Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
11º Ano de Matemática – A
Tema I – Geometria no Plano e no Espaço II
Ficha de trabalho nº 3
1. Resolver, da página 80 do seu manual,
1.1. as alíneas a), c) e e) dos exercícios 9 e 10
1.2. o exercício 13 .
1.3. o exercício 11.
2. Considere a equação na variável x: senx =
2k − 1
,k ∈ ℝ
6
2.1. Mostre que a equação é impossível se k = 4 .
2.2. Determine os valores de k para os quais a equação é possível.
3. Determine o valor máximo e o valor mínimo que podem tomar as expressões seguintes, onde
α representa uma amplitude de ângulo.
3.1. 5 senα
3.2. 2 − senα
3.3. 1 + 2 cos α
3.4. cos2 α
3.5. 3 cos2 α + 1
4. Determine para que valores de, k∈IR se tem:
4.1. senα =
k −1
∧ cos α = k + 1 .
2
4.2. senα = − k 2 .
4.3. tgα =
2k − 1
π π 
∧α ∈  , 
3
3 2
5. Considere a expressão A (α ) = (1 + cos α ) + sen2α
2
5.1. Mostre que A (α ) = 2 + 2 cos α .
π

5.2. Calcule o valor de A (α ) , sabendo que tgα = 2 e α ∈  ,2π 
2

Professora: Rosa Canelas
1
Ano Lectivo 2010/2011
Escola Secundária com 3º ciclo D. Dinis
11º Ano de Matemática – A
Tema I – Geometria no Plano e no Espaço II
Ficha de trabalho nº 3 – Proposta de resolução
1. Resolver, da página 80 do seu manual,
A partir do sketch, deduzimos as fórmulas:
sen2α + cos2 α = 1
e
tgα =
senα
cos α
1.1. Resolvemos as alíneas a), c) e e) dos exercícios 9 e 10
9. Representemos, se possível, no círculo trigonométrico
a. α é o ângulo do 2º quadrante, cujo
seno é
y
2
5
2
α
5
x
c. Não existe o ângulo γ , do 4º quadrante,
cujo co-seno seja −
2
porque no 4º
5
quadrante todos os ângulos têm coseno positivo.
e. Não
existe
o
ângulo
µ,
quadrante, cujo seno seja −
do
3º
6
porque
5
qualquer ângulo tem seno entre –1 e 1.
Como −
6
< −1 o ângulo µ não existe.
5
10. Representemos, se possível, no círculo trigonométrico:
Professora: Rosa Canelas
2
Ano Lectivo 2010/2011
a. α é o ângulo do 2º quadrante, cuja
tangente é – 2
y
α
x
-2
c. γ é o ângulo do 4º quadrante, cuja
y
2
tangente é − .
5
γ
x
2
5
e. µ é o ângulo do 3º quadrante, cuja
y
6
tangente é .
5
6
5
x
1.2. Resolver o exercício 13 da página 80.
13. α é um ângulo, tal que cos α = −0,125 , Calculemos um valor possível, aproximado às
décimas, para o valor de α que seja
a. Um valor positivo, aproximado às décimas
de grau, duma possível amplitude de α é
97,2º
Professora: Rosa Canelas
3
Ano Lectivo 2010/2011
b. Um valor negativo, aproximado às décimas de grau, duma
possível amplitude de α é –262,8º.
c. Um valor maior que 1000, aproximado às décimas de grau, duma
possível amplitude de α é 1177,2º.
1.3. Resolver o exercício 11 da página 80.
π 
11. Consideremos um ângulo θ , do intervalo  , π  , tal que
2 
y
senθ = 0,3
1
a. Representemos geometricamente o ângulo θ , no círculo
0,5
trigonométrico.
θ
b. Usando a calculadora, determinemos um valor, aproximado
às milésimas, da amplitude θ . θ ≃ 2,8369 rad
O
-1
1
-0,5
-1
c. Ainda com a calculadora, calculemos cos θ e tgθ , sem arredondar o valor do ângulo, isto
é, utilizando directamente o resultado da alínea anterior.
cos ( θ ) ≃ −0,954 e tg ( θ ) ≃ −0,314
d. Agora utilizando métodos exclusivamente analíticos:
Da fórmula fundamental da Trigonometria concluímos:
0,32 + cos2 θ = 1 ⇔ cos2 θ = 1 − 0,32 ⇔ cos θ = ± 0,91 ⇔ cos θ = − 0,91 negativo por θ ser
um ângulo do 2º quadrante. E assim concluímos que cos ( θ ) ≃ −0,954 .
De tgθ =
senθ
0,3
resulta que tgθ =
e verificamos que tg ( θ ) ≃ −0,314
cos θ
− 0,91
2. Considere a equação na variável x: senx =
Professora: Rosa Canelas
2k − 1
,k ∈ ℝ
6
4
Ano Lectivo 2010/2011
x
2.1. Mostremos que a equação é impossível se k = 4 .
De facto senx =
2× 4 −1
7
7
⇔ senx = é uma equação impossível porque > 1 e
6
6
6
−1 ≤ senx ≤ 1
2.2. Determinemos os valores de k para os quais a equação é possível.
Os valores de k que façam com que −1 ≤
−1 ≤
2k − 1
≤ 1 tornam a equação possível.
6
2k − 1
5
7
 5 7
≤ 1 ⇔ −6 ≤ 2k − 1 ≤ 6 ⇔ −5 ≤ 2k ≤ 7 ⇔ − ≤ k ≤ . Então k ∈  − , 
6
2
2
 2 2
3. Determine o valor máximo e o valor mínimo que podem tomar as expressões seguintes, onde
α representa uma amplitude de ângulo.
3.1. 5 senα . Sabemos que −1 ≤ senα ≤ 1 então −5 ≤ 5senα ≤ 5 . -5 é o valor mínimo e 5 o
valor máximo de 5 senα .
3.2. 2 − senα . Sabemos que −1 ≤ senα ≤ 1 então senα ≥ −1 ∧ senα ≤ 1 e se multiplicarmos
cada termo de cada inequação por -1 teremos de inverter o sentido das desigualdades
para obtermos inequações equivalentes (monotonia parcial da multiplicação)
senα ≥ −1 ∧ senα ≤ 1 ⇔ −senα ≤ 1∧ −senα ≥ −1 ⇔ 2 − senα ≤ 3 ∧ 2 − senα ≥ 1 ⇔ 1 ≤ 2 − senα ≤ 3
O valor mínimo será 1 e o máximo 3.
Notemos que: −1 ≤ senx ≤ 1 ⇔ senx ≥ −1 ∧ senx ≤ 1 ⇔ −senx ≤ 1 ∧ −senx ≥ −1 ⇔ −1 ≤ −senx ≤ 1
3.3. 1 + 2 cos α . Sabemos que −1 ≤ cos α ≤ 1 ⇔ −2 ≤ 2 cos α ≤ 2 ⇔ −1 ≤ 1 + 2 cos α ≤ 3 . O valor
mínimo de 1 + 2 cos α é -1 e o valor máximo é 3.
3.4. cos2 α . Sabemos que −1 ≤ cos α ≤ 1 ⇔ 0 ≤ cos2 α ≤ 1. O máximo de cos2 α é 1 e o
mínimo é 0.
3.5. 3 cos2 α + 1 . Sabemos que
−1 ≤ cos α ≤ 1 ⇔ 0 ≤ cos2 α ≤ 1 ⇔ 0 ≤ 3 cos2 α ≤ 3 ⇔ 1 ≤ 3 cos2 α + 1 ≤ 4 .
O máximo da expressão 3 cos2 α + 1 é 4 e o mínimo é 1.
4. Determine para que valores de, k∈IR se tem:
4.1. Sabendo que senα =
k −1
∧ cos α = k + 1 podemos aplicar a fórmula fundamental da
2
trigonometria.
2
k 2 − 2k + 1 2
2
 k − 1
+ k + 2k + 1 = 1 ⇔
 2  + ( k + 1) = 1 ⇔
4


k 2 − 2k + 1 + 4k 2 + 8k = 0 ⇔ 5k 2 + 6k + 1 = 0 ⇔ k =
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5
−6 ± 36 − 20
⇔
10
Ano Lectivo 2010/2011
k=
−6 ± 4
2
1
⇔k =−
∨ k = −1 ⇔ k = − ∨ k = −1
10
10
5
Então k pode tomar dois valores −1 e −
1
.
5
4.2. Sabendo apenas que senα = −k 2 podemos concluir que −1 ≤ −k 2 ≤ 1 pois o seno de
qualquer ângulo toma valores apenas no intervalo [ −1,1] .
Estamos perante uma dupla inequação do 2º grau.
−1 ≤ −k 2 ≤ 1 ⇔ k 2 − 1 ≤ 0 ∧ −k 2 − 1 ≤ 0
Precisamos de calcular os zeros dos polinómios k 2 − 1 e −k 2 − 1.
k 2 − 1 = 0 ⇔ k 2 = 1 ⇔ k = −1 ∨ k = 1
−k 2 − 1 = 0 ⇔ k 2 = −1 que é uma condição impossível por não haver nenhum número real
com quadrado negativo.
Para resolver a inequação k 2 − 1 ≤ 0 vamos fazer um
gráfico que sabemos ser uma parábola e atendendo a
que o polinómio tem dois zeros (-1 e 1) e a parábola
tem a concavidade voltada para cima ( porque o
coeficiente de k2 é positivo).
Do gráfico concluímos que k 2 − 1 é não positivo em [1,1].
Para resolver a inequação −k 2 − 1 ≤ 0 vamos fazer um
gráfico que sabemos ser uma parábola e atendendo a
que o polinómio não tem zeros e a parábola tem a
concavidade voltada para baixo (porque o coeficiente
de k2 é negativo).
Do gráfico concluímos que −k 2 − 1 é não positivo em
IR.
Finalmente concluímos que
−1 ≤ −k 2 ≤ 1 ⇔ k 2 − 1 ≤ 0 ∧ −k 2 − 1 ≤ 0 ⇔ k ∈ [ −1,1] ∧ k ∈ IR ⇔ k ∈ [ −1,1]
Então k pode tomar valores em [-1,1].
4.3. Sabendo que tgα =
2k − 1
π π 
∧ α ∈  ,  , podemos
3
3 2
α
construir um círculo trigonométrico para lá analisarmos
a situação e verificar que o lado extremidade de
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Ano Lectivo 2010/2011
π π 
qualquer ângulo no intervalo  ,  corta a linha da tangente acima do ponto onde o lado
3 2
extremidade do ângulo de
tgα ≥ 3 ⇔
π
π
o faz. Como tg = 3 podemos então concluir que
3
3
2k − 1
1+ 3 3
≥ 3 ⇔ 2k − 1 ≥ 3 3 ⇔ 2k ≥ 1 + 3 3 ⇔ k ≥
.
3
2
1 + 3 3

Então k pode tomar valores em 
, +∞  .
 2

5. Considere a expressão A (α ) = (1 + cos α ) + sen2α
2
5.1. Para mostrar que A (α ) = 2 + 2cos α vamos desenvolver o quadrado da soma e aplicar a
fórmula fundamental da Trigonometria.
A (α ) = (1 + cos α ) + sen2α = 1 + 2 cos α + cos2 α + sen2α = 1 + 2 cos α + 1
2
porque sen2α + cos2 α = 1 e portanto A (α ) = 2 + 2cos α como queríamos provar.
π

5.2. Queremos calcular o valor de A (α ) e sabemos que tgα = 2 e que α ∈  ,2π  .
2


O ângulo α podia estar nos 2º, 3º ou 4º quadrantes mas como a tangente é 2 e a
tangente nestes 3 quadrantes só é positiva no 3º concluímos que
α pertence ao
terceiro quadrante.
Sabemos a tangente e para calcular A (α ) precisamos do co-seno, vamos por isso
aplicar a fórmula que se deduz da fórmula fundamental e que relaciona estas duas
razões trigonométricas: 1 + tg2α =
1 + 22 =
1
cos2 α
1
1
5
∧ α ∈ 3º Q ⇔ cos2 α = ∧ α ∈ 3º Q ⇔ cos α = −
2
5
5
cos α
Agora já só falta substituir em A (α ) = 2 + 2cos α e temos:

5
2 5 10 − 2 5
A (α ) = 2 + 2 ×  −
=2−
=
 5 
5
5


Professora: Rosa Canelas
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Ano Lectivo 2010/2011