Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro
Centro de Ciências e Tecnologias Agropecuárias - Laboratório de Engenharia Agrícola
EAG 03204 – Mecânica Aplicada
Prof. Ricardo Ferreira Garcia – [email protected]
Estudo de movimentos
1. Cinemática
A cinemática é a parte da mecânica que descreve o movimento dos corpos independente de suas
causas. Os principais movimentos estudados na mecânica são os movimentos retilíneo e circular.
2. Movimento retilíneo
O movimento retilíneo é a forma mais simples de deslocamento, visto que os movimentos são ao longo
de uma reta, seja horizontal ou vertical. Como tudo ocorre em uma dimensão, pode-se dispensar o
tratamento vetorial mais detalhado e resumir em termos de grandezas escalares, com o devido cuidado de
analisar os sentidos de velocidades e as mudanças de sinais que são frequentes quando se redefine o eixo
de referência. Este movimento é dividido em retilíneo uniforme e uniformemente variado.
Uma vez que a maior parte das máquinas agrícolas, como tratores, motores estacionários e elétricos
trabalham em regime de rotação constante, será dada ênfase no movimento uniforme.
2.1 Movimento uniforme
O movimento uniforme é aquele em que a velocidade escalar instantânea é constante e diferente de
zero, de modo que o móvel sofre variações de espaço iguais em intervalos de tempo iguais. A velocidade de
um móvel, por sua vez, é a razão segundo a qual sua posição varia com o tempo. Neste movimento, a
_
aceleração é nula. Deve-se considerar que: v  v  0 , a  0 , v  S e v 
t
lim
t  0
S
.
t
A função horária do espaço pode ser representada pela equação: S  S o  v . t
em que:
v = velocidade média, m/s;
v = velocidade instantânea, m/s;
2
a = aceleração média do corpo, m/s ;
S = posição do corpo, m;
t = tempo, s.
Exemplo: considere um trator realizando a aplicação de defensivos à velocidade constante de 7 km/h.
2.2. Movimento uniformemente variado
O movimento uniformemente variado é aquele em que a aceleração escalar é constante e diferente de
zero. A aceleração é a grandeza que mede a variação da velocidade no decurso do tempo. Neste
_
movimento, a velocidade varia uniformemente. Deve-se considerar: a  a  0 , a  v e a 
t
lim
t  0
v
t
A função horária da velocidade pode ser representada pela equação: v  v o  a .t
v v
v v
a .t 2
2
t , S  So  v o t 
Deve-se considerar ainda: v  o
, S  So  o
e v 2  v o  2 a . S
2
2
2
Exemplo: considere um trator partindo do repouso e iniciando seu movimento, com uma aceleração
constante, até atingir a velocidade de trabalho de 7 km/h.
3. Movimento circular
O movimento circular é aquele em que o objeto ou ponto material se desloca numa trajetória circular.
Este movimento é muito comum em eixos de máquinas, como sistemas de transmissões de movimentos
compostos por polias e correias ou engrenagens dentadas.
O movimento circular classifica-se, de acordo com a ausência ou a presença de aceleração tangencial,
em movimento circular uniforme e movimento circular uniformemente variado.
3.1 Unidades de ângulos
Um ângulo plano é expresso seja em graus α, seja em radianos ᾱ. A seguinte relação existe entre
estas duas graduações:
o
-
1 grau ( ) – corresponde à 1/360 do ângulo de uma volta;
-
1 radiano ( rad ) – é o ângulo central que corresponde a um arco de circunferência equivalente ao
próprio raio;
o
-
2 π rad = 360 ; e
-
1 rad = 57,2958
o
 57o.

L
r
em que:
ᾱ = ângulo do arco, rad;
L = comprimento do arco, m; e
r = raio da circunferência, m.
3.2 Espaço angular (φ – “fi”)
O espaço angular corresponde ao ângulo entre o raio de referência e o raio que passa pela partícula.

S
r
em que:
φ = espaço angular, rad; e
S = espaço linear, m.
3.3 Velocidade escalar média angular (ω – “ômega”)
A velocidade escalar média angular corresponde à variação do espaço angular no decurso do tempo.


t
v
S
t
v  . r
em que:
 = velocidade escalar média angular, rad/s;
Δφ = variação do espaço angular, rad;
Δt = variação do tempo, s;
v
= velocidade escalar média linear, m/s; e
ΔS = variação do espaço linear, m.
3.4 Aceleração escalar média angular (  – “gama”)
A aceleração escalar média angular corresponde à variação da velocidade angular com o tempo.

em que:

t
a   .r

2
= aceleração escalar média angular, rad/s ;
Δω = variação da velocidade escalar angular, rad/s; e
2
a = aceleração escalar média linear, m/s .
3.5 Movimento circular uniforme
O movimento circular uniforme, assim como o movimento retilíneo, é aquele em que a velocidade
escalar instantânea da partícula é constante e diferente de zero, de modo que o móvel sofre variações de
espaço angular iguais em intervalos de tempo iguais em movimento circular.
Neste movimento, a velocidade angular também é constante e diferente de zero. Neste caso,
considera-se: v = constante e ≠ 0, a = 0; ω = constante e ≠ 0,  = 0. A função horária do movimento
circular uniforme pode ser representada pelas equações: S  So  v t e   o   t .
3.5.1 Frequência de rotação (n)
A frequência de rotação de um eixo é o quociente do número de voltas do eixo, pela duração da
medida. É dado em Hertz (Hz).
n
n o de voltas do eixo
duração da medida
n
1 volta
 1 rps  1 Hz
s
O período (T) corresponde ao tempo gasto durante um ciclo completo. É dado em segundos (s) no SI.
3.5.2 Velocidade linear (v) x frequência de rotação (n)
A relação entre a velocidade linear e a frequência do movimento pode ser descrita pelas equações:

2
2n
T
v r
v
2 r
 2  r n   dn
T
Exemplo: considere uma máquina picadora (ensiladora) de capim
estacionária acionada por um motor elétrico através de polias e correias.
O motor elétrico trabalha com frequência constante de 1.750 rpm, logo
a polia acionadora do motor está sendo acionada à velocidade angular
constante. Esta polia, por sua vez, aciona a correia que aciona o eixo
das facas picadoras do material a ser processado.
3.5.3 Relação de transmissão (i)
Representando o sistema de transmissão do eixo motor elétrico (1) acionando o eixo da máquina (2),
considera-se que não existe patinagem entre a correia e as polias 1 e 2. Desta forma, a velocidade linear da
correia é igual às velocidades tangenciais das polias (v1 e v2).
Considerando que v   d n , e que v1 = v2, pode-se concluir que n1 d1  n 2 d2 , em que d é o
diâmetro da polia, e n a frequência. Da mesma forma, pode-se deduzir que n1 r1  n 2 r2 , onde r é o raio
da polia. Utilizando a equação v   r , e igualando v1 = v2 , pode-se concluir também que:
1 r1  2 r2 e 1 d1  2 d2 .
Quando o sistema de transmissão utiliza engrenagens dentadas, seja por contato direto ou por corrente
dentada, considera-se nesta relação o número de dentes (z) ao invés de raio ou diâmetro:
1 z1  2 z 2 e n1 z1  n 2 z 2
Logo, pode-se concluir que:
1
r
d
z
n
 2  2  2  1  i , em que: i = relação de transmissão.
2
r1
d1
z1
n2
No exemplo anterior, considerando que no sistema de transmissão, o motor é acionado com frequência
de 1.750 rpm e as engrenagens possuem diâmetros d1 e d2 de 19 cm e 9 cm, respectivamente, é possível
calcular a frequência da polia movida 2 e a relação de transmissão:
d2
n
d
90
90
1.750
, n2 = 1.750 . 190 / 90 = 3.694,4 rpm e i  2 
 1 ,

 0,4737
d1
n 2 190
d1
190
n2
Se dividirmos a relação de transmissão i = 0,47 pela frequência da polia 1, também é possível obter a
frequência da polia 2:
n2 = 1.750 rpm / 0,4737 = 3.694,4 rpm
No mesmo exemplo, pode-se calcular a velocidade angular (ω) e a velocidade linear (v) de um ponto
na periferia de cada polia, convertendo a frequência (n) para Hz (1.750 rpm = 29,17 Hz e 3.694,4 rpm =
61,57 Hz) e o diâmetro (d) para metro, usando w  2  n e v  
d
:
2
w1  2  n1  2 . 3,14. 29,17  183,19 rad / s , w 2  2  n 2  2 . 3,14. 61,57  386,66 rad / s
v 1  1
d1
d
0,19
0,09
 183,19 .
 17,4 Hz , v 2  2 2  386,66.
 17,4 Hz
2
2
2
2
3.6 Movimento circular uniformemente variado
O movimento circular uniformemente variado é aquele em que a aceleração angular (γ) é constante e
diferente de zero. Neste movimento, a velocidade angular varia uniformemente. Devem-se considerar as
seguintes equações para cálculo de espaço (φ), velocidade (ω) e aceleração angular (γ) em função do
tempo:
  0  0 t 
 t2
2
  0   t
2
2  0  2  