EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
DEFORMAÇÃO TÉRMICA
DEFORMAÇÃO
• É o efeito da variaç
variação da temperatura no estado
mecânico de um corpo.
TÉRMICA
• Exemplos:
– Flambagem de trilhos de trens;
– Tensões té
térmicas em má
máquinas e motores;
– Deformaç
Deformação de peç
peças em ajustes crí
críticos.
EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
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DEFORMAÇÃO TÉRMICA
DEFORMAÇÃO TÉRMICA ESPECÍFICA
SabeSabe-se que a deformaç
deformação especí
específica é dada por
L(T)
L0
L1
T0
∆L
εT =
L(T)
L0
T0
T
T1
T
 dL 
 ≈ cte
 dT 
Admitindo que: 
∆L =
T0 + ∆T
∫T
0
AÇO INOX ≈ 17,3 x10-6 °C-1
 dL 
 dL 

 .dT = 
.∆ T
 dT 
 dT 
∆L = ∆LT + ∆LP
∆LT = α (∆T )L
P
∆L p =
PL
AE
∆L = ∆LT + ∆LP = α (∆T )L +
P = − AEα (∆T )
σ=
P
= − Eα (∆T )
A
L
PL
=0
AE
LATÃO
≈ 20,0 x10-6 °C-1
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TENSÕES GERADAS POR VARIAÇÃO DE TEMPERATURA
L
≈ 11,7 x10-6 °C-1
AÇO
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P
ε T = α .∆T
α é o Coeficiente de Dilatação Térmica (°C-1)
T1
L1
∆ L  1 dL 
=
.∆ T
L
 L dT 
∆L
EXEMPLO
A barra AB é perfeitamente ajustada aos anteparos fixos
quando a temperatura é de -25 °C. Determinar as tensões
atuantes nas partes AC e CB da barra para a temperatura de
+50 °C. Usar E = 200 GPa e α = 12 x10-6 °C-1.
A = 400 mm2
A = 800 mm2
C
B
A
300 mm
300 mm
1
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EXEMPLO
Solução:
FLAMBAGEM
σ = − Eα (∆T )
σ = −200.10 9 .12.10 −6 .[50 − (− 25 )]
σ = −180.10 6 Pa
σ = −180 MPa
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O QUE É FLAMBAGEM?
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RAIO DE GIRAÇÃO
É um fenômeno que ocorre quando a carga de compressão
Raio de giração é dada pela relação a seguir:
atuando em uma coluna, ocasiona uma flexão lateral em relação
ao seu eixo longitudinal.
r=
F
I
A
I – Momento de Inércia da
Direção do
Deslocamento
seção transversal
A – Área da seção transversal
Qual das figuras acima representa o efeito correto da flambagem?
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ÍNDICE DE ESBELTEZ - λ
• O índice de esbeltez é um indicador para facilidade ou
dificuldade de um pilar sofrer flambagem.
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FORMULAÇÃO
Barra esbelta L >> d
F
d
F
Equilíbrio de Forças
• Pode-se concluir:
L
– Se o índice de esbeltez é pequeno, a probabilidade do pilar
flambar é menor;
– Se o índice de esbeltez é grande, maior é a probabilidade do
pilar flambar.
λ=
Le
rmín
Le – Comprimento equivalente
rmin – raio mínimo de giração
ymax
F
N = −F
y(x)
M = − F ⋅ y( x )
F
x
Sabe-se que:
d2y M
=
dx 2 EI
M
N
∴
d2y
F
=−
⋅ y (x )
dx 2
EI
2
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FORMULAÇÃO
F
d
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Considerando, o caso rotulado em
ambas as extremidades:
d2y
F
∴ 2 =−
⋅ y (x )
dx
EI
F
L
FORMULAÇÃO
F
y(x)
F
F
C.C: y (0 ) = 0
y(x ) = A sen(wx )
y(L ) = 0
ymax
F
y(x)
F
 F 
A sen
L  = 0
 EI 
x
y' (x ) = wA cos(wx )
N
Sendo, w =
∴A=0
M
y' ' (x ) = − w2 A sen(wx )
N
F=
F
EI
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F
EI
 F 
y(x ) = A sen
x 
 EI 
Lembrando: y (L ) = 0
x
M
w=
F
L
Solução: y (x ) = A sen(wx ) + B cos (wx )
ymax
y(x ) = A sen(wx )
d
ou
A=
F
L = nπ
EI
π 2 EI
Pcr
L2
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ESTABILIDADE
COMPRIMENTO EQUIVALENTE (Le)
• Carga crítica é o valor da carga de compressão, para qual a
forma reta de equilíbrio torna-se instável;
F < Pcr Equilíbrio estável;
Barra bi-articulada Barra bi-engastada Barra engastada e livre
Le = L
Le = L/2
Le = 2L
F > Pcr Equilíbrio instável;
F = Pcr Equilíbrio neutro.
• Quais os fatores que influenciam na carga crí
crítica?
Material, área da seção transversal e comprimento.
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EXEMPLO
FORMULA DE EULER
A partir da expressão da carga crítica (Pcr), do raio mínimo de
giração (rmín) e do índice de esbeltez (λ), chega-se a outras
expressões da Tensão normal crítica:
Pcr =
2
σ cr =
π EI
ALe
2
Ncmáx = 600 kN
π 2 EI
Le
2
2
σ cr =
Verificar a estabilidade do pilar longo da figura abaixo:
2
mín
π Er
2
e
L
σ cr =
π 2E
λ2
Material: aço
Eaço = 210 GPa
Seção retangular 10 mm x 15 mm (b x h)
Peso próprio: desconsiderar
4m
3
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EXEMPLO
CARREGAMENTO CENTRADO
Material de aço, madeira ou alumínio, o projeto da coluna a
seguir foi baseado expressando a tensão admissível em
função do índice de esbeltez L/r da coluna.
Solução:
Material: aço
Eaço = 210 GPa
Seção retangular 10 mm x 15 mm (b x h)
Peso próprio: desconsiderar
Pcr =
Pcr =
Ncmáx = 600 kN
Pcr =
4m
π 2 EI
bh3
I=
12
L2
P
π 2 E b h3
12 L
π 2 210.10 9 .0 ,010.(0 ,015 )3
12.(4 )
2
= 364 ,33 N
Ponto de atuação
da carga P
L
y
z
Instá
Instável!
Ncmá
cmáx > Pcr
CARGA EXCÊNTRICA - RELAÇÕES
P
P
MA = P.e
A
Para calcularmos a deflexão máxima permitida ymáx, temos:
P
A
MA = P.e
A
x
L
L
=
ymáx
L
B
MB = P.e
P’
y
  P L 
 − 1
y máx = e sec

  EI 2  
A expressão acima mostra que y assume um valor infinito quando:
Q
B
P’
P’
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CARGA EXCÊNTRICA
e
B
x
EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
P
M
P’
P L π
=
EI 2 2
Substituindo a equação da carga crítica, Pcr =
P’
y máx
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CARGA EXCÊNTRICA – TENSÃO MÁXIMA
σ máx
Vista em planta
A
2
 P L 
P  ec

= 1 + 2 sec

A  r
 EI 2 
 π
= e  sec
  2
π 2 EI
L2
temos:
P  
− 1
Pcr  
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CARREGAMENTO EXCÊNTRICO
• Tem que satisfazer o método da tensão admissível:
P Mc
+
≤ σ adm
A
I
Ou
• O método da interação é satisfeito pela desigualdade:
σ máx =
π
P  ec
1 + sec
A  r 2
2
P
Pcr




P/ A
+
Mc / I
(σ adm )centrada (σ adm ) flexão
≤1
4
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EM 423 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
EXEMPLO
EXEMPLO
A coluna de seção uniforme indicada é constituída de um
tubo com 2,4 m de comprimento. (a) Determinar, pela
fórmula de Euler e com um coeficiente de segurança igual a
2, a carga centrada admissível para a coluna e a tensão
normal correspondente. (b) Supondo-se que o valor de carga
admissível encontrado em a é aplicado a um ponto 20 mm
fora do eixo geométrico da coluna, determinar o
deslocamento horizontal do topo da coluna e a tensão normal
máxima que ocorre. Usar E = 200 GPa.
P
P’
Vista em planta
e = 20 mm
y
A
2,4 m
100 mm
x
100 mm
B
y
z
A = 2,2 x10-3 mm2
I = 3,3 x10-6 mm4
r = 38,7 mm
c = 50,0 mm
x
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EXEMPLO
EXEMPLO
Solução:
Solução:
Uma extremidade livre e outra engastada Le = 2.(2,4) = 4,8 m
Pcr =
π 2 EI
L2
=
Item (b):
 π
ymáx = e  sec
  2
π 2 .200.10 9 .3 ,3.10 −6
(4 ,8 )2
Pcr = 282,72 kN
Pcr 282,72
=
CS
2
Padm = 141,36 kN
 
 
 − 1 = 19.10 − 3  sec π


 
  2
1  
− 1
2  
ymáx = 23 ,79 mm
Item (a):
Padm =
P
Pcr
σ adm =
Padm 141,36.10 3
=
A
2284.10 −6
σ adm = 61,89 MPa
σ máx =
π
P  ec
1 + sec
A  r 2
2
P
Pcr
 282,72.10 3  19.10 − 3.50.10 − 3
π
 =
1+
sec
2
−6 

38.10 −3
2
 2284.10 
σ máx = (61,9 MPa ).[1 + 0 ,658.(2 ,252)]
(
)
1 

2 
σ máx = 153,6 MPa
5