Faculdade de Administração e Negócios de Sergipe
Disciplina: Física Geral e Experimental III
Curso: Engenharia de Produção
Assunto: Gravitação
Prof. Dr. Marcos A. P. Chagas
1. Introdução
Na gravitação estudam-se as interações entre os corpos celestes, para
isso se faz necessário utilizar as leis de Kepler e Newton, bem como as
suas aplicações.
2. Leis de Kepler
2.1. 1ª Lei de Kepler – Lei das órbitas
Todos os planetas descrevem órbitas elípticas em torno do Sol,
ocupando este um dos focos da elipse.
•
•
Elipse: lugar geométrico que tem constante a soma das distâncias a dois
pontos fixos (focos).
A distância entre o Sol e a Terra define a unidade astronômica (UA).
1 UA = 1,5 x 1011 m = 9,3 x 106 mi
Distância do periélio = 1,48 x 1011 m
Distância do afélio = 1,52 x 1011 m
2.2.
2ª Lei de Kepler- Lei das Áreas
O raio vetor que une os centros do Sol e de um planeta qualquer,
descreve áreas proporcionais aos tempos de percurso.
•
Esta lei está diretamente relacionada à conservação do momento
angular.
=
•
•
ω
A velocidade dos planetas será maior quando eles se encontram mais
próximos do Sol e menor quando eles estiverem mais afastados.
A constante k é chamada de velocidade areolar.
2.3.
3ª Lei de Kepler – Lei dos Períodos
O quadrado do período de revolução de um planeta é proporcional ao
cubo do semi – eixo maior da sua órbita.
Observação: As demonstrações da 2ª e 3ª lei de Kepler serão
apresentadas posteriormente.
3. Lei de Newton da Gravitação
Entre dois corpos quaisquer há uma força de atração que é proporcional
ao produto das massas dos dois corpos e inversamente proporcional ao
quadrado da distância que os separa.
Onde:
m1 e m2
força de atração.
são as massas dos corpos.
(constante de gravitação universal).
distância entre os centros.
3.1. Gravitação e o Princípio da Superposição
O princípio da superposição diz que o efeito resultante é a soma dos
efeitos individuais.
Para n partículas interagindo, podemos escrever o princípio da
superposição como:
⃗⃗⃗
Onde:
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
força resultante sobre a partícula 1.
força exercida pela partícula 4 sobre a partícula 1.
Podemos escrever:
i
∑
chamado de índice
Observação:
No caso realístico força da gravitacional exercida sobre uma partícula
por um objeto extenso. Ela é calculada dividindo-se o objeto em
pequenas porções o suficiente para serem tratadas como partículas. No
limite, podemos dividir o objeto extenso em porções infinitesimais de
massa dm , tais que cada uma exerça uma força infinitesimal dF sobre a
partícula.
∫
Onde a integral é calculada sobre toda a extensão do corpo.
Se o corpo é uma esfera ou casca esférica podemos evitar a integração
supondo-se que a massa do corpo está concentrada no seu centro e,
então calcular usando a lei de Newton da gravitação universal.
3.2.
Gravitação em um ponto próximo da superfície da Terra
Vamos ignorar a rotação da Terra e supor que ela é uma esfera
uniforme.
Fazendo:
massa da Terra
massa do corpo
Usando a 2ª lei de Newton:
=
Para corpos na superfície da Terra,
Teremos:
Para uma dada altura h, teremos:
A aceleração gravitacional
é devida exclusivamente à força
gravitacional exercida sobre a partícula pela Terra.
Ela é diferente da aceleração de queda livre g que medimos para uma
partícula em queda, porque a Terra na realidade não é uniforme, nem
exatamente esférica e além disso, gira.
Por essas razões, a força gravitacional exercida sobre a partícula é
diferente do peso (P = mg).
Considerações:
1. A Terra não é uniforme: a densidade da Terra varia radialmente e a
densidade da crosta terrestre varia de região para região através da
superfície.
Núcleo Interior- Núcleo Exterior- Manto- Crosta
2. A Terra não é uma esfera: é aproximadamente um elipsóide, achatada
nos polos e dilatada no equador. O raio equatorial excede o raio polar
em aproximadamente 21 km.
Quem estiver nos polos se encontra mais próximo do núcleo denso da
Terra.
3. A Terra gira: o eixo de rotação passa pelos seus polos norte e sul.
Exercício
1. Mostrar a diferença entre a aceleração gravitacional
de queda g.
e a aceleração
Considere um caixote colocado sobre uma balança na superfície da
terra.
a aceleração centrípeta, aponta para o centro do círculo (coincide com
o centro da Terra).
m
força de atração gravitacional que a Terra exerce sobre o caixote
N
reação normal da balança sobre o caixote.
∑
N = peso do caixote, logo, N = mg
Levando em conta o efeito da aceleração centrípeta a, substituímos: a
por
onde ω é a velocidade angular de rotação da Terra e R o raio
da trajetória do caixote raio da Terra.
Fazendo: ω
, onde T = 24 h
R= 0,034
Então g = 9,78
9,81
medida no equador terrestre.
3.3. Medida da constante gravitacional G
Pode ser medida usando
.
Conhecendo G pode-se calcular a massa M da Terra usando
Fazendo
=g
9,8
.
e chamamos o raio da Terra r = R.
3.4. Dedução das leis de Kepler
Em um intervalo de tempo dt o planeta cobre a distância vdt e o raio
vetor cobre a área sombreada da figura. Esta área é a metade da área
do paralelogramo formado pelos vetores⃗⃗ ⃗⃗
que é | ⃗⃗⃗ |
Portanto a área dA varrida pelo vetor
|
⃗⃗
Em que
|
|
no intervalo de tempo dt é:
|
x m é o momento angular do planeta em relação ao Sol.
A área varrida num intervalo de tempo dt é proporcional ao momento
angular L.
Como a força sobre um planeta está ao longo da reta que vai do planeta
ao Sol, não há torque em torno do Sol. O momento angular se conserva
e L é constante.
Portanto, a área varrida num certo intervalo de tempo dt tem o mesmo
valor em todas as partes da órbita e esta afirmação é a 2ª lei de Kepler.
Partindo da lei da gravitação de Newton vamos obter a 3ª lei de Kepler
para o caso especial da órbita circular.
Considere um planeta descrevendo com velocidade v uma órbita circular
de raio r em torno do Sol. A força de atração gravitacional entre o Sol e o
planeta proporciona aceleração centrípeta.
Pela 2ª lei de Newton: ∑
(I)
O planeta cobre a distância
dada por v
r no tempo T, a velocidade também é
(II).
Substituindo II em I, temos:
ou
Então:
onde
4. Massa Gravitacional e Massa Inercial
Massa Gravitacional: é a propriedade de um corpo responsável pela
força gravitacional que ele exerce sobre outro.
Massa Inercial: é a propriedade que responde pela resistência à
aceleração.
Adota-se o símbolo m para as duas, pois experimentalmente uma é igual
à outra.
5. Gravitação no interior da Terra
O teorema de Newton sobre a casca esférica uniforme demonstra que
esta, para efeitos gravitacionais sobre uma partícula externa, se
comportará como se toda a sua massa estivesse concentrada no seu
interior. A dedução deste teorema, quando a partícula está dentro da
casca, conduz ao seguinte resultado:
Uma casca uniforme de matéria exerce uma força gravitacional nula
sobre uma partícula dentro dela.
Se a densidade da Terra fosse uniforme, a força gravitacional sobre a
partícula seria máxima na sua superfície, porém, ela diminui se nos
movemos para cima.
No caso real da Terra, sua crosta externa é menos densa do que o
núcleo. Caso uma partícula descesse um poço profundo, a força
gravitacional sobre ela aumentaria levemente. Eventualmente, é claro a
força alcançaria um máximo e, então, chegaria a zero no centro da
Terra.
6. Energia Potencial Gravitacional
Nas proximidades da superfície da Terra, a força gravitacional sobre um
corpo é constante, pois a distância ao centro da Terra; r = R + h é
sempre aproximadamente a R se h << R, (R é o raio da Terra).
A energia potencial próximo da superfície da Terra é, portanto mg(r – R)
= mgh, onde fizemos U = 0 em r = R.
A grandes distâncias da superfície da Terra, temos que levar em conta
que a força gravitacional não é constante, mas varia com o
.
⃗⃗⃗⃗
Por definição:
F força sobre uma partícula
dx deslocamento da partícula
Considerando a força gravitacional radial, temos:
⃗⃗⃗⃗
(
)
Integrando os dois membros, temos:
Outra Maneira:
∫
(I)
O vetor dx aponta radialmente no sentido oposto fazendo com a força
um ângulo Φ de 180°.
(II)
Substituindo II em I
∫ (
)
*
+
=-
O trabalho realizado pela força gravitacional não depende da trajetória.
O trabalho pode ser dado pela diferença entre as energias potenciais.
são as energias potenciais associadas às posições inicial e final.
7. Velocidade de Escape
É a velocidade inicial mínima para que um corpo possa escapar da
atração gravitacional da Terra.
Considere um projétil de massa m, deixando a superfície da Terra com
velocidade de escape v.
Ele possui energia cinética
e a energia potencial
.
Sua energia total no infinito é nula.
Pelo princípio da conservação da energia, a energia total quando está
sobre a superfície da Terra, também deve ser zero.
(
)
√
√
Com g = 9,81
eR=
√
, temos:
√
•
Velocidade para escapar do campo gravitacional da Terra e não para
escapar do sistema solar.
Exercícios
1. A distância média entre o Sol e Júpiter é 5,2 UA. Qual o período de
revolução de Júpiter em torno do Sol?
2. Um satélite artificial A se move em órbita circular em torno da Terra com
período de 25 dias. Um outro satélite B possui órbita circular de raio 9
vezes maior que A. Calcule o período do satélite B.
3. A intensidade da força de atração gravitacional entre duas esferas de
massas M é F quando a distância entre elas é d. Qual a intensidade da
força de atração entre duas esferas de massas M/2 quando a distância
entre elas for 2d?
4. A massa da Terra é 81 vezes a da Lua. A distância da Terra à Lua mede
380000 km. Calcule a que distância da Terra, sobre a reta que passa por
elas, deve ser colocado um corpo de massa m para que seja nula a
resultante das forças gravitacionais que sobre ele atuam.
5. Calcular a velocidade de escape na superfície de Mercúrio cuja massa é
M=
e o raio R = 2440 km.
Referências Bibliográficas
1. Halliday D., Resnick R., Walker J. Fundamentos de Física Vol. 2.
Gravitação, Ondas e Termodinâmica. 4ª Edição. Rio de Janeiro:
LTC., 1996.
2. Young D., Freedman R.Física II. 12ª Edição. São Paulo: Pearson,
2008.