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SEMELHANÇA DE FIGURAS
GEOMÉTRICAS PLANAS
Um conceito muito utilizado em Geometria é a ideia de
figuras semelhantes. Ele vem sendo utilizado desde a
Antiguidade. Uma ampliação, uma redução e até uma
congruência são exemplos claros de semelhança. Para que duas
ou mais figuras sejam semelhantes, duas condições são
necessárias:
• Os ângulos correspondentes devem ser iguais.
• Os comprimentos correspondentes devem ser proporcionais.
Entre as figuras geométricas planas que são sempre
semelhantes, temos todos os círculos e todos os quadrados. E
entre as que nem sempre são semelhantes temos os retângulos, os
triângulos e os demais polígonos.
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
Veremos agora um dos assuntos mais importantes da
geometria, a semelhança de triângulos (que também está
relacionado à polígonos semelhantes).
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Observe os triângulos abaixo:
A
R
80°
80°
60°
S
60°
B
40°
T
40°
C
Vamos formalizar para os triângulos:
I)
Aˆ  Rˆ  80
Bˆ  Sˆ  60
Cˆ  Tˆ  40
II) AB  AC  BC
RS RT
ST
Os ângulos correspondentes são
congruentes (mesma medida).
As medidas dos ângulos
correspondentes são
proporcionais
Para verificar se dois ou mais triângulos são semelhantes, não
é necessário verificar as duas condições acima, pois, se as
medidas dos ângulos correspondentes forem congruentes, as
medidas dos lados correspondentes (homólogos) serão
proporcionais e vice-versa.
TEOREMA FUNDAMENTAL DE SEMELHANÇA
Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta
os outros dois lados em pontos distintos, então o triângulo
determinado pela reta é semelhante ao primeiro.
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A
D
r
E
B
C
r // B C   ABC ~  AED
Pelo Teorema de Tales, na figura acima, temos:
AB
AC
BC


AD
AE
DE
SAIBA MAIS
...De onde vimos e para onde vamos...
Desde os tempos mais remotos, o homem sempre se
preocupou com esta questão. Os astrónomos gregos calcularam a
distância da Terra à Lua através de funções chamadas
trigonométricas. Estas funções também eram utilizadas para
determinar a localização dos navios e para representar
matematicamente sons musicais.
Tales de Mileto aprendeu com os egípcios a determinar a
altura de uma árvore sem ter de subir ao seu topo, evitando
assim sofrer uma perigosa queda. Para isso bastava medir a
sombra da árvore.
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H
h
s
s
S
S
Observe que a situação foi “redesenhada na forma de
triângulos”
Um método muito comum para se medir distâncias grandes,
a pontos inacessíveis, é a triangulação. Na figura abaixo está
esquematizado, como exemplo, a maneira de medir a distância de
uma árvore localizada do outro lado de um rio, sem atravessá-lo:
Tomando a árvore como um dos vértices, construímos os
triângulos semelhantes ABC e DEC. BC é a linha de base do
triângulo grande, AB e AC são os lados, que são as direções do
objeto (a árvore) vistas de cada extremidade da linha base. Logo
Como posso medir BC, DE e EC, posso calcular o lado AB e
então, conhecer a distância da árvore.
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Dica EQUAÇÃO CERTA:
BASE MÉDIA DE UM TRIÂNGULO
Quando um segmento une os pontos médios de dois lados
de um triângulo, então ele é paralelo ao terceiro lado e mede
a metade do terceiro lado!
EXERCÍCIO RESOLVIDO
(ENEM) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada
uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a
rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura
de 0,8 metro. A distância em metros que o paciente ainda deve
caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é
A) 1,16 metros.
B) 3,0 metros.
C) 5,4 metros.
D) 5,6 metros.
E) 7,04 metros
RESOLUÇÃO
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ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Área é uma função que associa a cada figura um número
positivo que representa a Medida de sua superfície. Mais
importante do que saber as “fórmulas” de área é entender o que
represente a área de uma região plana. Admitindo a superfície de
um quadrado de lado unitário como uma unidade quadrada, a
área de uma região plana é o número que expressa a relação entre
sua superfície e a superfície desse quadrado.
Seja “u” a unidade de área:
Fácil compreender, portanto, ainda que indutivamente,
que a área do retângulo seja o produto de suas duas dimensões.
I – Principais áreas:
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II – Polígono Regular
O Polígono regular de gênero “n” pode ser dividido, a
partir do centro, em “n” triângulos isósceles congruentes.
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Embora a área do polígono regular possa ser encontrada
pelo produto do semi-perímetro pelo apótema, acaba sendo mais
prático usar a estratégia que usamos para chegar a essa
conclusão, ou seja, o polígono pode ser dividido em triângulos
congruentes.
III – Círculo
Consideremos os polígonos regulares inscritos no círculo,
quanto maior é o número de lados do polígono, mais a sua área
se aproxima da área do círculo. Ou seja, aumentando o número
de lados do polígono inscrito num círculo, a área do polígono
tende ser a área do círculo.
Nesse processo, o perímetro do polígono tende a 2πr
(comprimento da circunferência) e, o apótema, tende a ser o raio
r. A área do círculo então, pode ser determinada como sendo a
área do polígono cujo semi-perímetro é πr e apótema igual a r.
Isto é:
Vale ainda ressaltar:
1) Seja ABC um triângulo do qual se conhecem dois lados o
ângulo formado por eles.
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2) Radical de Heron. A área do triângulo pode ser obtida em
função de seus lados.
3) A área de um triângulo equilátero de lado l pode então ser
determinada por:
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Um fazendeiro doa, como incentivo, uma área retangular de sua fazenda
para seu filho, que está indicada na figura como 100% cultivada. De
acordo com as leis, deve-se ter uma reserva legal de 20% de sua área
total.
Assim, o pai resolve doar mais uma parte para compor a reserva para o
filho, conforme a figura.
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De acordo com a figura anterior, o novo terreno do filho cumpre a lei,
após acrescentar uma faixa de largura x metros contornando o terreno
cultivado, que se destinará à reserva legal (filho). O dobro da largura x
da faixa é:
A) 10% (a + b)2
C) a + b – (a + b)
E) (a + b)2 + ab + (a + b)
B) 10% (a . b)2
D) (a + b)2 + ab – (a + b)
RESOLUÇÃO
EXERCÍCIOS
O PROFESSOR RESOLVE
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01. (Enem) A sombra de uma pessoa que tem 1,80m de altura
mede 60cm . No mesmo momento, ao seu lado, a sombra
projetada de um poste mede 2,00m . Se, mais tarde, a sombra do
poste diminuiu 50cm , a sombra da pessoa passou a medir
A) 30cm.
D) 80cm.
B) 45cm.
E) 90cm.
C) 50cm.
02. Um faraó solicitou ao sábio grego Tales de Mileto, em sua
visita ao Egito, que calculasse a altura de uma pirâmide. Esse fato
ocorreu em torno do ano 600 a.C., quando esse feito ainda não
havia sido registrado por ninguém. Tales, próximo da pirâmide
em questão, enterrou parcial e verticalmente um bastão no chão.
Observando a posição da sombra, colocou o bastão deitado no
chão, a partir do ponto em que foi enterrado, e marcou na areia o
tamanho do seu comprimento.
Feito isso, tornou a colocar o bastão na posição vertical. Quando a
sombra do bastão ficou do seu comprimento, Tales mediu a
sombra
da
pirâmide
e
acrescentou ao resultado a
metade da medida do lado da
base da pirâmide. Explicou,
então, aos matemáticos que o
acompanhavam que essa soma
era a medida da altura da
pirâmide.
O principal fato matemático que pode explicar o raciocínio feito
por Tales é dado por
A) propriedades de ângulos retos.
B) propriedades de triângulos.
C) semelhança de triângulos.
D) simetria entre os objetos e suas sombras.
E) selações trigonométricas nos triângulos.
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03. Marcelo mora em um edifício que tem a forma de um bloco
retangular e, no topo desse edifício, está instalada uma antena de
20 metros. Após uma aula de matemática, cujo tema era
semelhança de triângulos, Marcelo resolveu aplicar o que
aprendeu com o professor Chaguinha para calcular a altura do
prédio onde mora. Para isso, tomou algumas medidas e construiu
o seguinte esquema:
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A) 45.
D) 65.
B) 50.
E) 70.
C) 60.
04. No terreno ABC da figura, uma pessoa pretende construir
uma residência, preservando a área verde da região assinalada.
Se BC = 80m, AC = 120m e MN = 40m, a área livre para a
construção, em metros quadrados, é de
A) 1400.
D) 2000.
B) 1600.
E) 2200.
C) 1800.
05. A prefeitura vai reformar uma praça quadrada de 16 metros
de lado e foi aprovado o seguinte projeto:
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O construtor que ganhou a licitação faz apenas a parte da calçada
e seu orçamento foi de R$ 53,00 o metro quadrado. O jardim será
feito por funcionários da própria prefeitura, e esse custo para a
Secretaria de Parques e Jardins será de R$ 25,00 o metro
quadrado. Usando π = 3,1, podemos concluir que o valor total da
obra será de
A) R$ 6.400,00.
B) R$ 8.310,40.
C)
R$
10.790,40.
D) R$ 11.480, 00
E) R$ 13.568,00.
06. O salão de festas de um prédio residencial tem 18 metros de
largura, 9 metros de comprimento e um pé-direito de 4 metros.
Possui, ainda, duas janelas de 2 metros por 1,5 metro. Para pintar
somente as paredes desse salão, uma empresa cobra R$ 30,00 por
metro quadrado, incluindo material e mão de obra. O preço total
da pintura é
A) R$ 3.600,00.
D) R$ 5.840,00.
B) R$ 3.950,00.
E) R$ 6.300,00.
C) R$ 4.210,00.
07. Observe os números em relação aos vestibulares de
engenharia em julho de 2008:
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O gráfico acima foi elaborado de maneira que a área de cada
círculo fosse proporcional ao número que representa.
Considerando que o círculo que indica o total de inscritos nos
vestibulares tem 4,4 centímetros de raio, se quiséssemos
representar com um círculo as vagas em engenharia elétrica, ele
deveria ter uma área aproximadamente de
Obs: utilize π= 3,14
A) 1,0 cm2.
D) 6,0 cm2.
B) 2,6 cm2.
E) 8,1 cm2.
C) 5,4 cm2.
08. Carla está projetando uma
pequena barragem (B) no rio que
passa pela sua propriedade rural. O
estudo do projeto requer que seja
determinada a vazão de cheia da
bacia hidrográfica da qual o rio faz
parte. A fórmula que faz esse
cálculo, precisa, entre outros dados,
da medida da área de drenagem da
bacia do rio em estudo. A linha
tracejada da figura define a área de
drenagem da bacia do rio. Pode-se
afirmar que toda a água precipitada
nessa área, que não evaporar ou não se
infiltrar mais profundamente, escoará
através da seção B.
(Adaptado de: Guia Prático Para Projetos de
Pequenas Obras Hidráulicas - DAEE/SP)
Para calcular a medida da área de drenagem, Carla copiou o
mapa da bacia hidrográfica em um papel quadriculado e em
seguida estimou quantos quadradinhos estão contidos nela: além
dos quadradinhos inteiros do interior da região, considerou, em
torno da borda, quadradinhos formados por meio de
compensações.
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Se na figura a área de cada quadradinho equivale a 0,05 km2, a
medida da área de drenagem é, em quilômetros quadrados,
aproximadamente
A) 0,5.
B) 1,0.
C) 1,5.
D) 2,0.
E) 2,5.
09. Um terreno com o formato mostrado na figura foi herdado
por quatro irmãos e deverá ser dividido em quatro lotes de
mesma área. Um dos irmãos fez algumas propostas de divisão
para que fossem analisadas pelos demais herdeiros.
Dos esquemas abaixo, onde lados de mesma medida têm
símbolos iguais, o único em que os quatro lotes não possuem,
necessariamente, a mesma área é
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10. Na abertura da Olimpíada de Atenas, um Ulisses menino
acenava de um barquinho nada épico, que parecia de papel.
Suponhamos que sua construção tenha sido inspirada no
barquinho mostrado na figura 1, que foi feito a partir de
dobraduras de uma folha de papel retangular.
Considere que, desmontado o barquinho, a folha de papel ficará
com as marcas das dobras, conforme indica o tracejado na figura
2.
Nessas condições, se o lado de cada quadrado sombreado mede
4 2 cm, a área da superfície da folha de papel, em centímetros
quadrados, é
A) 64.
B) 80.
C) 160.
D) 192.
E) 384.
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SOLUÇÕES
SOLUÇÃO 1ª QUESTÃO
SOLUÇÃO 2ª QUESTÃO
LETRA C
SOLUÇÃO 3ª QUESTÃO
Considerando x a altura, temos:
Δ ABF ~ Δ ACE
20
12

 x  60 m
20  x 12  36
SOLUÇÃO 4ª QUESTÃO
Área Verde:
A 
60.40.sen30º
 600 m 2
2
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Área Total:
A 
120.80.sen30º
 2400 m 2
2
Construção:
A = 2400 – 600 = 1800
SOLUÇÃO 5ª QUESTÃO
16 m
16 m
 .8 2
 32  99,2 m 2
2
 .16 2  .82
AJ 

 32  99,2 m 2
4
2
 .16 2
AC 2  16 2 
 57,6
4
Acalçada  99,2  57,6  156,8 m 2
AC1 
Custo  156,8  53  8310,4
A jar dim  99,2
Custo  156,8  53  8310,4
Total  10.790,4
SOLUÇÃO 6ª QUESTÃO
paredes
janelas



 

Área  2.(18.4  9.4)  2.2.1,5  210 m 2
Pr eço  210.30  6300
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SOLUÇÃO 7ª QUESTÃO
373 449 16 000

 A  0,82  A  2,6
19,36
A
SOLUÇÃO 8ª QUESTÃO
Na figura identificamos três tipos de polígonos:
24 quadrados
6 triângulos =3 quadrados
4 trapézios = 3 quadrados
A = 24 + 3 + 3= 30 = 30.0,05 = 1,5km2
SOLUÇÃO 9ª QUESTÃO
Com as informações da figura (E) só é possível estabelecer
igualdade entre as áreas 1 e 2 e entre as áreas 3 e 4.
SOLUÇÃO 10ª QUESTÃO
A = 16. 24 = 384
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