RJASMATEMÁTICA
2015/2016
Ficha de consolidação de conhecimentos nº1
1. Na figura está representado o triângulo [ABC ] .
Calcule o valor exato de:
1.1. senα
1.2. cos α
1.3. tgα
2. Determine o valor aproximado de x.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
opostos,
3. Dois amigos avistaram uma torre de lados opostos
alinhados com a torre conforme representado na figura.
Sabendo que a torre tem 368 metros determina a
distância a que os dois amigos se encontram um do
outro. Despreza a altura dos amigos. Apresenta
Apresent o
resultado arredondado às unidades.
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4. Na figura ao lado
[ABC ]
é um triângulo retângulo em B e
AB = BC = 15m . O arco foi desenhado tendo como centro o ponto A e
raio AB . Determina a área da região destinada
desti
a jardim.
5. Duas patrulhas militares partem do mesmo posto de comando C em direção aos pontos A e
B que estão separadas por um lago, como ilustra a figura.
Sabe-se que:
•
CA = 20km
•
O ângulo C A B = 75º
•
O ângulo A B C = 40º
∧
∧
Uma das patrulhas vai permanecer em A e a outra em B.
Ambas as patrulhas possuem intercomunicadores, que permitem estabelecer ligações entre
si a uma distância máxima de 27km.. Verifica se as patrulhas podem estabelecer contato a
partir dos pontos A e B.
6. Observa a figura e atendendo aos dados calcula, com aproximação às decimas, a altura da
montanha.
7. Na figura está representada uma pirâmide quadrangular regular cuja base
∧
tem 8cm de lado. Sabendo que o ângulo P B E = 60º , determina o valor
exato da pirâmide.
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8. Considera a figura e os dados assinalados.
Determina com um valor aproximado às
décimas a distância entre a casa (B) e o
castelo (C).
9. Determina o valor exato da seguinte expressão:
cos(60º ) + 2tg 45º
+ sen 2 (5000º ) + cos 2 (5000º )
1 − sen (45º )
∧
10. Um triângulo [ABC ] , retângulo em A tem o ângulo interno C maior que o ângulo interno
∧
B . De acordo com esses dados, pode afirmar-se
afirmar que:
∧
∧
(A) sen B < cos C
∧
∧
(B) sen B < cos B
∧
∧
(C) sen C < cos C
∧
∧
(D) sen C < cos B
11. Comente cada uma das seguintes afirmações, justificando se são verdadeira ou falsas.
11.1. Um triângulo retângulo não pode ser equilátero.
11.2. Um triângulo retângulo pode ser isósceles.
11.3. Sendo α um ângulo agudo de um triângulo
retângulo, então:
11.3.1. 0 < senα < 1
11.3.2. 0 < cos α < 1
11.3.3. tgα ∈ ]0,+∞[
11.4. sen 2α ≠ senα 2
11.5. (senα )2 = sen 2α
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1
12. Sendo α um ângulo agudo e cosα = , calcule o valor exato de:
3
12.1. senα
12.2. tgα
13. Sabendo que senα =
4
1
, calcule o valor exato da expressão 5 cosα + tgα .
5
2
14. Utilizando as relações entre as razões trigonométricas prove que:
14.1.
senx.(senx − cos x ) + cos x (cos x + senx ) = 1
14.2.
2 − (cos x − senx )2 − 2 cos x.senx = 1
15. [ABCD ] é um trapézio isósceles. A base maior mede 12cm o lado [AD ] mede 6cm e o ângulo
α tem 55º de amplitude.
Todos os resultados pedidos devem ser expressos na unidade de medida e arredondados às
décimas, exceto a amplitude dos ângulos.
15.1. Determine:
15.1.1. DE .
15.1.2. AE .
15.2. Qual o comprimento daas diagonais do trapézio?
15.3. Sabendo que EF = 2cm , determine a amplitude do
ângulo β .
15.4. Calcule o perímetro do
o quadrilátero [EFCB ] .
16. Na figura ao lado:
• A circunferência
C1 tem
centro
em A e
raio
•
AB = 10cm ;
C é um ponto da cirrcunferência C1 , tal que o ângulo
•
BAC é um ângulo agudo,
a
sendo α a sua amplitude
em radianos;
CD ⊥ AB
•
A circunferência C 2 tem centro em D e raio CD ;
16.1. Mostra que a área da região
r
colorida é dada em função
de α ,
pela
expressão:
5
π
50π .sen 2α − 100.senα cos α +
α.
9
16.2. Determina o valor exato da área colorida, para α =
π
3
.
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