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MOVIMENTO CIRCULAR
ATIVIDADE 1
Professores: Claudemir C. Alves / Luiz C. R. Montes
1- Velocidade Angular (ω)
Um ponto material “P”, descrevendo uma trajetória circular de raio “r”, apresenta uma variação
angular (∆φ) em um determinado intervalo de tempo (∆t).
A relação entre a variação angular (∆φ) e o intervalo de tempo (∆t) define a velocidade angular do
movimento.
Em que:
ω = velocidade angular [rad/s]
∆φ = variação angular [rad]
∆t = variação de tempo [s]
2 – Período (T)
É o tempo necessário para que um ponto material “P”, movimento-se em uma trajetória de raio “r”,
complete um ciclo, ou uma volta.
Em que:
T = período [s]
ω = velocidade angular [rad/s]
π = constante trigonométrica 3,1415...
3 – Freqüência (f )
É o número de ciclos ou volta que o ponto material “P” descreve em um segundo, movimentando-se
em trajetória circular de raio “r”.
A freqüência (f) é o inverso do período “T”.
Em que:
f = freqüência [Hz]
T = período [s]
ω = velocidade angular [rad/s]
π = constante trigonométrica 3,1415...
4 – Radiano
É o arco de circunferência cuja medida é o raio.
5 – Rotação (n)
É o número de ciclos ou voltas que um ponto material “P”, movimentando-se em uma trajetória
circular de raio “r”, descreve em um minuto.
Desta forma, podemos escrever que:
Como f = ω / 2 x π , tem-se:
n = 60 x ω / 2 x π , portanto
n = rotação [rpm]
f = freqüência [Hz]
ω = velocidade angular [rad/s]
π = constante trigonométrica 3,1415...
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Em que:
6 – Velocidade Periférica ou Tangencial (v)
A velocidade tangencial ou periférica tem como característica a mudança de trajetória a cada
instante, porém o seu módulo permanece constante.
A relação entre a velocidade tangencial (v) e a velocidade
angular (ω) é definida pelo raio da peça.
v / ω = r , portanto
v=ωxr
mas, isolando-se ω na expressão da rotação, obtém-se:
substituindo-se ω na expressão anterior, obtém-se:
Em que:
v = velocidade periférica [m/s]
π = constante trigonométrica 3,1415...
n = rotação [rpm]
r = raio [m]
ω = velocidade angular [rad/s]
Exercícios
1 – A roda da figura possui d = 300 mm, gira com velocidade angular ω = 10 π rad/s.
Determinar para o movimento da roda:
a)
b)
c)
d)
Período (T)
Freqüência (f)
Rotação (n)
Velocidade periférica (vp)
2 – O motor elétrico da figura possui como característica de desempenho a rotação n = 1740 rpm.
Determine as seguintes caracter´sticas de desempenho do motor:
a) Velocidade angular (ω)
b) Período (T)
c) Freqüência (f)
3 – O ciclista da figura monta uma bicicleta aro 26 (d = 660 mm), viajando com um movimento que
faz com que as rodas girem com n = 240 rpm. Qual a velocidade do ciclista? V [Km/h]
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MOVIMENTO CIRCULAR
RELAÇÃO DE TRANSMISSÃO (i) – ATIVIDADE 2
Professor Claudemir Claudino Alves
7 – Relação de Transmissão (i)
Transmissão por Correias
Transmissão redutora de velocidade
Transmissão ampliadora de velocidade
Em que:
i = relação de transmissão [adimensional]
d1 = diâmetro da polia 1 (menor) [m,...]
d2 = diâmetro da polia 1 (maior) [m,...]
ω1 = velocidade angular 1 [rad/s]
ω2 = velocidade angular 2 [rad/s]
f1 = freqüência 1 [Hz]
f2 = freqüência 2 [Hz]
n1 = rotação 1 [rpm]
n2 = rotação 2 [rpm]
MT1 = torque 1 [Nm]
MT2 = torque 2 [Nm]
Exercícios
4 – A transmissão por correias , representada na figura, é composta por duas polias com os
seguintes diâmetros respectivamente:
Polia 1 motora d1 = 100 mm
Polia 2 movida d2 = 180 mm
A polia 1 (motora) atua com
velocidade angular ω = 39 π rad/s.
Determinar para a transmissão:
a)
b)
c)
d)
e)
Período da polia 1 (T1)
Freqüência da polia 1 (f1)
Rotação da polia 1 (n1)
Velocidade angular da polia 2 (ω 2)
Freqüência da polia 2 (f2)
f)
g)
h)
i)
Período da polia 2 (T2)
Rotação da polia 2 (n2)
Velocidade periférica da transmissão (vp)
Relação de transmissão (i)
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MOVIMENTO CIRCULAR
TORÇÃO SIMPLES – ATIVIDADE 3
Professor Claudemir Claudino Alves
Uma peça encontra-se submetida a esforço de torção, quando sofre a ação de um torque (M T) em
uma das extremidades e um contratorque (M’T) na extremidade oposta.
8 – Momento Torçor ou torque (MT)
É definido por meio do produto entre a carga (F) e a distância entre o ponto de
aplicação da carga e o centro da seção transversal da peça (ver figura anterior).
MT = torque (Nm)
F = carga aplicada (N)
S = distância entre o ponto de aplicação da carga e o centro da seção transversal da peça (m)
Exemplo 1:
Determinar o torque de aperto na chave que movimenta as castanhas na placa do torno. A carga
aplicada nas extremidades da haste é F = 80N. O comprimento da haste é l = 200 mm.
MT = 2 x F x s
MT = 2 x 80 Nm x 100 mm
MT = 16000 N mm
MT = 16 Nm
9 – Torque nas Transmissões
Para as transmissões de movimento, o torque é definido por meio do produto entre a força
tangencial (FT) e o raio da peça.
Em que:
MT = Torque [Nm]
FT = Força tangencial [N]
r = raio da peça [m]
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Exemplo 1
A transmissão por correias, representada na figura, é composta pela polia motora 1 que possui
diâmetro d1 = 100 mm e a polia movida 2 que possui diâmetro d2 = 240 mm. A transmissão é
acionada por uma força tangencial FT = 600 N.
Determinar para a transmissão:
a) Torque na polia 1
b) Torque na polia 2
Resolução;
a) Torque na polia 1
a1 – raio da polia 1
r1 = d1 / 2 = 100 mm / 2 
r1 = 50 mm  r1 = 0,05 mm
a2 – Torque na polia 2
MT1 = FT x r1  MT1 = 600 N x 0,05 m 
MT1 = 30 Nm
b) Torque na polia 2
b1 - raio da polia 2
r2 = d2 / 2 = 240 mm / 2 
r1 = 120mm  r1 = 0,12 mm
b2 – Torque na polia 2
MT2 = FT x r2  MT2 = 600 N x 0,12 m 
MT2 = 72 Nm
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10 – Potência (P)
Define-se por meio do trabalho realizado na unidade de tempo.
Tem-se então:
Como
τ = F x s , conclui-se que :
Mas, vp = S / t , portanto
P = F x vp
Unidade de [P] [ Nm / s = J / s = W ] Unidade de potência (P) no SI.
Em que:
P = potência [W]
FT = força tangencial [N]
vp = velocidade periférica [m/s]
W = Watt
No século XVIII ao inventar a máquina a vapor James Watt decidiu demonstrar ao povo inglês
quantos cavalos equivalia a sua máquina.
Para isso, efetuou a seguinte experiência:
F = Qmáx = 76 kgf
Carga máxima que o cavalo elevou com velocidade V= 1 m/s.
Resultando em:
P = F x v  P 76 kgf x 1 m/s  P = 76 kgf x m/s
Como:
Kgf = 9,80665 N
P = 76 x 9,80665 N x 1 m/s
P = 745,... Nm/s, a unidade Nm/s = 1 W, homenagem a J. Watt, surgiu dessa a experiência o HP
(horse power).
hP = 745,....W – cuja utilização é vedada no SI.
Após algum tempo a experiência foi repetida na França constatando-se que Q = 75 kgf.
Resultou daí o cv (cavalo vapor)
P = F x v  P 75 kgf x 1 m/s  P = 75 kgf x m/s
Conclui-se então que:
P = 75 x 9,80665 N m/s
P = 735,5 W temporariamente permitida a utilização no SI.
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Relações Importantes
hp = 745,... W (horse Power) – vedada a utilização no SI. ( unidade de potência ultrapassada)
cv = 735,5 W (cavalo vapor) permitida temporariamente a utilização no SI.
11 – Torque x Potência
Como:
tem-se
Substituindo-se as equações II e III em I, tem-se:
Ou
Em que:
P = potência [W]
MT = torque [Nm]
ω = velocidade angular [rad/s]
n = rotação [rpm]
12 – Força Tangencial (FT)
Em que:
FT = força tangencial [N]
MT = torque [Nm]
r = raio da peça [m]
P = potência [W]
vp = velocidade periférica [m/s]
ω = velocidade angular [rad/s]
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Exercícios
5 – A transmissão por correias, representada na figura, é acionada por um motor elétrico com
potência P = 5.5 Kw com rotação n = 1720 rpm chavetando a polia 1 do sistema.
As polias possuem respectivamente os seguintes diâmetros:
Polia 1 motora d1 = 120 mm
Polia 2 movida d2 = 300 mm
Desprezar as perdas.
Determinar para a transmissão:
a) Velocidade angular da polia 1 (ω 1)
b) Freqüência da polia 1 (f1)
c) Torque da polia 1 (MT 1)
d) Velocidade angular da polia 2 (ω 2)
e) Freqüência da polia 2 (f2)
f) Rotação da polia 2 (n2)
g) Torque da polia 2 (MT 2)
h) Relação de transmissão (i)
i) Velocidade periférica da transmissão (vp)
j) Força tangencial da transmissão (FT)
6 – A transmissão por correias, representada na figura, é acionada por meio da polia 1 por um motor
elétrico com potência P = 7,5 kW (P = 10 cv) e rotação n = 1140 rpm. As polias possuem
respectivamente os seguintes diâmetros:
Polia 1 motora d1 = 120 mm
Polia 2 movida d2 = 220 mm
Determinar para a transmissão:
a) Velocidade angular da polia 1 (ω 1)
b) Freqüência da polia 1 (f1)
c) Torque da polia 1 (MT 1)
d) Velocidade angular da polia 2 (ω 2)
e) Freqüência da polia 2 (f2)
f) Rotação da polia 2 (n2)
g) Torque da polia 2 (MT 2)
h) Velocidade periférica da transmissão (vp)
i) Força tangencial da transmissão (FT)
j) Relação de transmissão (i)