Física
Física – Módulo 1
Sistemas de Partículas e Centro de Massa
Quantidade de movimento (momento)
Conservação do momento linear
Física
Partículas e sistemas de Partículas
Átomos,
Bolinhas de gude,
Até agora, tratamos tudo isso
como partículas...
A partir de agora, vamos
entender porque podemos
fazer isso.
Carros
e até
Planetas...
Física
Centro de Massa
Para aplicar as leis de Newton a corpos extensos, vamos admitir que
tais corpos sejam compostos por partículas, num sistema de partículas.
Vamos admitir também que as leis de Newton se aplicam a cada
partícula neste sistema.
cm
Neste sistema de partículas existe um ponto que se comporta como se
toda a massa do sistema estivesse concentrada nele, e todas as forças
externas agem sobre o sistema como se estivessem agindo sobre ele.
Este ponto é chamado de centro de massa (cm).
Física
Cálculo do centro de massa
Vamos considerar inicialmente um sistema simples, de duas partículas.
x1
m1
x2
XCM
m2
x
A coordenada do centro de massa Xcm é então definida por
MX CM = m1 x1 + m2 x2
na qual M = m1+ m2 é a massa total do sistema.
Assim, o cálculo do centro de massa é dado por
X CM =
m1 x1 + m2 x2
m1 + m2
Física
Cálculo do centro de massa:
Para duas partículas, ok!
E como resolver para 2.345.456.875.67 e32 partículas?
Bem, generalizando para N partículas, teremos que
MX CM = m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 + ... + mN xN = ∑ mi xi
i
na qual M =
∑m
i
é a massa total do sistema.
Em notação vetorial, se r = xii + yij + yik for o vetor posição da í-ésima
partícula, o vetor posição do centro de massa Rcm
MR CM = ∑ mi ri
i
Física
Exemplos:
(a)
m1 = m2 ⇒
(b)
m1 >> m2
xCM =
x
xCM
x
x1 + x2
2
xCM ≈ x1
xCM
(c) Em geral, o centro de massa é um ponto intermediário entre x1 e x2:
x1 < xCM < x 2
m
x=0
xCM
x
2m
x=L
xCM
m × 0 + 2m × L 2
=
= L
3m
3
Física
Exemplo: 3 partículas de massas iguais formando um
triângulo
m
2m
m
m
Baricentro do triângulo:
Interseção das medianas
m
1/3
CM
2/3
Física
Centro de massa e simetrias:
• Se um corpo possui um ponto, uma linha ou um plano de simetria, o CM situase nesse ponto, linha ou plano.
Linhas de simetria
Centro de simetria
CM
CM
Planos de simetria
Note que para que um ponto, linha ou plano seja
de simetria, é preciso que, para cada elemento de
massa, exista um outro igual na posição simétrica
em relação ao ponto, linha ou plano.
Note que o centro de massa pode estar numa região onde não há massa!
Física
Exemplo: Centro de massa de um sistema de partículas
Na figura abaixo temos um sistema de três partículas. Encontre o centro de
massa deste sistema
m1 = 1 kg x1 = 0 m y1 = 0 m
m2 = 2 kg x2 = 0 m y2 = 3 m
m3 = 4 kg x3 = 4 m y3 = 0 m
xCM
0 ×1 + 0 × 2 + 4 × 4
=
m = 2.3 m
1+ 2 + 4
yCM
0 ×1 + 3 × 2 + 0 × 4
=
m = 0.9 m
1+ 2 + 4
Física
2a Lei de Newton para um sistema de partículas:
O movimento dos sistemas acima é muito complicado, mas o centro de massa
descreve uma parábola como uma partícula.
Física
Movimento do centro de massa
A velocidade do centro de massa de um corpo é obtida derivando a
equação da posição do CM em relação ao tempo
dR CM
dri
M
= ∑ mi
dt
dt
i
ou ainda
Derivando mais uma vez, obtemos a
aceleração do centro de massa
MVCM = ∑ mi v i
i
MA CM = ∑ mi ai
i
Pela segunda lei de Newton, F = ma é a força resultante que age em
cada partícula. Portanto,
Fi = mi ai = Fi , int + Fi , ext
Fi, int são as Forças internas e Fi, ext são as Forças externas
que agem sobre a i-ésima partícula do sistema
Física
Movimento do centro de massa
Assim, sabendo que Fi = mi ai = Fi , int + Fi , ext
podemos escrever
e que MA CM =
∑ma
i i
i
MACM = ∑ Fi , int + ∑ Fi , ext
i
i
De acordo com a terceira lei de Newton, para cada força que atua
sobre uma partícula há uma força igual, porém oposta.
As forças internas ocorrem sempre aos pares de forças iguais e
opostas e, quanto somadas, se cancelam, restando apenas as forças
externas.
Fres ,ext = ∑ Fi,ext = MA CM
i
O CM de um sistema se move como uma partícula de massa M =
∑ m sob a
i
i
influência da resultante das forças externas que atuam sobre o sistema
Física
O Referencial do Centro de Massa
Muitas vezes é conveniente escolher um sistema de coordenadas com
origem no centro de massa de um sistema (referencial do Cm).
Para passar de um referencial inicial para o referencial do centro de
massa subtrai-se a velocidade do CM no referencial inicial da
velocidade de cada partícula neste referencial.
No exemplo ao lado, as
velocidades no referencial do
centro de massa são u1 e u2, dadas
por:
Referencial inicial
m1
m2
cm
v1
Vcm
v2
u1 = v1 - Vcm
Referencial no CM
e
u2 = v2 - Vcm
m1
m2
cm
u1
u2
Física
Exemplo: Centro de massa para forças internas
Dois patinadores no gelo (despreze o
atrito) encontram-se inicialmente a uma
distância de 12 m. Eles puxam as
extremidades de uma corda até se
encontrarem. Em que ponto eles se
encontram? O resultado depende das
forças exercidas por eles?
m=80 kg
m=60 kg
Se só existem forças internas ao sistema, o centro de massa tem
velocidade constante.
xCM
0 × 80 + 12 × 60
=
m = 5,1 m ⇒
80 + 60
Os patinadores se encontrarão a 5,1 m
da posição inicial do patinador da
esquerda, não importam as forças
exercidas por eles.
Física
Momento Linear e
sua conservação
Física
Momento linear
O momento linear (ou quantidade de movimento) de uma partícula é uma quantidade
vetorial definida como:
p = mv
A 2a lei de Newton pode ser escrita em termos do momento de uma partícula.
Derivando a equação acima em relação ao tempo, teremos
ur
r
r
dp
dv
=m
= ma
dt
dt
Segundo Newton, Força é a variação temporal da quantidade de movimento
de uma partícula, ou seja;
uur
F res
r
ur
r
dv d p
=m
=
= ma
dt
dt
ou
uur
F res
ur
dp
=
dt
O conceito de momento é importante, pois se não houver uma força externa
resultante o momento total do sistema se conserva, i.e, não varia com o tempo.
Física
Conservação de momento linear
Vamos considerar duas partículas 1 e 2 que podem interagir
entre elas, mas que estão isoladas de sua vizinhança.
Estas partículas podem exercer forças uma sobre a
outra, mas não existem forças externas presentes.
De acordo com a 3ª. Lei de Newton (ação e reação),
F12= -F21 ou ainda que
F12+ F21=0
A 2ª. Lei de Newton, por sua vez
ur
uur
d p1
F 12 =
dt
e
ur
uur
d p2
F 21 =
dt
Assim, podemos obter que
Observe que a derivada temporal do momento total é zero.
Física
Conservação de momento linear
Como a derivada temporal do momento total ptotal = p1 + p2 é zero, podemos
concluir que o momento total do sistema permanece constante.
ptotal = ∑ p i = p1 + p 2 = constante
i
ou ainda,
A soma dos momentos iniciais deve ser igual dos momentos finais.
Assim, podemos escrever que
Quando duas ou mais partículas isoladas num sistema interagem, o
momento total do sistema permanece constante.
Lei da conservação do momento linear
Física
Momento linear para um sistema de partículas
O momento linear total P de um sistema de partículas é a soma vetorial dos
momentos lineares individuais:
ur
P = ∑ mi v i = ∑ p i
i
i
De acordo com a definição de centro de massa, podemos escrever que:
ur
ur
P = ∑ mi v i = M V CM
i
Diferenciando em relação ao tempo a definição do centro de massa:
ur
ur
r
dP
d V CM
=M
= MA CM
dt
dt
Porém, a massa vezes a aceleração do centro de massa é igual a Força
ur
externa resultante
uur
dP
∑i F i,res , ext = dt
Física
Conservação de momento linear : sistema de particulas
Uma conseqüência imediata da 2a lei de Newton para um sistema de partículas é
a conservação do momento linear total de um sistema na ausência de forças
externas
ur
ur (ext)
F =0
P = cte
Assim como no caso da conservação da energia mecânica, essa lei pode ser
muito útil para resolver problemas, sem ter que achar a dinâmica detalhada do
sistema.
Note que a única condição para a conservação do momento linear total é a
ausência de forças externas. Não há nenhuma restrição quanto à presença de
forças dissipativas, desde que elas sejam internas.
Se
F
(ext)
=0
Ausência de forças externas
P = cte
O momento se conserva!!
Física
Durante o chute, uma parte da quantidade de movimento do pé do Garfield é
transferida para o corpo do cachorro. Acompanhe o esquema:
Dessa forma, a quantidade de movimento total se conserva, embora variem as
quantidades de movimento do pé do Garfield e do cachorro.
Física
Exercício – Exemplo:
Uma caixa de 2,5 kg se move com velocidade v1 = 10 m/s i e outra de
3,5 kg com velocidade v2 = -2m/s i. Achar (a) o momento total, (b) a
velocidade do centro de massa e (c) a velocidade de cada caixa no
referencial do centro de massa
Física
Exercício – Exemplo:
Um canhão com sua plataforma sobre rodas tem massa M = 100 Kg. O canhão
atira a bala de massa m = 1 kg na horizontal com velocidade vrel de 300 m/s em
relação a si próprio. Calcule a velocidade inicial V0 de recuo do canhão e a
velocidade inicial v0 da bala em relação ao solo.
Tanto inicialmente como imediatamente após a explosão, o momento linear total do
sistema é nulo, pois as forças que atuam durante a explosão são todas forças internas.
MV0 + mv0 = 0
v rel = v 0 − V 0
Resolvendo o sistema de equações
encontramos:
m

V
=
−
vrel = −2,97 m/s
 0
m+M

v0 = vrel + V0 = 297 m/s
Os módulos das
velocidades estão
assim relacionados:
v rel
V 0 v0
v rel = v 0 − V 0
Física
Próxima aula:
Colisões
Um assunto para ir de encontro...