1
Engenharia da Computação
4º / 5° Semestre
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – APOSTILA 02
Prof Daniel Hasse
Tensões e Deformações
Esforços Solicitantes
Tensões e Deformações na Flexão
Deformações nas Vigas
SÃO JOSÉ DOS CAMPOS, SP
Mecânica dos Materiais
Ricardo Gaspar
4
4.1
28
TENSÕES E DEFORMAÇÕES
Introdução
Os conceitos de tensão e deformação podem ser ilustrados, de modo elementar,
considerando-se o alongamento de uma barra prismática (barra de eixo reto e de seção
constante em todo o comprimento).
Considere-se uma barra prismática carregada nas extremidades por forças axiais P
(forças que atuam no eixo da barra), que produzem alongamento uniforme ou tração na
barra. Sob ação dessas forças originam-se esforços internos no interior da barra. Para o
estudo desses esforços internos, considere-se um corte imaginário na seção mm, normal a
seu eixo. Removendo-se por exemplo a parte direita do corpo, os esforços internos na
seção considerada (m-m) transformam-se em esforços externos. Supõe-se que estes
esforços estejam distribuídos uniformemente sobre toda a seção transversal.
P
P
m
m
L
δ
P
σ
Figura 4.1.
Para que não se altere o equilíbrio, estes esforços devem ser equivalentes à
resultante, também axial, de intensidade P.
Quando estas forças são distribuídas perpendiculares e uniformemente sobre toda a
seção transversal, recebem o nome de tensão normal, sendo comumente designada pela
letra grega σ (sigma).
Pode-se ver facilmente que a tensão normal, em qualquer parte da seção transversal
é obtida dividindo-se o valor da força P pela área da seção transversal, ou seja,
σ=
P
A
(1)
A tensão tem a mesma unidade de pressão, que, no Sistema Internacional de
Unidades é o Pascal (Pa) corresponde à carga de 1N atuando sobre uma superfície de 1m2,
ou seja, Pa = N/m2. Como a unidade Pascal é muito pequena, costuma-se utilizar com
freqüência seus múltiplos: MPa = N/mm2 = (Pa×106), GPa = kN/mm2 = (Pa×109), etc. Em
outros Sistemas de Unidades, a tensão ainda pode-se ser expressa em quilograma força por
centímetro quadrado (kgf/cm2), libra por polegada quadrada (lb/in2 ou psi), etc.
Quando a barra é alongada pela força P, como indica a Figura 4.1, a tensão
resultante é uma tensão de tração; se as forças tiverem o sentido oposto, comprimindo a
barra, tem-se tensão de compressão.
Mecânica dos Materiais
Ricardo Gaspar
29
A condição necessária para validar a Equação (1) é que a tensão σ seja uniforme
em toda a seção transversal da barra.
O alongamento total de uma barra submetida a uma força axial é designado pela
letra grega δ (delta). O alongamento por unidade de comprimento, denominado
deformação específica, representado pela letra grega ε (epsilon), é dado pela seguinte
equação:
ε=
δ
(2)
L
onde:
ε = deformação específica
δ = alongamento ou encurtamento
L = comprimento total da barra.
Note-se que a deformação ε é uma quantidade adimensional. É de uso corrente no
meio técnico representar a deformação por uma fração percentual (%) multiplicando-se o
valor da deformação específica por 102 ou mesmo até (‰) multiplicando-se por 103.
4.2
Diagrama tensão-deformação
As relações entre tensões e deformações para um determinado material são
encontradas por meio de ensaios de tração. Nestes ensaios são medidos os alongamentos δ,
correspondentes aos acréscimos de carga axial P, que se aplicarem à barra, até a ruptura do
corpo-de-prova.
Obtêm-se as tensões dividindo as forças pela área da seção transversal da barra e as
deformações específicas dividindo o alongamento pelo comprimento ao longo do qual a
deformação é medida. Deste modo obtém-se um diagrama tensão-deformação do material
em estudo. Na Figura 4.2 ilustra-se um diagrama tensão-deformação típico do aço.
σσ
D
r
σe
σp
Tensão
σ=
C
B
A
P
δ
εr
εp
região
elástica
Deformação ε =
P
L
0
E
escoamento
ε
P
A
δ
L
σr = tensão de ruptura
σe = tensão de escoamento
σp = tensão limite de
proporcionalidade
região plástica
Figura 4.2. Diagrama tensão-deformação do aço
Região elástica: de 0 até A as tensões são diretamente proporcionais às
deformações; o material obedece a Lei de Hooke e o diagrama é linear. 0 ponto A é
chamado limite de proporcionalidade, pois, a partir desse ponto deixa de existir a
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Ricardo Gaspar
30
proporcionalidade. Daí em diante inicia-se uma curva que se afasta da reta 0A, até que em
B começa o chamado escoamento.
O escoamento caracteriza-se por um aumento considerável da deformação com
pequeno aumento da força de tração. No ponto B inicia-se a região plástica.
O ponto C é o final do escoamento o material começa a oferecer resistência
adicional ao aumento de carga, atingindo o valor máximo ou tensão máxima no ponto D,
denominado limite máximo de resistência. Além deste ponto, maiores deformações são
acompanhadas por reduções da carga, ocorrendo, finalmente, a ruptura do corpo-de-prova
no ponto E do diagrama.
A presença de um ponto de escoamento pronunciado, seguido de grande
deformação plástica é uma característica do aço, que é o mais comum dos metais
estruturais em uso atualmente. Tanto os aços quanto as ligas de alumínio podem sofrer
grandes deformações antes da ruptura. Materiais que apresentam grandes deformações,
antes da ruptura, são classificados de materiais dúcteis. Outros materiais como o cobre,
bronze, latão, níquel, etc, também possuem comportamento dúctil. Por outro lado, os
materiais frágeis ou quebradiços são aqueles que se deformam relativamente pouco antes
de romper-se, como por exemplo, o ferro fundido, concreto, vidro, porcelana, cerâmica,
gesso, entre outros.
4.3
Tensão admissível
Para certificar-se de que a estrutura projetada não corra risco de ruína, levando em
conta algumas sobrecargas extras, bem como certas imprecisões na construção e possíveis
desconhecimentos de algumas variáveis na análise da estrutura, normalmente emprega-se
um coeficiente de segurança (γf), majorando-se a carga calculada. Outra forma de
aplicação do coeficiente de segurança é utilizar uma tensão admissível ( σ ou σ adm ),
reduzindo a tensão calculada (σcalc), dividindo-a por um coeficiente de segurança. A tensão
admissível é normalmente mantida abaixo do limite de proporcionalidade, ou seja, na
região de deformação elástica do material. Assim,
σ = σ adm =
4.4
σ calc
γf
(3)
Lei de Hooke
Os diagramas tensão-deformação ilustram o comportamento de vários materiais,
quando carregados por tração. Quando um corpo-de-prova do material é descarregado, isto
é, quando a carga é gradualmente diminuída até zero, a deformação sofrida durante o
carregamento desaparecerá parcial ou completamente. Esta propriedade do material, pela
qual ele tende a retornar à forma original é denominada elasticidade. Quando a barra volta
completamente à forma original, diz-se que o material é perfeitamente elástico; mas se o
retorno não for total, o material é parcialmente elástico. Neste último caso, a deformação
que permanece depois da retirada da carga é denominada deformação permanente.
Mecânica dos Materiais
Ricardo Gaspar
31
A relação linear da função tensão-deformação foi apresentada por Robert HOOKE
em 1678 e é conhecida por LEI DE HOOKE, definida como:
σ = Eε
(4)
onde
σ = tensão normal
E = módulo de elasticidade do material
ε = deformação específica
O Módulo de Elasticidade representa o coeficiente angular da parte linear do
diagrama tensão-deformação e é diferente para cada material.
A lei de HOOKE é valida para a fase elástica dos materiais. Por este motivo,
quaisquer que sejam os carregamentos ou solicitações sobre o material, vale a superposição
de efeitos, ou seja, pode-se avaliar o efeito de cada solicitação sobre o material e depois
somá-los.
Alguns valores de E são mostrados na Tabela abaixo. Para a maioria dos materiais,
o valor do Módulo de Elasticidade sob compressão ou sob tração são iguais.
Tabela 4.1 Propriedades mecânicas típicas de alguns materiais
Material
Peso específico
(kN/m3)
Módulo de Elasticidade
(GPa)
Aço
78,5
200 a 210
Alumínio
26,9
70 a 80
Bronze
83,2
98
Cobre
88,8
120
Ferro fundido
77,7
100
Madeira
0,6 a 1,2
8 a 12
Quando a barra é carregada por tração simples, a tensão axial é σ = P / A e a
deformação específica é ε = δ / L . Combinando estes resultados com a Lei de HOOKE,
tem-se a seguinte expressão para o alongamento da barra:
δ=
PL
EA
(5)
Esta equação mostra que o alongamento de uma barra linearmente elástica é
diretamente proporcional à carga e ao comprimento e inversamente proporcional ao
módulo de elasticidade e à área da seção transversal. O produto EA é conhecido como
rigidez axial da barra.
Mecânica dos Materiais
4.4.1
Ricardo Gaspar
32
Coeficiente de Poisson
Quando uma barra é tracionada, o alongamento axial é acompanhado por uma
contração lateral, isto é, a largura da barra torna-se menor enquanto cresce seu
comprimento. Quando a barra é comprimida, a largura da barra aumenta. A Figura 3 ilustra
essas deformações.
P
P
P
P
Figura 4.3. Deformações longitudinal e lateral nas barras
A relação entre as deformações transversal e longitudinal é constante dentro da
região elástica, e é conhecida como relação ou coeficiente de Poisson (v); definido como:
υ=
deformação lateral
deformação longitudinal
(6)
Esse coeficiente é assim conhecido em razão do famoso matemático francês S. D.
Poisson (1781-1840). Para os materiais que possuem as mesmas propriedades elásticas em
todas as direções, denominados isotrópicos, Poisson achou ν ≈ 0,25. Experiências com
metais mostram que o valor de v usualmente encontra-se entre 0,25 e 0,35.
Se o material em estudo possuir as mesmas propriedades qualquer que seja a
direção escolhida, no ponto considerado, então é denominado, material isótropico. Se o
material não possuir qualquer espécie de simetria elástica, então é denominado material
anisotrópico. Um exemplo de material anisotrópico é a madeira pois, na direção de suas
fibras a madeira é mais resistente.
4.4.2
Forma geral da Lei de Hooke
Considerou-se anteriormente o caso particular da Lei de HOOKE, aplicável a
exemplos simples de solicitação axial.
Se forem consideradas as deformações longitudinal (εL) e transversal (εt), tem-se,
respectivamente:
εL =
σ
E
e
ε t = νε L =
υσ
E
(7)
No caso mais geral, no qual um elemento do material é solicitado por três tensões
normais σx, σy e σz, perpendiculares entre si, às quais correspondem respectivamente às
deformações εx, εy e εz, a Lei de HOOKE se escreve:
Mecânica dos Materiais
Ricardo Gaspar
1
[σ x − υ (σ y + σ z )]
E
1
ε y = [σ y − υ (σ z + σ x )]
E
1
ε z = [σ z − υ (σ x + σ y )]
E
εx =
σz
σx
σy
33
.
(8)
.
A lei de HOOKE é válida para materiais homogêneos, ou seja, aqueles que
possuem as mesmas propriedades (mesmos E e ν) em todos os pontos.
Exemplos
1. Determinar a tensão de tração e a deformação específica de uma barra prismática de
comprimento L=5,0m, seção transversal circular com diâmetro φ=5cm e Módulo de
Elasticidade E=20.000 kN/cm2 , submetida a uma força axial de tração P=30 kN.
P=30 kN
P
L= 5 m
A=
πφ 2
4
P
σ=
A
PL
δ=
EA
ε=
δ
L
A=
π × 52
= 19,6 cm2
4
30
σ=
= 1,53 kN/cm2 ou 15,3 MPa
19,6
30 × 500
δ=
= 0,0382 cm
20.000 ×19,6
0,0382
ε=
= 0,0000764 ou × 1000 = 0,0764 (‰)
500
2. A barra da figura é constituída de 3 trechos: trecho AB=300 cm e seção transversal com
área A=10cm2; trecho BC=200cm e seção transversal com área A=15cm2 e trecho
CD=200cm e seção transversal com área A=18cm2 é solicitada pelo sistema de forças
indicado na Figura. Determinar as tensões e as deformações em cada trecho, bem como o
alongamento total. Dado E=21.000 kN/cm2.
150kN
A
30kN
300 cm
B
50kN
C
200 cm
200 cm
170kN
D
Mecânica dos Materiais
Ricardo Gaspar
Trecho A-B
150kN
A
B
R=150kN
50kN
30kN
170kN
300 cm
P
A
PL
δ=
EA
150
= 15 kN/cm2
10
150 × 300
δ=
= 0,214 cm
21.000 × 10
0,214
ε=
× 1000 = 0,713 (‰)
300
σ=
ε=
σ=
δ
L
Trecho B-C
R=120kN
30kN
C
B
50kN
R=120kN
150kN
170kN
200 cm
P
A
PL
δ=
EA
120
= 8 kN/cm2
15
120 × 200
δ=
= 0,076 cm
21.000 ×15
0,076
ε=
× 1000 = 0,38 (‰)
200
σ=
ε=
σ=
δ
L
Trecho C-D
R=170kN
150kN
D
C
30kN
170kN
50kN
200 cm
P
A
PL
δ=
EA
σ=
ε=
δ
L
170
= 9,44 kN/cm2
18
170 × 200
δ=
= 0,0899 cm
21.000 ×18
0,0899
ε=
× 1000 = 0,45 (‰)
200
σ=
Alongamento total
δ = 0,214 + 0,076 + 0,0899 = 0,38 cm
34
Mecânica dos Materiais
4.5
Ricardo Gaspar
35
Estruturas estaticamente indeterminadas
Nos exemplos anteriores, as forças que atuavam nas barras da estrutura podiam ser
calculadas pelas equações da Estática. Tais estruturas são denominadas estaticamente
determinadas. Há casos, porém, em que as equações de equilíbrio fornecidas pela Estática
não são suficientes para a determinação de todas as ações e reações de uma estrutura. Para
essas estruturas, denominadas, estruturas estaticamente indeterminadas, as forças e a
reações só poderão ser calculadas se as deformações forem levadas em conta.
Um exemplo simples de estrutura estaticamente indeterminada é ilustrado na Figura
4.4.
Ra
Ra
A
A
A
P a
C
P
L
C
b
B
B
Rb
(a)
B
(b)
(c)
Figura 4.4 Barra estaticamente indeterminada
A barra está carregada por uma força P no ponto C e as extremidades AB da barra
estão presas em suportes rígidos. As reações Ra e Rb aparecem nas extremidades da barra,
porém suas intensidades não podem ser calculadas apenas pelas equações da Estática. A
única equação fornecida pelo equilíbrio estático é
Ra + Rb = P
(9)
a qual contém ambas as reações desconhecidas (2 incógnitas), sendo, portanto, insuficiente
para seu cálculo com uma única equação. Há necessidade, portanto, de uma segunda
equação, que considere as deformações da barra.
Para a consideração da deformação na barra, deve-se analisar o efeito de cada força
sobre a barra se uma de suas extremidades estivesse livre. Considere-se, então, o efeito da
carga P deslocando o ponto A, na estrutura livre, ilustrado na Figura 4.4b. O deslocamento
(para baixo) do ponto A, devido ao encurtamento do trecho CD, submetido à carga P, é
dado por:
Pb
δP =
EA
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Ricardo Gaspar
36
Em seguida, analisa-se o efeito da reação Ra deslocando do ponto A, ilustrado na
Figura 4.4c. Note-se que se está analisando o efeito da reação Ra com a extremidade A da
barra livre. O deslocamento (para cima) é dado por:
δR =
Ra L
EA
Ora, como a extremidade A da barra é fixa, o deslocamento final (δ), neste ponto,
resultante da ação simultânea das forças P e Ra, é nulo. Logo,
δR − δP = 0
δP = δR ,
Pb Ra L
=
.
EA EA
ou seja,
Logo, Ra =
Rb = P −
→
Pa
Pb
. Substituindo o Ra na equação (9), tem-se:
+ Rb = P
L
L
Pa
L
Rb =
PL − Pb
L
Rb =
P ( L − b)
L
Rb =
Pa
L
R1
Exemplos
1. Uma barra constituída de dois trechos é
rigidamente presa nas extremidades. Determinar as A
reações R1 e R2 quando se aplica uma força P.
P/2
Dados: E=21.000 kN/cm2; AAB=5cm2; ABC=7,5cm2;
P= 60 kN
P/2
2 cm
B
Solução
1,5 cm
Equação de equilíbrio
R1 + R2 = P
C
(1)
Equação de compatibilidade das deformações:
δ AB = δ BC
R2
(2)
Nota: As cargas P/2 provocarão um alongamento no trecho AB, e um encurtamento no
trecho BC, de valores exatamente iguais.
lembrando que δ =
PL
,
EA
0,4 R1 = 0,2 R2
R1 =
R1 + R2 = 60 →
mas,
0,2 R2
0,4
0,5 R2 + R2 = 60
R1 + 40 = 60
R1 × 2 R2 × 1,5
=
E × 5 E × 7,5
tem-se
R1 = 0,5R2 substituindo em (1)
→
logo
1,5 R2 = 60
→
R2 = 40 kN
R1 = 20 kN.
Mecânica dos Materiais
Ricardo Gaspar
37
2. É dado um cilindro de aço de 5cm de diâmetro no interior de um tudo de cobre de 8cm
de diâmetro externo, com dimensões indicadas na Figura. Aplicando-se uma força de
P=400 kN, qual a parcela de carga no cilindro de aço e qual a parcela de carga no cilindro
de cobre? Dados: Eaço=21.000 kN/cm2; Ecobre=12.000 kN/cm2
4
Acobre =
= 19,63 cm2
π × 82
4
−
π × 52
4
Acobre = Acobre,total − Aaço
(1)
δ aço = δ cobre + 0,25
(2)
Paço × 300,25
21.000 × 19,63
=
placa rígida
= 30,63 cm2
Pcobre + Paço = 400 kN
lembrando que δ =
P=400 kN
0,25 cm
π × 52
posição final
cilindro
de aço
300 cm
Aaço =
PL
, tem-se
EA
cilindro
de cobre
Pcobre × 300
+ 0,25
12.000 × 30,63
5 cm
8 cm
0,000728Paço = 0,000817 Pcobre + 0,25
Paço =
0,000817 Pcobre + 0,25
substituindo em (1), tem-se,
0,000728
Pcobre +
0,000817 Pcobre + 0,25
= 400 kN
0,000728
1,1223Pcobre + Pcobre + 343,4066 = 400
Pcobre +
0,000817 Pcobre
0,25
+
= 400 kN
0,000728
0,000728
Pcobre = 26,66 kN substituindo em (1), tem-se:
Paço = 400 − 26,66 = 373,34 kN
Exercícios
1. Em uma máquina usa-se uma barra prismática de 10m de comprimento, comprimida por
uma força de 500 kN. Sabendo-se que a tensão não deve exceder a 140 kN/cm2 e o
encurtamento não deve exceder a 3mm, pede-se determinar o diâmetro da barra.
E=21.000 kN/cm2. Resposta: φ=10cm
2. Uma barra prismática está submetida à tração axial. A área da seção transversal é 2cm2 e
o seu comprimento é 5m. Sabendo-se que a barra sofre o alongamento δ=0,714285cm
quando é submetida à força de tração 60kN, pede-se determinar o módulo de elasticidade
do material. Resposta: E=21.000 kN/cm2.
3. Uma barra cilíndrica de 38mm de diâmetro e 20cm de comprimento sofre a ação de uma
força de compressão de 200kN. Sabendo-se que o módulo de elasticidade da barra é
E=9.000 kN/cm2 e o coeficiente de Poisson, υ=0,3, determinar o aumento de diâmetro da
barra. Resposta: δt=0,00223cm.
Ricardo Gaspar
4. A barra rígida AB é articulada em A,
suspensa em B por um fio e apóia-se em C
em um suporte de ferro. São dados:
comprimento do fio: 1,7m; área da seção
transversal do fio: 5cm2; módulo de
elasticidade do fio E=21.000 kN/cm2;
comprimento do suporte: 2m; área do
suporte: 15cm2; módulo de elasticidade do
suporte E=10.000 kN/cm2. Determinar as
forças no fio, no suporte e na articulação.
Respostas:
Força no fio: 50kN
Força no suporte: 25kN
Força na articulação: 25kN
4.6
38
1.70m
Mecânica dos Materiais
P=100 kN
A
B
2.0 m
C
2.0 m
1.0 m
2.0 m
P=100 kN
A
C
PA
Pf
B
PC
Tensões iniciais e Tensões Térmicas
Quando uma estrutura é estaticamente determinada, a variação uniforme da
temperatura em todo seu comprimento não acarreta nenhuma tensão, pois a estrutura é
capaz de se expandir ou se contrair livremente. Por outro lado, a variação de temperatura
em estruturas fixas, estaticamente indeterminadas, produz tensões em seus elementos,
denominadas tensões térmicas. Esta conclusão pode ser observada pela comparação entre
uma barra livre em uma das extremidades, com outra barra engastada nas duas
extremidades, como mostrado na Figura 4.5.
R
R
A
A
L
A
∆T
B
(a)
R
∆T
B
B
(b)
(c)
Figura 4.5. Barra fixa nas extremidades, submetida a aumento de temperatura
Na barra da Figura 4.5b, a variação uniforme de temperatura sobre toda a barra
causará o alongamento:
Mecânica dos Materiais
Ricardo Gaspar
δ = αL∆T
39
(10)
onde: α = coeficiente de dilatação térmica
L = comprimento
∆T = variação de temperatura (ºC)
Como este alongamento pode ocorrer livremente, não surgirá nenhuma tensão na barra.
Na Tabela 4.2 estão indicados coeficientes de dilatação térmica de alguns materiais.
Tabela 4.2 Valores Típicos do coeficiente de dilatação térmica
Material
Coeficiente de dilatação térmica α (10-6 ºC-1)
Aço
11,7
Alumínio
21,4 a 23,9
Magnésio
26,1
Cobre
16,7
Concreto
7,2 a 12,6
No caso de barras estaticamente indeterminadas, como a que aparece na Figura 4.5,
quando há aumento de temperatura, a barra não pode alongar-se, surgindo, como
conseqüência, uma força de compressão que pode ser calculada pelo método descrito no
item precedente. Para a barra engastada da Figura 4.5a, vê-se que, se a extremidade A for
liberada, seu deslocamento para cima, devido ao acréscimo de temperatura, será o mesmo
deslocamento para baixo, decorrente da ação da força R, ou seja, RL/EA. Igualando esses
dois deslocamentos vêm:
R = EAα∆T
(11)
Depois de se obter R, pode-se calcular a tensão e a deformação específica da barra
pelas expressões:
σ=
R
= Eα∆T
A
e
ε=
σ
E
= α∆T
Deste exemplo, conclui-se que a variação de temperatura produz tensões em
sistemas estaticamente indeterminados, ainda que não se tenha a ação de forças externas.
Exemplo
Uma barra prismática, rigidamente presa
nas extremidades é submetida a um
aumento de temperatura de 20ºC, ao
mesmo tempo em que recebe uma carga
P=30 kN. Determinar as reações de apoio.
Dados: A= 1,5 cm2; E=20.000 kN/cm2;
α=11,7×10-6 ºC-1; ∆T= +20ºC
100 cm
A
250 cm
C
P=30 kN
Solução:
a) determinação das reações R´A e R´B, devido ao aumento de temperatura R = EAα∆T
B
Mecânica dos Materiais
Ricardo Gaspar
A
40
B
R'A =7,02
R'B =7,02 kN
R = 20.000 × 1,5 ×11,7 ×10 −6 × 20 = 7,02 kN
→
R = R ′A = RB′
b) ao se aplicar a carga P= 30 kN no ponto C, o trecho AC sofrerá um alongamento
exatamente igual ao encurtamento no trecho CB, portanto, δ AC = δ BC . Assim,
R ′A′ × 100 RB′′ × 250
=
EA
EA
→
R ′A′ = 2,5RB′′
fazendo o equilíbrio de forças, tem-se:
R ′A′ = 2,5RB′′ , logo,
RB′′ + R ′A′ = P
mas
2,5RB′′ + RB′′ = 30
→
RB′′ = 8,57 kN
→Portanto, R′A′ = 21,43 kN
3,5RB′′ = 30
A
P=30 kN
B
R''B =8,57 kN
R''B =21,43
Como se trata de uma estrutura trabalhando no regime elástico, vale a superposição de
efeitos, ou seja, os efeitos da temperatura na barra e da carga P:
R A = − R ′A + R ′A′
R A = −7,02 + 21,43 = 14,41 kN
RB = RB′ + RB′′
RB = 7,02 + 8,57 = 15,59 kN
Exercício
P=200 kN
Eaço=21.000 kN/cm2; αaço=11,7×10-6 ºC-1
Resposta: ∆T = 40,7ºC.
50cm
1. A um tubo de aço se aplica uma carga axial de 200 kN
por meio de uma placa rígida. A área da seção transversal
do cilindro de aço é 20cm2. Determinar o acréscimo de
temperatura ∆T para o qual a carga externa seja
equilibrada pelos esforços que aparecem nos cilindros de
aço e cobre. Dados:
tubo de
aço
Mecânica dos Materiais
4.7
Ricardo Gaspar
41
Tensão de cisalhamento
Denomina-se força cortante (V), a componente de uma força, contida no plano da
seção transversal considerada, como ilustrado na Figura 4.6. A força cortante é uma força
que atua no próprio plano da seção transversal. A outra componente é a força normal.
força
tangencial
V
R
resultante
P
força normal
L
barra engastada
Figura 4.6
A força cortante dá lugar, em cada um dos pontos da seção, ao aparecimento de
uma tensão tangencial, denominada tensão de cisalhamento, designada pela letra grega τ.
Admitindo-se distribuição uniforme da tensão de cisalhamento na seção transversal de área
A, tem-se, em cada ponto da seção:
τ=
V
A
(12)
A tensão de cisalhamento, como a tensão normal, tem também a mesma unidade de
pressão a qual, no Sistema Internacional é o pascal (Pa).
Exemplo
Considere-se o parafuso de 12,5 mm de diâmetro, da junta da Figura abaixo. A força P é
igual a 15 kN. Admitida a distribuição uniforme das tensões de cisalhamento, qual o valor
dessas tensões, em qualquer uma das seções transversais m—n ou p—q?
B
P
m
B
n
A
C
p
q
P
V
n
m
p
q
n
m
p
q
V
Solução
Supõe-se que a força P solicite igualmente as duas seções transversais. Nessas condições, a
força que atua em cada plano é: 15/2=7,50 kN, sobre a seção de área π×1,252/4 = 1,23 cm2.
Portanto,
τ=
V
A
τ=
7,5
= 6,1 kN/cm2
1,23
Mecânica dos Materiais
Ricardo Gaspar
6
6.1
57
ESFORÇOS SOLICITANTES
Introdução
Os corpos sólidos não são rígidos e indeformáveis. A experiência mostra que,
quando submetidos a forças externas, os corpos se deformam, ou seja, variam de
dimensões. Os esforços internos que tendem a resistir às forças externas são chamados
esforços solicitantes.
Se as forças externas produzirem tensões abaixo do limite de elasticidade do
material do corpo sólido, ao cessarem, este readquire a forma e as dimensões originais.
Esta propriedade chama-se elasticidade e a deformação chama-se, então, elástica.
Se as forças, porém, passarem de um determinado valor, de modo que, ao cessarem,
o corpo não volta mais à forma primitiva, mantendo-se permanentemente deformado, dizse que o corpo foi solicitado além do limite de elasticidade.
Se as forças aumentarem ainda mais, as deformações permanentes aumentam
rapidamente até provocarem ruptura do corpo. A força que provoca ruptura do corpo serve
para medir sua solidez, ou seja, sua resistência à ruptura.
Ao se dimensionar uma peça deve-se não só evitar a sua ruptura, como também
evitar deformações permanentes, ou seja, ao cessar a força externa, as deformações devem
também cessar.
Surge então a necessidade de um estudo mais profundo dos esforços a que estão
submetidos os materiais, com vistas a se obter um dimensionamento seguro e econômico.
6.2
Classificação dos esforços solicitantes
Os esforços solicitantes são classificados em:
•
Força Normal (N)
Força Normal é a componente da força que age perpendicular à seção transversal.
Se for dirigida para fora do corpo, provocando alongamento no sentido da aplicação da
força, produz esforços de tração. Se for dirigida para dentro do corpo, provocando
encurtamento no sentido de aplicação da força, produz esforços de compressão.
As forças normais são equilibradas por esforços internos resistente e se manifestam
sob a forma de tensões normais (força por unidade de área), representadas pela letra grega
σ (Sigma), que serão de tração ou de compressão segundo a força normal N seja de tração
ou compressão.
Mecânica dos Materiais
•
Ricardo Gaspar
58
Força Cortante (V)
Força Cortante é componente da força, contida no plano da seção transversal que
tende a deslizar uma porção do corpo em relação à outra, provocando corte (deslizamento
da seção em seu plano). As tensões desenvolvidas internamente que opõem resistência às
forças cortantes são denominadas tensões de cisalhamento ou tensões tangenciais (força
por unidade de área), representadas pela letra grega τ (Thau).
•
Momento Fletor (M)
Um corpo é submetido a esforços de flexão, quando solicitado por forças que
tendem a dobrá-lo, fleti-lo ou mudar sua curvatura. O momento fletor age no plano contém
o eixo longitudinal, ou seja, perpendicular à seção transversal.
•
Momento de Torção (T)
A componente do binário de forças que tende a girar a seção transversal em torno
de eixo longitudinal é chamado Momento de Torção.
6.3
Convenção de sinais
Obtidos os valores de N, V, M e T, podem-se traçar, em escala conveniente, os
diagramas de cada esforço solicitante, também denominados linhas de estado.
Força normal (N)
•
tração (+)
•
compressão (-)
Força cortante (V)
P
Força P tendendo girar a barra no sentido horário em relação à
seção S: positivo (+)
S
S
Força P tendendo girar a barra no sentido anti-horário em
P
relação à seção S: negativo (-)
Mecânica dos Materiais
Ricardo Gaspar
59
Momentos fletores (M)
Momento Fletor: o momento fletor é considerado positivo, quando as cargas
atuantes na peça tracionam suas fibras inferiores e, negativo, quando as cargas atuantes na
peça tracionam suas fibras superiores.
OBS: não confundir Momento Fletor com Momento aplicado aos corpos rígidos, cuja
convenção de sinais é
•
tende a girar no sentido horário ( – )
•
tende a girar no sentido anti-horário ( + )
Momentos de Torção(T)
Momento de Torção é considerado positivo quando tende a girar a seção transversal
em torno de seu eixo longitudinal no sentido anti-horário e, negativo, quando tende a gira
no sentido horário.
Regras para o traçado dos diagramas de esforços solicitantes
1. Nos pontos da barra em que a força é paralela ao eixo longitudinal, o diagrama de
esforços normais apresenta um ressalto de mesma intensidade da força.
2. Nos pontos da viga onde há força concentrada perpendicular ao eixo longitudinal, o
diagrama de esforços cortantes apresenta um ressalto de mesma intensidade da força
concentrada.
3. Nos pontos da viga onde atua um momento externo, o diagrama de momento fletor
apresenta um ressalto de mesma intensidade do momento externo.
4. Nos pontos do diagrama onde o esforço cortante é nulo, o diagrama de momento fletor
apresenta um ponto de máximo.
5. Nos pontos da barra onde há força concentrada perpendicular ao eixo longitudinal, o
diagrama de momento fletor apresenta um ponto anguloso.
6. As funções carregamento, esforço cortante e momento fletor, como se verá mais adiante,
estão relacionadas por meio da seguinte equação diferencial de segunda ordem:
d 2 M dV
=
= − q . Em outras palavras, a área da figura do diagrama de força cortante é o
dx 2
dx
valor da do momento fletor.
Mecânica dos Materiais
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7
7.1
60
VIGAS
Introdução
Vigas são elementos de barras,
submetidas a cargas transversais em relação a
seu eixo e destinadas a vencer vão.
P
As cargas podem ser classificadas em
relação à área em que são aplicadas em
concentradas e distribuídas. As cargas
VÃ
concentradas são aquelas cuja superfície de
O
( L)
contato com o corpo que lhe resiste é
desprezível comparada com a área do corpo.
As cargas distribuídas são aquelas aplicadas ao
longo de um comprimento ou sobre uma
superfície, podendo ser uniforme ou não
Fig. 7.1 Viga simplesmente apoiada submetida a
uniforme.
uma carga concentrada no meio do vão
7.2
7.2.1
Tipos de cargas
Cargas distribuídas
As cargas distribuídas sobre vigas são cargas por unidade de comprimento. Estas
cargas, uniformes ou variáveis, podem ser representadas por uma carga concentrada
equivalente (R), cujo valor corresponde à área formada pela figura que representa a carga
distribuída e é aplicada em seu centro de gravidade (CG).
Carga uniformemente distribuída
carga por unidade de comprimento (tf/m, kgf/m,
kN/m)
R = carga equivalente, definida como R=q.a (área do
retângulo)
O ponto de aplicação da carga equivalente é o centro
a
de gravidade do retângulo, ou seja, x =
2
R
q
x
a
Mecânica dos Materiais
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61
Carga distribuída variável
R
a. Triangular
O valor da carga equivalente é a área da triângulo, ou
q .a
e é aplicada no centro de gravidade:
seja, R =
2
2.a
a
centro de gravidade: x' =
e x' ' =
3
3
x´
x"
a
R
b. Trapezoidal
O valor da carga equivalente é a área do trapézio, ou
p+q
seja, R =
⋅a
2
e é aplicada no centro de gravidade x =
7.3
q
a 2p + q
⋅
3 p+q
q
p
x´
a
Apoios ou vínculos
Apoios ou vínculos são elementos que restringem movimentos das estruturas e
recebem a seguinte classificação:
Apoio móvel
• Impede movimento na direção normal (perpendicular) ao
plano do apoio;
• Permite movimento na direção paralela ao plano do apoio;
ou
Apoio fixo
• Permite rotação.
• Impede movimento na direção normal ao plano do apoio;
• Impede movimento na direção paralela ao plano do apoio;
• Permite rotação.
Engastamento
• Impede movimento na direção normal ao plano do apoio;
• Impede movimento na direção paralela ao plano do apoio;
• Impede rotação.
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62
EXEMPLOS
1. Viga simplesmente apoiada, submetida a uma carga concentrada.
x
P
S1
S2
HB
A
B
C
Pb / L
RB = Pa / L
RA
a
b
L
P
+
Pb / L
(V)
_
Pa / L
(M)
+
Pba / L
a) Cálculo das reações
∑ FH = 0
∑ FV = 0
HB = 0
⇒ HB = 0
RA + RB − P = 0
⇒ RA + RB = P
∑MA = 0
+ RB . L − P.a = 0
⇒ RB =
RA +
mas
Pa
=P
L
L−a =b
⇒
RA = P −
⇒
RA =
Pa
L
⇒
RA =
Pa
L
PL − Pa
L
⇒
RA =
P (L − a )
L
Pb
L
b) Cálculo dos esforços solicitantes (internos)
Seção S1 entre A e C
0≤ x≤a
(forças à esquerda)
Força cortante: V1 = + RA
Momento fletor
M 1 = + RA. x =
P.b
.x
L
x
0
a
M1
0
Pba
L
Mecânica dos Materiais
Ricardo Gaspar
63
a≤x≤L
Seção S2 entre C e B
(forças à esquerda)
Força cortante:
V2 = + RA − P =
V2 =
Pb
−P
l
Pb − PL P(b − L )
Pa
=
=−
L
L
L
Momento fletor:
M 2 = + RA . x − P( x − a )
M2 =
Pb
. x − Px + pa
L
⇒
p / x = L,
Pb . L
− PL + RA , como (b + a + L )
L
tem − se :
⇒
p(b − L + a ) = 0
Obs.: O sinal de + RA. x é positivo porque traciona a face inferior da viga e o sinal de
− P ( x − a ) é negativo porque traciona a face superior da viga, em relação à seção S.
Quando
a=b=
L
2
RA = RB =
tem-se
P
2
2. Viga simplesmente apoiada, submetida a carga distribuída
carga equivalente
x
R=q.L
A
B
q (kN/m)
L/2
S
HB = 0
L/2
L
RA = qL/2
RB = qL/2
qL/2
0
+
V (kN)
-
L/2
0
-qL/2
M (kN.m)
+
2
qL /8
M máx =
PL
4
Mecânica dos Materiais
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64
a) Cálculo das reações
∑F
∑F
H
=0
HB = 0
V
=0
RA + RB − q . L = 0
∑M
A
=0
+ RB . L − q . L .
L
=0
2
⇒
RA + RB = q . L
⇒
RB =
q. L
q. L
∧ RA =
2
2
b) Cálculo dos esforços solicitantes
(forças à esquerda)
Seção S
x
Força cortante
V
qL
2
qL
−
2
0
V = + RA − q . x
q. L
V =+
− q. x
2
equação do primeiro grau
L
L
2
0
Obs.: Quando a força cortante for mínima, o momento fletor é máximo. Portanto, deve-se
igualar a zero a equação da força cortante para determinar o local do diagrama onde o
momento fletor é máximo. Assim,
V=
q.L
− q. x = 0
2
⇒
q. x =
q.L
2
⇒
x=
L
2
Momento fletor
carga equivalente
x/2
q.x
S
q
A
x
x
M = RA . x − q . x .
2
M=
q. L
q. x
.x −
2
2
2
x
0
L
4
L
RA
M
0
3qL2
32
2
2
L
qL
32
0
Obs.: A área da figura do diagrama de força cortante é o valor momento fletor pois, como
dM
se verá mais adiante,
= V . Então, do lado esquerdo do diagrama, tem-se:
dx
q.L/2
q . L L 1 q . L2
. . =
M =
2 2 2
8
+
L/2
Analogamente, do lado direito:
M =
q . L L 1 q . L2
. . =
8
2 2 2
O mesmo raciocínio pode ser feito no primeiro exemplo.
Mecânica dos Materiais
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65
3. Viga em balanço submetida a carga concentrada na extremidade livre
P
MA
HA
A
S
B
x
L
RA
a. Cálculo das reações
∑ FH = 0
∑ FV = 0
HA = 0
RA − P = 0
RA = P
b. Cálculo dos esforços solicitantes Seção S
Força cortante:
V = +P
A força P tende a cortar a viga na seção S no sentido horário ⇒ (+)
Notar que a força cortante V é constante, portanto, não depende de x.
Momento fletor
x
0
L
Seção S
M = −P ⋅ x
M
0
– PL
Diagrama de esforços solicitantes
O momento fletor é negativo porque
traciona a face superior da viga.
Notar que a equação que define o
momento fletor é linear e depende de
x. A medida distância x inicia-se na
extremidade livre da viga.
P
A
S
x
B
L
RA=P
P
+
0
-PL
0
V
_
M
Mecânica dos Materiais
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66
4. Viga em balanço submetida a carga uniformemente distribuída
a. Cálculo das reações
∑F
∑F
H
=0
V
=0
carga equivalente
R=qxL
MA
HA = 0
RA − qL = 0
HA
RA = qL
q
A
S
B
x
L
RA
b. Cálculo dos esforços solicitantes Seção S
Força cortante:
A força P tende a cortar a viga na seção S no sentido horário ⇒ (+)
x
V
0
0
L
qL
Notar que a força cortante V é uma função linear que depende de x.
V = + qx
Momento fletor
Seção S
M = −q ⋅ x ⋅
x
qx
=−
2
2
x
M
0
0
carga equivalente
R=q.x
x/2
x/2
2
qL2
2
−
L
S
B
x
O momento fletor é negativo porque traciona a face superior da viga.
Notar que a equação que define o momento fletor é do segundo grau e que a distância x
inicia na extremidade livre da viga.
q
Diagrama de esforços solicitantes
A
S
x
B
L
RA=q.L
q.L
0
2
-q.L /2
0
+
V
_
M
Mecânica dos Materiais
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67
5. Viga simplesmente apoiada, submetida a momento externo no vão.
x
C
A
Mc
B
S
a
L-a
L
RA=Mc / L
RB=-Mc / L
a) Cálculo das reações
∑ FV = 0
RA + RB = 0
RA = − RB
b) Cálculo dos esforços solicitantes Seção S
Mc
L
Força cortante
V =+
Momento fletor
M = + RA ⋅ x = +
Mc
⋅x
L
No trecho AC o momento externo traciona a face inferior da viga; logo, o momento fletor é
positivo.
x
0
a
M
M = c ⋅x
L
No trecho CB, o momento externo
A
Mc
M
0
M ca
L
C
B
traciona a face superior da viga logo, o
momento fletor neste trecho é negativo.
Portanto, em x=a, tem-se:
M =
M =
a
RA=Mc / L
+ M ca
− Mc
L
+ M c a − M c L − M c (L − a )
=
L
L
L
+
0
-Mc (L-a)
L
Mc
0
RB=-Mc / L
+
V
_
M
Mc a
L
-Mc
Diagrama de esforços solicitantes
Mecânica dos Materiais
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68
6. Viga simplesmente apoiada, submetida a momento externo na extremidade.
Ma
A
B
L
Ma / L
-Ma / L
a) Cálculo das reações
∑F
V
=0
RA + RB = 0
RA = − RB
b) Cálculo dos esforços solicitantes
V =+
Força cortante:
Ma
B
Ma
(constante)
L
M = − M a (constante)
Momento fletor
A
L
Ma / L
-Ma / L
Ma / L
É negativo porque traciona a face superior da
+
0
V
viga
-Ma
_
M
0
Diagrama de esforços solicitantes
EXERCÍCIOS
1. Montar os diagramas de esforços solicitantes da viga em balanço abaixo:
P=6 kN
MA
HA
A
S
x
L=3 m
RA
a. Cálculo das reações
∑ FH = 0
∑ FV = 0
HA = 0
RA − 6 = 0
RA = 6kN
B
Mecânica dos Materiais
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69
b. Cálculo dos esforços solicitantes Seção S
Força cortante:
A força P tende a cortar a viga na seção S no sentido horário ⇒ (+)
V = + P = 6kN
Notar que a força cortante V é constante, portanto, não depende de x.
Momento fletor
Seção S
x M
M = −P ⋅ x
0
3
0
− 18
P=6 kN
Diagrama de esforços solicitantes
O momento fletor é negativo porque
traciona a face superior da viga.
A
Notar que a equação que define o
momento fletor é linear e depende de x.
S
x
L=3 m
RA=6 kN
6
+
0
-18
M (kN.m
2. Montar os diagramas de esforços solicitantes da viga em balanço abaixo:
carga equivalente
R=4 x 2=8 kN
q=4 kN/m
HA
A
S
x
L=2 m
RA
V (kN)
_
0
MA
B
B
Mecânica dos Materiais
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70
a. Cálculo das reações
∑ FH = 0
∑ FV = 0
HA = 0
RA − 4 × 2 = 8kN
b. Cálculo dos esforços solicitantes Seção S
Força cortante:
A força P tende a cortar a viga na seção S no sentido horário ⇒ (+)
x V
V = + qx
0
2
0
8
Notar que a força cortante V é uma função linear que depende de x.
Momento fletor
Seção S
x M
0 0
x
M = −2 ⋅ x ⋅ = −2 x 2
2
2
−8
O momento fletor é negativo porque traciona a face superior da viga.
Notar que a equação que define o momento fletor é do segundo grau.
q=4 kN/m
Diagrama de esforços solicitantes
A
S
x
B
L=2 m
RA=6 kN
8
0
+
V (kN)
-8
_
0
M (kN.m
Mecânica dos Materiais
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71
3. Dado a viga abaixo, calcular as reações, os esforços solicitantes e trocar os diagramas de
força cortante e momento fletor.
NOTA: Quando a força cortante é
P=20 kN
A
mínima, o momento fletor é máximo.
Como
S1
S2
C
B
HB
dM
= V , ou seja, a integral da
dx
2m
3m
5m
força cortante é o momento fletor,
RB=12 kN
RA=8 kN
8
então, a área do diagrama de V
20
0
+
_
V (kN)
-12
M (kN.m)
corresponde a M .
8 × 3 = 24 e 12 × 2 = 24 kN ⋅ m
24
a) cálculo das reações
∑ FH = 0
∑ FV = 0
∑MA = 0
HB = 0
RA + RB − P = 0
RA + RB = 20 kN
+ RB × 5 − 20 × 3 = 0
5 RB = 60
RA + RB = 20
RA + 12 = 20
RB = 12 kN
RA = 8 kN
Pelas fórmulas deduzidas:
RA =
Pb 20 × 2
=
= 8 kN
L
5
RA =
Pa 20 × 3
=
= 12 kN
L
5
b) cálculo dos esforços solicitantes
Convenção de sinais para força cortante:
S
-
P
P
S
tende girar a viga no sentido horário em
relação à seção S
+
tende girar a viga no sentido anti-horário em
relação à seção S
Mecânica dos Materiais
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72
Força cortante
Seção S1
S1
A
V1 = + RA
V1 = +8 kN
RA=8 kN
•
X
A reação RA tende a cortar a viga na seção S1 no sentido horário ⇒ (+)
Seção S2
P=20 kN
S2
A
V2 = + RA − P
3m
RA=8 kN
•
V2 = 8 − 20 = −12 kN
(x-3)
X
Notar que V1 e V2 não dependem de x. Portanto, V1 e V2 serão constantes no diagrama
de força cortante.
Momento fletor
•
Seção S1
x M1
M 1 = (+) RA ⋅ x
0
0
M1 = 8 ⋅ x
3
24
Momento fletor (+) por tracionar a face inferior.
Seção S2
M 2 = + RA ⋅ x − P ⋅ ( x − 3)
x M2
M 2 = 8 ⋅ x − 20 ⋅ ( x − 3)
3 24
M 2 = 8 ⋅ x − 20 ⋅ x + 60
5
0
M 2 = −12 x + 60
•
Notar que as equações que definem o momento fletor dependem de x e são lineares.
Mecânica dos Materiais
Ricardo Gaspar
73
4. Calcular os esforços, trocar os diagramas de V e M e dimensionar a viga abaixo.
carga equivalente
2,5 m
10 x 5 = 50 kN
L/2
A
B
q = 10 kN / m
HB = 0
S
L=5m
RA = 25 kN
25
RB = 25 kN
+
V (kN)
-
2,5 m
L/2
25
M (kN . m)
+
31,25
a) Cálculo das reações
∑F
∑F
H
=0
BH = 0
V
=0
RA + RB − (10 ⋅ 5) = 0
RA + RB = 50 kN
∑M
A
+ RB ⋅ 5 − (10 ⋅ 5 ⋅ 2,5) = 0
=0
5 RB = 125
RB = 25 kN
Pelas fórmulas deduzidas:
RA = 25 kN
RA = RB =
q ⋅ L 10 × 5
=
= 25 kN
2
2
a) Cálculo dos esforços solicitantes
carga equivalente
q.x
S
x/2
Força Cortante
q
A
x
V = + RA − q ⋅ x
V = 25 − 10 x
RA = 25 kN
•
A reação RA tende a cortar a viga na seção S no sentido horário (+) e a força (q . x),
carga equivalente, tende a cortar a viga na seção S no sentido anti-horário (-);
•
No caso de carregamento distribuído, a equação da força cortante depende de x,
portanto , trata-se de uma função linear;
Mecânica dos Materiais
•
Ricardo Gaspar
74
Sabe-se que, quando a força cortante é mínima, o momento fletor é máximo, portanto,
necessita-se saber a que distância do apoio A, V = 0. Então, 0 = 25 – 10x.
10 x = 25
x = 2,5 m , ou seja, L
⇒
2
Diagrama de Força Cortante
x
2
2,5
5
2,5 m
25
+
V (kN)
-
V
25
0
-25
25
função linear
Obs.: A área da figura resultante do diagrama de força cortante é o momento fletor.
•
•
Do lado esquerdo
2,5 × 25
= 31,25 kN ⋅ m
2
2,5 × 25
= 31,25 kN ⋅ m
2
Momento fletor
carga equivalente
q.x
S
x/2
Do lado direito:
M = + RA ⋅ x − q ⋅ x ⋅
q
A
M = +25 ⋅ x − 10 ⋅
x
x
2
x2
2
M = +25 ⋅ x − 5 ⋅ x 2
RA
•
Notar que a reação RA gera um momento fletor na seção S que traciona a face inferior
(+) e a força equivalente (q . x). Gera um momento que traciona a fibra superior (-);
•
No caso de carregamento distribuído, a equação do momento fletor depende de (x2),
portanto, trata-se de uma função quadrática que resulta numa parábola do 2º grau.
Diagrama de Momento Fletor
M = 25 ⋅ x − 5 ⋅ x 2
2,5 m
M (kN . m)
+
x
0
2,5
5
M
0
31,25
0
31,25
Pelas fórmulas deduzidas:
M máx =
q ⋅ L2
8
10 × 5 2
= 31,25 kN ⋅ m
8
Mecânica dos Materiais
7.4
Ricardo Gaspar
75
Equações diferenciais de equilíbrio
Os esforços solicitantes são obtidos a partir das equações de equilíbrio que regem o
comportamento das vigas.
Seja a viga em balanço submetida a um carregamento genérico (q), como ilustrado
na Figura abaixo.
q
x
dx
L
Figura 7.2. Viga em balanço
O equilíbrio de um elemento infinitesimal de viga está ilustrado na Figura abaixo.
Admite-se que o carregamento neste elemento de comprimento infinitesimal seja
constante.
q
A
V
M + dM
x
M
V + dV
dx
Figura 7.3. Esforços atuantes em um elemento infinitesimal
Conforme a figura acima, as equações diferenciais de equilíbrio são dadas por:
Equilíbrio de Forças na direção vertical
∑Fy = 0
∑ Fy = 0 ⇒ V − qdx − (V + dV ) = 0 ⇒ dV = −qdx
dV
dV ( x)
= − q portanto
= −q( x)
dx
dx
Mecânica dos Materiais
Ricardo Gaspar
76
Equilíbrio de Momentos em relação ao Equilíbrio de Forças em y ponto A
∑MA = 0
∑ M A = 0 ⇒ − M − Vdx + qdx
dx
+ (M + dM ) = 0
2
dM = Vdx − q
dx 2
2
dM = Vdx ⇒
dM
dM ( x)
=V ⇒
= V ( x)
dx
dx
mas
q
dx 2
= 0 → parcela de segundo grau pode ser desprezada
2
Equações diferenciais de equilíbrio
 dV ( x )
 dx = − q( x )
d 2 M ( x)
⇒
= − q( x )

dx 2
 dM ( x ) = V ( x )
 dx
Notar que a expressão da força cortante V(x) possui um grau a mais que a expressão
do carregamento q(x) e a expressão do momento fletor M(x) possui um grau a mais que a
expressão da força cortante.
Dado um carregamento q(x) qualquer, os esforços V(x) e M(x) são obtidos pela
integração das equações diferenciais de equilíbrio, impondo condições de contorno.
No caso da viga em balanço tem-se:
V ( x) = − qx
M ( x) = −
qx 2
2
d 2M
= −q
dx 2
V =
dM
= ∫ − qdx = − qx + C1
dx
M = ∫ (− qx + C1 )dx = −
qx 2
+ C1 x + C 2
2
Mecânica dos Materiais
Ricardo Gaspar
77
condições de contorno
para x = 0, a força cortante é nula:
q
V (0) = 0 ⇒ C1 = 0
para x = 0, o momento fletor é nulo:
x
dx
L
M ( 0) = 0 ⇒ C 2 = 0
logo,
+
V ( x) = −qx
M ( x) = −
V
_
qx 2
2
M
Figura 7.4. Diagrama de esforços solicitantes
Notar que:
→
q(x)
grau zero
V(x)
primeiro grau →
M(x) segundo grau →
constante
linear
parabólico
Mecânica dos Materiais
Ricardo Gaspar
78
Exercícios
1. Traçar os diagramas de esforços
solicitantes da viga da figura.
carga equivalente
8x4=32 kN
2m
q=8 (kN/m)
A
P=16 kN
B
C
HA
S1
S2
x
4m
RA
a. Cálculo das reações
HA = 0
∑ FH = 0
∑F
∑M
V
=0
A
2m
RA + RB − 8 ⋅ 4 − 16 = 0
= + RB × 4 − 16 × 6 − (8 × 4) × 2 = 0
RB
RA + RB = 48 kN
RB = 40 kN
RA = 8 kN
b. Cálculo dos esforços solicitantes
Seção S1
0≤x≤4
q.x
x/2
Força cortante:
q=8 (kN/m)
A
V = + RA − q ⋅ x
x V
0 8
V = +8 − 8 x
S1
x
4 − 24
RA=8 kN
Determinação do local onde a força cortente é nula
0 = +8 − 8 x
x = 1m
Momento fletor:
x M
M = + RA ⋅ x − q ⋅ x ⋅
x
2
M = +8 x − 8
0 0
1 4
4 − 32
x2
2
8x4=32 kN
2m
Seção S2
4≤x≤6
Força cortante:
V = +8 − 32 + 40 = 16 kN
A
x-2
q=8 (kN/m)
B
S1
constante
S2
x-4
4m
x
RA=8 kN
RB=40 kN
Mecânica dos Materiais
Ricardo Gaspar
Momento fletor:
M = + RA ⋅ x − 32 ⋅ ( x − 2) + RB ⋅ ( x − 4)
79
M = 8 x − 32 x + 64 + 40 x − 160
x M
4 − 32
6
0
M = 16 x − 96
Diagrama de esforços solicitantes
P=16 kN
8 (kN/m)
A
B
C
HA=0
2m
4m
RA=8 kN
8
0
RB=40kN
16
16
+
+
0
_
1m
V(kN)
-24
-32
_
M(kN.m)
0
0
+4
2. Traçar os diagramas de esforços solicitantes da viga abaixo.
P=14 kN
q=2 kN/m
HA
B
A
2,5 m
2,5 m
5m
RA
RB
a. Cálculo das reações
HA = 0
∑ FH = 0
∑F
∑M
V
=0
A
RA + RB − 2 ⋅ 5 − 14 = 0
= + RB × 5 − 14 × 2,5 − 10 × 2,5 = 0
RA + RB = 24 kN
RB = 12 kN
RA = 12 kN
x/2
b. Cálculo dos esforços solicitantes
Seção S1
0 ≤ x ≤ 2,5
A
S1
Força cortante:
V = + RA − q ⋅ x
V = +12 − 2 ⋅ x
q.x
x
x
V
0
12
2,5 7
RA=12kN
Mecânica dos Materiais
Ricardo Gaspar
80
Momento fletor:
x M
0 0
4 23,75
x2
M = +12 x − 2
2
x
M = + RA ⋅ x − q ⋅ x ⋅
2
Seção S2
2,5 ≤ x ≤ 5
Força cortante:
V = + RA − q ⋅ x − P
q.x
x
V
A
2,5 − 7
5 − 12
V = +12 − 2 x − 14
S2
2,5 m
Momento fletor:
(x-2,5)
x
M = + RA ⋅ x − q ⋅ x ⋅
M = +12 x − 2
P=14 kN
x/2
x
− P (x − 2,5)
2
RA=12kN
x2
− 14( x − 2,5)
2
x
M
2,5 23,75
5
0
M = − x − 2 x + 35
2
Diagrama de esforços solicitantes
2x5=10 kN
P=14 kN
x
q=2 kN/m
B
A
HA=0
2,5 m
2,5 m
5m
RA=12kN
RB=12kN
7
12
0
+
-7
_
V(kN)
-12
0
M(kN.m)
+
23,75
Mecânica dos Materiais
Ricardo Gaspar
81
3. Traçar os diagramas de esforços solicitantes da viga abaixo.
3x4=12 kN
2x2=4 kN
1m
2m
q=3kN/m
q=2kN/m
HC
A
B
C
2m
4m
RB
RC
a. Cálculo das reações
∑F
∑F
∑M
H
=0
HC = 0
V
=0
RB + RC − 2 × 2 − 3 × 4 = 0
B
RB + RC = 16 kN
= + RC × 4 − 12 × 2 + 4 × 1 = 0
RC = 5 kN
RA = 11 kN
b. Cálculo dos esforços solicitantes
Seção S1
q.x
x/2
0≤x≤2
Força cortante:
V = −q ⋅ x
x V
0 0
2 −4
V = −2 x
A
x
S1
Momento fletor
Seção S2
x M
x2
M = −2
2
x
M = −q ⋅ x ⋅
2
0 0
2 −4
2≤x≤4
(x+1)
Força cortante:
2x2=4 kN
1m
q.x
x/2
V = −( 2 × 2) + 11 − q ⋅ x
x
V = −4 + 11 − 3x
V
0
7
2,33 0
4 −5
q=3kN/m
q=2kN/m
A
B
2m
RB=11kN
Determinação do local onde a força cortente é nula:
− 4 + 11 − 3 x = 0
− 3x + 7 = 0
x = 2,33 m
S2
x
Mecânica dos Materiais
Ricardo Gaspar
82
Momento fletor:
M = −4( x + 1) + 11x − 3x
x
2
M = −4 x − 4 + 11x − 3
x2
2
x
M
0
−4
2,33 4,17
4
0
M = −1,5 x 2 + 7 x − 4
Diagrama de esforços solicitantes
3x4=12 kN
2x2=4 kN
q=3kN/m
q=2kN/m
HC=0
A
B
C
2m
4m
RA=11kN
RC=5kN
2,33
7
1,67
0
0
-4
V(kN)
-5
-4
0
0
M(kN.m)
4,17
4. Traçar os diagramas de esforços solicitantes da viga abaixo.
P=10 kN
P=10 kN
HB
A
B
1,5 m
3m
1,5 m
RA
RB
a. Cálculo das reações
∑F
∑F
∑M
H
=0
HB = 0
V
=0
RA + RB − 10 − 10 = 0
A
= + RB ⋅ 6 − 10 × 1,5 − 10 × 4,5 = 0
RA + RB = 20 kN
RA = 10 kN
RB = 10 kN
Mecânica dos Materiais
Ricardo Gaspar
83
b. Cálculo dos esforços solicitantes
Seção S1
0 ≤ x ≤ 1,5
x
Força cortante:
A
V = +10 kN
V = + RA
S1
constante, pois não depende de x.
RA=10kN
Momento fletor
x M
M = + RA ⋅ x
Seção S2
M = +10 ⋅ x
0 0
1,5 15
1,5 ≤ x ≤ 4,5
P=10 kN
Força cortante:
V = +10 − 10 = 0
A
constante
S2
1,5 m
(x-1,5)
x
Momento fletor:
M = +10 x − 10( x − 1,5)
RA=10kN
M = +10 x − 10 x + 15
M = +15 kN.m
Seção S3
constante
4,5 ≤ x ≤ 6
P=10 kN
P=10 kN
Força cortante:
V = +10 − 10 − 10
V = −10 kN
A
constante, pois não depende de x.
S3
1,5 m
3m
x
Momento fletor
RA=10kN
M = +10 x − 10(3 + x − 4,5) − 10( x − 4,5)
x
M = −10 x + 60
M
4,5 15
6
0
(x-4,5)
Mecânica dos Materiais
8
Ricardo Gaspar
85
TENSÕES E DEFORMAÇÕES NA FLEXÃO
Considere-se a viga a simplesmente apoiada, submetidas a duas forças concentradas
no mesmo plano xy que contém o eixo da barra, como ilustra a Figura abaixo.
P
P
x
0
a
a
y
P
V
-P
M
Pa
Figura 8.1
Essas forças produzem deslocamentos nos diversos pontos do eixo da viga dando
origem a tensões internas.
A parte central da viga está sujeita somente ao momento fletor M=P.a, sem esforço
cortante. Neste trecho diz-se que a solicitação é de flexão pura.
Nas seções da viga onde atuam simultaneamente momento fletor e força cortante
diz-se que há flexão simples.
8.1
Hipóteses admitidas
Na dedução das expressões das tensões normais decorrentes da flexão, admitem-se
as seguintes hipóteses:
•
“as seções planas permanecem planas após a
deformação” (hipótese simplificadora atribuída a
Bernouille);
•
supõem-se vigas prismáticas, ou seja, barra de eixo
reto e de mesma seção transversal;
•
admite-se que o material obedeça à lei de Hooke e
que os módulos de elasticidade à tração e à
compressão sejam iguais.
Figura 8.2
Mecânica dos Materiais
Ricardo Gaspar
86
Para o estudo da distribuição das tensões normais decorrentes da flexão pura
devem-se considerar as deformações que ocorrerão na viga no mesmo plano onde atua o
carregamento.
8.2
Tensões normais na flexão
A ação do Momento Fletor faz com que o eixo da viga se curve, permanecendo as
seções transversais mm e pq planas e normais ao eixo longitudinal.
A simetria do carregamento exige que todos os elementos da viga se deformem
identicamente, o que só será possível se as seções transversais permanecerem planas.
As fibras inferiores serão alongadas, ficando sujeitas a esforços de tração e as fibras
superiores serão encurtadas, ficando sujeitas a esforços de compressão. Essas deformações
originam internamente na viga tensões de tração e de compressão.
Há uma superfície na qual as fibras longitudinais não sofrem variação de
comprimento, chamada superfície neutra da viga. Nesta superfície não atuam tensões.
O ponto 0 é o centro da
curvatura do eixo longitudinal. O raio
d θ°
de curvatura é
r
por r. Da
geometria vem:
1 dθ
=
r dx
Linha Neutra
M
indicado
m
M
p
dx
x
y
n
q
y
Figura 8.3
Acima do eixo neutro, também
chamado
de
Linha
Neutra,
as
deformações são de compressão e as
abaixo, de tração.
Por hipótese, as deformações são suficientemente pequenas de tal modo que em um
ponto qualquer pertencente ao eixo neutro, um ângulo inicialmente reto antes da
deformação (formado por uma fibra longitudinal e a seção transversal) continua sendo reto
depois da deformação.
Mecânica dos Materiais
Ricardo Gaspar
87
Semelhança de triângulos
ds s
=
y r
ds y
=
s
r
→
Sabe-se, contudo, que a deformação específica é
r
definida como:
εx =
x
LN
o
Esta
y
y
s
equação
ds
,
s
mostra
εx =
logo
que
as
y
r
deformações
longitudinais (εx) são diretamente proporcionais à
ds
curvatura e à distância y da Linha Neutra.
Figura 8.4
Deve-se notar que esta equação foi deduzida apenas por considerações geométricas,
independentes das propriedades do material, sendo válida para qualquer tipo material da
viga.
Quando a viga é de material elástico linear, com diagrama tensão – deformação
linear (material que obedece à Lei de Hooke), tem-se, σ = Eε . Portanto, as tensões
normais na viga são:
y
(1)
r
Observa-se que a tensão σx é proporcional à distância da Linha Neutra (hipótese de
Navier). As tensões variam linearmente com a distância y do eixo neutro, como é mostrado
na Figura abaixo.
σx = E
A
σt
L.N.
b
M
x
h
ys
z
0
y
yi
A
σc
corte A-A
y
dA
Figura 8.5
Seja dA uma área elementar na seção transversal e distante y do eixo neutro. A
força elementar que atua sobre esta área é σ x dA . Como não há força normal atuando na
seção, a integral de σ x dA sobre a área total da seção transversal deve anular-se, o que dá:
Mecânica dos Materiais
Ricardo Gaspar
∫σ
x
dA = ∫ E
88
y
dA = 0
r
(2)
Como a curvatura e o módulo de elasticidade (E) são constantes,vem:
∫σ
x
dA =
E
ydA = 0
r ∫
logo
∫ ydA = 0
para vigas sob flexão pura.
Do estudo das características geométricas de figuras planas sabe-se que a parcela
∫ ydA é definida como Momento Estático utilizado para o cálculo do Centro de Gravidade
de figuras. Se o Momento Estático M S = ∫ ydA = 0 , como se vê nas expressões acima,
significa que o eixo neutro passa pelo Centro de Gravidade da seção transversal. Os eixos y
e z também tem origem no CG da seção transversal.
O momento da força elementar σ x dA em relação ao eixo neutro é σ x ydA . A
integral de todos esses momentos elementares sobre a área da seção transversal deve ser
igual ao momento fletor M, ou seja:
M = ∫ σ x ydA =
E
r
∫ y dA
2
(3)
mas I = ∫ y 2 dA é o momento de inércia da área da seção transversal, em relação ao eixo z,
que é o eixo neutro, ou Linha Neutra. Assim, equação acima pode tomar a seguinte forma:
M =
1
EI
r
→
1 M
=
r EI
(4)
conclui-se, então, que a curvatura do eixo longitudinal da viga é diretamente proporcional
ao momento fletor M e inversamente proporcional à quantidade EI, conhecida como
rigidez ou módulo de rigidez à flexão da viga.
Combinando as expressões (1) e (4), obtém-se a equação das tensões normais da
viga.
σx =
M
y
I
(5)
Mecânica dos Materiais
Ricardo Gaspar
89
Nesta equação, M é positivo quando produz compressão na viga e y é positivo
quando o sentido é para baixo.
As tensões máximas de tração e de compressão ocorrerão nos pontos mais afastados
do eixo neutro. Designando os afastamentos das fibras extremas por yinf e ysup,
respectivamente, tem-se:
σ x ,máx =
M
y inf
I
σ x ,mín = −
M
y sup
I
(6)
Dimensionamento
Do estudo das características geométricas de seções planas, define-se Módulo
Resistente (W) por
I
y
W =
(7)
Combinando as equações (5) e (7), chega-se à :
σx =
M
W
(8)
Se for utilizado o método das tensões admissíveis, ou seja, σ x ≤ σ adm é possível
dimensionar barras submetidas à flexão:
σ adm =
M
W
(9)
Quando a viga tiver seção retangular, com largura b e altura h, o Momento de
Inércia e o Módulo Resistente, são, respectivamente
Para seção circular de diâmetro d, tem-se:
I=
πd 4
64
I=
e
bh 3
12
W =
e
πd 3
32
W =
bh 2
6
Mecânica dos Materiais
Ricardo Gaspar
90
P=20 kN
Exemplos
S1
A
S2
C
B
1. O momento fletor da viga da figura é
HB
M=24 kN.m. Sabendo-se que a tensão
2m
3m
5m
admissível do material utilizado na viga é
σ adm = 5 kN cm 2 e que se trata de um
perfil retangular com b = 5 cm (largura),
RB=12 kN
RA=8 kN
8
20
+
0
_
determinar a altura (h) do perfil.
V (kN)
-12
M (kN.m)
24
Retângulo
h/2
W= Momento Resistente I= Momento de Inércia
h
y
h/2
W =
b
I
y
onde
Para retângulos tem-se:
b ⋅ h3
I=
12
Momento de Inércia
b ⋅ h3
2b ⋅ h 3 b ⋅ h 2
W = 12 =
=
y
12 ⋅ h
6
2
Módulo Resistente
[L]3
M
W
Sendo a tensão definida
σ=
O Módulo Resistente pode também ser expresso por
W=
Ou seja,
b ⋅ h2 M
=
6
σ
⇒
h2 =
Logo, determina-se a altura h da viga
h=
6M
=
bσ
6 × 2400 (kN .cm)
= 24 cm
5 (cm) × 5 (kN / cm 2 )
h = 24 cm
6M
bσ
M
σ
y=h
2
Mecânica dos Materiais
Ricardo Gaspar
é
M=31,25 kN.m.
Sabendo-se
que
a
carga equivalente
2,5 m
2. O momento fletor da viga da
figura
91
10 x 5 = 50 kN
L/2
A
B
q = 10 kN / m
tensão
na viga é σ adm = 5,8 kN cm 2 e
que
se
trata
retangular
de
com
um
HB = 0
S
admissível do material utilizado
L=5m
RA = 25 kN
RB = 25 kN
perfil
25
b = 5 cm
+
V (kN)
-
2,5 m
(largura), determinar a altura (h)
L/2
do perfil.
25
M (kN . m)
+
31,25
W =
Momento resistente do retângulo:
σ=
M
W
b ⋅ h2 M
=
6
σ
h=
⇒
⇒
W =
h2 =
b ⋅ h2
6
M
σ
6⋅M
b ⋅σ
⇒
h=
6⋅M
b ⋅σ
6 × 3125 ( kN .cm )
= 25,4 cm
5 ( cm ) × 5,8 ( kN / cm 2 )
h = 25,4 cm
10'
Notar: 31,25 kN ⋅ m = 3125 kN ⋅ cm
Em polegadas: (2”x10”)
1” = 2,54 cm
b = 5 cm
2'
Mecânica dos Materiais
8.3
Ricardo Gaspar
92
Tensões de cisalhamento na flexão
Considere-se um elemento de viga como ilustrado na Figura abaixo, de
comprimento infinitesimal dx , submetido a um carregamento genérico p, sem esforço
normal.
p
p
x
V
dx
M + dM
x
M
M
V + dV
V
dx
Figura 8.6 Barra submetida a cargas transversais p
O equilíbrio desse elemento de viga é dado por:
dM
=V
dx
dV
= −p
dx
ou seja,
d 2M
= −p
dx 2
Devido aos efeitos da flexão, esse elemento de viga é solicitado por tensões
normais, paralelas ao eixo x.
Essas tensões normais que atuam nas faces do elemento hachurado abcd, de
comprimento dx, variam linearmente a partir da linha neutra e, em qualquer ponto, a uma
distância y da linha neutra são definidas nas faces ab e cd, respectivamente, como
(TIMOSHENKO, 1989):
σ =
M
⋅y
I
e
σ + dσ =
M + dM
⋅y
I
onde I é o momento de inércia da seção transversal em relação à linha neutra.
Mecânica dos Materiais
Ricardo Gaspar
y
σ
a
yo
h
b
σ + dσ
c
τ
93
d
F
F + dF
τ bdx
yo
x
z
M
M + dM
b
dx
Figura 8.7 Tensões normais em um elemento de viga de comprimento dx
As resultantes dessas tensões normais são dadas por:
h/2
F=
∫
yo
M
ydA
I
(a)
e
h/2
F + dF =
∫
yo
M + dM
ydA
I
(b)
Se for feito um corte longitudinal nesse elemento de viga, o equilíbrio interno na
direção do eixo x indica que deve haver uma tensão tangencial τ.
Admitindo-se que a largura b seja suficientemente pequena para se considerar
constante a tensão de cisalhamento ao longo da largura, a força de cisalhamento horizontal
que atua na face inferior do elemento é dada por:
τ ⋅ b ⋅ dx
(c)
As forças representadas pelas expressões (a), (b) e (c), devem estar em equilíbrio.
Assim, o equilíbrio do elemento hachurado abcd da Figura acima fornece a equação:
F + τbdx = F + dF
ou seja:
τbdx =
h/2
∫
yo
donde:
M + dM
ydA −
I
h/2
∫
yo
M
ydA
I
Mecânica dos Materiais
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1 dM
τ=
⋅
I ⋅ b dx
mas
dM
=V
dx
94
h/2
∫ ydA
yo
e
h/2
∫ ydA = Ms
é o momento estático da parte da hachurada seção transversal em
yo
relação ao eixo z.
Logo, a tensão de cisalhamento fica definida por:
τ=
tem-se:
V ⋅ Ms
b⋅ I
A tensão de cisalhamento varia em função de yo. No caso das seções retangulares,
V
τ=
2I
 h2

 − yo2 
 4

A expressão acima indica que a tensão de cisalhamento varia parabolicamente com
yo .
Como regra geral, a máxima tensão de cisalhamento τ ocorre no centro de
gravidade da seção transversal.
y
σc
Fc
z
τ
h
τo
L
N
CG
Ft
σt
b
Figura 8.8 Tensão máxima de cisalhamento τo (LANGENDONCK, 1956)
Sabendo-se que o braço de alavanca dos esforços internos (z) pode ser expresso por
( z = I / Mso ) tem-se, para yo = 0, a expressão da tensão máxima de cisalhamento:
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τo =
95
V
b⋅ z
As tensões de cisalhamento são sempre tangentes ao contorno da seção transversal.
Na Figura abaixo estão ilustradas as direções e sentidos das tensões de
cisalhamento em algumas seções transversais.
y
y
y
y
b
b=b f
T
b=b w
CG
CG
b
b
CG
CG
b
V
V
V
V
Figura 8.9 Direção e sentido das tensões de cisalhamento (FUSCO, 1981)
Tensão de cisalhamento para peças de seção retangular
A tensão de cisalhamento máxima ocorre
h/2
no Centro de Gravidade da seção.
CG
h/4
τ max
z
V ⋅ Ms
τ=
b⋅ I
h/2
b
diagrama de
tensões tangenciais
Momento Estático:
2
 h  h bh
Ms = A ⋅ yCG =  b  ⋅ =
8
 2 4
Momento de Inércia
I=
bh 3
12
Substituindo o Momento Estático e o Momento de Inércia na expressão da tensão de
cisalhamento, tem-se:
bh 2
8 = 3⋅ V
τ=
bh 3
2 bh
b⋅
12
V⋅
→
τ = 1,5
V
ATotal
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96
Tensão de cisalhamento para peças de seção circular
A tensão de cisalhamento máxima
ocorre no Centro de Gravidade da
4r
r
3π
CG
z
V ⋅ Ms
seção. τ =
b⋅ I
d
Momento Estático:
τ max
diagrama de
tensões tangenciais
 πd 2   4 d  d 3
 ⋅ 
Ms = A ⋅ yCG = 
=
 4   3 2π  12
I=
Momento de Inércia
πd 4
64
Substituindo o Momento Estático e o Momento de Inércia na expressão da tensão de
cisalhamento, tem-se:
d3
V
12 = 12
τ=
πd 4
πd 2
d⋅
⋅ 16
64
4
V⋅
→
τ=
4 V
3 ATotal
Exemplo
1. O diagrama de esforços cortantes de uma determinada viga de seção retangular, com
altura de 60 cm registra Vmax=80kN. Sabendo-se que a tensão admissível de cisalhamento
do material é τadm=1,0 kN/cm2 , determinar a largura (b) da viga.
τ max = 1,5
V
ATotal
Sendo τadm=1,0 kN/cm2 , no limite
1=
1,5 × 80
60 × b
→
τadm = τmax logo,
b = 2 cm
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9
97
DEFORMAÇÕES NAS VIGAS
As cargas transversais que atuam nas vigas causam deformações, curvando seu eixo
longitudinal. Quando se projeta uma viga é freqüentemente necessário calcular as
deformações que ocorrerão em vários pontos ao longo do eixo. Por exemplo, nas vigas
estaticamente indeterminadas, o cálculo das deformações é essencial para sua resolução.
Denomina-se flecha, ou deslocamento vertical da viga (v), o deslocamento
perpendicular a seu eixo, provocado pela aplicação de uma carga. A curva na qual se
transforma o eixo da viga, inicialmente reto, recebe o nome de linha elástica.
As especificações para o cálculo ou dimensionamento das vigas, impõem,
freqüentemente, limites para as flechas, tal como ocorre com as tensões.
P
v
x
linha
elástica
y
Figura 9.1 Linha elástica de uma viga simplesmente apoiada
Para dedução da equação da linha elástica, considere-se um trecho da viga, como
ilustrado, com o eixo y no sentido indicado.
dx
x
y
θ
dx
tg θ ~
=θ
θ
dy=dv
tangente
Figura 9.2
Seja dx um elemento infinitesimal do comprimento da viga. Se no início deste
comprimento dx forem traçadas uma tangente à curva resultante da deformação da viga e
uma reta paralela ao eixo x, o ângulo θ então formado entre a tangente e a reta, é
denominado deformação angular da viga.
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98
Considerando-se a hipótese de pequenos deslocamentos, pode-se afirmar que
tgθ ≅ θ . Portanto, tgθ = θ =
dv
.
dx
Derivando-se o ângulo θ em relação a x, tem-se:
dθ d 2 v
=
dx dx 2
(1)
Da geometria, define-se curvatura como:
1 dθ
=
r dx
(2)
Sabe-se também, da teoria de flexão, que a curvatura é diretamente proporcional ao
momento fletor e inversamente proporcional ao produto de rigidez EI, ou seja,
1
M
=−
r
EI
(3)
Relacionando as expressões (1) e (2), chega-se a:
1 d 2v
=
r dx 2
(4)
Relacionando agora as expressões (3) e (4), tem-se:
d 2v
M
=−
2
dx
EI
(4)
Rearranjando a expressão (4) chega-se finalmente à equação da linha elástica:
d 2v
EI 2 = − M
dx
(5)
onde
x e v são as coordenadas da linha elástica
E é o módulo de Elasticidade do material
I é o momento de inércia da seção transversal da viga
A equação acima permite obter a linha elástica das vigas retas para qualquer tipo de
carregamento.
A equação acima foi deduzida a partir das seguintes hipóteses:
1. barra prismática (barra de eixo reto e de seção transversal constante);
2. validade da Lei da Hooke σ=Eε - material elástico linear;
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99
3. as seções permanecem planas após a deformação;
4. deslocamentos pequenos, ou seja: tgθ ≅ θ .
As convenções de sinais a serem consideradas na equação acima são: os eixos x e y
são positivos nos sentidos indicados, o deslocamento v é positivo quando estiver no sentido
do eixo y; o momento fletor M é positivo quando produz compressão na parte superior e
tração na parte inferior da viga.
Exemplo: determinar o deslocamento vertical máximo de uma viga simplesmente apoiada,
submetida a uma carga concentrada no meio do vão.
P
x
A
B
S
L/2
L/2
P/2
P/2
→
Equação do momento fletor na seção S
Mx =
P
⋅x
2
dθ d 2 v
M
determina-se a rotação da viga:
Ao se integrar a equação
= 2 =−
dx dx
EI
θ = ∫−
M
dx
EI
Como o módulo de elasticidade do material (E) e o momento de inércia (I) são constantes,
podem ser retirados da integral. Logo,
EIθ = ∫ −
P
xdx
2
→
EIθ = −
P x2
⋅
+ C1
2 2
A constante C1 é determinada pelas condições de contorno da viga. A tangente da
curva para x=L / 2 é nula. Logo,
2
0=−
P  L
⋅   + C1
4 2
C1 =
PL2
16
Assim, tem-se a equação da rotação da viga:
EIθ = −
Px 2 PL2
+
4
16
Ao se integrar a equação da rotação, chega-se à equação do deslocamento vertical da viga.
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EIv = ∫ θ ⋅ dx
 Px 2 PL2 
 ⋅ dx
EIv = ∫  −
+
4
16 

→
EIv = −
100
Px 3 PL2
+
x + C2
12
16
A constante C2 é determinada também pelas condições de contorno. Para x =0, o
deslocamento vertical da viga é nulo. Portanto, impondo x=0 na equação acima, chega-se à
conclusão de que C2 =0.
Também, das condições de contorno, sabe-se que o deslocamento vertical máximo
da viga em estudo ocorrerá para x=L / 2. Assim,
PL3
EIv =
48
PL3 PL3
EIv = −
+
96
32
Portanto, o deslocamento vertical máximo da viga é expresso por: v max
P=20kN
Exemplo:
Calcular
o
deslocamento
vertical
B
A
máximo da viga da figura. Dado:
300cm
2
Eaço=21000 kN/cm .
300cm
h=30cm
b=10cm
10 × 30 3
I=
= 22500 cm 4
12
bh 3
I=
12
v max
PL3
=
48EI
PL3
=
48EI
v max
20 × 6003
=
= 0,19 cm
48 × 21000 × 22500
Se a seção transversal da viga fosse b=30cm e h=10cm, o deslocamento vertical seria:
I=
v max
bh 3
12
PL3
=
48EI
I=
v max
30 × 10 3
= 2500 cm 4
12
20 × 6003
=
= 1,71 cm
48 × 21000 × 2500
Note-se que esta mudança de posição da
seção transversal da viga aumentou o 9
vezes deslocamento vertical.
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101
Apresenta-se a seguir equações de deslocamento máximos.
P
L
vmax
v max =
PL3
3EI
vmax
v max =
qL4
8EI
v max =
PL3
48EI
q (kN/m)
L
P
vmax
L/2
L/2
q (kN/m)
v max
vmax
L
a>b
P
x
3
v max
vmax
b
a
5qL4
=
384 EI
Pb( L2 − b 2 ) 2
=
9 3EI
x=
L2 − b 2
3
M
x
v max =
L
ML2
9 3EI
x=
M
L
vmax
v max =
ML2
2 EI
L
3