significado de m e de b na equação y = mx + b ,
variando os valores para m e de b. Para tal, podemos introduzir as
seguintes linhas no campo de entrada de comandos, situado na
base da janela, e pressionar a tecla Enter no fim de cada linha:
m = 1
b = 2
y = m x + b
Agora podemos mudar m e b usando o campo de entrada ou
directamente na janela de álgebra, dando um clique em m e b com
o botão direito do rato (MacOS: Maçã + clique) e seleccionando
Redefinir. Experimente os seguintes valores para m e b:
m = 2
m = -3
b = 0
b = -1
Também pode mudar m e b facilmente, usando:
• as teclas de movimento (setas) (veja Animação);
•
selectores: clique com o botão direito (MacOS: Maçã +
clique) em m ou em b e seleccione
Exibir / esconder
objecto (veja também o modo
Selector);
De modo análogo podemos investigar as equações de cónicas:
• elipses:
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
• hipérboles:
b^2 x^2 – a^2 y^2 = a^2 b^2
• circunferências:
(x - m)^2 + (y - n)^2 = r^2
2.3. Centróide de Três Pontos A, B, C
Pode construir o centróide de três pontos (baricentro do triângulo
que eles definem), inserindo as seguintes linhas no campo de
entrada e pressionando Enter no fim de cada linha:
A = (-2, 1)
B = (5, 0)
C = (0, 5)
M_a = PontoMédio[B, C]
M_b = PontoMédio[A, C]
s_a = Recta[A, M_a]
s_b = Recta[B, M_b]
S = Intersecção[s_a, s_b]
Também pode usar o rato para fazer esta construção, usando os
respectivos modos (veja Modos) na barra de ferramentas.
Em alternativa, pode calcular o centróide directamente no campo
de entrada: insira S1 = (A + B + C) / 3 , seguido de Enter, e
compare os resultados usando o comando Relação[S, S1].
Depois, verifique se S = S1 é verificado para outras posições de
A, B, e C. Pode fazer isto seleccionando o modo
rato e arrastando os pontos.
Mover com o
2.4. Dividir o Segmento [AB] na Razão 7:3
Dado que o GeoGebra nos permite operar com vectores, é fácil
realizar esta tarefa. Insira as seguintes linhas no campo de entrada
e pressione a tecla Enter no fim de cada linha:
A = (-2, 1)
B = (3, 3)
s = Segmento[A, B]
T = A + 7/10 (B - A)
Uma outra maneira de realizar esta tarefa pode ser:
A = (-2, 1)
B = (3, 3)
s = Segmento[A, B]
v = Vector[A, B]
T = A + 7/10 v
Em seguida podemos introduzir um número t, usando, por
Selector e então redefinir T da maneira
exemplo, o modo
Redefinir). Variando t, pode ver
seguinte: T = A + t v (veja
o ponto T a mover-se ao longo da recta que tem equação
paramétrica (veja Recta): g: X = T + s v.
2.5. Sistema de Duas Equações Lineares
com Duas Incógnitas
Duas equações lineares em x e y podem ser representadas
graficamente por duas rectas g e h. Se estas forem oblíquas, a
solução algébrica do sistema é o par ordenado que corresponde ao
ponto S onde se intersectam. Assim, insira no campo de entrada as
seguintes linhas, pressionando a tecla Enter no fim de cada linha:
g: 3x + 4y = 12
h: y = 2x - 8
S = Intersecção[g, h]
Para mudar as equações pode clicar com o botão direito do rato
(MacOS: Maçã + clique) em cada uma e seleccionar
Redefinir.
Usando agora o botão esquerdo do rato, pode arrastar as rectas
usando o modo
Mover , ou rodar cada uma delas em torno de
um ponto, usando agora o modo
Rodar em torno de um ponto.
2.6. Tangente ao Gráfico de uma Função
O GeoGebra oferece um comando para traçar a recta tangente ao
gráfico de uma função f(x) num ponto de abcissa x = a. Insira no
campo de entrada as seguintes linhas, pressionando a tecla Enter
no fim de cada linha:
a = 3
f(x) = 2 sin(x)
t = Tangente[a, f]
Fazendo variar o número a (veja Animação), a tangente desliza ao
longo do gráfico da função f.
Eis uma outra maneira de obter uma tal tangente num ponto T:
a = 3
f(x) = 2 sin(x)
T = (a, f(a))
t: X = T + s (1, f'(a))
Isto também nos dá o ponto de tangência T, mas agora a equação
da recta t está na forma paramétrica.
Pode ainda criar a tangente ao gráfico de f usando modos:
• seleccione o modo
Novo ponto e em seguida clique no
gráfico para obter um novo ponto A sobre ele;
•
seleccione o modo
Tangentes e clique sucessivamente
no gráfico e no ponto A.
Agora, seleccione o modo
Mover e arraste com o rato o ponto A
no gráfico de f. Pode observar que a tangente também muda de
forma dinâmica.
2.7. Investigação de Funções Polinomiais
O GeoGebra permite investigar raizes, extremos locais e pontos de
inflexão de funções polinomiais. Insira no campo de entrada as
seguintes linhas e pressione Enter no fim de cada linha:
f(x) = x^3 - 3 x^2 + 1
R = Raiz[f]
E = Extremo[f]
I = PontoDeInflexão[f]
No modo
Mover pode mover o gráfico da função polinomial f
com o rato. A primeira e segunda derivadas de f também podem
ser obtidas: insira no campo de entrada as seguintes linhas,
pressionando a tecla Enter no fim de cada linha:
Derivada[f]
Derivada[f, 2]
2.8. Integrais
Para introduzir o conceito de integral, o GeoGebra oferece a
possibilidade de visualizar as somas inferior e superior de uma
função como rectângulos. Insira no campo de entrada as seguintes
linhas, pressionando a tecla Enter no fim de cada linha:
f(x) = x^2/4 + 2
a = 0
b = 2
n = 5
L = SomaInferior[f, a, b, n]
U = SomaSuperior[f, a, b, n]
Modificando a, b, ou n (veja Animação; veja o modo
Selector)
pode ver o impacto destes três parâmetros nas somas inferior e
superior. Para mudar o incremento de n para 1 clique com o botão
direito (MacOS: Maçã + clique) em n e seleccione Propriedades.
O integral definido pode ser mostrado usando o comando
Integral[f, a, b], ao passo que uma primitiva F é criada
usando F = Integral[f].
3. Entrada Geométrica
Neste capítulo vamos explicar como usar o rato para criar e
modificar objectos no GeoGebra.
3.1. Notas Gerais
A janela geométrica mostra a representação gráfica de pontos,
vectores, segmentos, polígonos, funções, rectas e cónicas. Sempre
que o rato é movido sobre um de tais objectos aparece a respectiva
descrição.
Nota: às vezes, a janela geométrica é chamada zona gráfica.
Existem várias maneiras de dizer ao GeoGebra como deve reagir a
cada clique do rato na janela geométrica (veja Modos). Por
exemplo, clicando na zona gráfica pode criar um novo ponto (veja o
modo
Novo Ponto), intersectar objectos (veja também o modo
Intersecção de dois objectos), ou criar uma circunferência (veja
o modo
Circunferência dados o centro e um ponto).
Nota: fazendo duplo clique sobre um objecto na janela de álgebra,
abre-se um campo de edição onde pode redefinir tal objecto.
3.1.1.
Menu de Contexto
Ao accionar a tecla direita do rato sobre um objecto, surge um
menu de contexto onde se pode seleccionar a notação algébrica
(coordenadas polares ou cartesianas, equações implícitas ou
explícitas, etc.). Aqui também se pode aceder a comandos tais
como
Renomear,
Redefinir ou
Apagar .
No menu de contexto, se escolher Propriedades surge uma caixa
de diálogo na qual pode mudar, por exemplo, as seguintes
propriedades: cor, tamanho, espessura da recta, estilo das rectas,
e preenchimento.
3.1.2.
Exibir e Esconder
Os objectos geométricos podem ser visíveis (exibir) ou não
(esconder). Use o modo
Exibir / esconder objecto ou o Menu de
Contexto para mudar este estado. O ícone à esquerda de cada
objecto na janela de álgebra indica-nos o seu estado de visibilidade
actual ( “exibir” ou
“esconder”).
Nota: também pode usar o modo
Caixa para exibir /esconder
objectos para exibir / esconder um ou mais objectos.
3.1.3.
Traço
Quando são movidos, os objectos geométricos podem deixar um
traço (ou rasto) na zona gráfica. Use o Menu de Contexto para
activar ou desactivar esse traço.
Nota: a opção Actualizar janelas, no menu Exibir, apaga todos os
traços.
3.1.4.
Zoom
Após clicar com o botão direito (MacOS: Maçã + clique) na zona
gráfica aparece um menu de contexto que lhe permite aumentar
(veja o modo
Ampliar) ou diminuir (veja o modo
Reduzir).
Nota: para especificar um zoom clique na zona gráfica com o botão
direito (MacOS: Maçã + clique) e mova o rato.
3.1.5.
Razão Entre Eixos
Clique na zona gráfica com o botão direito (MacOS: Maçã + clique)
e seleccione Propriedades para obter um menu de contexto onde
pode:
• mudar a razão entre o eixo dos xx e o eixo dos yy;
• exibir / esconder cada eixo coordenado individualmente;
• modificar a aparência dos eixos (marcações, cor, estilo das
rectas, etc.).
3.1.6.
Protocolo de Construção
O protocolo de construção (menu Exibir, Protocolo de construção)
é uma tabela que mostra todos os passos da construção e permite
refazer uma construção passo a passo usando a barra de
navegação situada na base da zona gráfica. É possível inserir
novos passos e mudar a sua sequência. Veja mais detalhes no
menu Ajuda do protocolo de construção.
Nota: usando a coluna Ponto de quebra, no submenu Exibir do
menu Protocolo, pode definir certos passos da construção como
pontos de quebra, o que lhe permite agrupar objectos. Assim,
quando navega na sua construção, os objectos de cada grupo são
mostrados simultaneamente.
3.1.7.
Barra de Navegação
O GeoGebra oferece uma barra de navegação para navegar
através dos passos de uma construção já realizada. No menu
Exibir, seleccione Barra de navegação para passos da construção
e verá a barra de navegação na base da zona gráfica.
3.1.8.
Redefinir
Pode redefinir um objecto usando o seu Menu de Contexto. Isto é
muito útil para posteriores alterações na sua construção. Também
pode abrir a caixa de diálogo Redefinir, seleccionando primeiro o
modo
Mover e fazendo depois um duplo clique sobre um objecto
dependente na janela de álgebra.
Exemplos:
Para colocar um ponto livre A numa recta h seleccine Redefinir
para o ponto A e insira Ponto[h] no campo de entrada da caixa
de diálogo que aparece. Para remover o ponto A da recta h clique
sobre este e redefina-o, atribuindo-lhe coordenadas.
Um outro exemplo é a conversão de uma recta h, definida por dois
pontos A e B, no segmento [A,B]. Para tal, seleccione Redefinir e
insira Segmento[A, B] no campo de entrada da caixa de diálogo
que aparece. De modo análogo, pode converter o segmento [AB]
na recta AB.
Redefininir objectos é uma ferramenta muito versátil para alterar
uma construção. Mas tenha cuidado, pois isso pode alterar também
a ordem dos passos da construção, no Protocolo de Construção.
3.1.9.
Diálogo de Propriedades
O diálogo de propriedades permite-lhe modificar propriedades dos
objectos (cor, espessura, etc.). Pode abrir uma caixa de diálogo por
dois processos: clicar com o botão direito do rato (MacOS: Maçã +
clique) sobre o objecto e seleccionar Propriedades, ou seleccionar
Propriedades no menu Editar.
No diálogo de propriedades, os objectos são organizados por tipos
(pontos, rectas, circunferência, etc.), o que permite tratar um
grande número de objectos simultaneamente. Na coluna Objectos
pode seleccionar um grupo e atribuir-lhe a mesma propriedade. Se
o grupo incluir apenas objectos do mesmo tipo, basta clicar sobre o
nome desse tipo e depois atribuir a propriedade. Se o grupo incluir
objectos de tipos diferentes, clique sobre o nome de um deles,
pressione a tecla CTRL e depois vá clicando sobre o nome dos
restantes para os seleccionar, atribuindo-lhes depois a
propriedade. Após a atribuição da(s) propriedade(s), pode fechar a
caixa de diálogo, pois elas ficam automaticamente gravadas.
3.2. Modos
Os seguintes modos podem ser seleccionados e activados nos
menus da barra de ferramentas. Clique na pequena seta situada no
canto inferior direito de um ícone para obter um menu com outros
modos.
Nota: em todos os modos de construção pode criar facilmente
novos pontos clicando na zona gráfica.
Marcar um Objecto
Marcar um objecto significa clicar nele com o botão esquerdo do
rato.
Renomeação Rápida de Objectos
Para renomear um objecto já existente ou acabado de criar, basta
abrir o diálogo Renomear para esse objecto.
3.2.1.
Modos Gerais
Nota: o número que segue o nome do modo codifica esse modo na
interface JavaScript e serve para personalizar a barra de
ferramentas.
Mover (cod 0)
Neste modo pode mover e situar objectos livres com o rato. Se
seleccionar um objecto clicando nele no modo
Mover, pode:
•
•
apaga-lo, pressionando a tecla Delete;
move-lo, usando as teclas de movimeto (veja Animação).
Nota: pressionando a tecla Esc também activa o modo Mover.
Com a tecla Ctrl pressionada, pode seleccionar vários objectos ao
mesmo tempo.
Uma outra maneira de seleccionar múltiplos objectos consiste em
pressionar continuadamente o botão esquerdo do rato para
especificar um rectângulo de selecção. Então pode mover os
objectos seleccionados arrastando um deles com o rato.
O rectângulo de selecção também pode ser usado para especificar
a parte da janela geométrica que se pretende imprimir, exportar
como figura ou como folha de trabalho dinâmica em formato html
(veja Imprimir e Exportar).
Rodar em torno de um ponto (cod 39)
Seleccione primeiro o ponto que é o centro da rotação. Depois
pode rodar objectos livres em torno dele, movendo-os com o rato.
Relação (cod 14)
Marque dois objectos para obter informação sobre a sua relação
(veja também o comando Relação).
Mover eixos coordenados (cod 40)
Mova a zona gráfica para modificar a origem do sistema de
coordenadas.
Nota: também pode mover a zona gráfica se pressionar
continuadamente a tecla Shift ou Ctrl e arrastar com o rato.
Neste modo também pode alterar a escala em cada um dos eixos,
arrastando-o com o rato.
Nota: alterar a escala de um eixo também é possível em qualquer
outro modo, desde que mantenha uma das teclas Shift ou Ctrl
pressionada enquanto arrasta o eixo.
Ampliar (cod 41)
Clique em qualquer lugar da zona gráfica para ampliar (veja Zoom)
Reduzir (cod 42)
Clique em qualquer lugar da zona gráfica para reduzir (veja Zoom)
Exibir / esconder objecto (cod 27)
Clique num objecto para o exibir ou esconder.
Nota: clicando num objecto para o esconder, este é destacado;
para que o objecto se esconda de facto, basta clicar sobre o ícone
de outro modo, na barra de ferramenras.
Exibir/esconder rótulo (cod 28)
Clique num objecto para exibir ou esconder o respectivo rótulo.
Copiar estilo visual (cod 35)
Este modo modo permite-lhe copiar as propriedades visuais (cor,
tamanho, estilo das rectas, etc.) de um objecto para outros. Para o
fazer, seleccione primeiro o objecto cujas propriedades quer copiar
e depois clique em todos os objectos que devem adoptar essas
propriedades.
Apagar objectos (cod 6)
Clique em qualquer objecto que queira apagar.
3.2.2.
Ponto
Novo ponto (cod 1)
Clicando na zona gráfica cria um novo ponto.
Nota: as coordenadas do ponto são fixadas na janela de álgebra
logo que o botão do rato é accionado na zona gráfica.
Clicando num segmento, numa recta, num polígono, numa cónica,
num gráfico de uma função ou numa curva, cria um ponto nesse
objecto (veja o comando Ponto). Clicando na intersecção de dois
objectos cria o respectivo ponto de intersecção (veja o comando
Intersecção).
Intersecção de dois objectos (cod 5)
Os pontos de intersecção de dois objectos podem ser criados de
duas maneiras:
• marcando dois objectos, todos os pontos de intersecção são
criados (se for possível);
• clicando numa intersecção de dois objectos, um único ponto de
intersecção é criado.
Para segmentos, semirectas ou arcos, pode especificar se quer
extender os pontos de intersecção (veja Diálogo de Propriedades).
Isto pode ser usado para obter os pontos de intersecção situados
na extensão de um objecto. Por exemplo, a extensão de um
segmento ou de uma semirecta é uma recta.
Ponto médio ou centro (cod 19)
Clique
• em dois pontos para obter o respectivo ponto médio;
• num segmento para obter o respectivo ponto médio;
• numa cónica para obter o respectivo centro.
3.2.3.
Vector
Vector definido por dois pontos (cod 7)
Marque o ponto origem e o ponto extremidade do vector.
Vector a partir de um ponto (cod 37)
Marcando um ponto A e um vector v , cria o ponto B = A + v e o
vector que vai de A para B.
3.2.4.
Segmento
Segmento definido por dois pontos (cod 15)
Marcando dois pontos A e B fixa um segmento entre os dois. O
comprimento do segmento fica visível na janela de álgebra.
Segmento dados o comprimento e um ponto (cod 45)
Clique num ponto A que deve ser o ponto inicial do segmento.
Especifique o comprimento a do segmento na janela que aparece.
Nota: este modo cria um segmento de comprimento a e extremo B,
o qual pode ser rodado em torno de A usando o modo
3.2.5.
Mover.
Semirecta
Semirecta definida por dois pontos (cod 18)
Marcando dois pontos A e B cria a semirecta de origem A que
passa por B. Na janela de álgebra pode ver a equação da recta
correspondente.
3.2.6.
Polígono
Polígono (cod 16)
Marque três ou mais pontos. Depois clique no primeiro para fechar
o polígono. Na janela de álgebra vê a área do polígono.
Polígono regular (cod 51)
Marque dois vértices consecutivos do polígono, A e B. Depois
insira o número n de vértices no campo de texto do diálogo que
aparece e obtém o polígono regular.
3.2.7.
Recta
Recta definida por dois pontos (cod 2)
Marcando dois pontos A e B fixa a recta que os contém. Um vector
director da recta é o vector B-A.
Recta paralela (cod 3)
Marcando a recta g e o ponto A obtém a recta que contém A e é
paralela a g. A direcção da nova recta é a direcção de g.
Recta perpendicular (cod 4)
Marcando a recta g e o ponto A obtém a recta perpendicular a g no
ponto.A direcção da nova recta é a de um vector perpendicular a g
(veja o comando VectorPerpendicular).
Mediatriz (cod 8)
A recta mediatriz de um segmento de recta é determinada por um
segmento s ou por dois pontos A e B. A direcção da mediatriz é a
de um vector perpendicular a s ou a AB.
Bissectriz (cod 9)
A bissectriz de um ângulo pode ser definida de duas maneiras:
• marcando pontos A, B, C obtém a bissectriz do ângulo que
tem vértice B;
• marcando duas rectas não paralelas produz uma bisectriz
para cada um dos ângulos que elas definem.
Nota: um vector director de uma bissectriz tem comprimento 1.
Tangentes (cod 13)
As tangentes a uma cónica podem ser obtidas de duas maneiras:
• marcando um ponto A e uma cónica c produz todas as
tangentes a c que passam por A;
• marcando uma recta g e uma cónica c produz todas as
tangentes a c que são paralelas a g.
Marcando um ponto A e o gráfico de uma função f produz a recta
tangente ao gráfico no ponto de abcissa x(A) e ordenada f(x(A)).
Recta polar (cod 44)
Este modo cria a recta polar ou o diâmetro de uma cónica. Pode:
• marcar um ponto e uma cónica para obter a recta polar;
• marcar uma recta (ou um vector) e uma cónica para obter o
seu diâmetro.
3.2.8.
Cónica
Circunferência dados o centro e um ponto (cod 10)
Marcando um ponto M e um ponto P define a circunferência de
centro M contendo P. O raio da circunferência é a distância MP.
Circunferência dados o centro e o raio (cod 34)
Depois de marcar o centro M deve inserir o raio no campo de texto
da janela que aparece.
Circunferência definida por três pontos (cod 11)
Marcando três pontos não colineares A, B, e C define a
circunferência que contém esses pontos. Se os três pontos forem
colineares, a circunferência degenera numa recta.
Cónica definida por cinco pontos (cod 12)
Marcando cinco pontos produz uma cónica que os contém.
Nota: se 4 ou mais pontos forem colineares, a cónica não está
definida; se forem apenas 3 colineares, degenera numa recta.
3.2.9.
Arco e Sector
Nota: o valor algébrico de um arco é o seu comprimento; o valor
algébrico de um sector é a sua área.
Semicircunferência dados dois pontos (cod 24)
Marcando dois pontos A e B obtém uma semicircunferência sobre o
diâmetro [AB].
Arco circular dados o centro e dois pontos (cod 20)
Marcando três pontos M, A, e B obtém o arco de centro M, iniciado
em A e terminado em K, sendo K um ponto (invisível) da semirecta
MB. Nota: o ponto B não tem que pertencer ao arco.
Arco circuncircular dados três pontos (cod 22)
Marcando três pontos produz um arco circular que os contém.
Sector circular dados o centro e dois pontos (cod 21)
Marcando três pontos M, A, e B obtém o sector de centro M,
iniciado em A e terminado em K, sendo K um ponto (invisível) da
semirecta MB. Nota: o ponto B pode não pertencer ao arco.
Sector circuncircular dados três pontos (cod 23)
Marcando três pontos obtém o sector circuncircular que os contém.
3.2.10. Número e Ângulo
Distância ou comprimento (cod 38)
Este modo dá a distância entre dois pontos, duas rectas, um ponto
e uma recta. Também dá o comprimento de um segmento ou o
perímetro de uma circunferência.
Área (cod 40)
Este modo dá a área de um polígono, círculo ou elipse, na forma
de um texto dinâmico situado na janela geométrica.
Declive (cod 50)
Este modo dá o declive de uma recta, na forma de um texto
dinâmico situado na janela geométrica.
Selector (cod 25)
Nota: no GeoGebra, um selector (ou cursor) é a representação
gráfica de um número (ou um ângulo) livre.
Clique em qualquer lugar vazio da zona gráfica para criar um
número ou um ângulo. A janela que aparece permite-lhe
especificar o nome e o intervalo [min, max] do número ou do
ângulo e a posição e o comprimento (em pixeis) do selector.
Nota: pode criar facilmente um cursor para qualquer número ou
ângulo livres que já existam, exibindo esse objecto (veja o Menu de
Contexto; veja também o modo
Exibir / esconder objecto).
A posição de um selector pode ser absoluta na zona gráfica ou
relativa ao sistema de cordenadas (veja as Popriedades do
correspondente número ou ângulo).
Ângulo (cod 36)
Este modo cria:
• ângulo entre três pontos;
• ângulo entre dois segmentos;
• ângulo entre duas rectas;
• ângulo entre dois vectores;
• todos os ângulos internos de um polígono.
Por defeito, todos estes ângulos têm amplitude entre 0º e 360°. Se
quiser limitar o tamanho máximo de um ângulo a 180°, desactive
permitir ângulos reflexos na caixa de Diálogo de Propriedades.
Ângulo com amplitude fixa (cod 46)
Marque dois pontos A e B e insira a amplitude do ângulo no campo
de texto da janela que aparece. Este modo produz um ponto C e
um ângulo α, sendo α o ângulo ABC.
3.2.11. Booleano
Caixa para exibir / esconder objectos (cod 52)
Se clicar na zona gráfica cria uma caixa (variável Booleana) que
funciona como um interruptor, permitindo exibir ou esconder um ou
mais objectos. Na janela que aparece pode especificar os objectos
que devem ser afectados pela caixa.
3.2.12. Lugar Geométrico
Lugar geométrico (cod 47)
Marque um ponto B que depende de um outro ponto A e cujo locus
quer desenhar. Então clique no ponto A.
Nota: o ponto B tem que ser um ponto numa linha (recta,
segmento, circunferência, etc).
Exemplo:
•
•
•
•
•
Insira f(x) = x^2 – 2 x – 1 no campo de entrada.
Coloque um novo ponto A no eixo dos xx (veja novamente o
modo
Novo ponto; veja também o comando Ponto).
Crie o ponto B = (x(A), f’(x(A))) que depende de A.
Seleccione o modo
Lugar geométrico e depois clique
sucessivamente no ponto B e no ponto A. (veja também o
comando Locus).
Movendo A ao longo do eixo dos xx pode ver o ponto B a
mover-se ao longo da linha que é o seu lugar geométrico.
3.2.13. Transformações Geométricas
As seguintes transformações geométricas podem ser aplicadas a
pontos, rectas, cónicas, polígonos e imagens.
Reflexão em relação a um ponto (cod 29)
Primeiro marque o objecto que vai ser reflectido. Depois clique no
ponto que serve de espelho.
Reflexão em relação a uma recta (cod 30)
Primeiro marque o objecto que vai ser reflectido. Depois clique na
recta que serve de espelho.
Rodar em torno de um ponto com uma amplitude (cod 32)
Primeiro marque o objecto que vai ser rodado. Depois clique no
ponto que é o centro da rotação. Aparece uma janela onde deve
especificar a amplitude (positiva) e a orientação do ângulo.
Translação por um vector (cod 31)
Primeiro marque o objecto que vai ser transladado. Depois clique
no vector da translação
Homotetia de centro num ponto por um factor (cod 33)
Primeiro marque o objecto que vai ser transformado. Depois clique
no ponto que é o centro da homotetia. Aparece uma janela onde
deve especificar o factor de escala (razão da homotetia).
3.2.14. Texto
Texto (cod 17)
Com este modo pode criar na zona gráfica textos estáticos ou
dinâmicos, incluindo fórmulas escritas em LaTeX:
• clicando na zona gráfica cria um campo de texto;
• clicando num ponto cria um campo de texto cuja posição é
relativa a esse ponto.
Aparece uma caixa de diálogo onde pode escrever o texto.
Nota: pode usar valores de objectos para criar textos dinâmicos.
Exemplo:
Entrada
“Isto é um texto”
“Ponto A = ” + A
“a = ” + a + ”cm”
Descrição
texto simples (estático)
texto dinâmico usando as
coordenadas do ponto A
texto dinâmico usando a
medida do segmento a
A posição de um texto na zona gráfica pode ser absouta ou relativa
ao sistema de coordenadas (veja Propriedades do texto).
Fórmulas LaTeX
No GeoGebra também pode escrever fórmulas. Para fazer isso
Texto e
marque a opção Fórmula LaTeX no diálogo do modo
escreva a sua fórmula conforme a síntaxe LaTeX.
Em seguida explicam-se alguns comandos LaTeX. Consulte a
documentação LaTeX para mais informação.
Entrada LaTeX
a \cdot b
\frac{a}{b}
\sqrt{x}
\sqrt[n]{x}
\vec{v}
\overline{AB}
x^{2}
a_{1}
\sin\alpha + \cos\beta
\int_{a}^{b} x dx
\sum_{i=1}^{n} i^2
Resultado
a ⋅b
a
b
x
n
x
AB
x2
a1
sin α + cos β
b
∫ xdx
∑ i
a
n
2
i =1
3.2.15. Imagens
Inserir imagem (cod 26)
Este modo permite adicionar uma imagem à sua construção:
• clicando num lugar vazio da zona gráfica especifica o canto
inferior esquerdo da imagem;
• clicando num ponto designa esse ponto como canto inferior
esquerdo da imagem.
Depois, aparece um diálogo de abertura de ficheiro onde pode
escolher a imagem para inserir (formatos aceites: gif, tif, jpg, png).
3.2.16. Propriedades das Imagens
Posição
A posição de uma imagem pode ser absoluta ou relativa ao sistema
de eixos coordenados (veja Propriedades das imagens). A posição
relativa é definida pela especificação de três cantos. Isto permite a
flexibilidade para dilatar, rodar e mesmo distorcer imagens.
• Canto 1 (posição do canto inferior esquerdo da imagem).
• Canto 2 (posição do canto inferior direito da imagem).
Nota: o canto 2 só pode ser definido se o primeiro já o
estiver. Este canto 2 controla a largura da imagem.
• Canto 4 (posição do canto superior esquerdo da imagem).
Nota: o canto 4 só pode ser definido se o primeiro já o
estiver. Este canto 4 controla a altura da imagem.
Nota: veja também o comando Canto.
Exemplos:
Crie três pontos A, B, e C para explorar os efeitos dos cantos.
• Sejam A e B, respectivamente, o primeiro e o segundo
•
•
cantos da sua imagem. Movendo A e B no modo
Mover
pode explorar a sua influência facilmente.
Sejam A e C, respectivamente, o primeiro e o quarto cantos
da sua imagem. Mova-os e explore a sua influência na
imagem.
Finalmente, pode definir os três cantos por estes três
pontos e ver como o movimento destes distorce a imagem.
Já viu como os cantos podem influenciar a posição e o tamanho da
imagem. Se quiser anexar a imagem a um ponto A, definir a largura
igual a 3 e a altura igual a 4, faça o seguinte:
• canto 1: A
• canto 2: A + (3, 0)
• canto 4: A + (0, 4)
Nota: se agora mover o ponto A no modo
mantém as dimensões desejadas.
Mover, a imagem
Imagem de Fundo
Pode definir uma imagem como imagem de fundo (veja
Propriedades da imagem). Uma imagem de fundo fica sob os eixos
coordenados e nunca mais pode ser seleccionada com o rato.
Nota: para alterar a definição de uma imagem como imagem de
fundo seleccione Propriedades no menu Editar.
Transparência
Uma imagem pode tornar-se transparente para deixar ver os
objectos ou os eixos coordenados que se misturam com ela. Pode
definir o grau de transparência especificando um valor percentual
para o preenchimento (veja Propriedades da imagem).
4.
Entrada Algébrica
Neste capítulo vamos explicar como usar o teclado para criar ou
modificar objectos no GeoGebra.
4.1. Notas Gerais
Valores, coordenadas e equações de objectos livres ou
dependentes são mostradas na janela de álgebra (no lado
esquerdo da janela de visualização). Os objectos livres não
dependem de qualquer outro e podem ser alterados directamente.
Pode criar ou modificar objectos usando o campo de entrada
situado na parte inferior da interface GeoGebra (veja Entrada
Directa; veja Comandos).
Nota: pressione sempre a tecla Enter após inserir a definição de
um objecto na linha de entrada de comandos.
4.1.1.
Alterar Valores
Os objectos livres podem ser alterados directamente mas os
objectos dependentes não podem. Para manipular um valor de um
objecto reescreva-o inserindo o novo valor no campo de entrada
(veja Entrada Directa).
Exemplo: se desejar alterar o valor de um existente número a = 3,
escreva a = 5 no campo de entrada e pressione a tecla Enter.
Nota: alternativamente, isto pode ser feito na janela de algebra,
escolhendo Redefinir no Menu de Contexto ou fazendo um duplo
clique sobre o objecto com o modo
Mover .
4.1.2.
Animação
Para fazer variar um número ou um ângulo de forma contínua
seleccione o modo
Mover . Então, clique sobre o número ou
ângulo e pressione as teclas + ou – .
Mantendo uma destas teclas pressionada permite-lhe realizar
animações.
Exemplo: se as coordenadas de um ponto dependem de um
número k como em P = (2 k, k), o ponto P move-se ao longo de
uma recta quando k varia continuamente.
Com as teclas de movimento (setas) pode mover qualquer objecto
livre com o modo
Mover (veja Animação; veja
Mover).
Nota: pode ajustar o incremento (ou passo) usando o Diálogo de
Propriedades desse objecto.
Atalhos:
• Ctrl + seta define um passo de 10 unidades (lento);
• Alt + seta define um passo de 100 unidades (rápido).
Nota: um ponto numa recta também pode se movido ao longo
dessa recta usando as teclas + ou – (veja Animação).
4.2. Entrada Directa
O GeoGebra pode tratar números, ângulos, pontos, vectores,
segmentos, rectas, cónicas, funções e curvas paramétricas. Vamos
agora explicar como é que tais objectos pode ser introduzidos
através de coordenadas ou de equações no campo de entrada.
Nota: também pode usar índices nos nomes dos objectos; por
exemplo, A1 ou SAB escreve-se A_1 ou s_{AB}.
4.2.1.
Números e Ângulos
Com números e ângulos use o símbolo “.” como ponto decimal.
Exemplo: obtém um número r introduzindo r = 5.32.
Nota: também pode usar a constante π e o número de Neper e , em
expressões ou em cálculos, seleccionando-os no menu situado
logo à direita do campo de entrada.
Os ângulos são inseridos em graus (°) ou em radianos (rad). A
constante π é útil para valores em radianos. Tanto pode escrever π
como pi.
Exemplo: um ângulo α pode ser expresso em graus (α = 60) ou
em radianos (α = pi/3).
Nota: o GeoGebra realiza todos os cálculos internos em radianos; o
símbolo ° representa apenas o valor da constante π/180 utilizada
para converter graus em radianos.
Selectores e Teclas de Movimento
Os números e os ângulos livres podem ser representados como
selectores na zona gráfica (veja o modo
Selector). Através das
teclas de movimento (setas) pode alterar esses números e ângulos
também na janela de algebra (veja Animação).
Limites de Intervalo
Os números e os ângulos livres podem ser limitados a um intervalo
[min, max] (veja Diálogo de Propriedades). Um tal intervalo também
Selectores.
é usado para
Para cada ângulo dependente pode especificar se ele pode ser um
ângulo reflexo (ou reentrante) (veja Diálogo de Propriedades).
4.2.2.
Pontos e Vectores
Pontos e vectores podem ser expressos em coordenadas
cartesianas ou polares (veja Números e Ângulos).
Nota: letras maiúsculas denotam pontos ao passo que as
minúsculas denotam vectores.
Exemplos:
• Para inserir um ponto P ou um vector v em coordenadas
cartesianas escreva P = (1, 0) or v = (0, 5).
• Se desejar exprimir P e v em coordenadas polares, então
escreva P = (1; 0°) ou v = (5; 90°).
4.2.3.
Recta
Uma recta é inserida como equação linear em x e y ou na forma
paramétrica. Tanto num caso como no outro podem ser usadas
variáveis pré-definidas (números, pontos, vectores, etc.).
Nota: pode inserir o nome de uma recta no início da entrada,
seguido por “:” (dois pontos).
Exemplos:
•
•
•
Escreva g : 3x + 4y = 2 para inserir a recta g como
equação linear.
Defina um parâmetro t (t = 3) antes de inserir g na forma
paramétrica e escreva g: X = (-5, 5) + t (4, -3).
Primeiro defina os parâmetros m = 2 e b = -1. Então
pode inserir a equação g: y = m x + b para obter g na
forma reduzida.
EixoX e EixoY
Os dois eixos coordenados podem ser usados como comandos
através dos nomes EixoX e EixoY.
Exemplo: o comando Perpendicular[A, EixoX] constrói a
recta perpendicular ao eixo xx passando por um dado ponto A.
4.2.4.
Cónica
Uma secção cónica é inserida como equação quadrática em x e y.
Variáveis pré-definidas (números, pontos, vectores, etc.) podem ser
usados. O nome da cónica pode ser inserido no início da entrada,
seguido por “:” (dois pontos).
Exemplos:
• Elipse eil:
• Hipérbole hyp:
• Parábola par:
• Circunferência k1:
• Circunferência k2:
eli: 9 x^2 + 16 y^2 = 144
hip: 9 x^2 – 16 y^2 = 144
par: y^2 = 4 x
k1: x^2 + y^2 = 25
k2: (x–5)^2 + (y+2)^2 = 25
Nota: se definir previamente os parâmetros a = 4 e b = 3 pode
inserir a elipse como eli: b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2.
4.2.5.
Função de x
Para inserir uma função pode usar também variáveis pré-definidas
(números, pontos, vectores, etc.) e funções internas.
Exemplos:
• Função f:
f(x) = 3 x^3 – x^2
• Função g:
g(x) = tan(f(x))
• Função interna :
sin(3 x) + tan(x)
Todas as funções internas (sin, cos, tan, etc.) são descritas na
secção relativa às operações aritméticas (veja Operações
Aritméticas).
No GeoGebra também pode usar comandos para obter o Integral e
a Derivada de uma função.
Também pode usar os comandos f’(x) ou f’’(x),… para obter
a primeira ou a segunda derivada de uma dada função f(x).
Exemplo: defina a função f como f(x) = 3 x^3 – x^2. Depois
pode inserir g(x) = cos(f’(x + 2)) para obter a fução g.
Para além do mais, uma função pode ser transladada por um
vector (veja o comando Translação) e uma função livre pode ser
movida com o rato (veja o modo
Mover).
Restrição de Uma Função a Um Intervalo
Para limitar a variação de x a um intervalo [a, b], use o comando
Função (veja o comando Função).
4.2.6.
Listas de Objectos
Usando chavetas pode criar uma lista contendo vários objectos
(pontos, segmentos, circunferências, etc.).
Exemplos:
• L = {A, B, C} dá a lista de três pontos A, B e C
previamente definidos.
• L = {(0, 0), (1, 1), (2, 2)} dá a lista que
contém os mesmos pontos A, B e C, mas agora expressos
pelas respectivas coordenadas cartesianas.
4.2.7.
Operações Aritméticas
Para inserir números, coordenada ou equações (veja Entrada
Directa) deve usar expressões aritméticas com parênteses. As
seguintes operações podem ser realizadas no GeoGebra:
Operação
adição
subtracção
multiplicação
Inserir
+
* ou espaço
Operação
produto escalar
divisão
exponenciação
factorial
função Gamma
parênteses
abcissa
ordenada
valor absoluto
sinal
raiz quadrada
raiz cúbica
número aleatório entre 0 e 1
função exponencial
logaritmo natural (base e)
logaritmo (base 2)
logaritmo (base 10)
co-seno
seno
tangente
arco-co-seno
arco-seno
arco-tangente
co-seno hiperbólico
seno hiperbólico
tangente hiperbólica
arco-co-seno hiperbólico
arco-seno hiperbólico
arco-tangente hiperbólica
maior inteiro menor ou igual
menor inteiro maior ou igual
arredonda
Inserir
* ou espaço
/
^ ou 2
!
gamma( )
( )
x( )
y( )
abs( )
sgn( )
sqrt( )
cbrt( )
random( )
exp( ) ou ℯx
ln( ) ou log( )
ld( )
lg( )
cos( )
sin( )
tan( )
acos( )
asin( )
atan( )
cosh( )
sinh( )
tanh( )
acosh( )
asinh( )
atanh( )
floor( )
ceil( )
round( )
Exemplos:
• Ponto médio de dois pontos A e B : M = (A + B) / 2.
• Norma de um vector v : n = sqrt(v * v).
Nota: no GeoGebra pode fazer cálculos com pontos e vectores.
4.2.8.
Variáveis Booleanas
No GeoGebra pode usar as variáveis booleanas “true” (verdadeiro)
e “false” (falso).
Exemplo: insira a = true ou b = false no campo de entrada e
depois pressione a tecla Enter.
Caixa Para Exibir / Esconder e Teclas de Movimento
Uma variável booleana livre pode ser visualizada na zona gráfica
como caixa para exibir / esconder objectos (veja o modo
Caixa
para exibir / esconder objectos). Usando as teclas de movimento
(setas) pode alterar o valor de uma variável booleana na janela de
álgebra (veja Animação).
4.2.9.
Operações Booleanas
No GeoGebra pode usar as seguintes operações boleanas:
Operador
Exemplo
igual
≟ ou ==
diferente
≠ ou !=
menor
maior
<
>
menor ou igual
≤ ou <=
maior ou igual
≥ ou >=
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
≟ b
== b
≠ b
!= b
< b
> b
≤ b
<= b
≥ b
>= b
Objectos
números, pontos,
rectas, cónicas, a, b
números, pontos,
rectas, cónicas, a, b
números, a, b
números, a, b
números, a, b
números, a, b
e
a ∧ b
booleanos, a, b
ou
a ∨ b
¬a
!a
booleanos, a, b
paralela
a ∥b
rectas, a, b
perpendicular
a ⊥b
rectas, a, b
negação
¬ ou!
booleano, a
4.3. Comandos
Usando comandos pode produzir novos objectos ou modificar
objectos já existentes. O resultado de um comando pode ser
nomeado introduzindo um rótulo seguido do símbolo “=”. No
exemplo seguinte o novo ponto é chamado S.
Exemplo: para obter o ponto de intersecção das rectas g e h
escreva S = Intersecção[g, h] (veja o comando
Intersecção).
Nota: também pode usar índices nos nomes dos objectos; por
exemplo, A1 ou SAB escreve-se A_1 ou s_{AB}.
Nota: o nome de um comando pode ter acentos mas não pode ter
qualquer espaço ou ífen; por exemplo, deve escrever
ArcoCircular em vez de Arco Circular e Semirecta em
vez de Semi-recta.
4.3.1.
Comandos Gerais
Relação
Relação[objecto a, objecto b]: mostra uma mensagem
sobre a relação entre os objectos a e b.
Nota:
este
comando permite-nos saber se dois objectos são iguais, se
um ponto está numa recta ou cónica, se uma recta é
tangente ou secante a uma cónica.
Apagar
Apagar[objecto a]: Apaga o objecto a e todos os seus
dependentes.
Elemento
Elemento[lista L, número n]: n-ésimo elemento da lista L
4.3.2.
Comandos Booleanos
Se[condição, a, b]: dá uma cópia do objecto a se a condição
for verdadeira; senão, dá uma cópia do objecto b.
Se[condição, a]: dá uma cópia do objecto a se a condição for
verdadeira; senão, dá um objecto indefinido.
4.3.3.
Número
Comprimento
Comprimento[vector v]: Norma do vector v.
Comprimento[ponto A]: Norma do vector posição de A.
Comprimento[função f, número x1, número x2]:
Comprimento do gráfico da função f entre x1 e x2.
Comprimento[função f, ponto A, ponto B]: Comprimento
da parte do gráfico da função f entre dois pontos A e B.
Comprimento[curva
c,
número
t1,
número
t2]:
Comprimento da curva c entre t1 e t2.
Comprimento[curva c, ponto A, ponto B]: Comprimento
da parte da curva c entre dois pontos A e B.
Comprimento[lista L]: Comprimento da lista L (número de
elementos na lista).
Área
Área[ponto A, ponto B, ponto C, ...]: Área do polígono
definido pelos pontos A, B, C , ....
Área[cónica c]: Área delimitada pela cónica c (circunferência
ou elipse).
Distância
Distância[ponto A, ponto B]: Distância entre A e B.
Distância[ponto A, recta g]: Distância entre A e g.
Distância[recta g, recta h]: Distância entre g e h. Nota: a
distância entre rectas secantes é 0. Este comando tem
interesse para rectas paralelas.
Resto
Resto[número a, número b]: Resto da divisão inteira a por b.
Divisão
Divisão[número a, número b]: Quociente da divisão inteira a
por b.
Declive
Declive[recta g]: Declive de uma recta g. Nota: este comando
também desenha o triângulo rectângulo que permite
visualisar o declive; o tamanho deste triângulo pode ser
modificado (veja Diálogo De Propriedades).
Curvatura
Curvatura[ponto A, função f]: Curvatura do gráfico da
função f no ponto A.
Curvatura[point A, curva c]: Curvatura da curva c no
ponto A.
Raio
Raio[circunferência c]: Raio da circunferência c.
Perímetro da Cónica
PerímetroDaCónica[cónica c]: Dá o perímetro da cónica c
(circunferência ou elipse). Nota: este comando também dá o
perímetro de um polígono.
Perimetro do Polígono
PerímetroDoPolígono[polígono poly]: Dá o perímetro do
polígono poly. Nota: este comando também dá o perímetro
de uma circunferência ou de uma elipse.
Parâmetro
Parâmetro[parábola p]: Parâmetro da parábola p (distância
entre o foco e a directriz).
Comprimento do Eixo Principal
ComprimentoDoEixoPrincipal[cónica c]: Comprimento do
eixo principal da cónica c.
Comprimento Do Eixo Secundário
ComprimentoDoEixoSecundário[cónica
do eixo secundário da cónica c.
c]: Comprimento
Excentricidade
Excentricidade[cónica c]: Excentricidade da cónica c.
Integral
Integral[função f, número a, número b]: Integral
definido da função f no intervalo [a, b]. Nota: este comando
desenha a área entre o gráfico de f e o eixo dos xx.
Integral[função f, função g, número a, número b]:
Integral definido da diferença f - g no intervalo [a, b]. Nota:
este comando desenha a área entre os gráficos de f e g.
Nota: veja Integral indefinido
Soma Inferior
SomaInferior[função f, número a, número b, número
n]: Soma inferior da função f no intervalo [a, b], com n
rectângulos. Nota: este comando também desenha os
rectângulos da soma inferior.
Soma Superior
SomaSuperior[função f, número a, número b, número
n]: Soma superior da função f no intervalo [a, b], com n
rectângulos. Nota: este comando também desenha os
rectângulos da soma superior.
Iteração
Iteração[função f, número x0, número n]: Itera n vezes
a função f, usando o valor inicial x0.
Exemplo: após definir f(x) = x^2 , o comando
Iteração[f, 3, 2] dá o resultado (32)2 = 81.
Mínimo e Máximo
Mínimo[número a,
números a e b.
Máximo[número a,
números a e b.
número
b]: Mínimo de dois dados
número
b]: Máximo de dois dados
Razão Afim
RazãoAfim[ponto A, ponto B, ponto C]: Produz a razão
afim, λ , de três pontos colineares A, B e C, relacionados
pela igualdade C = A + λ * AB.
Razão Dupla
RazãoDupla[ponto A, ponto B, ponto C, ponto D]: Dá
a razão dupla, λ , de quatro pontos colineares A, B, C e D,
sendo λ = RazãoAfim[B, C, D] / RazãoAfim[A, C, D].
4.3.4.
Ângulo
Ângulo
Ângulo[vector v1, vector v2]: Ângulo entre os vectores v1
e v2 (entre 0º e 360°).
Ângulo[recta g, recta h]: Ângulo entre os vectores
directores das rectas g e h (entre 0º e 360°).
Ângulo[ponto A, ponto B, ponto C]: Ângulo definido por
BA e BC (entre 0º e 360°). O ponto B é o vértice.
Ângulo[ponto A, ponto B, ângulo alfa]: Ângulo de
amplitude α , traçado desde A e com vértice B. Nota: o
ponto A’ = Rotação[A, α, B] também é criado.
Ângulo[cónica c]: Ângulo do eixo principal da cónica c
relativamente à horizontal (veja o comando Eixos).
Ângulo[vector v]: Ângulo entre o eixo dos xx e o vector v.
Ângulo[ponto A]: Ângulo entre o eixo dos xx e o vector posição
do ponto A.
Ângulo[número n]: Converte o número n num ângulo (entre 0 e
2pi).
Ângulo[polígono poly]: Dá todos os ângulos internos do
polígono poly.
4.3.5.
Ponto
Ponto
Ponto[recta g]: Ponto sobre a recta g.
Ponto[cónica c]: Ponto sobre a cónica c (circunferência, elipse,
hipérbole e parábola).
Ponto[função f]: Ponto sobre o gráfico da função f.
Ponto[polígono poly]: Ponto na fronteira do polígono poly.
Ponto[vector v]: Ponto sobre o vector v.
Ponto[ponto P, vector v]: Ponto P + v.
Ponto Médio ou Centro
PontoMédio[ponto A, ponto B]: Ponto médio de A e B. Nota:
este comando também dá o centro de uma cónica.
PontoMédio[segmento s]: Ponto médio do segmento s. Nota:
este comando também dá o centro de uma cónica.
Centro[cónica c]: Centro da cónica c (circunferência, elipse,
hipérbole e parábola) . Nota: este comando também dá o
ponto médio de dois pontos ou de um segmento.
Foco
Foco[cónica c]: Dá o(s) foco(s) da cónica c.
Vértice
Vértice[cónica c]: Dá o(s) vertice(s) da cónica c.
Baricentro
Baricentro[polígono poly]: Baricentro do polígono poly.
Intersecção
Intersecção[recta g, recta h]: Ponto de intersecção das
rectas g e h.
Intersecção[recta g, cónica c]: Todos os pontos de
intersecção da recta g com a cónica c (no máximo, 2).
Intersecção[recta g, cónica c, número n]: n-ésimo
ponto de intersecção da recta g com a cónica c.
Intersecção [cónica c1, cónica c2]: Todos os pontos de
intersecção das cónicas c1 e c2 (no máximo, 4).
Intersecção[cónica c1, cónica c2, número n]: n-ésimo
ponto de intersecção das cónicas c1 c2.
Intersecção[polinómio f1, polinómio f2]: Todos os
pontos de intersecção dos gráficos das funções polinomiais
f1 e f2.
Intersecção[polinómio f1, polinómio f2, número n]:
n-ésimo ponto de interseccão dos gráficos das funções
polinomiais f1 e f2.
Intersecção[polinómio f, recta g]: Todos os pontos de
intersecção do gráfico da função polinomial f com a recta g.
Intersecção[polinómio f, recta g, número n]: n-ésimo
ponto de intersecção do gráfico da função polinomial f com
a recta g.
Intersecção[função f, função g, ponto A]: Ponto de
intersecção dos gráficos das funções f e g, com ponto inicial
A (método de Newton).
Intersecção[função f, recta g, ponto A]: Ponto de
intersecção do gráfico da função f e da recta g, com ponto
inicial A (método de Newton).
Nota: veja também o modo
Intersecção de dois objectos
Raiz
Raiz[polinómio f]: Todas as raizes da função polinomial f,
apresentadas como abcissas dos pontos de intersecção do
gráfico de f com o eixo dos xx.
Raiz[função f, número a]: Uma raiz da função f , com valor
inicial a (método de Newton), apresentada como abcissa do
ponto de intersecção do gráfico de f com o eixo dos xx.
Raiz[função f, número a, número b]: Uma raiz da função
f no intervalo [a, b] (falsa posição), apresentada como
abcissa do ponto de intersecção de f com o eixo dos xx.
Extremo
Extremo[polinómio f]: Todos os extremos locais da função
polinomial f , apresentados como ordenadas de pontos.
Ponto de Inflexão
PontoDeInflexão[polinómio f]: Todos os pontos de inflexão
da função polinomial f.
4.3.6.
Vector
Vector
Vector[ponto A, ponto B]: Vector com origem no ponto A e
extremidade no ponto B.
Vector[ponto A]: Vector posição do ponto A.
Direcção
Direcção[recta g]: Vector director da recta g. Nota: uma recta
com equação ax + by = c tem a direcção do vector (b, - a).
Vector Unitário
VectorUnitário[recta g]: Vector que tem norma 1 e direcção
da recta g.
VectorUnitário[vector v]: Vector com norma 1, a mesma
direcção e a mesma orientação de um dado vector v.
Vector Perpendicular
VectorPerpendicular[recta g]: Vector perpendicular a uma
dada recta g. Nota: o vector (a, b) é perpendicular à recta
que tem equação ax + by = c .
VectorPerpendicular[vector v]: Vector perpendicular a um
dado vector v. Nota: o vector com coordenadas (- b, a). é
perpendicular ao vector com coordenadas (a, b).
Vector Perpendicular Unitário
VectorPerpendicularUnitário[recta
g]: Vector
norma 1, perpendicular a uma dada recta g.
VectorPerpendicularUnitário[vector v]: Vector
norma 1, perpendicular a um dado vector v.
com
com
Vector Curvatura
VectorCurvatura[ponto A, função f]: Vector curvatura de
uma função f num ponto A do seu gráfico.
VectorCurvatura[ponto A, curva c]: Vector curvatura de
uma curva c num ponto A dessa curva.
4.3.7.
Segmento
Segmento
Segmento[ponto A, ponto B]: Segmento definido pelos
pontos A e B.
Segmento[ponto A, número a]: Segmento com comprimento
a e início no ponto A. Nota: o outro extremo do segmento
também é criado.
4.3.8.
Semirecta
Semirecta
Semirecta[ponto A, ponto B]: Semirecta com origem no
ponto A e que passa pelo ponto B.
Semirecta[ponto A, vector v]: Semirecta com origem no
ponto A e que tem a direcção do vector v.
4.3.9.
Polígono
Polígono
Polígono[ponto A, ponto B, ponto C,...]: Polígono
cujos vértices são os pontos A, B, C,…
Polígono[ponto A, ponto B, número n]: Polígono regular
com n vértices (incluindo os pontos A e B).
4.3.10. Recta
Recta
Recta[ponto A, ponto B]: Recta definida pelos pontos A e B.
Recta[ponto A, recta g]: Recta que passa no ponto A e é
paralela à recta g.
Recta[ponto A, vector v]: Recta que passa no ponto A e
tem a direcção do vector v
Perpendicular
Perpendicular[ponto A, recta g]: Recta que contém o
ponto A e é perpendicular à recta g.
Perpendicular[ponto A, vector v]: Recta que contém o
ponto A e é perpendicular ao vector v.
Mediatriz
Mediatriz[ponto A, ponto B]: Recta mediatriz do segmento
[AB].
Mediatriz[segmento s]: Recta mediatriz do segmento s.
Bissectriz
Bissectriz[pnto A, ponto B, ponto C]: Recta bissectriz
do ângulo definido pelos pontos A, B, C. Nota: o ponto B é o
vértice deste ângulo.
Bissectriz[recta g, recta h]: Dá a bissectriz de cada um
dos ângulos definidos pelas rectas g e h. Nota: se as rectas
g e h forem paralelas, dá a recta equidistante das duas.
Tangente
Tangente[ponto A, cónica c]: Constrói todas as tangentes à
cónica c que passam pelo ponto A.
Tangente[recta g, cónica c]: Constrói todas as tangentes à
cónica c que são paralelas à recta g.
Tangente[número a, função f]: Tangente ao gráfico da
função f(x) no ponto de abcissa x = a.
Tangente[ponto A, função f]: Tangente ao gráfico da
função f(x) no ponto de abcissa x = x(A).
Tangente[ponto A, curva c]: Tangente à curva c no ponto
A.
Assímptota
Assímptota[hipérbole
hipérbole h.
h]:
Ambas
as
assímptotas
da
Directriz
Directriz[parábola p]: Directriz da parábola p.
Eixos
Eixos[cónica c]: Eixo principal e eixo secundário da cónica c.
Eixo Principal
EixoPrincipal[cónica c]: Eixo principal da cónica c.
Eixo Secundário
EixoSecundário[cónica c]: Eixo secundário da cónica c.
Polar
Polar[ponto A, cónica c]: Recta polar do ponto A,
relativamente à cónica c.
Diâmetro
Diâmetro[recta g , cónica c]: Diâmetro paralelo à recta g ,
relacionado com a cónica c.
Diâmetro[vector v, cónica c]: Diâmetro com a direcção do
vector v , relacionado com a cónica c.
4.3.11. Cónica
Circunferência
Circunferência[ponto M, número r]: Circunferência com
centro M e raio r.
Circunferência[ponto M, segmento s]: Circunferência
com centro M e raio igual ao comprimento do segmento s
Circunferência[ponto M, ponto A]: Circunferência com
centro M passando por A.
Circunferência[ponto
A,
ponto
B,
ponto
C]:
Circunferência por três pontos não colineares A, B e C.
Circunferência Osculadora
CircunferênciaOsculadora[ponto
A,
função
f]:
Circunferência osculadora do gráfico da função f no ponto A
CircunferênciaOsculadora[ponto
A,
curva
c]:
Circunferência osculadora da curva c no ponto A.
Elipse
Elipse[ponto F, ponto G, número a]: Elipse com focos
nos pontos F e G , sendo a o comprimento do eixo principal.
Nota: condição: 2a > Distância[F, G].
Elipse[ponto F, ponto G, segmento s]: Elipse com focos
nos pontos F e G, sendo o comprimento do eixo principal
igual ao comprimento do segmento s.
Hipérbole
Hipérbole[ponto F, ponto G, número a]: Hipérbole com
focos nos pontos F e G , sendo o número a o comprimento
do eixo principal. Nota: condição: 0 < 2a < Distância[F, G].
Hipérbole[ponto F, ponto G, segmento s]: Hipérbole
com focos nos pontos F e G, sendo o comprimento do eixo
principal igual ao comprimento do segmento s.
Parábola
Parábola[ponto F, recta g]: Parábola com ponto focal F e
directriz g.
Cónica
Cónica[ponto A, ponto B, ponto C, ponto D, ponto
E]: Cónica definida por cinco pontos A, B, C, D e C. Nota:
não pode haver quatro pontos colineares.
4.3.12. Função
Derivada
Derivada[função f]: Derivada da função f(x).
Derivada[função f, número n]: n-ésima derivada de f(x).
Nota: pode escrever f’(x) em vez de Derivada[f]e f’’(x)
em vez de Derivada[f, 2].
Integral
Integral[função f]: Integral indefinido da função f(x).
Nota: veja Integral definido
Polinómio
Polinómio[função f]: Expande a expressão polinomial da
função f.
Exemplo: Polinómio[(x - 3)^2] dá x2 - 6x + 9.
Polinómio de Taylor
PolinómioDeTaylor [função f, número a, número n]:
Polinómio de Taylor, de grau n, que é próximo de f numa
vizinhança de a. Nota : a função f tem que ser (pelo menos)
n vezes diferenciável numa vizinhança de a.
Função
Função[função f, número a, número b]: Restrição da
função f ao intervalo [a, b].
Função por Ramos
Pode usar o comando booleano Se (veja comando Se) para definir
uma função por ramos (também chamada função condicional).
Nota: pode derivar e integrar tais funções e também calcular as
intersecções dos seus gráficos, como nas funções “normais”.
Exemplo:
f(x) = Se[x < 3, sin(x), x^2] dá a função que é igual a
• sin(x) , se x < 3
• x2 , se x ≥ 3
4.3.13. Curvas Paramétricas
Curva[expressão e1, expressão e2, parâmetro t,
número a, número b]: Curva cartesiana constituída
pelos pontos (expressão e1, expressão e2), sendo estas
expressões dependentes de um parâmetro t que varia no
intervalo [a, b]
Exemplo: c = Curva[2 cos(t), 2 sin(t), t, 0, 2 pi]
Derivada[curva c]: Derivada da curva c
Nota: as curvas paramétrica podem ser usadas como funções em
expressões aritméticas.
Exemplo: inserindo c(3) na linha de comandos, obtém o ponto da
curva c que corresponde ao caso em que o parâmetro vale 3.
Nota: usando o rato também pode colocar um ponto numa curva
paramétrica usando o modo
Novo ponto (veja o modo Novo
ponto; veja também o comando Ponto); também pode usar a e b de
forma dinâmica (veja o modo Selector).
4.3.14. Arco e Sector
Nota: o valor algébrico de um arco é o seu comprimento e o valor
algébrico de um sector é a sua área.
Semicircunferência
Semicircunferência[ponto A, ponto
semicircunferência de diâmetro [AB].
B]: Produz uma
Arco Circular
ArcoCircular[ponto M, ponto A, ponto B]: Arco circular
com centro M e que tem por extremos os pontos A e K,
sendo K um ponto (invisível) da semirecta MB. Nota: o
ponto B não tem que pertencer ao arco.
Arco Circuncircular
ArcoCircuncircular[ponto A, ponto B, ponto C]: Arco
do circuncírculo do triângulo ABC, liga A a C e passa em B.
Arco
Arco[cónica c, ponto A, ponto B]: Arco de cónica ligando
dois pontos A e B na cónica c (circunferência ou elipse).
Arco[cónica c, número t1, número t2]: Arco na cónica c,
determinado pelos valores t1 e t2 do parâmetro t, sendo a
cónica c definida por uma das formas seguintes:
• circunferência: (r cos(t), r sin(t)), onde r é o raio;
• elipse: (a cos(t), b sin(t)), onde a e b são, respectivamente,
os comprimentos do eixo principal e secundário .
Sector Circular
SectorCircular [ponto M, ponto A, ponto B]: Sector
circular de centro M e que tem por extremos os pontos A e
K, sendo K um ponto (invisível) da semirecta MB. Nota: o
ponto B não tem que pertencer ao arco.
Sector Circuncircular
SectorCircuncircular[ponto A, ponto B, ponto C]:
Sector do circuncírculo do triângulo ABC. Nota: o respectivo
arco liga A a C , passando por B.
Sector
Sector[cónica c, ponto A, ponto B]: Sector definido
pelos pontos A e B da cónica c (circunferência ou elipse)
Sector[cónica c, número t1, número t2]: Sector da
cónica c (incluindo o interior), determinado pelos valores t1
e t2 do parâmetro t, sendo a cónica c definida por uma das
formas seguintes:
• circunferência: (r cos(t), r sin(t)), onde r é o raio;
• elipse: (a cos(t), b sin(t)), onde a e b são, respectivamente,
os comprimentos do eixo principal e secundário.
4.3.15. Imagem
Canto
Canto[imagem pic, número n]: n-ésimo canto da imagem pic
(no máximo, 4 cantos).
4.3.16. Texto
Nome
Nome[objecto]: Texto que mostra o nome de um dado objecto.
Nota: use este comando em textos dinâmicos para objectos
que podem ser renomeados.
4.3.17. Locus
Locus
Locus[ponto B, ponto A]: Lugar geométrico dos pontos B
que dependem do ponto A.
Nota: o ponto A deve ser um ponto numa linha (recta,
segmento, circunferência, curva, etc).
4.3.18. Sequência
Sequência
Sequência[expressão e, variável i, número a,
número b]: Lista dos objectos criados usando a expressão
e e a variável indexada i, que varia entre os números a e b.
Exemplo: L = Sequência[(2, i), i, 1, 6] cria uma
lista de pontos cujas ordenadas variam de 1 a 6.
Sequência[expressão E, variável i, número a,
número b, número s]: Lista dos objectos criados
usando a expressão E e a variável indexada i, que varia
entre os números a e b com incremento s.
Exemplo: L = Sequência[(2, i), i, 1, 6, 0.5]
cria uma lista de pontos cujas ordenadas variam de 1 a 6
com incremento de 0.5.
Nota: pode usar a e b de forma dinâmica, como selectores.
Outros Comandos com Sequências
Elemento[lista L, número n]: n-ésimo elemento da lista L.
Comprimento[lista L]: Número de elementos da lista L.
Mínimo[lista L]: Valor minimal dos elementos da lista L.
Máximo[lista L]: Valor maximal dos elementos da lista L.
Iteração
ListaDeIteração[função f, número
Lista L, de comprimento n+1, cujos
iterados de f , com valor inicial x0.
Exemplo: após ter definido a função
comando L = ListaDeIteração[f,
L = {3, 32, (32)2} = {3, 9, 81}.
x0, número n]:
elementos são os
f(x) = x^2 , o
3, 2]dá-lhe a lista
4.3.19. Transformações Geométricas
Se aplicar um dos seguintes comandos a um novo nome é
produzida uma cópia do objecto movido.
Exemplo: o comando Reflexão[A, g] reflecte o ponto A na recta
g e muda a localização de A; porém, se atribuir um nome e
escrever B = Reflexão[A, g], produz um novo ponto B e o
ponto A permanece onde estava.
Translação
Translação[ponto A, vector v]: Translada o ponto A pelo
vector v.
Translação[line g, vector v]: Translada a recta g pelo
vector v.
Translação[cónica c, vector v]: Translada a cónica c pelo
vector v .
Translação[função c, vector v]: Translada o gráfico da
função f pelo vector v.
Translação[polígono poly, vector v]: Translada o
polígono poly pelo vector v. Nota: são também criados
novos vértices e segmentos.
Translação[imagem pic, vector v]: Translada a imagem
pic pelo vector v.
Translação[vector v, Ponto P]: Translada o vector v ,
colocando a sua origem no ponto P.
Nota: veja também o modo
Translação por um vector.
Rotação
Rotação[ponto A, ângulo phi]: Roda o ponto A pelo ângulo
φ, em torno da origem dos eixos coordenados.
Rotação[vector v, ângulo phi]: Roda o vector v pelo
ângulo φ , em torno da origem de v.
Rotação[recta g, ângulo phi]: Roda a recta g pelo ângulo
φ, em torno da origem dos eixos coordenados.
Rotação[cónica c, ângulo phi]: Roda a cónica c pelo
ângulo φ, em torno da origem dos eixos coordenados.
Rotação[polígono poly, ângulo phi]: Roda o polígono
poly pelo ângulo φ, em torno da origem dos eixos
coordenados. Nota: são também criados novos vértices e
segmentos.
Rotação[imagem pic, ângulo phi]: Roda a imagem pic pelo
ângulo φ, em torno da origem dos eixos coordenados.
Rotação[ponto A, ângulo phi, ponto B]: Roda o ponto A
pelo ângulo φ, em torno do ponto B.
Rotação[recta g, ângulo phi, ponto B]: Roda a recta g
pelo ângulo φ, em torno do ponto B.
Rotação[cónica c, ângulo phi, ponto B]: Roda a cónica
c pelo ângulo φ, em torno do ponto B.
Rotação[polígono poly, ângulo phi, ponto B]: Roda o
polígono poly pelo ângulo φ, em torno do ponto B. Nota: são
também criados novos vértices e segmentos.
Rotação[imagem pic, ângulo phi, ponto B]: Roda a
imagem pic pelo ângulo φ, em torno do ponto B.
Nota: veja também o modo
Rodar em torno de um ponto com
um amplitude.
Reflexão
Reflexão[ponto A, ponto B]: Reflecte o ponto A no ponto B.
Reflexão[recta g, ponto B]: Reflecte a recta g no ponto B.
Reflexão[cónica c, ponto B]: Reflecte a cónica c no ponto
B.
Reflexão[polígono poly, ponto B]: Reflecte o polígono
poly no ponto B. Nota: são também criados novos vértices e
segmentos.
Reflexão[imagem pic, ponto B]: Reflecte a imagem pic no
ponto B.
Reflexão[ponto A, recta h]: Reflecte o ponto A na recta h.
Reflexão[recta g, recta h]: Reflecte a recta g na recta h.
Reflexão[cónica c, recta h]: Reflecte a cónica c na recta
h.
Reflexão[polígono poly, recta h]: Reflecte o polígono
poly na recta h. Nota: são também criados novos vértices e
segmentos.
Reflexão[imagem pic, recta h]: Reflecte a imagem pic na
recta h
Nota: veja o modo
Reflexão em relação a um ponto; veja
também o modo
Reflexão em relação a uma recta.
Homotetia
Homotetia[ponto A, número k, ponto H]: Transformado
do ponto A na homotetia de centro H e razão k.
Homotetia[recta h, número k, ponto H]: Transformada
da recta h na homotetia de centro H e razão k.
Homotetia[cónica c, número k, ponto H]: Transformada
da cónica c na homotetia de centro H e razão k.
Homotetia[polígono poly, número k, ponto H]:
Transformado do polígono poly na homotetia de centro H e
razão k. Nota: são também criados novos vértices e
segmentos.
Homotetia[imagem
pic,
número
f,
ponto
S]:
Transformada da imagem pic na homotetia de centro H e
razão k. Nota: veja o modo
Homotetia de centro num
ponto por um factor.
5. Imprimir e Exportar
5.1. Imprimir
5.1.1.
Zona Gráfica
Encontra a opção Visualização da impressão para a zona gráfica
no menu Ficheiro. Aqui, pode especificar título, autor, data e escala
da imagem a imprimir (em cm).
Nota: pressione Enter após cada alteração para actualizar a janela
de visualização.
5.1.2.
Protocolo de Construção
Para abrir a janela de Previsão da impressão do protocolo de
construção é necessário abrir primeiro o Protocolo de construção
no menu Exibir. Neste encontra a opção Previsão da impressão no
menu Ficheiro da janela que aparece.
Nota: pode exibir ou esconder as diferentes colunas (Nome,
Definição, Comando, Álgebra e Ponto de quebra) do protocolo de
construção no menu Exibir deste mesmo protocolo.
Na janela de Previsão da impressão do protocolo de construção
pode inserir título, autor e data antes de imprimir a sua construção.
Existe uma barra de navegação na parte inferior da janela do
protocolo de construção. Ela permite-lhe navegar paso a passo
pela sua construção (veja Barra de Navegação).
Nota: usando a coluna Ponto de quebra (menu Exibir) pode definir
certos passos da construção como pontos de quebra, o que lhe
permite agrupar objectos. Deste modo, quando navega pela sua
construção os grupos de objectos são mostrados simultaneamente.
5.1.3.
Zona Gráfica como Imagem
Pode encontrar a opção Zona gráfica como figura no submenu
Exportar do menu Ficheiro. Aqui pode especificar a escala (em cm)
e a resolução (em dpi) da imagem a imprimir. O verdadeiro
tamanho da imagem exportada vê-se na parte inferior da janela.
Quando exporta a zona gráfica como figura pode escolher um dos
seguintes formatos digitais de imagem:
PNG – Portable Network Graphics
Este é um formato gráfico com base no pixel. Quanto mais alta é a
resolução em dpi (dots per inch), melhor é a qualidade (300 dpi
costuma ser suficiente). Para evitar uma perda de qualidade, as
imagens PNG não devem ser escaladas subsequentemente.
As imagens PNG são boas para usar em páginas Web (HTML) e
com Microsoft Word.
Nota: sempre que introduzir uma imagem PNG num documento
Word (menu Inserir, Inserir imagem do ficheiro) certifique-se que o
tamanho está definido como 100 %; caso contrário, a escala (em
cm) deve ser mudada para 100%.
EPS – Encapsulated Postscript
Este é um formato gráfico vectorial. As imagens EPS podem ser
escaladas sem perder qualidade. Os ficheiros EPS são adequados
para programas de gráficos vectoriais como o Corel Draw e
sistemas profissionais de processamento de texto como o LaTeX.
A resolução de um gráfico EPS é sempre 72dpi. Este valor só é
usado para calcular o verdadeiro tamanho de uma imagem em cm,
não tendo nenhum efeito na qualidade da imagem.
Nota: O efeito de transparência no preechimento de polígonos ou
cónicas não é possível no formato EPS.
SVG – Scaleable Vector Graphic
(veja formato EPS acima)
EMF – Enhanced Meta Format
(veja formato EPS acima)
PSTricks
Permite descrever uma imagem usando LaTeX.
5.2. Zona Gráfica / Área de Transferência
Pode encontrar a opção Copiar para a área de transferência no
menu Ficheiro, submenu Exportar. Esta opção permite copiar a
zona gráfica para a área de transferência do seu sistema como
figura PNG (veja formato PNG). Esta imagem pode ser passada
para outros programas (por exemplo, Microsoft Word).
Nota: para exportar a sua construção numa certa escala (em cm)
use a opção Zona gráfica como figura, no menu Ficheiro, submenu
Exportar (veja Zona Gráfica como Imagem).
5.3. Protocolo de Construção / Página Web
Para abrir a janela Exportar: Protocolo de construção, primeiro
deve abrir o Protocolo de Construção no menu Exibir. Aqui
encontra a opção Exportar como Página Web, no menu Ficheiro.
Nota: pode exibir ou esconder as diferentes colunas do protocolo
de construção antes de o exportar como página web (veja o menu
Exibir no protocolo de construção).
Na janela de exportação do protocolo pode inserir título, autor e
data da construção; ainda pode escolher se quer ou não exportar
apenas a figura da construção na zona gráfica ou também a figura
da janela de álgebra.
Nota: o ficheiro HTML exportado pode ser visto com qualquer
browser (Mozilla, Internet Explorer, Safari, etc.) e editado com
FrontPage, WordPad, NotePad, etc.
5.4. Folha Dinâmica como Página Web
No menu Ficheiro, submenu Exportar, encontra a opção Folha
dinâmica como Página Web (html).
No topo da janela de exportação pode inserir título, autor e data da
sua folha dinâmica html.
O submenu Geral permite-lhe adicionar algum texto que pode ser
localizado antes ou depois da sua construção dinâmica (por
exemplo, uma breve descrição da construção e algumas tarefas a
desenvolver pelos alunos). A construção pode ser incluida
directamente na página web ou aberta através de um clique num
botão que aparece na página web.
O submenu Avançado permite-lhe alterar a funcionalidade da
construção dinâmica (icone para refazer a construção, duplo clique
na zona gráfica para abrir a janela da aplicação); também lhe
permite modificar a interface do utilizador (mostrar ou não a barra
de menu, definir as dimensões da janela de visualização, etc.).
Nota: não escolha valores muito grandes para as dimensões da
construção dinâmica, pois esta pode não ser totalmente visível pelo
browser.
Quando exporta uma folha dinâmica são criados vários ficheiros:
• ficheiro html (por exemplo. circulo.html) – este ficheiro inclui
a própria folha dinâmica;
• ficheiro GGB (por exemplo. circulo.ggb) – este ficheiro inclui
a sua construção GeoGebra;
•
geogebra.jar (vários ficheiros) – este ficheiros incluem
GeoGebra e tornam a sua folha interactiva.
Todos os ficheiros (circulo.html, circulo.ggb e ficheiros do
geogebra.jar ) devem estar na mesma pasta para que a construção
dinâmica funcione. É claro que também pode copiar todos estes
para outra pasta.
Nota: pode editar o seu ficheiro html e substituir
archive =”geogebra.jar”
por
archive=”http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.jar"
Nota: o ficheiro HTML exportado pode ser visto por qualquer
browser (Mozilla, Internet Explorer, Safari, etc.). Para que a
construção dinâmica funcione o plugin Java (versão 1.4.2 ou
posterior) deve estar instalado e activado no computador. Pode
obter a última versão do plugin Java em http://www.java.com sem
qualquer encargo. Se quiser usar a sua folha dinâmica na rede de
computadores da sua escola, pergunte ao administrador da rede se
o plugin está instalado e, se não estiver, peça-lhe para o instalar.
Nota: o ficheiro HTML pode ser editado e alterado com FrontPage,
WordPad, NotePad, etc.
6.
Opções
As opções globais podem ser modificadas no menu Opções. Para
alterar a configuração dos objectos use o Menu de Contexto.
6.1. Captura de Pontos
Determina se a Captura de pontos está ou não activada ou se os
pontos são capturados pelas intersecções do quadriculado.
6.2. Unidade de Ângulo
Determina a unidade de medida das amplitudes: grau (°) ou
radiano (rad).
Nota: a inserção na linha de comandos é sempre possível nas duas
unidades de medida, grau ou radiano.
6.3. Casas Decimais
Permite ajustar o número de casas decimais de 0 até 5.
6.4. Continuidade
O GeoGebra permite activar/desactivar a continuidade heurística
no menu Opções. O software usa uma aproximação heurística para
que, no movimento, os pontos de intersecção (recta-cónica, cónicacónica) se mantenham próximos das suas anteriores posições,
evitando saltos (descontinuidades).
Nota: por defeito, esta heurística está desactivada, mesmo nas
ferramentas definidas pelo utilizador (veja Ferramentas Definidas
pelo Utilizador).
6.5. Estilo do Ponto
Determina se os pontos são mostrados na forma de círculo ou cruz.
6.6. Estilo do Ângulo Recto
Determina se os ângulos rectos são mostrados na forma de
quadrado , ponto ou como todos os outros ângulos.
6.7. Coordenadas
Determina se as coordenadas dos pontos são mostradas na forma
A = (x, y) ou A(x | y).
6.8. Rotular
Pode especificar se o rótulo de um objecto acabado de criar deve
ser mostrado ou não.
Nota: a opção Automático mostra os rótulos dos objectos na janela
de álgebra (se estiver aberta) quando esses objectos são criados.
6.9. Tamanho da Fonte
Determina o tamanho, em pontos (pt), da fonte para rótulos e texto.
6.10. Idioma
O GeoGebra está traduzido em muitas línguas. Aqui pode mudar a
opção do idioma. Isto afecta todas as entradas (inputs), incluindo
os nomes dos comandos, e todas as saídas (outputs).
6.11. Zona Gráfica
Abre uma janela onde as propriedades da zona gráfica
quadriculado, eixos, cor de fundo) podem ser estabelecidas.
6.12. Gravar Configurações
O GeoGebra lembra-se das suas configurações preferidas
(parâmetros do menu Opções, barra de ferramentas actual e zona
gráfica) se seleccionar Grave configurações no menu Opções.
7. Ferramentas
7.1. Ferramentas Definidas pelo Utilizador
Com base numa construção existente pode criar as suas próprias
ferramentas no GeoGebra. Após ter preparado a construção da sua
ferramenta, escolha Crie nova ferramenta no menu Ferramentas
Na caixa de diálogo que aparece pode especificar a entrada e a
saída dos objectos da sua ferramenta e escolher os nomes para o
ícone da ferramenta e o seu comando.
Exemplo: ferramenta Quadrado: construir um quadrado a partir de
dois pontos A e B
• Construa dois pontos A e B.
• Construa os outros dois vértices e ligue os quatro com a
ferramenta
Polígono para obter o quadrados poly1.
• Seleccione Crie nova ferramenta no menu Ferramentas.
• especifique a Saída dos objectos: clique no quadrado ou
seleccione o seu nome no menu drop down.
• Especifique a Entrada de objectos: o GeoGebra especifica
automaticamente os objectos iniciais (neste caso, os pontos
A e B). Também pode modificar a selecção dos objectos
iniciais usando o menu drop down ou clicar sobre o objecto
na construção.
• Especifique o Nome da ferramenta e o Nome do comando
para a nova ferramenta. O nome da ferramenta aparece na
bara de ferramentas do GeoGebra e o nome do comando
pode ser usado na entrada de comandos do GeoGebra.
• Também pode escolher uma imagem para o ícone da
ferramenta. O GeoGebra redimesiona-a automaticamente
para que ela caiba no botão da barra de ferramentas.
Nota: a sua ferramenta pode ser usada com o rato ou como
comando no campo de entrada e todas as ferramentas são
gravadas automaticamente no seu ficheiro de extensão GGB.
Usando Ferramentas de controlo, no menu Ferramentas, pode
apagar uma ferramenta ou modificar o seu nome e o seu ícone.
Também pode gravar ferramentas seleccionadas num ficheiro com
extensão GGT (GeoGebra Tools). Este ficheiro pode ser usado
mais tarde no menu Ficheiro, submenu Abrir, para carregar as suas
ferramentas numa outra construção.
Nota: abrir um ficheiro GGT não muda a sua construção corrente
mas abrir um ficheiro GGB muda.
7.2. Configurar Caixa de Feramentas
Pode personalizar as ferramentas na barra de ferramentas do
GeoGebra seleccionando Configure caixa de ferramentas no menu
Ferramentas. Isto é especialmente útil para uma Folha Dinâmica
onde queira restringir as ferramentas disponíveis na barra de
ferramentas.
Nota: a configuração corrente da barra de ferramentas é gravada
com a sua construção num ficheiro de extensão GGB.
8. Interface JavaScript
Nota: a interface JavaScript do GeoGebra é interessante para
utilizadores que possuem alguma experiência na edição de HTML.
Para ampliar a interactividade da sua Folha Dinâmica, a apliqueta
GeoGebra disponibiliza uma interface JavaScript (JS). Por
exemplo, pode criar um botão para gerar aleatoriamente novas
configurações de uma construção dinâmica.
Por favor, veja o documento GeoGebra Applets and JavaScript
(http://www.geogebra.org, em “Help”), traduzido a seguir, o qual dá
exemplos e informação sobre a utilização de JS com GeoGebra.
8.1. Exemplos
Exemplo 1 : O seguinte fragmento de código HTML insere um
botão "Reiniciar" numa página HTML, o que permite ao utilizador
fazer regressar uma construção GeoGebra ao seu estado inicial.
<form>
<input type="button" value="Reiniciar"
onclick="document.applets[0].reset();">
</form>
Exemplo 2 : Este insere dois botões, "Esconder A" e "Mostrar A"
para mudar o estado de um objecto chamado "A" na construção.
<form>
<input type="button" value="Esconder A"
onclick="document.applets[0].setVisible('A', false);">
<input type="button" value="Mostrar A"
onclick="document.applets[0].setVisible('A', true);">
</form>
Exemplo 3 : Uma função JavaScript "Construir()" é utilizada para
chamar vários métodos da apliqueta GeoGebra. Nota: o idioma é
fixado em português de Portugal, atibuindo o valor "pt" ao
parâmetro "language" e o valor "PT" ao parâmetro "country", para
que assim o comando português "Recta" funcione.
<applet name="ggbApplet"
code="geogebra.GeoGebraApplet"
archive="geogebra.jar"
width=200 height=40>
<param name = "fileName" value="quadrado.ggb">
<param name = "framePossible" value="false">
<param name = "language" value="pt">
<param name = "country" value="PT">
Por favor <a href="http://www.java.com">instale Java
1.4.2</a> ou mais recente) para usar esta página
</applet>
<script type="text/javascript">
function Construir()
{
var applet = document.ggbApplet;
applet.evalCommand("A = (1,1)");
applet.evalCommand("B = (3,2)");
applet.evalCommand("s = Recta[A, B]");
}
</script>
<form>
<input type="button" value="Recta AB"
onclick="Construir();">
</form>
8.2. Métodos utilizáveis
8.2.1.
Linha de Comando
evalCommand(comando)
Avalia a string fornecida tal como ela seria escrita no campo de
entrada do GeoGebra.
[ex : evalCommand('s = Recta[A, B]')]. Nota: utilize os
parâmetros “language” e "country" para ter a certeza que o
comando funciona em português de Portugal.
8.2.2.
Definir o estado de um objecto
deleteObject(nome)
Apaga o objecto citado. [ex : deleteObject('A')].
setValue(nome, valor)
Afecta o valor do objecto citado. [ex: setValue('n',36)].
Nota: se este objecto não for um número, nada acontece.
setCoords(nome, x, y)
Afecta as coordenadas do objecto citado.
[ex: setCoords('A',-1,3)].
Nota: se este objecto não for ponto ou vector, nada acontece.
setColor(nome, R, G, B)
Afecta a cor RGB (Red, Green, Blue) do objecto citado
[ex: setColor('A',200,100,100)].
setVisible(nome, booleano)
Mostra (true) ou esconde (false) o objecto citado na zona gráfica.
[ex: setVisible('A',true)].
setLabelVisible(nome, booleano)
Mostra (true) ou esconde (false) o rótulo do objecto na zona
gráfica. [ex: setLabelVisible('A',false)].
setLabelStyle(nome, valor)
Define o estilo do rótulo do objecto citado na zona gráfica. As três
possibilidades são Nome = 0, Nome e Valor = 1 e Valor = 2.
[ex: setLabelStyle('A',1)].
setFixed(nome, booleano)
Define a liberdade do objecto citado. [ex: setFixed('A',true)].
Nota: os objetos fixos não podem ser modificados.
setTrace(nome, booleano)
Este método serve para activar ou desactivar o traço do objecto
citado. [ex: setTrace('A',false)].
8.2.3.
Conhecer o estado de um objecto
getXcoord(nome)
Retorna a abcissa do objecto citado. [ex: getXcoord('A')].
Nota: retorna 0 se o objecto não é nem ponto nem vector.
getYcoord(nome)
Retorna a ordenada do objecto citado [ex: getYcoord('A')].
Nota: retorna 0 se o objecto não é nem ponto nem vector.
getValue(nome)
Retorna o valor do objecto citado (ex: comprimento de um
segmento, área de um polígono). [ex: getValue('poly1')].
Nota: retorna 0 se o objecto não tiver um valor associado.
getColor(nome)
Retorna a cor do objecto citado sob a forma de uma string
hexadecimal. [ex: "#FF0000" para vermelho].
getValueString(nome)
Retorna o valor (afixado na janela de álgebra) do objecto citado sob
a forma de uma string.
getDefinitionString(nome)
Retorna a definição (bolha informativa na janela de álgebra) do
objecto citado sob a forma de uma string.
getCommandString(nome)
Retorna o comando a inserir para criar o objecto citado sob a forma
de uma string.
getObjectType(nome)
Retorna o tipo do objecto citado sob a forma de uma string
("ponto", "recta", "circunferência", etc. mas em Inglês!).
exists(nome)
Retorna "true" ou "false" sobre a existência ou não do objecto
citado na construção.
isDefined(nome)
Retorna um booleano atestando a validade ou não do objecto
citado neste instante.
getObjectNumber()
Retorna o número de objectos na construção.
getObjectName(n)
Retorna o nome do n-ésimo objecto da construção (atenção, n
começa em 0).
8.2.4.
Construção / Interface utilizador
setMode(código do modo)
Define o modo no código fornecido.
[ex: setMode(0), para o modo Mover].
openFile(URL)
Abre a construção a partir dum ficheiro cuja URL pode ser absoluta
ou relativa. [ex: openFile('NomeDoFicheiro.ggb')].
reset()
Reinicia a construção.
refreshViews()
Refresca a construção, apagando todos os traços na zona gráfica.
setRepaintingActive(booleano)
Activa (true) ou não (false) o recálculo da figura.
Nota: isto serve sobretudo para utilizar quando são usados vários
métodos.
setCoordSystem(xmin, xmax,ymin,ymax)
Define a janela gráfica. [ex: setCoordSystem(-5,10,-1,8)].
setAxesVisible(booleano, booleano)
Mostra (true) ou esconde (false), independentemente, cada um dos
eixos. [ex: setAxesVisible(false, true)].
setGridVisible(booleano)
Mostra (true) ou esconde (true) a grelha quadriculada.
8.2.5.
Comunicação GeoGebra / JavaScript
Com estes métodos pode implementar uma comunicação da
apliqueta GeoGebra para o JavaScript. Quando utiliza um dos
métodos seguintes deve assegurar-se que inseriu a opção
MAYSCRIPT no fim da linha que chama a apliqueta. Exemplo:
<applet Name="ggbApplet"
code="geogebra.GeoGebraApplet"
codebase="."
archive="http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.jar"
width="500" height="250" MAYSCRIPT>
registerAddListener(função JS)
Declara uma função JavaScript que escuta a criação de objectos
na construção. Logo que um novo objecto é criado, a função JS é
chamada, tendo como argumento o nome do novo objecto.
Exemplo: declare previamente uma função JS de escuta:
ggbApplet.registerAddListener("EcoN") ;
Em seguida, escreva :
function EcoN(nome) {alert('Novo objeto '+nome);} .
Logo que o objecto "A" é criado, a apliqueta GeoGebra chama
EcoN("A");
unregisterAddListener(objecto)
Remove o registo declarado anteriormente.
registerRemoveListener(função JS)
Declara uma função JavaScript que escuta a supressão de
objectos na construção. Logo que um objecto é apagado, a função
JS é chamada, tendo como argumento o nome do objecto
suprimido. Nota: quando uma construção é totalmente apagada, a
função não é chamada por cada um dos objectos elementares
[ veja registerClearListener()].
Exemplo: declare uma função JS de escuta :
ggbApplet.registerRemoveListener("EcoV");
Logo que um objecto "A" é apagado, a apliqueta GeoGebra chama
EcoV("A");
unregisterRemoveListener(objecto)
Remove o registo declarado anteriormente.
registerUpdateListener(função JS)
Declara uma função JavaScript que escuta as modificações na
construção. Logo que um objecto é modificado, a função JS é
chamada, tendo como argumento o nome do objecto modificado.
Nota: se quiser seguir as modificações de um único objecto é
preferível utilizar
registerObjectUpdateListener();
Exemplo: declare previamente uma função JS de escuta :
ggbApplet.registerUpdateListener("EcoAltera");
Logo que o objecto "A" é alterado, a apliqueta GeoGebra chama
EcoAltera ("A");
unregisterUpdateListener(objecto)
Remove o registo das alterações declarado anteriormente.
registerObjectUpdateListener(nome, função JS)
Declara uma função JavaScript que escuta as modificações num
simples objecto na construção. Logo que o objecto seguido é
modificado, a função JS é chamada, tendo como argumento o
nome do objecto modificado. Se, anteriormente, o objecto tinha um
certo valor pela função JS, esse antigo valor é actualizado.
Nota: todas as escutas de modificações de objectos são apagadas
quando os objectos associados ou quando a construção é
completamente apagada.
[veja registerRemoveListener()].
[ veja registerClearListener()].
Exemplo: declare previamente uma função JS de escuta :
ggbApplet.registerObjectUpdateListener("A","Eco");
Logo que o objecto A é modificado, a apliqueta GeoGebra chama
Eco("A") ;
Nota: uma escuta das modificações num objecto continua a
funcionar depois deste objecto ser renomeado.
unregisterObjectUpdateListener(nome)
Remove o registo das modificações do objecto citado, declarado
anteriormente.
registerReNameListener(função JS)
Declara uma função JavaScript que escuta as alterações de nome
na construção. Logo que um qualquer objecto é renomeado, a
função JS é chamada, tendo como argumento o antigo nome do
objecto e também o novo nome.
Exemplo: declare previamente uma funçãoJS de escuta :
ggbApplet.registerReNameListener("EcoRenomear");
Logo que um objecto "A" é renomeado para "B", a apliqueta
GeoGebra chama a função
EcoRenomear("A", "B") ;
unregisterReNameListener(nome)
Remove o registo de alterações de mome.
registerClearListener(função JS)
Declara uma função JavaScript que escuta os apagamentos
completos na construção. Logo que a construção é totalmente
apagada (i.e. todos os objectos são suprimidos), a função JS é
chamada, não tendo qualquer argumento.
Nota: todas as escutas de alterações deixam de ser registadas
quando a construção é completamente apagada.
Exemplo: declare previamente uma função JS de escuta :
ggbApplet.registerClearListener("EcoRazia");
Quando a construção é completamente apagada a apliqueta
GeoGebra chama a função
EcoRazia();
unregisterClearListener(função JS)
Remove o registo dos apagamentos completos.
8.2.6.
Formato XML do GeoGebra
Com os seguintes métodos pode definir qualquer objecto numa
construção.
evalXML(string xml)
Avalia a string fornecida e modifica a construção actual. Nota: a
construção não é apagada antes da avaliação da string XML.
setXML(string xml)
Avalia a string fornecida e modifica a construção actual. Nota: a
construção é apagada antes da avaliação da string XML.
getXML()
Retorna a construção actual sob a forma de uma string em formato
XML do GeoGebra. Este método pode ser utilizado para gravar
construções. Exemplo:
<form name="A">
<input type="button"
value="get"
onclick="document.A.T.value=document.ggbApplet.getXML()
";">
<textarea name="T" rows=8 cols=60> </textarea>
</form>
Índice
A
abcissa, 33
adição, 32
aleatório, 33
ângulo, 29
ângulo, com amplitude fixa,
modo, 22
ângulo, comando, 38
ângulo, limites, 30
ângulo, modo, 22
ângulo, reflexo, 30
animação, 28
apagar, 11
apagar, comando, 35
apagar, objectos, modo, 16
arco circular, comando, 47
arco circular, dados o centro
e dois pontos, modo, 20
arco circular, dados três
pontos, modo, 20
arco de circunferência,
comando, 47
arco, comando, 47
área, comando, 36
área, entre os gráficos de
duas funções, 36
área, integral definido, 36
área, modo, 21
arredonda, 33
assímptota, comando, 43
B
baricentro, comando, 39
barra de navegação, 12, 13,
52
bissectriz, modo, 19
Booleano, comandos, 35
Booleano, operações, 34
Booleano, variáveis, 34
C
caixa de ferramentas,
configurar, 59
caixa, para exibir / esconder
objectos, 22
campo de entrada, 29
canto, comando, 48
cartesianas, coordenadas, 30
casas decimais, opções, 56
circunferência, comando, 44
circunferência, dados o centro
e o raio, modo, 20
circunferência, dados o centro
e um ponto, modo, 20
circunferência, definida por
três pontos, modo, 20
circunferência, osculadora,
comando, 44
comandos, 35
comprimento, comando, 36
configurar caixa de
ferramentas, 59
cónica, 31
cónica, comando, 45
cónica, definida por cinco
pontos, modo, 20
continuidade, opções, 56
controlo, ferramentas, 58
coordenadas, 30
coordenadas, abcissa, 33
coordenadas, cartesianas, 30
coordenadas, ordenada, 33
coordenadas, polares, 30
copiar estilo visual, modo, 16
cor, 11
co-seno, 33
curva, 46
curvas paramétricas, 46
curvatura, comando, 37
D
declive, comando, 36
declive, modo, 21
derivada, comando, 45
diâmetro, comando, 44
direcção, comando, 41
directriz, comando, 43
distância, comando, 36
distância, modo, 21
divisão, 33
divisão, comando, 36
E
eixo principal, comando, 43
eixo principal, comprimento,
comando, 37
eixo secundário, comando, 43
eixo secundário,
comprimento, comando, 37
eixos, comando, 43
eixos, EixoX, EixoY, 31
EixoX, 31
EixoY, 31
elemento, comando, 35
elipse, comando, 44
esconder, 11
espessura da recta, 11
estilo das rectas, 11
estilo de coordenadas,
opções, 57
estilo do ângulo recto,
opções, 57
estilo do ponto, opções, 56
estilo visual, copiar, 16
excentricidade, comando, 37
exibir, 11
exibir / esconder, objecto,
modo, 16
exibir/esconder, rótulo, modo,
16
expandir, polinómio, 45
exponenciação, 33
exportar, 53
exportar, folha dinâmica, 54
exportar, protocolo de
construção como página
web, 53
exportar, zona gráfica, 52
exportar, zona gráfica para a
área de transferência, 53
extremo, comando, 41
F
factorial, 33
ferramentas definidas pelo
utilizador, 58
ferramentas, controlo, 58
ferramentas, definidas pelo
utilizador, 58
foco, comando, 39
folha dinâmica, exportar, 54
formato, copiar estilo visual,
modo, 16
fórmula, 25
função, 31
função exponencial, 33
função Gamma, 33
função por ramos, comando,
46
função, comando, 45
função, exponencial, 33
função, restrição a um
intervalo, 32
função, restrição, comando,
45
funções trigonométricas, 32
funções trigonométricas,
arco-tangente hiperbólica,
33
funções trigonométricas,
arco-co-seno, 33
funções trigonométricas,
arco-co-seno hiperbólico,
33
funções trigonométricas,
arco-seno, 33
funções trigonométricas,
arco-seno hiperbólico, 33
funções trigonométricas,
arco-tangente, 33
funções trigonométricas, coseno, 33
funções trigonométricas, coseno hiperbólico, 33
funções trigonométricas,
seno, 33
funções trigonométricas, seno
hiperbólico, 33
funções trigonométricas,
tangente, 33
funções trigonométricas,
tangente hiperbólica, 33
G
geométricas, transformações,
49
gravar configurações, opções,
57
H
hipérbole, comando, 44
homotetia, comando, 51
homotetia, de centro num
ponto por um factor, modo,
23
I
idioma, opções, 57
imagem, 25
imagem de fundo, 26
imagem, canto, 48
imagem, de fundo, 26
imagem, inserir, 25
imagem, posição, 26
imagem, transparência, 27
imprimir, 51
imprimir, protocolo de
construção, 52
imprimir, zona gráfica, 51
índice, 29, 35
inserir, imagem, modo, 25
inserir, texto, 24
integral, comando, 37, 45
integral, definido, 37
integral, indefinido, 45
intersecção, comando, 40
intersecção, dois objectos,
modo, 17
intervalo, restrição de uma
função, 32
iteração, 49
iteração, comando, 38
J
janela geométrica, 11
JavaScript, 59
L
limites, ângulo, 30
limites, número, 30
lista, 32
locus, comando, 48
logaritmo, 33
lugar geométrico, 22
lugar geométrico, modo, 22
M
maior inteiro menor ou igual,
33
máximo, comando, 38
menor inteiro maior ou igual,
33
menu de contexto, 11
mínimo, comando, 38
modos, 14
modos gerais, modo, 14
modos, modos gerais, 14
mover, eixos coordenados,
modo, 15
mover, modo, 14
movimentos, 49
multiplicação, 32
N
novo ponto, modo, 16
número, 29
número, limites, 30
O
opções, 56
opções, captura de pontos,
56
opções, casas decimais, 56
opções, continuidade, 56
opções, estilo de
coordenadas, 57
opções, estilo do ângulo
recto, 57
opções, estilo do ponto, 56
opções, gravar configurações,
57
opções, idioma, 57
opções, rotular, 57
opções, tamanho da fonte, 57
opções, unidade de ângulo,
56
opções, zona gráfica, 57
operações aritméticas, 32
ordenada, 33
P
parábola, comando, 45
parâmetro, comando, 37
parênteses, 33
perímetro da circunferência,
comando, 37
perímetro do polígono,
comando, 37
perpendicular, comando, 42
perpendicular, recta, modo,
19
polar, comando, 44
polares, coordenadas, 30
polígono regular, modo, 18
polígono, comando, 42
polígono, modo, 18
polígono, regular, modo, 18
Polinómio de Taylor,
comando, 45
polinómio, comando, 45
ponto, 30
ponto de inflexão, comando,
41
ponto de quebra, 13, 52
ponto médio, comando, 39
ponto médio, modo, 17
ponto, captura, opções, 56
ponto, colocar sobre a recta,
redefinir, 13
ponto, comando, 39
ponto, remover da recta,
redefinir, 13
preenchimento, 11
produto escalar, 33
propriedades, 13
propriedades, diálogo, 13
protocolo, 12
protocolo de construção, 12
protocolo de construção,
como página web,
exportar, 53
protocolo de construção,
exportar, 53
protocolo de construção,
imprimir, 52
protocolo, exportar, 53
R
raio, comando, 37
raíz cúbica, 33
raiz quadrada, 33
raiz, comando, 40
razão afim, comando, 38
razão dupla, comando, 38
razão, eixos, 12
recta, 30
recta paralela, modo, 18
recta polar, modo, 19
recta, bissectriz, comando, 43
recta, comando, 42
recta, converter em
segmento, redefinir, 13
recta, definida por dois
pontos, modo, 18
recta, mediatriz, comando, 43
recta, mediatriz, modo, 19
rectângulo de selecção, 15
redefinir, 11, 13
reflexão, comando, 50
reflexão, em relação a um
ponto, modo, 23
reflexão, em relação a uma
recta, modo, 23
relação, comando, 35
relação, modo, 15
renomear, 11
resto, 36
resto, comando, 36
rodar, em torno de um ponto,
modo, 15, 23
rotação, comando, 49
rotular, opções, 57
S
se, comando, 46
sector, 46
sector circular, comando, 47
sector circular, dados o centro
e dois pontos, modo, 21
sector circular, dados três
pontos, modo, 21
sector circuncircular,
comando, 47
sector, comando, 47
segmento, comando, 42
segmento, converter em
recta, redefinir, 13
segmento, dados o
comprimento e um ponto,
modo, 18
segmento, definido por dois
pontos, modo, 17
selector, modo, 21
semicircunferência, comando,
46
semicircunferência, modo, 20
semirecta, comando, 42
semirecta, definida por dois
pontos, modo, 18
seno, 33
sequência, 48
sequências, outros
comandos, 48
simplificar, polinómio, 45
sinal, 33
soma inferior, comando, 38
soma superior, comando, 38
subtracção, 32
T
tamanho, 11
tamanho da fonte, opções, 57
tangente, 33
tangente, comando, 43
tangente, modo, 19
texto, 24
texto, modo, 24
traço, 12
transformações, geométricas,
49
translação, comando, 49
translação, por um vector,
modo, 23
transparência, imagem, 27
U
unidade de ângulo, opções,
56
V
valor absoluto, 33
valores, alterar, 28
vector, 30
vector perpendicular unitário,
comando, 41
vector unitário, comando, 41
vector, a partir de um ponto,
modo, 17
vector, comando, 41
vector, curvatura, comando,
41
vector, definido por dois
pontos, modo, 17
vector, perpendicular,
comando, 41
vértice, comando, 39
Z
zona gráfica, 11
zona gráfica, exportar, 52
zona gráfica, imprimir, 51
zona gráfica, opções, 57
zona gráfica, para área de
transferência, exportar, 53
zoom, 12
zoom, ampliar, modo, 16
zoom, reduzir, modo, 16