ESCOLA DE APLICAÇÃO “DR. ALFREDO JOSÉ BALBI”
UNITAU
APOSTILA
POLÍGONOS REGULARES
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POLÍGONOS REGULARES
É todo polígono eqüilátero (todos os lados congruentes) e eqüiângulo(todos os
ângulos internos
congruentes e
externos congruentes).
L
L α
L
α
L
α
α
α
L
α
α
α
L
L
L
POLÍGONO INSCRITO E CIRCUNSCRITO
Todo o polígono regular e inscritível e circunscritível a uma circunferência.
r
R
ELEMENTOS DE UM POLÍGONO REGULAR
Raio(R) da circunferência circunscrita.
Ângulo central (α).
Ângulo interno (ai).
Ângulo externo (ae).
Apótema(m) ou raio da circunferência inscrita (r)
Soma dos ângulos internos (Si)
r
ai ae
R α
m
ae = α =
360º
n
ai =
R
( n − 2).180º
n
ai + ae = 180º
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2
S i = (n − 2).180º
Área de um polígono regular circunscrito
Dizemos que polígono é circunscrito quando ele admite uma circunferência inscrita.
Seja A a sua área, p o seu semi-perímetro e r o raio da circunferência inscrita ou o
apótema, então: A = p.r
A=
a1.r a2 .r
a .r ( a + a + ... + an )
+
+ ... + n = 1 2
.r = p.r
2
2
2
2
Relações métricas nos polígonos regulares inscritos
Seja L a
medida do lado do
polígono, R a do raio da circunferência
circunscrita e m a do seu apótema, podemos estabelecer relações entre essas
medidas as quais chamaremos de relações métricas. Estudaremos a seguir as relações
métricas no triângulo eqüilátero, no quadrado e no hexágono regular todo
inscritos numa circunferência de raio R.
TRIÂNGULO EQUILÁTERO
QUADRADO
HEXÁGONO REGULAR
QUADRADO
l=R 3
l=R 2
l=R
m=
R
2
A = p.m
l R 2
=
2
2
A = p.m
l 3 R 3
=
2
2
A = p.m
3R 2 3
A=
4
A = 2R
m=
2
m=
A=
3l 2 3
2
EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO DA APRENDIZAGEM
1) Calcule a medida do ângulo interno e do ângulo externo dos seguintes polígonos
regulares:
a) triângulo resp: 60º e 120º b) quadrado resp: 90º e 90 c) hexágono resp: 120º e 60º
2) Quantos lados tem um polígono regular cujo o ângulo interno mede:
a) 140º resp: 9 b) 135º resp: 8 c) 144º resp: 10 d) 120º resp: 6
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3
3) Quantos lados tem um polígono regular cujo ângulo externo mede:
a) 20º resp: 18 b) 18º resp: 20 c) 90º resp: 4 d) 30º resp: 12
4) O apótema de um quadrado inscrito em uma circunferência mede 6cm. Calcule a
medida da sua diagonal. resp: 12 2 cm
5) A maior diagonal de um hexágono regular tem 6cm. Calcule as medidas do apótema
3 2
e do lado desse hexágono. resp: m =
cm l = 3cm
2
6) Em uma mesma circunferência estão inscritos um quadrado e um triângulo
eqüilátero. O apótema do quadrado mede 3,5 cm. Calcule o apótema do triângulo.
7 2
cm
resp:
4
7) Na figura abaixo, o segmento AB corresponde ao lado de um hexágono regular
inscrito, enquanto o segmento BC corresponde ao lado de um quadrado inscrito.
Considerando 2 =1,41, qual é a distância que se percorre indo, em linha reta, de A até
C, passando por E ? Resp: 24,1 cm
8) Determine a área de um quadrado inscrito numa circunferência de 5 dm de
raio. Resp: 50dm2
9) Calcule a área de um triângulo eqüilátero, sabendo que seu apótema mede 3
cm. Resp: 27 3 cm2
10) A figura abaixo foi cortada de uma cartolina e é formada por um hexágono regular e
seis quadrados. Cada lado do hexágono mede 10cm Considerando 3 = 1,73,
quantos centímetros quadrados de cartolina foram usados para fazer a figura? Resp:
859,5cm2
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