Geometria Espacial - Pirâmides
1) (Fuvest)
No sólido S representado na figura a cima, a base ABCD é
um retângulo de lados AB = 2x e AD = x; as faces ABEF e
DCEF são trapézios; as faces ADF e BCE são triângulos
equiláteros e o segmento EF tem comprimento x.
Determinar, em função de x, o volume de S.
2) (AFA) A área total da pirâmide regular de apótema A2,
onde A1 e 2p são, respectivamente, apótema e perímetro
de sua base, é
ABE e CDE são, respectivamente, 4
Calcule o volume da pirâmide.
10 e 2 37 .
5) (Unicamp) A base de uma pirâmide é um triângulo
eqüilátero de lado L = 6cm e arestas laterais das faces A=
4cm.
a) Calcule a altura da pirâmide.
b) Qual é o raio da esfera circunscrita à pirâmide?
6) (Fuvest) A base de uma pirâmide regular é um quadrado
ABCD de lado 6 e diagonais AC e BD. A distância de seu
vértice E ao plano que contém a base é 4.
a) Determine o volume do tetraedro ABDE.
b) Determine a distância do ponto B ao plano que contém
a face ADE.
a) p(A1 + A2)
p
b) 2 (A1 + A2)
c) 2p(A1 + A2)
A2
d) p(A1 + 2 )
3) (ITA) A aresta de um cubo mede x cm. A razão entre o
volume e a área total do poliedro cujos vértices são os
centros das faces do cubo será:
3
)x cm
9
3
b) (
)x cm
18
3
c) (
)x cm
6
3
d) (
)x cm
3
3
e) (
)x cm
2
a) (
4) (Fuvest) A base ABCD da pirâmide ABCDE é um
retângulo de lados AB = 4 e BC = 3. As áreas dos triângulos
7) (PUC-SP) A base de uma pirâmide reta é um quadrado
cujo lado mede 8 2 cm. Se as arestas laterais da pirâmide
medem 17cm, o seu volume, em centímetros cúbicos, é:
a) 520.
b) 640.
c) 680.
d) 750.
e) 780.
8) (UECE) A face ABC do tetraedro VABC é um triângulo
equilátero de lado 3cm e a reta passando pelo vértice V e
perpendicular a esta face intercepta-a em seu centro O. Se
a aresta VA do tetraedro é 5cm então a medida, em cm, do
segmento VO é:
a) 15
b) 18
c)
20
d)
22
9) (Fuvest) A figura abaixo mostra uma pirâmide reta de
base quadrangular ABCD de lado 1 e altura EF = 1.
1
11) (UERJ) A figura do R3 representa uma pirâmide de base
quadrada ABCD em que as coordenadas são A (0,0,0), B
(4,2,4) e C (0,6,6), e o vértice V é eqüidistante dos demais.
Sendo G o ponto médio da altura EF e a medida do
ângulo AGB, então cos vale:
1
2
a)
1
b) 3
1
c) 4
1
d) 5
1
6
e)
10) (Fuvest) A figura abaixo representa uma pirâmide de
base triangular ABC e vértice V. Sabe-se que ABC e ABV são
triângulos equiláteros de lado l e que M é o ponto médio
do segmento AB. Se a medida do ângulo VMC é 60°, então
o volume da pirâmide é:
A partir da análise dos dados fornecidos, determine:
a) as coordenadas do vértice D e a medida de cada aresta
de base;
b) as coordenadas cartesianas do ponto V, considerando
que o volume da pirâmide é igual a 72.
12) (UFSCar) A figura indica um paralelepípedo retoretângulo de dimensões 2 x
D quatro de seus vértices.
2 x
7 , sendo A, B, C e
A distância de B até o plano que contém A, D e C é igual a
a)
3 3
l
a) 4
3 3
l
8
b)
3 3
l
12
c)
3 3
l
16
d)
3 3
l
18
e)
b)
c)
d)
e)
11
4
14
4
11
2
13
2
3 7
2
2
13) (UFSCar) A figura indica um paralelepípedo retoretângulo de dimensões 5x5x4, em centímetros, sendo A,
B, C e D quatro dos seus vértices.
a) A medida de BP.
b) A área do trapézio BCQP.
c) O volume da pirâmide BPQCE.
16) (Fuvest) A pirâmide de base retangular ABCD e vértice
E representada na figura tem volume 4. Se M é o ponto
médio da aresta AB e V é o ponto médio da aresta EC ,
então o volume da pirâmide de base AMCD e vértice V é:
a) Calcule a área do triângulo ABC.
b) Calcule a distância entre o vértice D e o plano que
contém o triângulo ABC.
14) (FMTM) A figura mostra um pedaço de papel recortado
de forma a se poder construir uma pirâmide reta de base
quadrada. As linhas internas indicam onde devem ser
feitas as dobraduras. Os quatro triângulos são eqüiláteros,
com medida do lado igual a 10 cm. A pirâmide construída
terá volume, em cm3, igual a
a) 25.
500 2
b) 3
.
c) 50.
125 3
d) 2
250
e) 3 .
15) (FUVEST) A figura representa uma pirâmide ABCDE,
cuja base é o retângulo ABCD. Sabe-se que
AB = CD =
3
2
AD = BC = AE = BE = CE = DE = 1
1
AP = DQ =
2
a) 1
b) 1,5
c) 2
d) 2,5
e) 3
17) (IBMEC) A tenda de um circo é sustentada por um
único pilar vertical, com suas pontas amarradas a quatro
estacas fixadas no chão, dando ao circo a forma de uma
pirâmide de base retangular. Para manter o pilar sempre
perpendicular ao chão e a tenda esticada, quatro cabos de
aço foram presos da ponta do pilar a cada uma das
estacas, formando assim as arestas laterais da pirâmide.
Na figura ao lado, estão representados o pilar (CD) e dois
cabos de aço (AC e BC) presos a estacas não pertencentes
ao mesmo lado do retângulo da base da pirâmide.
a) Fascinado com um número em que um trapezista pula
do alto do pilar e é apanhado bem perto do chão, um
garoto se interessou em calcular a altura do pilar. Para
isso, ele obteve as medidas AD =40 m, BD = 90m e
constatou que os ângulos BÂC e ABC são complementares.
Determine para o garoto a altura do pilar.
b) Durante a apresentação conjunta do homem que cospe
fogo com os malabaristas incendiários, o garoto ficou
assustado com a quantidade de fumaça que estava sendo
emitida, e resolveu calcular o volume interno do circo,
para saber quanto ar havia lá dentro para a fumaça se
diluir. Para isso, o garoto constatou que o menor lado da
base retangular do circo mede 50m. Calcule para o garoto
o volume da pirâmide que delimita o espaço interno do
circo.
18) (UFC) ABCDA1B1C1D1 é um paralelepípedo retoretângulo de bases ABCD e A1B1C1D1, com arestas laterais
AA1, BB1, CC1 e DD1. Calcule a razão entre os volumes do
tetraedro A1BC1D e do paralelepípedo ABCDA1B1C1D1.
Nessas condições, determine:
3
19) (UFSCar) As bases ABCD e ADGF das pirâmides ABCDE
e ADGFE são retângulos e estão em planos
perpendiculares. Sabe-se também que ABCDE é uma
pirâmide regular de altura 3 cm e apótema lateral 5 cm, e
que ADE é face lateral comum às duas pirâmides.
a) 12 cm3
b) 14 cm3
c) 16 cm3
d) 18 cm3
e) 20 cm3
Se a aresta AF é 5% maior que a aresta AD, então o volume
da pirâmide ADGFE, em cm3, é
a) 67,2.
b) 80.
c) 89,6.
d) 92,8.
e) 96.
22) (Vunesp) Cada aresta de um tetraedro regular de
vértices A, B, C e D mede 1dm. M é um ponto da aresta AB,
e N é um ponto da aresta CD.
20) (FGV) As figuras A e B indicam, respectivamente,
planificações de sólidos em forma de prisma e pirâmide,
com todas as medidas sendo dadas em metros. Denotando
por V1 e V2 os volumes do prisma e da pirâmide,
respectivamente, conclui-se que V1 representa de V2
a) Calcule a área total da superfície do tetraedro.
b) Sabe-se que o menor valor possível para a distância de
M a N ocorre quando eles são pontos médios das arestas.
Obtenha o valor dessa distância mínima.
23) (Unicamp) Cada aresta de um tetraedro regular mede
6 cm. Para este tetraedro, calcule:
a) 25%.
b) 45%.
c) 50%.
d) 65%.
e) 75%.
21) (UEL) As superfícies de um cubo e de um octaedro
regular interpenetram-se, dando origem à figura F
mostrada abaixo. Sobre cada face do cubo elevam-se
pirâmides que têm a base quadrada e as faces em forma
de triângulos eqüiláteros. Os vértices das bases das
pirâmides estão localizados nos pontos médios das arestas
do cubo e do octaedro. A aresta do cubo mede 2 cm. Qual
o volume do sólido limitado pela figura F ?
a) a distância entre duas arestas opostas, isto é, entre duas
arestas que não têm ponto comum;
b) o raio da esfera inscrita no tetraedro.
24) (FAZU) Calcule o volume de uma pirâmide reta de 10m
de altura, cuja base é um triângulo de lados 4cm, 6cm e
8cm.
a) 12 15 cm3
b) 8 5 cm3
c) 10 15 cm3
d) 10 3 cm3
e)20 3 cm3
4
25) (UFBA) Com relação a um prisma reto de base
quadrada, é correto afirmar:
01.
Cada diagonal de uma face divide-a em dois
triângulos congruentes.
02.
Existem exatamente 8 segmentos que ligam pares
de vértices não pertencentes a uma mesma face.
04.
Dadas duas faces não adjacentes e quatro
vértices, dois em cada uma dessas faces, existe um plano
que contém esses quatro vértices.
08.
Dados dois vértices consecutivos, para cada n
{1,3,5,7} existe um caminho poligonal que liga esses
vértices e é formado por n arestas, cada uma percorrida
uma única vez.
16.
Se a medida do lado da base e a altura do prisma
são números inteiros consecutivos, e o volume é um
número primo p, então p é único.
32.
Existem exatamente 24 pirâmides distintas cujas
bases são faces do prisma e cujos vértices são também
vértices do prisma.
26) (UFC) Considere o octaedro ABCDEF, representado ao
lado. Nele, um besouro se desloca ao longo das suas
arestas, do ponto A ao ponto F, de modo que não passa
por qualquer dos vértices mais de uma vez. De quantos
modos diferentes ele pode fazer isso?
um octaedro regular, cujas faces são triângulos eqüiláteros
congruentes.
a) Calcule o comprimento da aresta desse octaedro
regular.
b) Calcule o volume do mesmo octaedro.
29) (IBMEC) Considere um cubo V1V2V3V4V5V6V7V8 de
arestas medindo 2cm. De cada vértice do cubo é retirado
um tetraedro ViAiBiCi (i = 1, 2, …, 8), sendo Ai, Bi e Ci pontos
das arestas que concorrem em Vi tais que ViAi = ViBi = ViCi =
x cm. A figura ilustra um dos tetraedros retirados.
Sabendo que o volume do sólido resultante após a retirada
dos oito tetraedros é igual a 7cm3, pode-se concluir que
3
6
a) x = 3
3
6
b) x = 2
3
27) (IBMEC) Considere um cone circular reto de altura 24 e
raio da base 10. Suponha que o segmento AB seja uma
corda da circunferência da base que diste 5 do seu centro
C. Então, sendo V o vértice do cone, o volume do tetraedro
ABCV é igual a
a) 200 3
b) 400 3
c) 600 3
d) 800 3
e) 1000 3
28) (Unicamp) Considere um cubo cuja aresta mede 10cm.
O sólido cujos vértices são os centros das faces do cubo é
3
c) x = 3
3
3
d) x = 2
3
2
e) x = 3
30) (UnB) Considere um tetraedro regular com vértices A,
B, C e D e arestas de comprimento igual a 17 cm, no qual
M, N, O e P são os pontos médios das arestas AB, BC, CD e
DA, respectivamente. Calcule, em centímetros, o
perímetro do quadrilátero com vértices M, N, O e P,
desprezando a parte fracionária de seu trabalho, caso
exista.
31) (UFMG) Considere um tetraedro regular de vértices A,
B, C e D, cujas arestas medem r. Considere, ainda, que M e
N são pontos médios das arestas BD e CD,
respectivamente.
5
CALCULE a área do triângulo AMN.
32) (Faap) Considere um tetraedro regular e um plano que
o intercepta. A única alternativa correta é:
a) a intersecção pode ser um quadrilátero.
b) a interseção é sempre um triângulo.
c) a interseção é sempre um triângulo equilátero.
d) a intersecção nunca é um triângulo equilátero.
e) a intersecção nunca é um quadrilátero.
33) (IBMEC) Considere uma pirâmide regular de vértice V e
arestas laterais medindo 6cm, cuja base é um quadrado de
diagonais AC e BD . Se a área lateral desta pirâmide
totaliza 36cm2, então um possível valor para a medida do
ângulo VAB é
a) 45º.
b) 60º.
c) 75º.
d) 90 º
e) 105º.
34) (Fuvest) De cada uma das quatro pontas de um
tetraedro regular de aresta 3a corta-se um tetraedro
regular de aresta a.
a) Qual o número de vértices, faces e arestas do poliedro
resultante?
b) Calcule a área total da superfície desse poliedro.
35) (UERJ) Dispondo de canudos de refrigerantes, Tiago
deseja construir pirâmides. Para as arestas laterais, usará
sempre canudos com 8 cm, 10 cm e 12 cm de
comprimento. A base de cada pirâmide será formada por 3
canudos que têm a mesma medida, expressa por um
número inteiro, diferente das anteriores.
Veja o modelo abaixo:
b) 9
c) 8
d) 7
36) (FUVEST) Dois planos  1 e  2 se interceptam ao
longo de uma reta r, de maneira que o ângulo entre eles
meça α radianos,
0 

2
. Um triângulo equilátero
ABC, de lado ℓ, está contido em  2 , de modo que AB
esteja em r. Seja D a projeção ortogonal de C sobre o plano
 1 , e suponha que a medida θ, em radianos, do ângulo
CÂD, satisfaça
sen 
6
.
4
Nessas condições, determine, em função de ℓ,
a) o valor de α.
b) a área do triângulo ABD.
c) o volume do tetraedro ABCD.
37) (FEI) Em cada face de um tetraedro regular desenhouse um trevo de 3 folhas estilizado, conforme indicado na
figura. Se a medida da aresta do tetraedro é t, a soma das
áreas de todas as folhas de todos os trevos desenhados é:
a)
3 t2/2
b)
3 t2/3
c)
3 t2/6
d)
3 t2/9
e)
3 t2/12
38) (ITA) Em relação a um sistema de eixos cartesiano
ortogonal no plano, três vértices de um tetraedro regular
são dados por A = (0, 0), B = (2, 2) e C =(1volume do tetraedro é
A quantidade de pirâmides de bases diferentes que Tiago
poderá construir, é:
a) 10
3 ,1+ 3 ). O
8
a) 3
b) 3
6
3 3
c) 2
a 3
e) 4
5 3
d) 2
e) 8
42) (Mack) Na figura, a pirâmide de vértice A tem por base
uma das faces do cubo ao lado k. Se a área lateral dessa
39) (Unicamp) Em uma pirâmide de base quadrada, as
faces laterais são triângulos eqüiláteros e todas as oito
arestas são iguais a 1.
a) Calcule a altura e o volume da pirâmide.
b) Mostre que a esfera centrada no centro da base da
pirâmide, e que tangencia as arestas da base, também
tangencia as arestas laterais.
c) Calcule o raio do círculo intersecção da esfera com cada
face lateral da pirâmide.
40) (UFPE) Na figura a seguir o cubo tem aresta igual a 9cm
e a pirâmide tem um vértice no centro de uma face e como
base a face oposta. Se V cm3 é o volume da pirâmide,
1V
3
determine
.
41) (Fuvest) Na figura abaixo, ABCD é um tetraedro regular
de lado a. Sejam E e F os pontos médios de AB e CD ,
respectivamente. Então, o valor de EF é:
a
a) 2
a 2
b) 2
a 2
c) 4
a 3
d) 2
pirâmide é 4+4 2 , então o volume do sólido contido no
cubo e externo à pirâmide é:
a) 8
4
b)
3
16
c)
3
8
d)
3
e) 16
43) (Vunesp) Na figura, os planos e são perpendiculares
e se interceptam segundo a reta r. Os pontos A, B, C e D,
com A e D em r, são os vértices de um quadrado e P é o
ponto de interseção das diagonais do quadrado. Seja Q,
em , o ponto sobre o qual cairia P se o plano girasse de
90° em torno de r, no sentido indicado na figura, até
coincidir com .
Se AB = 2 3 , calcule o volume do tetraedro APDQ.
44) (UFSCar) Na figura, os pontos ACFH são os vértices de
um tetraedro inscrito em cubo de lado 3. O volume do
tetraedro é
7
04.
Existem uma aresta da pirâmide que é coplanar ao
segmento DD’ e uma aresta da pirâmide que está contida
numa reta reversa à reta que contém DD’.
08.
A área do triângulo OC’D’ é igual a 50 u.a.
16.
O volume do sólido compreendido entre o prisma
500 3
3 u.v.
e a pirâmide é igual a
27
a) 8
9 39
b) 8
c) 9
27 13
8
d)
e) 18
46) (VUNESP) Na periferia de uma determinada cidade
brasileira, há uma montanha de lixo urbano acumulado,
que tem a forma aproximada de uma pirâmide regular de
12 m de altura, cuja base é um quadrado de lado 100 m.
Considere os dados, apresentados em porcentagem na
tabela, sobre a composição dos resíduos sólidos urbanos
no Brasil e no México.
Pais
Orgânicos
(%)
Metais
(%)
Plásticos
(%)
Papelão/papel
Vidro
Outros
(%)
(%)
(%)
Brasil
55
2
3
25
2
13
México
42,6
3,8
6,6
16,0
7,4
23,6
(Cempre/ Tetra Park América/EPA 2002)
45) (UFBA) Na figura, os quadrados ABCD e A’B’C’D’, cujos
lados medem 10 u.c., são as bases de um prisma reto de
altura igual a 5 3 u.c., e o ponto O é, ao mesmo tempo, o
centro do quadrado ABCD e o vértice da pirâmide com
base A’B’C’D’. A partir dessas informações, pode-se
afirmar:
Supondo que o lixo na pirâmide esteja compactado,
determine o volume aproximado de plásticos e vidros
existente na pirâmide de lixo brasileira e quantos metros
cúbicos a mais desses dois materiais juntos existiriam
nessa mesma pirâmide caso ela estivesse em território
mexicano.
47) (Fuvest) No cubo de aresta a seguir, X e Y são pontos
médios das arestas AB e GH respectivamente. Considere a
pirâmide de vértice F e cuja base é o quadrilátero XCYE.
Calcule, em função de a:
a) o comprimento do segmento XY.
b) a área da base da pirâmide.
c) o volume da pirâmide.
01.
Qualquer plano que contenha uma face lateral da
pirâmide faz um ângulo de 60º com o plano da base
A’B’C’D’.
02.
Qualquer aresta lateral da pirâmide faz um ângulo
de 60º com o plano da base A’B’C’D’.
1
AE,
3
e o volume do tetraedro EFHI é igual a x u.v. Calcule x.
48) (UFBA) No cubo representado , AB = 3 u.c., AI =
8
49) (UEL) Num cubo, considere os seguintes pontos:
- M, determinado pela intersecção das diagonais AC e BD
de uma das faces;
- E, F, G e H, vértices consecutivos da face oposta à de M.
Sobre o sólido cujas faces são EMF, FMG, GMH, HME e
EFGH, é correto afirmar que:
a) se trata de um poliedro com 12 arestas.
b) se trata de um prisma de base triangular.
c) seu volume é a terça parte do volume do cubo.
d) seu volume é metade do volume do cubo.
e) se trata de um tetraedro.
1
a) arccos - 5
1
b) arccos 5
24
c) arccos - 25
24
d) arcsen 25
e) arcsen 1
53) (AFA) O apótema de uma pirâmide regular, com base
50) (UFC) Num tetraedro ABCD vale a igualdade DA = DB
= DC = a e o triângulo ABC é eqüilátero com AB = b. O
comprimento da altura do tetraedro baixada do vértice A é
igual a:
ab
a) 2
b) ab
b 3a 2  b 2
a
c)
3 323
4
a)
.
81 35
4 .
b)
c) 81 3 .
d) 324 2 .
3a 2  b 2
b.
4a 2  b 2
d)
a.
hexagonal, é 9 3 cm. Se a sua área lateral é o triplo da
área de sua base, então, o seu volume, em cm3, é
4a 2  b 2
e)
ab
54) (FUVEST) O cubo ABCDEFGH possui arestas de
comprimento a.
O ponto M está na aresta AE e AM = 3 ME.
51) (UECE) Numa pirâmide quadrangular regular, uma
aresta da base mede 2 2 cm e uma aresta lateral mede
22 cm. O volume dessa pirâmide, em cm3, é:
a) 7 2
b) 8 2
c) 9 2
d) 10 2
52) (FGV) O ângulo indicado na figura B, é igual a
Calcule:
a) O volume do tetraedro BCGM.
9
b) A área do triângulo BCM.
c) A distância do ponto B à reta suporte do segmento
CM.
55) (Fuvest) O número de faces triangulares de uma
pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que essa pirâmide
possui:
a) 33 vértices e 22 arestas.
b) 12 vértices e 11 arestas.
c) 22 vértices e 11 arestas.
d) 11 vértices e 22 arestas.
e) 12 vértices e 22 arestas.
56) (Vunesp) O prefeito de uma cidade pretende colocar
em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que
será apoiado sobre uma pirâmide de base quadrada feita
de concreto maciço, como mostra a figura.
Nessa figura, a base da pirâmide VBCEF é um quadrado
inscrito no círculo da base do cone de vértice V. A razão
entre o volume do cone e o volume da pirâmide, nesta
ordem, é:
a) /4
b) /2
c)
d) 2
e) 2 /2
59) (UERJ) Observe as figuras a seguir:
Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3m e
que a altura da pirâmide será de 4m, o volume de concreto
(em m3) necessário para a construção da pirâmide será
a) 36.
b) 27.
c) 18.
d) 12.
e) 4.
(I)
57) (Unicamp) O sólido da figura ao lado é um cubo cuja
aresta mede 2cm.
a) Calcule o volume da pirâmide ABCD1.
b) Calcule a distância do vértice A ao plano que passa pelos
pontos B, C e D1.
58) (UFMG) Observe a figura.
(II)
A figura I mostra a forma do toldo de uma barraca, e a
figura II, sua respectiva planificação, composta por dois
trapézios isósceles congruentes e dois triângulos.
Calcule:
a)
a distância h da aresta AB ao plano CDEF;
b)
o volume do sólido de vértices A, B, C, D, E e D,
mostrado na figura I, em função de h.
10
60) (UFMG) Observe esta figura:
62) (FUVEST) Pedrinho, brincando com seu cubo mágico,
colocou-o sobre um copo, de maneira que
- apenas um vértice do cubo ficasse no interior do copo,
conforme ilustra a foto;
- os pontos comuns ao cubo e ao copo determinassem um
triângulo eqüilátero.
Sabendo-se que o bordo do copo é uma circunferência de
raio 2 3 cm , determine o volume da parte do cubo
que ficou no interior do copo.
Nessa figura, estão representados um cubo, cujas arestas
medem, cada uma, 3 cm, e a pirâmide MABC , que possui
três vértices em comum com o cubo. O ponto M situa-se
sobre o prolongamento da aresta BD do cubo. Os
segmentos MA e MC interceptam arestas desse cubo,
respectivamente, nos pontos N e P e o segmento ND mede
1 cm. Considerando-se essas informações, é CORRETO
afirmar que o volume da pirâmide MNPD é, em cm3
a)
b)
c)
d)
1
6
1
4
1
2
1
8
61) (PASUSP) Os papiros mostram que os egípcios antigos
possuíam diversos conhecimentos matemáticos. Eles
sabiam que o volume da pirâmide equivale a um terço do
volume do prisma que a contém. A maior pirâmide egípcia,
Quéops, construída por volta de 2560 a.C., tem uma altura
aproximada de 140 metros e sua base é um quadrado com
lados medindo aproximadamente 230 metros. Logo, o
volume da pirâmide de Quéops é de aproximadamente
(em milhões de metros cúbicos):
a) 1,2
b) 2,5
c) 5
d) 7,5
e) 15
63) (UNIFESP) Quatro dos oito vértices de um cubo de
aresta unitária são vértices de um tetraedro regular. As
arestas do tetraedro são diagonais das faces do cubo,
conforme mostra a figura.
a) Obtenha a altura do tetraedro e verifique que ela é igual
a dois terços da diagonal do cubo.
b) Obtenha a razão entre o volume do cubo e o volume do
tetraedro.
64) (Mack) Remove-se, do cubo da figura, a pirâmide
triangular ABCD. Obtém-se, dessa forma, um sólido de
volume:
11
67) (FEI) Seja ABCD um tetraedro regular e X, Y e Z os
pontos médios das arestas AB, AC e AD respectivamente.
Considere as afirmações:
I.
O triângulo XCD é isósceles
II.
O triângulo XBD é retângulo
III.
O triângulo XYA é equilátero
14
3
11
b)
5
18
c)
5
20
d)
3
16
e)
5
a)
65) (FEI) São dados dois planos paralelos distantes de 5cm.
Considere em um dos planos um triângulo ABC de área
30cm2 e no outro plano um ponto qualquer O. O volume
do tetraedro ABCO é:
a) 10cm3
b) 20cm3
c) 30cm3
d) 40cm3
e) 50cm3
66) (Unitau) Se dobrarmos convenientemente as linhas
tracejadas das figuras a seguir, obteremos três modelos de
figuras espaciais cujos nomes são:
Assinale a alternativa correta:
a) Somente a I e II são verdadeiras.
b) Somente a I e III são verdadeiras.
c) Somente II e III são verdadeiras.
d) Todas são verdadeiras.
e) Somente I é verdadeira.
68) (Unicamp) Seja P um ponto do espaço eqüidistante dos
vértices A, B e C de um triângulo cujos lados medem 8cm,
8cm e 9,6cm. Sendo d(P, A) = 10cm, calcule:
a) o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC;
b) a altura do tetraedro, não regular, cujo vértice é o ponto
P e cuja base é o triângulo ABC.
69) (AFA) Seja uma pirâmide de base quadrada com
arestas de mesma medida. O arc cos do ângulo entre as
faces laterais que se interceptam numa aresta é
2
3
1
b) 3
1
c)
3
2
d)
3
a) -
70) (UFC) Sejam P1 e P2 dois pontos quaisquer interiores a
um tetraedro regular. Sejam d 1, a soma das distâncias de
P1 às faces do tetraedro regular, e d2, a soma das distâncias
de P2 às faces do tetraedro regular. Mostre que d1 = d2.
a) tetraedro, octaedro e hexaedro.
b) paralelepípedo, tetraedro e octaedro.
c) octaedro, prisma e hexaedro.
d) pirâmide, tetraedro e hexaedro.
e) pirâmide pentagonal, prisma pentagonal e hexaedro.
71) (NOVO ENEM) Um artesão construiu peças de
artesanato interceptando uma pirâmide de base quadrada
com um plano. Após fazer um estudo das diferentes peças
que poderia obter, ele concluiu que uma delas poderia ter
uma das faces pentagonal.
Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do
artesão?
a) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e
a interseção de um plano com a pirâmide intercepta suas
arestas laterais. Assim, esses pontos formam um polígono
de 4 lados.
b) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces
triangulares e, quando um plano intercepta essa pirâmide,
12
divide cada face em um triângulo e um trapézio. Logo, um
dos polígonos tem 4 lados.
c) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a
interseção de uma face com um plano é um segmento de
reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o
polígono obtido nessa interseção tem 5 lados.
d) O número de lados de qualquer polígono obtido como
interseção de uma pirâmide com um plano é igual ao
número de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem 5
faces, o polígono tem 5 lados.
e) O número de lados de qualquer polígono obtido
interceptando-se uma pirâmide por um plano é igual ao
número de arestas laterais da pirâmide. Como a pirâmide
tem 4 arestas laterais, o polígono tem 4 lados.
72) (PUC-SP) Um imperador de uma antiga civilização
mandou construir uma pirâmide que seria usada como seu
túmulo. As características dessa pirâmide são
1°) Sua base é um quadrado com 100 m de lado.
2°) Sua altura é de 100 m.
Para construir cada parte da pirâmide equivalente a 1000
m3, os escravos, utilizados como mão-de-obra, gastavam,
em média, 54 dias. Mantida essa média, o tempo
necessário para a construção da pirâmide, medido em
anos de 360 dias, foi de
a) 40 anos.
b) 50 anos.
c) 60 anos.
d) 90 anos.
e) 150 anos.
73) (Mack) Um objeto, que tem a forma de um tetraedro
regular reto de aresta 20cm, será recoberto com placas de
ouro nas faces laterais e com placa de prata na base. Se o
preço do ouro é R$ 30,00 por cm2 e o da prata, R$ 5,00 por
cm2, das alternativas dadas, assinale o valor mais próximo,
em reais, do custo desse recobrimento.
a) 24000
b) 12000
c) 16000
d) 18000
e) 14000
74) (UNIFESP) Um poliedro é construído a partir de um
cubo de aresta a > 0, cortando-se em cada um de seus
cantos uma pirâmide regular de base triangular eqüilateral
(os três lados da base da pirâmide são iguais). Denote por
x, 0 < x ≤ a/2, a aresta lateral das pirâmides cortadas.
a) Dê o número de faces do poliedro construído.
b) Obtenha o valor de x, 0 < x ≤ a/2, para o qual o volume
do poliedro construído fique igual a cinco sextos do
volume do cubo original. A altura de cada pirâmide
cortada, relativa à base eqüilateral, é x
3.
75) (Unirio) Um prisma de altura H e uma pirâmide têm
bases com a mesma área. Se o volume do prisma é a
metade do volume da pirâmide, a altura da pirâmide é:
a) H/6
b) H/3
c) 2H
d) 3H
e) 6H
76) (Fuvest) Um telhado tem a forma da superfície lateral
de uma pirâmide regular, de base quadrada. O lado da
base mede 8m e a altura da pirâmide 3m. As telhas para
cobrir esse telhado são vendidas em lotes que cobrem
1m2. Supondo que possa haver 10 lotes de telhas
desperdiçadas (quebras e emendas), o número mínimo de
lotes de telhas a ser comprado é:
a) 90
b) 100
c) 110
d) 120
e) 130
77) (UFC) Um tetraedro regular tem arestas medindo
6 cm. Então a medida de suas alturas é igual a:
1
2
a) cm
b) 1 cm
3
c) 2 cm
d) 2 cm
5
e) 2 cm
78) (Unicamp) Um tetraedro regular, cujas as arestas
medem 9 cm de comprimento, tem vértices nos pontos A,
B, C e D. Um plano paralelo ao plano que contém a face
13
BCD encontra as arestas AB, AC e AD, respectivamente,
nos pontos R, S e T.
a) Calcule a altura do tetraedro ABCD.
b) Mostre que o sólido ARST também é um tetraedro
regular.
c) Se o plano que contém os pontos R, S e T dista 2
centímetros do plano da face BCD, calcule o comprimento
das arestas do tetraedro ARST.
e) 21
79) (Cesgranrio) Uma folha de papel colorido, com a forma
de um quadrado de 20 cm de lado, será usada para cobrir
todas as faces e a base de uma pirâmide quadrangular
regular com altura de 12 cm e apótema de base medindo 5
cm. Após se ter concluído essa tarefa, e levando-se em
conta que não houve desperdício de papel, a fração
percentual que sobrará dessa folha de papel corresponde
a:
a) 20%
b) 16%
c) 15%
d) 12%
e) 10%
b) 36 3
c) 48 3
81) (PUCCamp) Uma pirâmide regular de base hexagonal é
tal que a altura mede 8cm e a aresta da base mede
2 3 cm. O volume dessa pirâmide, em centímetros
cúbicos, é:
a) 24 3
d) 72 3
e) 144 3
82) (FUVEST) Uma pirâmide tem como base um quadrado
de lado 1, e cada uma de suas faces laterais é um triângulo
eqüilátero. Então, a área do quadrado, que tem como
vértices os baricentros de cada uma das faces laterais, é
igual a
5
9
4
b)
9
1
c)
3
2
d)
9
1
e)
9
a)
80) (Unirio) Uma pirâmide está inscrita num cubo, como
mostra a figura. Sabendo-se que o volume da pirâmide é
de 6 m3, então, o volume do cubo, em m3, é igual a:
a) 9
b) 12
c) 15
d) 18
14
Gabarito
5 2  x3
12
1) V(x) =
.
2) Alternativa: A
VH perpendicular ao plano do quadrado e |VH| = 6
H = (A+C)/2 = (0, 3, 3). VH // AD x AB = (12, 24, -24)
VH = (-2, -4, 4) ou VH = (2, 4, -4)  V (2, 7, -1) ou V (-2, -1,
7)
3) Alternativa: B
12) Alternativa: B
4) 24
13)
a)
5 57 2
cm
2
6) a) A = 24
b) d = 4,8
b)
20 57
cm
57
7) Alternativa: B
14) Alternativa: B
5) a) 2cm
b) 4cm
8) Alternativa: D
15) a)
9) Alternativa: B
10) d) Como o triângulo VAB é eqüilátero de lado l, VM é
l 3
altura e vale 2 . Então a altura h da pirâmide pode ser
h
obtida pelo sen60o: sen60o = VM h = VM.sen60o
l 3 3 3l
h= 2 2 = 4 . Então o volume da pirâmide é
3
2
1 l 3 3l l 3
3 4 4 = 16
10
4
9
16
3 3
c)
64
b)
16) Alternativa: B
Note que a nova altura é metade da altura original e a
nova base é 3/4 da base original. Assim, o novo volume é
1 3
. .4 = 1,5.
2 4
17) a) 60m (use h2 = m.n)
b) 120.000m3 (lembre-se que AB = 130m é uma diagonal
da base da pirâmide, e não um lado)
18)
11) a) D = (–4, 4, 2)
b) V = (2, 7, –1) ou V = (–2, –1, 7)
Padrão de resposta oficial:
a) Coordenadas de D:
AD = BC  D = (-4, 4, 2)
Medida de cada lado  |AB| = 6
b) V = 72 => h = 6  |VH| = 6
15
V ( A1 BC1 D)
xyz / 3 1
=

xyz
3
V ( ABCDA1 B1C1 D1 )
19) Alternativa: C
20) Alternativa: E
21) Alternativa: A
22) a) A área é
3 dm2.
2
b) O valor da distância mínima é 2 dm.
23) a) 3 2 cm
6 cm
2
b) r =
24) Alternativa: B
25) Resposta: 57
26) Resp: 28
Resolução: Do ponto A o besouro pode alcançar os pontos
B, C, D e E, na primeira etapa. Vejamos quantos caminhos,
saindo de A e passando por B, chegam até F:
Percebe-se que há 7 caminhos diferentes. Analogamente,
há 7 caminhos diferentes saindo de A, passando por C, até
F; há 7 caminhos diferentes saindo de A, passando por D,
até F; há 7 caminhos diferentes saindo de A, passando por
E, até F. Logo, há 7.4 = 28 caminhos diferentes de A para F,
nas condições do problema.
r 2 11
31) A = 16 (o triângulo AMN é isósceles, com AN =
AM = altura das faces equiláteras e MN base média)
32) Alternativa: A
33) Alternativa: C
34) a) F = 8, V = 12, A = 18
b) AT = 7a2 3
35) Alternativa: A
36) a)

4
2 6
8
b)
3
c)
16
37) Alternativa: B
38) Alternativa: A
2
2
eV=
2
6
b) Basta mostrar que a distância do centro da base é a
mesma para as 8 arestas. De início, a distância do centro às
1
4 arestas da base é R = . Além disso, a distância do
2
2
centro da base à qualquer vértice é
pois essa distância
2
ou é h ou é metade da diagonal do quadrado da base.
Assim, as distâncias do centro à qualquer aresta lateral é a
39) a) h =
2
2
,
e 1, que
2
2
1
além de tudo é retângulo. Essa altura vale
também.
2
altura do triângulo isósceles de lados
c) R =
27) Alternativa: A
3
6
40) Resposta: 81cm3
28) a) 5 2 cm
500
b) 3 cm3
29) Alternativa: B
30) Perímetro = 34cm
41) Alternativa: B
42) Alternativa: C
43) V =
3
44) Alternativa: C
16
45) Resposta: 13
46) Resposta: 2000m3 e 3600m3
47) a) XY = a 2
a2 6
2
b) área da base =
a3 2
c) Volume = 4
48) x = 3 u.v.
3,4
 1,7 m
2
3
B' M   1,5 m
2
BB
' h
BM
h2 + 1,52 = 1,72
h = 0,8 m
49) Alternativa: C
b)
50) Alternativa: D
51) Alternativa: B
52) Alternativa: A
53) Alternativa: D
volume = V = V(prisma) + V(pirâmide)
a3
54) a)
6
b)
c)
V
5a 2
8
3h
2 3
 AB
h
2
3
V
3h
 4  2h
2
V  8h
60) Alternativa: B
5a 41
41
61) Alternativa: B
62) 9 2 cm3
2
2 3
portanto, equivale a
da diagonal, que é
3
3
55) Alternativa: E
63) a) h =
56) Alternativa: D
3.
b) razão = 3
57) a) V =
b)
4
cm3
3
2 cm
64) Alternativa: D
65) Alternativa: E
58) Alternativa: D
66) Alternativa: E
59) a)
67) Alternativa: D
68) a) R = 5cm
b) h = 5 3 cm (note que o pé da altura pedida coincide
com o circuncentro O do triângulo)
69) Alternativa: B
17
70) Solução: Seja ABCD um tetraedro regular. Seja P um
81) Alternativa: C
ponto qualquer interior a esse tetraedro. Considere as
pirâmides ABCP, ABDP, BCDP e ACDP. A soma dos volumes
82) Alternativa: D
dessas quatro pirâmides é igual ao volume do tetraedro.
Sejam h1, h2, h3 e h4, respectivamente, as alturas dessas
pirâmides e h, a altura do tetraedro. Temos:
1S
h  1 S
h  1 S
h  1 S
h  1 S
 h.
3 ABC 1 3 ABD 2 3 BCD 3 3 ACD 4 3 ABC
Como o tetraedro é regular, os triângulos ABC, ABD, BCD e
ACD são todos congruentes. Logo
h1 + h2 + h3 + h4 = h.
Como h1, h2, h3 e h4 são as distâncias de P às quatro faces
do tetraedro, provamos que independente da posição de P
essa soma é constante e igual à altura do tetraedro.
Assim, sendo P1 e P2 pontos quaisquer no interior do
tetraedro, d1 = d2 = h
71) Alternativa: C
72) Alternativa: B
73) Alternativa: C
74) a) 14
b)
a
2
75) Alternativa: E
76) Alternativa: A
77) Alternativa: D
78) a) 3 6 cm
b) se o plano RST é paralelo ao plano BCD, então RS//BC,
ST//CD e RT//BD e então os triângulos ARS, AST, ART e RTS
são eqüiláteros e congruentes, portanto ARST também é
tetraedro regular.
c) 9 - 6 cm
79) Alternativa: E
80) Alternativa: D
18