PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO
PUC/SP
Fernanda Roberta Ravazi Bailo
Produto da dissertação: Análise dos usos da variável
presente no Caderno do Aluno na introdução à Álgebra da
Proposta Curricular do Estado de São Paulo do Ensino
Fundamental II de 2008 e 2009
MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA
São Paulo
2011
RESUMO
O presente produto, originário de uma pesquisa qualitativa de cunho documental do
Mestrado Profissional em Ensino de Matemática, tinha como objetivo investigar
quais os diferentes usos da variável emergem da sequência de ensino, que compõe
as quatro Situações de Aprendizagem do Caderno do Aluno da 6ª série (7º ano)
volume 4-2009, sugerida na Proposta Curricular do Estado de São Paulo do Ensino
Fundamental II do ano de 2008. Para o seu desenvolvimento utilizamos uma
ferramenta teórico-metodológica denominada Modelo 3UV, tal modelo apresenta
uma interpretação do conceito de variável em três principais usos no ensino em
álgebra escolar – incógnita específica, número genérico e uma relação funcional.
Além disso, investigamos se as concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as
dimensões da álgebra segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL,
1998) também estão presentes nestas Situações de Aprendizagem. Como resultado
desta pesquisa, concluímos que o Modelo 3UV, as concepções de álgebra de
Usiskin (1995) e as dimensões de álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) podem
ser identificadas nas Situações de Aprendizagem analisadas, porém, de acordo com
o Modelo 3UV nestas situações são enfatizados os usos da variável como incógnita
específica e número genérico. Nas concepções de álgebra de Usiskin (1995) não
está presente a concepção de Álgebra como estudo de estruturas e nas dimensões
da álgebra segundo o PCN (BRASIL, 1998) não está contida a dimensão da Álgebra
estrutural. Portanto, este trabalho tem como produto propiciar a diferenciação entre
os distintos usos das variáveis para melhor instrumentalização do professor e estará
disponível para consulta dos docentes em versão digital em separado da dissertação
intitulada: Análise dos usos da variável presente no Caderno do Aluno na introdução
à Álgebra da Proposta Curricular do Estado de São Paulo do Ensino Fundamental II
de 2008 e 2009.
Palavras-chave: Educação Algébrica, Diferentes usos da variável, Modelo 3UV,
Material Didático, Proposta Curricular do Estado de São Paulo de 2008.
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO -------------------------------------------------------------------------------------------- 4
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS --------------------------------------------------------- 5
ANÁLISES DAS SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM ------------------------------------------ 6
Situação de Aprendizagem 1 - Investigando sequências por aritmética e álgebra - 6
Situação de Aprendizagem 2 - Equações e fórmulas ------------------------------------ 20
Situação de Aprendizagem 3 - Equações, perguntas e balanças --------------------- 40
Situação de Aprendizagem 4 - Proporcionalidade, equações e a regra de três--- 54
CONSIDERAÇÕES FINAIS ------------------------------------------------------------------------- 64
REFERÊNCIAS ---------------------------------------------------------------------------------------- 68
4
INTRODUÇÃO
Os Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Fundamental II – PCN
(BRASIL, 1998) e vários pesquisadores como Booth (1995), Demana e Leitzel
(1995), House (1995) e Scarlassari (2007), discutem a respeito das dificuldades
encontradas pelos alunos ao estudar Álgebra e a relevância da compreensão do
conceito de variável. Entretanto, pesquisas recentes como Silva (2009) apontam que
alunos na fase de conclusão do Ensino Fundamental (8ª série/9°ano) apresentam
dificuldades em relação ás variáveis e suas distintas utilizações. Já Rodrigues
(2008) em sua pesquisa verificou que estudantes, na fase de conclusão do Ensino
Médio (3° ano), também manifestam estas dificuldades e Queiroz (2008) constatou
em seu trabalho que professores destes níveis de ensino têm problemas em relação
ás variáveis e suas diferentes utilizações.
Como podemos notar tanto alunos, na fase de conclusão do Ensino
Fundamental II como do Ensino Médio, apresentam dificuldades os diferentes usos
das variáveis e Demana e Leitzel (1995, p. 74) ainda ressaltam: “É um fato bem
conhecido que os alunos têm dificuldade com o conceito de variável e que essa
dificuldade pode ser decisiva para um fracasso em Álgebra”.
Diante da relevância do conceito de variável para o ensino da Álgebra e as
dificuldades que os estudantes apresentam a respeito deste tema, temos como
objetivo nesta pesquisa investigar quais os diferentes usos da variável emergem da
sequência de ensino, que compõe as quatro Situações de Aprendizagem do
Caderno do Aluno da 6ª série (7º ano) volume 4-2009, quando se inicia formalmente
o ensino da Álgebra, sugerida na Proposta Curricular do Estado de São Paulo do
Ensino Fundamental II do ano de 2008.
A escolha pela análise desse material é em razão de deste conter Situações
de Aprendizagem envolvendo a introdução ao estudo da Álgebra, que o mesmo
deve ser utilizado por todos os professores e estudantes da Rede Estadual de
Ensino do Estado de São Paulo. Então está pesquisa tem como produto propiciar a
diferenciação entre os distintos usos das variáveis do referido material, para melhor
instrumentalização do professor. A seguir apresentaremos os procedimentos
metodológicos.
5
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
Para realização desta pesquisa, inicialmente foi efetuada a leitura da Proposta
Curricular do Estado de São Paulo (SÃO PAULO, 2008), com o intuito de verificar,
em qual bimestre da 6ª série tínhamos a introdução ao estudo da Álgebra e
descobrimos que estava presente no 4º bimestre.
Após a familiarização com o instrumento de análise, resolvemos os
problemas/atividades propostas nas quatro Situações de Aprendizagem do Caderno
do Aluno da 6ª série/7º ano Volume 4-2009, durante sua resolução consultamos o
que era proposto no Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009) e no gabarito do
Caderno do Aluno (SÃO PAULO, 2009a) apresentado pela Secretaria de Educação
do Estado de São Paulo, posteriormente iniciamos nossa análise.
Em cada problema/atividade das Situações de Aprendizagem, analisamos
quais aspectos da variável, segundo o Modelo 3UV, estavam presentes. Além disso,
verificamos quais concepções de álgebra de Usiskin (1995) e quais dimensões da
álgebra segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1998), podiam ser
identificadas.
A seguir apresentaremos as Situações de Aprendizagem contidas no Caderno
do Aluno da 6ª série volume 4-2009, seus objetivos segundo o Caderno do Professor
(SÃO PAULO, 2009), suas soluções apresentadas pela Secretaria de Educação do
Estado de São Paulo em forma de gabarito e suas respectivas análises.
6
ANÁLISES DAS SITUAÇÕES DE APRENDIZAGEM
Situação de Aprendizagem 1 - Investigando sequências por
aritmética e álgebra
Segundo o Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009):
Na Situação de Aprendizagem 1, o foco das atividades é o
reconhecimento de padrões, em figuras e em sequências numéricas.
Um dos objetivos da Álgebra é justamente a representação de
regularidades por meio da linguagem simbólica da Matemática.
Apresentamos uma série de atividades envolvendo a descoberta de
padrões e regularidades e sua posterior representação na forma
algébrica. (SÃO PAULO, 2009, p. 9).
Nesta Situação de Aprendizagem são apresentadas treze atividades
subdivididas em: Você aprendeu?, Lição de casa e um Desafio!. Iniciando-se com a
seção Você aprendeu?, apresentada na Figura 1.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
INVESTIGANDO SEQUÊNCIAS POR ARITMÉTICA E ÁLGEBRA
1. Observe com atenção a sequência abaixo:
Qual é o próximo símbolo que deve ser colocado na sequência para que seja mantido seu padrão?
I.
II.
III.
IV.
V.
a) O símbolo I.
b) O símbolo II.
c) Os símbolos II ou III.
d) Os símbolos I ou IV.
e) Os símbolos II ou IV.
2. Por que é possível escolher mais de um símbolo para continuar o padrão da sequência?
________________________________________________________________________________________________________
3. Desenhe uma sequência usando como padrão o símbolo da figura III, apresentado na
Atividade 1.
4. Desenhe os 7 primeiros símbolos da sequência, apresentados na Atividade 1, numerando-os
conforme sua posição.
a) Qual símbolo deve ser colocado na 20ª posição da sequência? E na posição 573?
________________________________________________________________________________________________________
b) Escreva uma regra que permita identificar o símbolo correspondente a cada uma das posições
da sequência.
________________________________________________________________________________________________________
Figura 1 - Atividades 1, 2, 3 e 4 da Situação de Aprendizagem 1
Fonte: São Paulo, 2009a, p. 3-4
7
Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação
1. Alternativa e.
Observação: Em geral, os alunos identificam com facilidade que o próximo
símbolo será / \. Contudo, é possível que alguns digam que o próximo símbolo será
apenas /, o que não deixa de fazer sentido se identificarmos a sequência como a
alternância das barras / e \. Mesmo que esse tipo de identificação não apareça de
forma natural, é interessante que o professor problematize-o, o que pode ser feito
com o seguinte tipo de pergunta: Será que podemos afirmar que a sequência é
formada pelas figuras / e \ em alternância? O que nos impede de dizer que as
figuras indicadas em cada posição da sequência são do tipo /\/, ou ainda do tipo /\/\?
2. Não há um marcador claro que identifique cada uma das posições dos símbolos
na sequência.
3.
4.
a) Na 20ª posição será o símbolo II.. Na 573ª posição, o símbolo I..
b) O símbolo I. está associado às posições pares, e o símbolo II. às posições
ímpares.
Exemplos de resposta:
• nas posições ímpares a linha está deitada para a direita, enquanto nas pares a
linha está deitada para a esquerda;
• quando a posição indica um múltiplo de 2 teremos \, caso contrário teremos / .
Análise
Vale ressaltar que na resposta apresentada pelo gabarito na atividade 3, há
vírgulas e na sequência estas não aparecem, portanto, seria aconselhável nesta
sequência não se colocar as vírgulas. Já a resposta dada para a atividade 4 (a) esta
incorreta, pois na 20ª posição será o símbolo I., ou seja \. Já na posição 573ª será o
símbolo II., ou seja /.
Na série de atividades apresentadas em Você aprendeu? observamos que a
pré-álgebra está presente, uma vez que é dada uma sequência de padrão figurativo,
8
cuja finalidade é explorar a identificação do padrão da mesma e sua representação é
feita por meio de palavras e figuras. Além disso, fazemos o uso de recursos
aritméticos para investigar os termos da sequência, e atribuímos números para
detectar suas posições. Neste episódio foram utilizados os números naturais pares
(ou múltiplos de 2) e os números naturais ímpares.
Nestas atividades embora em sua resolução “não apareçam letras” e o foco
seja regularidades, temos de acordo com o Modelo 3UV os aspectos G1, G3 e G5
da variável como número genérico. Nas atividades 1, 2, 3 e 4 é necessário o aspecto
G1, pois precisarão reconhecer padrões e perceber regras e métodos em uma
sequência; na 4 (a) temos o aspecto G3, já que deverão deduzir a regra em uma
sequência; e na 4 (b) é indispensável o aspecto G5, uma vez que necessitarão
simbolizar enunciados e regras, na qual representarão este padrão por meio de
palavras, ou seja, terão que escrever retoricamente.
Já de acordo com as concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as
dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL,1998) não identificamos nenhuma
das duas. A meu ver, isto se justifica em virtude de tanto as concepções quanto as
dimensões da álgebra, focarem o uso da variável letra e como podemos observar
em nenhuma destas atividades tivemos a presença de letras, e sim da variável
palavra.
Nas Figuras 2 e 3, apresentamos a Lição de casa com as atividades 5 e 6.
5. Escreva uma regra de identificação dos símbolos para cada uma das sequências a seguir:
a) Sequência 1
____________________________________________________________________________________________________
b) Sequência 2
____________________________________________________________________________________________________
c) Sequência 3
____________________________________________________________________________________________________
d) Sequência 4
____________________________________________________________________________________________________
Figura 2 - Atividade 5 da Situação de Aprendizagem 1
Fonte: São Paulo, 2009a, p. 4-5
9
6. Tendo como base as sequências apresentadas na atividade anterior, desenhe:
a) a figura que ocupa a 20ª posição na Sequência 1.
b) a figura que ocupa a 73ª posição na Sequência 2.
c) a figura que ocupa a 123ª posição na Sequência 3.
d) a figura que ocupa a 344ª posição na Sequência 4.
Figura 3 - Atividade 6 da Situação de Aprendizagem 1
Fonte: São Paulo, 2009a, p. 5
Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação
5. a) Símbolo I: nas posições indicadas por múltiplos de 3.
Símbolo /: quando o resto da divisão da posição por 3 for 1.
Símbolo \: quando o resto da divisão da posição por 3 for 2.
b) Símbolo
Símbolo
c) Símbolo
Símbolo
: quando a posição for um número ímpar.
: quando a posição for um número par.
: quando a posição for um múltiplo de 3.
: quando a posição não for um múltiplo de 3.
d) Símbolo : nas posições indicadas por múltiplos de 3.
Símbolo : quando o resto da divisão da posição por 3 for 1.
Símbolo : quando o resto da divisão da posição por 3 for 2.
6. a) A figura que ocupa a 20ª posição na sequência 1 é \.
b) A figura que ocupa a 73ª posição na sequência 2 é
c) A figura que ocupa a 123ª posição na sequência 3 é
.
.
d) A figura que ocupa a 344ª posição na sequência 4 é .
10
Análise
Nesta seção Lição de casa, temos ainda um modelo de pré-álgebra, na qual
são apresentadas sequências de padrão figurativo com a intenção de explorar a
identificação do padrão da mesma. A representação deste padrão é feita por meio
de palavras e figuras, tendo o uso de recursos aritméticos para identificar os termos
da sequência; neste caso, foram utilizados os múltiplos, os divisores, o resto da
divisão.
Nas atividades 5 e 6, ocorre o mesmo que nas anteriores (Você Aprendeu?).
Apesar de na resolução, cujo foco é regularidades “não aparecerem letras” temos
segundo o Modelo 3UV os aspectos G1, G3 e G5 da variável como número
genérico. Sendo indispensável na atividade 5 o aspecto G1, já que precisarão
reconhecer padrões, perceber regras e métodos em sequências; o aspecto G3, pois
necessitarão deduzir regras em sequências; e o aspecto G5, porque deverão
simbolizar enunciados, regras ou métodos gerais, representando este padrão por
meio de palavras, ou seja, terão que escrever retoricamente. Já na atividade 6
temos apenas o aspecto G3.
Com relação às concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da
álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) como nas atividades da seção anterior
(Você aprendeu?), não tivemos a presença da variável letra. Logo, não identificamos
nenhuma das concepções e das dimensões da álgebra.
Nas Figuras 4 e 5, temos novamente a seção Você aprendeu? com as
atividades 7, 8, 9 e o 10 em forma de Desafio.
7. Observe a sequência a seguir e responda às perguntas:
1
2
3
4
5 6
7
8 9
10 11 12
a) Qual é a próxima figura da sequência? __________________
b) Escreva uma regra para determinar a posição de cada símbolo da sequência.
__________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________
c) Qual é figura que ocupa a posição 263 dessa sequência? ______________
Figura 4 - Atividade 7 da Situação de Aprendizagem 1
Fonte: São Paulo, 2009a, p. 6
11
8. Para fazer entregas de gás na cidade de São Paulo, uma distribuidora dividiu a cidade
em 180 regiões e estabeleceu o seguinte calendário de entrega:
2ª feira
3ª feira
4ª feira
5ª feira
6ª feira
Sábado
Região 1
Região 2
Região 3
Região 4
Região 5
Região 6
Região 7
Região 8
Região 9
Região 10
Região 11
Região 12
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a) Cite cinco regiões da cidade que recebem o gás às sextas-feiras.
__________________________________________________________________________________________________
b) Que regiões da cidade recebem gás aos sábados?
__________________________________________________________________________________________________
c) Em que dia da semana a região 180 recebe a entrega de gás? E a região 129?
__________________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________________
d) Como podemos descrever, em palavras, as regiões servidas pela entrega de gás às
quintas-feiras?
____________________________________________________________________________________________________
9. Complete a sequência das potências de 7 até conseguir identificar o padrão de
repetição do algarismo das unidades e, em seguida, responda às perguntas:
70
71
1
7
72
73
74
75
76
77
a) Quais são os algarismos que se repetem na casa das unidades? Em que ordem?
__________________________________________________________________________________________________
b) Explique por que esse padrão acontece.
__________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________
c) Para quais expoentes da potência de 7 o resultado será um número terminado em 1?
__________________________________________________________________________________________________
d) Para quais expoentes da potência de 7 o resultado será um número terminado em 7?
__________________________________________________________________________________________________
e) Qual é o algarismo da unidade do resultado da potência 7179 ?
__________________________________________________________________________________________________
Desafio!
10. Qual é o algarismo da unidade do resultado da expressão numérica 7100 + 7150 + 5?
Resposta: ________________
Figura 5 - Atividades 8, 9 e 10 da Situação de Aprendizagem 1
Fonte: São Paulo, 2009a, p. 6-8
Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação
7. a) É a figura
b) A figura
. (paus)
ocupa as posições 4, 8, 12, 16,..., ou seja, posições correspondentes
a um múltiplo de 4. As posições ocupadas por
são as de número 2, 6, 10, 14,
18,..., ou seja, posições em que temos um “múltiplo de 4 acrescido de 2” ou, dizendo
de outra maneira, são as posições marcadas por números que “deixam resto 2 na
12
divisão por 4”. Usando o mesmo tipo de raciocínio, as posições da figura
são
identificadas por “múltiplos de 4 acrescidos de 3” (ou números que “deixam resto 3
na divisão por 4”), e as posições da figura
são identificadas por “múltiplos de 4
acrescidos de 1” (ou números que “deixam resto 1 na divisão por 4”).
c) Como o resto da divisão de 263 por 4 é 3, então a figura dessa posição será
.
8. a) Podem ser as regiões 5, 11, 17, 23 e 29.
b) Todas as regiões que são múltiplas de 6: 6, 12, 18, 24,..., 180.
c) Como 180 é múltiplo de 6, então essa região será atendida aos sábados. Já a
região 129, que deixa resto 3 na divisão por 6, receberá o gás às quartas-feiras.
d) Regiões cujo número deixa resto 4 na divisão por 6 ou regiões cujo número é um
múltiplo de 6 acrescido de 4.
9.
70
71
72
73
74
75
1
7
49
343
2 401
16 807
76
77
117 649 823 543
a) Os algarismos 1, 7, 9, 3, nessa ordem.
b) Porque qualquer número terminado em 1, quando multiplicado por 7, resulta em
um número terminado em 7. Um número terminado em 7, quando multiplicado por 7,
termina em 9. Um número, terminado em 9, quando multiplicado por 7, termina em 3.
E, um número terminado em 3, quando multiplicado por 7, termina em 1, voltando ao
início do ciclo.
c) Para todos os expoentes múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12,...
d) Para todos os expoentes cujo resultado da divisão por 4 deixe resto 1: 1, 5, 9,
13,...
e) Como 179 deixa resto 3 na divisão por 4, então pode-se concluir que o resultado
da potência terá o algarismo da unidade igual a 3.
Desafio !
10. Resposta: 5.
Nesse item, teremos que descobrir inicialmente a casa da unidade das potências
7100 e 7150, o que poderá ser feito investigando os restos das divisões de 100 e de
150 por 4. No primeiro caso, o resto é zero, o que implica casa das unidades igual a
1. No segundo caso, o resto é 2, o que implica casa das unidades igual a 9. Temos,
portanto, que a soma 7100 + 7150 + 5 implica somarmos dois números que têm casas
13
das unidades iguais a 1 e 9, com 5 unidades (correspondente à última parcela da
soma). Como 1 + 9 + 5 = 15, a casa da unidade de 7100 + 7150 + 5 será 5.
Análise
Nesta seção Você aprendeu? também temos um modelo de pré-álgebra, em
que mais uma vez ocorre o que foi mencionado nas atividades anteriores, isto é,
busca explorar a identificação do padrão da sequência e a sua representação é feita
por meio de palavras e figuras. Ainda temos o uso de recursos aritméticos para
identificar os termos da sequência, nestes também foram empregados os múltiplos,
os divisores, o resto da divisão e na atividade 9, temos uma sequência numérica.
Ressaltamos que segundo o Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009, p.14)
“Investigações sobre o resto de uma divisão podem ser utilizadas sempre que temos
uma sequência em que determinado padrão aritmético se repete”.
Nestas atividades 7, 8 e 9 ainda “não aparecem letras” em sua resolução e o
foco é regularidades, mas de acordo com o Modelo 3UV temos os aspectos G1, G3
e G5 da variável como número genérico. Sendo necessário na atividade 7 (a), 8 (a)
e (b), 9 (a) o aspecto G1, uma vez que necessitarão reconhecer padrões e perceber
regras e métodos em sequências; já na 7 (b) e (c), 8 (a), (b) e (c), 9 (b), (c), (d) e (e)
temos o aspecto G3, pois precisarão deduzir regras em sequências; e na 7 (b), 8 (d)
e 9 (b) temos o aspecto G5, porque deverão
simbolizar enunciados, regras ou
métodos gerais, na qual representarão este padrão por meio de palavras, ou seja,
terão que escrever retoricamente.
Já segundo as concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da
álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) como nas atividades das seções
antecedentes, não tivemos a presença da variável letra, consequentemente não
identificamos nenhuma das concepções e das dimensões da álgebra.
De acordo com o Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009):
Nos problemas anteriores, trabalhamos com sequências figuradas e
numéricas e nosso principal objetivo foi identificar regularidades e
representá-las com o uso da linguagem escrita ou de recursos
aritméticos. Nossa próxima atividade tem o objetivo de estabelecer
um ambiente favorável para o uso de letras na representação dos
padrões identificados de forma indutiva. (SÃO PAULO, 2009,
p.16-17).
14
Como podemos notar até o presente momento durante as resoluções das
atividades, não foram utilizadas letras. Mas nas atividades seguintes teremos o uso
de letras para representar os padrões identificados.
Na Figura 6, apresentamos a seção Você aprendeu? com as atividades 11 e
12.
11. Observe as sequências de bolinhas e responda às perguntas:
a) Desenhe as bolinhas que devem ocupar a posição 5 e 6.
b) Preencha a tabela associando o número de bolinhas com a posição da figura.
Posição
1
2
3
4
5
6
Número de bolinhas
c) Quantas bolinhas terá a figura que ocupa a 10ª posição?
___________________________________________________________________________________________________
d) E a figura que ocupa a 45ª posição?
___________________________________________________________________________________________________
e) Descreva, em palavras, o padrão de formação dessa sequência.
___________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________________________
12. Considere, agora, a mesma sequência da atividade anterior representada por bolinhas
coloridas.
a) Que lógica foi utilizada para colorir as bolinhas?
________________________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
b) Qual é a única bolinha que não tem forma par e está presente em todas as figuras?
________________________________________________________________________________________________
c) Quantos pares de bolinhas da mesma cor contém a figura 4? E a figura 5?
________________________________________________________________________________________________
d) Quantos pares de bolinhas da mesma cor contém na figura 18? E na figura 31?
________________________________________________________________________________________________
e) Qual é a figura da sequência que possui 25 pares de bolinhas da mesma cor? Quantas
bolinhas essa figura possui no total?
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
f) Utilizando a letra P para identificar a posição da figura, escreva uma fórmula que
determine o número N de bolinhas de cada figura.
___________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________
Figura 6 - Atividades 11 e 12 da Situação de Aprendizagem 1
Fonte: São Paulo, 2009a, p. 8-9
15
Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação
11. a)
5
6
b)
Posição
1
2
3
4
5
6
Número de bolinhas
1
3
5
7
9
11
c) 19 bolinhas.
d) 89 bolinhas.
e) Resposta pessoal. Quando pedimos para o aluno representar em palavras o
padrão da sequência há uma grande diversidade de respostas possíveis. Em geral,
podemos agrupá-las em duas categorias: as das representações chamadas
recursivas, em que a determinação do número de bolinhas de uma etapa depende
diretamente da determinação do número de bolinhas da etapa anterior; e as das não
recursivas, em que o número de bolinhas de cada etapa é calculado apenas com
informações associadas ao próprio número que determina a posição da figura na
sequência. Um padrão recursivo que pode ser usado para descrever a sequência
em palavras é: somar sempre duas bolinhas a mais em cada etapa com relação à
etapa anterior. Um padrão não recursivo para a sequência, descrito em palavras,
seria: o número de bolinhas de cada posição é 1 a menos que o dobro da posição.
12. a) Nessa figura marcamos em vermelho uma bolinha que sempre se repetirá em
todas as posições, e em tons de azul os pares de novas bolinhas em cada posição.
b) A vermelha.
c) 3 pares na figura 4 e 4 pares na figura 5.
d) Na figura 18 haverá 17 pares, e na figura 31, 30 pares.
e) Será a figura da posição 26. No total, haverá 51 bolinhas, correspondentes aos 25
pares (25.2) mais a bolinha vermelha.
f) N = 1 + 2.(P – 1) ou N = 2.P – 1.
Análise
Ressaltamos que na atividade 12 (b), devemos observar com atenção quando
está escrito: “bolinha que não tem forma par”, mas a bolinha tem forma par? E nas
resoluções apresentadas pelo gabarito para atividade 12, no item (a) precisamos
16
também, prestar atenção em “em tons de azul”, isto poderia ser substituído por “de
mesma cor”, já nos itens (e) e (f), é utilizado o ponto no lugar do sinal de
multiplicação, em que (25.2) poderia ser trocado por ( 25 × 2 ) , N = 1 + 2.(P – 1) por
N = 1 + 2 × ( P − 1) e N = 2.P – 1 por N = 2 × P − 1 .
Nesta seção Você aprendeu? novamente, temos atividades que procuram
explorar a identificação do padrão da sequência; e sua representação é feita por
meio de palavras e figuras; já na atividade 12 item (f), pela primeira vez foi solicitado
o uso de letras para representar o padrão da sequência.
Na atividade 11, em sua resolução ainda “não aparecem letras”, mas de
acordo com o Modelo 3UV temos os aspectos G1, G2 e G3 da variável como
número genérico. Sendo indispensável no item (a) e (b) o aspecto G1, pois deverão
reconhecer padrões e perceber regras em uma sequência; já nos itens (b), (c) e (d)
temos o aspecto G3, porque precisarão deduzir regras e métodos gerais em uma
sequência; e no item (e) temos o aspecto G5, visto que necessitarão simbolizar
enunciados, regras ou métodos gerais, na qual representarão este padrão por meio
de palavras, ou seja, será necessário escrever retoricamente.
Com relação às concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da
álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) na atividade 11, também como nas
atividades das seções anteriores, não tivemos a presença da variável letra, portanto,
não identificamos nenhuma das concepções e das dimensões da álgebra.
Na atividade 12 item (f), temos o aparecimento de letras para escrever uma
fórmula que determina o número N de bolinhas de cada figura, utilizando a letra P
para identificar a posição da figura. Segundo o Modelo 3UV, nesta atividade, temos
os aspectos G1, G2, G3 e G5 da variável como número genérico. Sendo necessário
nos itens (a), (b) e (c) o aspecto G1, pois precisarão reconhecer padrões e perceber
regras em uma sequência; já nos itens (d) e (e) temos o aspecto G3, porque
necessitarão deduzir regras e métodos gerais em uma sequência; e no item (f)
temos os aspectos G2 e G5, visto que deverão interpretar a variável simbólica (letra)
como a representação de uma entidade geral, indeterminada, que pode assumir
qualquer valor (G2) e simbolizar enunciados, regras ou métodos gerais (G5). Como
nesta atividade, temos a variável letra, que aparece para generalizar padrões de
uma sequência, de acordo com as concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as
17
dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) identificamos a concepção
e dimensão Álgebra como aritmética generalizada.
Para finalizar esta Situação de Aprendizagem, na Figura 7 apresentamos a
seção Lição de casa com a atividade 13.
13. Em cada uma das sequências a seguir, faça o que se pede.
I. Desenhe a próxima figura da sequência.
II. Calcule o número de bolinhas das figuras que ocupam a 5ª e a 20ª posição.
II. Escreva uma fórmula que relacione o número N de bolinhas com a posição P que
ocupa a figura na sequência.
Sequência 1
II. 5ª : _______ / 20ª : _______
III. N = ___________________
Sequência 2
II. 5ª : _______ / 20ª : _______
III. N = ___________________
Sequência 3
II. 5ª : _______ / 20ª : _______
III. N = ___________________
Sequência 4
II. 5ª : _______ / 20ª : _______
III. N = ___________________
Sequência 5
II. 5ª : _______ / 20ª : _______
III. N = ___________________
Sequência 6
II. 5ª : _______ / 20ª : _______
III. N = ___________________
Figura 7 - Atividade 13 da Situação de Aprendizagem 1
Fonte: São Paulo, 2009a, p. 10-11
18
Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação
13.
I
II.
9
bolinhas
e
24
bolinhas, respectivamente.
III. Sequência 1: N = P+4
I
II.
17
e
62
bolinhas,
respectivamente.
III. Sequência 2:
N = P+2(P+1)
I
II.
17
e
77
bolinhas,
respectivamente.
III. Sequência 3:
N = 1+4(P-1)
I
II.
19
e
79
bolinhas,
respectivamente.
III. Sequência 3:
N = 4.P-1
I
II.
23
e
98
bolinhas,
respectivamente.
III. Sequência 5:
N = 5P–2
I
II.
20
e
80
respectivamente.
bolinhas,
19
III. Sequência 6:
N = 4P
Análise
Na seção Lição de casa, temos também atividades que buscam explorar a
identificação do padrão da sequência, para isto utilizam recursos aritméticos e letras
para representar deste padrão.
Nesta atividade, de acordo com o Modelo 3UV, temos os aspectos G1, G2,
G3 e G5 da variável como número genérico. Sendo necessário o aspecto G1, pois
precisarão reconhecer padrões e perceber regras em sequências; o aspecto G2, já
que deverão interpretar a variável simbólica (letra) como a representação de uma
entidade geral, indeterminada, que pode assumir qualquer valor; o aspecto G3, uma
vez que necessitarão deduzir regras e métodos gerais em sequências; e por fim o
aspecto G5, porque precisarão simbolizar enunciados, regras ou métodos gerais.
Como na atividade 13, temos a variável letra, que aparece para generalizar
padrões de uma sequência. De acordo com as concepções de álgebra de Usiskin
(1995) e as dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) temos a
concepção e a dimensão Álgebra como aritmética generalizada.
Podemos observar, nesta primeira Situação de Aprendizagem, durante as
resoluções das atividades foram necessários quatro aspectos que constituem a
variável como número genérico, segundo o Modelo 3UV, faltando apenas o aspecto
G4; os aspectos G1, G3 e G5 apareceram com maior frequência, estando presentes
em todas as atividades, com exceção da atividade 6 que teve somente o G3; o
aspecto G2 ocorreu apenas nas atividades 12 e 13, quando tínhamos a variável
letra. Com relação às concepções de álgebra segundo Usiskin (1995) e as
dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) temos nas atividades 12 e
13 a Álgebra como aritmética generalizada, já que foram nestas atividades que
tivemos a variável letra, em que a mesma aparece para generalizar padrões de uma
sequência.
20
Situação de Aprendizagem 2 - Equações e fórmulas
Segundo o Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009):
A Situação de Aprendizagem 2, explora a relação entre fórmulas e
equações. Entendemos que o trabalho com fórmulas é uma
estratégia valiosa para trabalhar com equações sem a preocupação
explícita de “resolvê-las”. A fórmula possui um contexto que lhe é
inerente e que favorece a compreensão e a aprendizagem do aluno.
Nessa Situação de Aprendizagem, o objetivo principal é fazer com
que o aluno realize operações com expressões algébricas sem se
preocupar com técnicas e métodos de resolução. (SÃO PAULO,
2009, p. 9).
Também, destaca que “A ideia central que deve nortear o trabalho com
fórmulas é a de que as letras servem para representar um valor numérico qualquer.”
(SÃO PAULO, 2009, p. 21).
Ressaltamos que durante as análises no que se refere às fórmulas segundo
Ursini et al (2005, p. 80) “[...] fórmulas geométricas, interpretando as letras como
número genérico [...]”.
Nesta Situação de Aprendizagem são apresentados onze problemas,
envolvendo fórmulas na geometria, fórmulas de média aritmética, fórmula do
imposto de renda, fórmula para o cálculo do Índice de Massa Corpórea (IMC) e
fórmulas da Física. Estes problemas estão subdivididos em: Você aprendeu?, Lição
de casa e um Desafio!. Iniciando-se com uma Pesquisa individual, na qual dois
exemplos de fórmulas são solicitados aos alunos, como mostra a Figura 8.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2
EQUAÇÕES E FÓRMULAS
1. Faça uma pesquisa e encontre dois exemplos de fórmulas. Registre-as no espaço
abaixo e escreva um parágrafo sobre o que você sabe sobre elas (para que são
usadas, como funcionam, de que área do conhecimento elas vêm, etc.).
Dicas de pesquisa: Você pode encontrar exemplos de fórmulas em seus livros
escolares (Matemática, Ciências ou Geografia), enciclopédias, jornais e revistas
ou na internet.
Fórmula 1: ___________________
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
Fórmula 2: ___________________
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
21
Figura 8 - Problema 1 da Situação de Aprendizagem 2
Fonte: São Paulo, 2009a, p. 13
Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação
1. O resultado da pesquisa é pessoal. Cada aluno deverá procurar exemplos de
fórmulas em livros escolares (Matemática, Ciências ou Geografia), enciclopédias,
jornais e revistas ou na internet. Procure orientá-los sobre o tipo de expressão que
os alunos devem procurar, pois alguns podem não saber do que se trata uma
fórmula. Além disso, estimule-os a pesquisar sobre o significado das fórmulas
encontradas.
Observação: O objetivo dessa pesquisa é ampliar o repertório dos alunos a
respeito de fórmulas. Reserve um tempo da aula para que os alunos socializem os
resultados de suas pesquisas.
Análise
Nesta seção Pesquisa individual, os temas a serem abordados são: letras
para representar números ou grandezas. De acordo com o Modelo 3UV, temos o
aspecto G2 da variável como número genérico, visto que deverão interpretar a
variável simbólica (letra) como a representação de um número genérico,
indeterminado, que pode assumir qualquer valor. Com relação às concepções de
álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL,
1998), temos a concepção de Álgebra como estudo de relações entre grandezas e a
dimensão da Álgebra funcional, já que teremos uma relação entre grandezas e
serão utilizadas fórmulas.
Na Figura 9, apresentamos a seção Você aprendeu? Contendo o problema 2
utilizando Fórmulas na Geometria.
Porém, segundo o Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009):
Podemos iniciar esta atividade solicitando aos alunos que procurem
no livro ou no caderno todas as fórmulas relacionadas ao cálculo de
áreas e perímetros que eles aprenderam. A partir desta lista, o
professor pode desenvolver uma série de atividades exploratórias,
envolvendo a interpretação da sentença matemática presente na
fórmula, o significado das letras que a compõem, a obtenção de
22
resultados a partir de valores numéricos, etc. (SÃO PAULO, 2009,
p.22).
Fórmulas na Geometria
2. a) Calcule o perímetro de um retângulo de lados iguais a 4 cm e 6 cm. Escreva a
sentença matemática correspondente a essa operação.
P = _________________ = ______
b) Como ficaria a sentença matemática se o retângulo tivesse lados iguais a 22,5 cm e
42 cm?
P =__________________________________________ = _______
c) Vamos substituir as medidas dos lados do retângulo pelas letras a e b, representando
o comprimento e a largura, respectivamente. Escreva a expressão do perímetro desse
retângulo.
P =__________________________________________ = _______
d) A expressão matemática encontrada no item anterior é a fórmula do perímetro do
retângulo. Usando essa fórmula, calcule o perímetro de um retângulo cujo comprimento a
mede 8,3 cm e a largura b, 4,1 cm.
e) Sabendo que a medida da largura de um retângulo é 5 m e que seu perímetro vale 22
m, descubra qual é a medida de seu comprimento.
f) Usando a fórmula do perímetro, encontre as medidas a e b dos lados de um
retângulo para que seu perímetro seja igual a 36 cm.
Figura 9 - Problema 2 da Situação de Aprendizagem 2
Fonte: São Paulo, 2009a, p. 13-14
Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação
2. a) P = 4 + 4 + 6 + 6 = 20
b) P = 22,5 + 22,5 + 42 + 42
P = 45 + 84
P = 129
c) P = a + a + b + b
23
Observação: comente com os alunos que a expressão acima é equivalente a se
escrever P = 2.a + 2.b.
d) P = 2.a + 2.b = 2. 8,3 + 2. 4,1 = 16,6 + 8,2 = 24,8 cm.
O perímetro desse retângulo vale 24,8 cm.
e) 22 = 2.a + 2.5
a=6m
f) Solução em aberto.
Em um primeiro momento, esse problema pode ser resolvido livremente pelos
alunos, por meio da atribuição de valores para a e b. Contudo, é importante mostrar
em seguida como ficaria a resolução usando-se a fórmula do perímetro.
Por exemplo, se a for igual a 8, a fórmula ficaria assim: 36 = 2.8 + 2.b, ou
36 = 16 + 2.b. Ou seja, o valor de b seria 10.
Análise
Notamos que nas resoluções apresentadas pelo gabarito, nos itens (a), (b) e
(f) não estiveram presentes as unidades de medida na resposta do problema, nos
itens (c), (d), (e) e (f), precisamos observar com atenção, pois o ponto é utilizado no
lugar do sinal de multiplicação.
Nesta seção Você aprendeu? temos o problema 2, cujo objetivo é explorar as
letras para representar números e grandezas, e ainda o valor numérico de uma
fórmula, neste caso, relacionada à geometria para o cálculo do perímetro de um
retângulo.
Neste problema, de acordo com o Modelo 3UV, temos os aspectos I1, I2, I4 e
I5 da variável como incógnita específica e também os aspectos G2, G3, G4 e G5 da
variável como número genérico. Nos itens (a), (b), (d), (e) e (f) é necessário o
aspecto I1, pois deverão reconhecer e identificar a presença de algo desconhecido
que pode ser determinado considerando as restrições do problema. Já para os itens
(d), (e) e (f) também são indispensáveis os aspectos I2, I4 e I5, visto que deverão
interpretar a variável simbólica (letra) que aparece em uma equação, como a
representação de valores específicos (I2); determinar a quantidade desconhecida
que aparece em equações, realizando operações algébricas, aritméticas ou de
ambos os tipos (I4) e simbolizar as quantidades desconhecidas identificadas em
uma situação específica e utilizá-las para formular equações (I5). No item (c) são
necessários os aspectos G2, G3, G4 e G5, já que deverá interpretar a variável
24
simbólica (letra) como a representação de uma entidade geral, indeterminada, que
pode assumir qualquer valor (G2); deduzir regras e métodos gerais em famílias de
problemas (G3); manipular (simplificar, desenvolver) a variável simbólica (G4) e
simbolizar enunciados, regras ou métodos gerais (G5).
Já em relação às concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões
da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998), temos a concepção de Álgebra como
estudo de relações entre grandezas e a dimensão da Álgebra funcional, visto que
teremos uma relação entre grandezas, neste caso, foi utilizada a fórmula do
perímetro de um retângulo. Além disso, no item (c) temos a concepção e dimensão
Álgebra como aritmética generalizada, pois necessitarão generalizar modelos, e nos
itens (a), (b), (d), (e) e (f) temos a concepção de Álgebra como um estudo de
procedimentos para resolver certos tipos de problemas e a dimensão da Álgebra das
equações, já que precisarão resolver e apresentar a solução do problema.
Na Figura 10, temos a seção Lição de casa, com o problema 3:
3. A fórmula para o cálculo da área de um
triângulo qualquer é
A=
l.h
, onde A
2
representa a medida da área, l a medida de
um lado é h, a medida da altura do triângulo
em relação a esse lado. Considere o triângulo
retângulo ABC, de catetos a e b e hipotenusa
c, representado ao lado.
a) Sabendo que os catetos a e b são perpendiculares entre si, qual seria a fórmula da área
para um retângulo de lados a, b e c?
b) Use a fórmula do item anterior para calcular a área de um triângulo retângulo cujos
catetos medem, respectivamente, 28 cm e 32 cm.
c) A área de um triângulo é conhecida e igual a 144 cm2. Use a fórmula A = l.h para
2
descobrir quais dos pares de valores a seguir podem representar as medidas dos catetos
desse triângulo.
I. 12 cm e 25 cm.
II. 14 cm e 24 cm.
III. 16 cm e 18 cm.
IV. 17 cm e 17 cm.
d) Sabendo que a área de um triângulo retângulo é 40 cm2 e que um dos catetos mede 10
cm, determine a medida do outro cateto.
Figura 10 - Problema 3 da Situação de Aprendizagem 2
Fonte: São Paulo, 2009a, p. 14-15
Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação
25
3. a) Como a medida de um cateto corresponde à altura do triângulo relativa ao
a.b
outro cateto, podemos escrever a fórmula da área como A =
.
2
É importante observar que, nesse item, a generalização da medida do lado e
da altura como sendo os catetos de um triângulo retângulo implicou uma
substituição de duas letras (l e h) por outras duas letras (a e b).
b) A =
a.b 28.32
=
= 448 . Portanto, A = 448 cm².
2
2
c) III. 16 cm e 18 cm.
A=
a.b 16.18
=
= 144cm 2
2
2
d) Nesse caso, comente com os alunos que o valor da área já é conhecido, e, por
isso, pode ser inserido na fórmula da área no lugar da letra A. O problema passa a
ser a descoberta do valor da medida de um dos catetos. Substituindo-se A por 40 e
a por 10, obtemos a seguinte igualdade: 40 =
10.b
. A equação a seguir corresponde
2
à seguinte pergunta: Qual é o valor de b que, multiplicado por 10 e dividido por 2
resulta em 40? Os alunos não terão dificuldade para concluir que b vale 8.
Análise
Observamos que no problema 3, onde temos a expressão “área de um
triângulo”, a meu ver, deveria ser substituída por “a medida da área de um triângulo”
e quando é apresentada a fórmula para este cálculo o ponto é utilizado no lugar do
sinal de multiplicação e o mesmo acontece durante as resoluções apresentadas pelo
gabarito.
Na seção Lição de casa temos o problema 3, que tem como objetivo explorar
as letras para representar números e grandezas e ainda o valor numérico de uma
fórmula. Neste caso, também é utilizada uma fórmula relacionada à geometria, mas
agora para o cálculo da medida da área do triângulo.
No terceiro problema, segundo o Modelo 3UV, temos os aspectos I1, I2, I4 e
I5 da variável como incógnita específica e também os aspectos G2, G3 e G5 da
variável como número genérico. No item (a) são necessários os aspectos G2, G3 e
G5, pois deverão interpretar a variável simbólica (letra) como a representação de
uma entidade geral, indeterminada, que pode assumir qualquer valor (G2); deduzir
regras e métodos gerais em famílias de problemas (G3); e simbolizar enunciados,
26
regras ou métodos gerais (G5). Nos itens (b), (c) e (d) são indispensáveis os
aspectos I1, I2, I4 e I5, visto que deverão reconhecer e identificar a presença de algo
desconhecido que pode ser determinada, considerando as restrições do problema
(I1); interpretar a variável simbólica (letra) que aparece em uma equação como a
representação de valores específicos (I2); determinar a quantidade desconhecida
que aparece em equações, realizando operações algébricas, aritméticas ou de
ambos os tipos (I4); e simbolizar as quantidades desconhecidas identificadas em
uma situação específica e utilizá-las para formular equações (I5).
Em relação às concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da
álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) temos a concepção de Álgebra como
estudo de relação entre grandezas e dimensão da Álgebra funcional, uma vez que
teremos uma relação entre grandezas, neste caso foi utilizada a fórmula para a
medida da área de um triângulo. Além disso, no item (a) temos a concepção e
dimensão Álgebra como aritmética generalizada, visto que precisarão generalizar
modelos. Já nos itens (b), (c) e (d) temos a concepção de Álgebra como um estudo
de procedimentos para resolver certos tipos de problemas e a dimensão da Álgebra
das equações, já que precisarão resolver e apresentar a solução do problema.
Na Figura 11, temos a seção Você aprendeu? com o problema 4, contendo
Fórmulas de Média Aritmética.
Fórmulas de Média Aritmética
4. Um aluno obteve notas 6 e 7,5 em duas provas de Matemática.
a) Calcule a média aritmética das notas obtidas.
b) Escreva uma fórmula para calcular a média aritmética M(a, b) de dois valores quaisquer,
representados pelas letras a e b.
c) Escreva uma fórmula para calcular a média aritmética M(a,
quaisquer, representados pelas letras a, b e c.
b, c)
de três valores
d) Use a fórmula encontrada no item anterior e calcule a média aritmética dos números
19, 24 e 35.
e) Um aluno obteve 5,5 e 7,5 em duas provas de Geografia. Restando mais uma prova a
ser realizada, qual nota ele deve obter para que média aritmética das três provas seja
igual a 6?
Resposta: ___________________________________________________________
27
Figura 11 – Problema 4 da Situação de Aprendizagem 2
Fonte: São Paulo, 2009a, p. 16
Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação
4. a) M = (6 + 7,5) ÷ 2 = 13,5 ÷ 2 = 6,75.
b) Generalizando a ideias de que a média aritmética entre dois valores é obtida
somando-se os dois valores e dividindo-se por 2, a fórmula pode ser escrita como:
M ( a,b) =
a+b
ou M ( a , b ) = ( a + b ) ÷ 2 .
2
Nesse último caso, é importante ressaltar com os alunos a importância dos
parênteses na sentença matemática.
c) De forma análoga, precisamos somar os três valores e dividir o resultado por 3.
M ( a ,b, c ) =
d) Solução: M (19 , 24,35 ) =
a+b+c
3
19 + 24 + 35
= 26 .
3
e) Substituindo os valores das provas P1 e P2 , e o valor da média desejada na
fórmula, obtemos a seguinte equação: 6 =
5,5 + 7,5 + P3
13 + P3
ou 6 =
.
3
3
Nesse caso, podemos olhar para a segunda equação como uma pergunta do
tipo: qual é o valor que somado com 13 e dividido por 3 resulta em 6? Sem utilizar
nenhum procedimento de resolução de equação, um aluno da 6ª série é capaz de
responder a essa pergunta. Se o resultado da divisão de um número por 3 é 6, esse
número é 18. Portanto, o número procurado somado com 13 é igual a 18. O número
procurado é 5.
Análise
Nesta seção Você aprendeu? temos o problema 4, cujo o objetivo é explorar
as letras para representar números e grandezas e ainda o valor numérico de uma
fórmula, neste caso é utilizado a fórmula de Média Aritmética.
Neste problema, de acordo com o Modelo 3UV, temos os aspectos I1, I2, I4 e
I5 da variável como incógnita específica e também os aspectos G2, G3 e G5 da
variável como número genérico. Nos itens (a), (d) e (e) é necessário o aspecto I1,
uma vez que deverão reconhecer e identificar a presença de algo desconhecido que
pode ser determinado considerando as restrições do problema; já os itens (d) e (e)
28
são indispensáveis também os aspectos I2, I4 e I5, pois terão que interpretar a
variável simbólica (letra) que aparece em uma equação, como a representação de
valores específicos (I2); determinar a quantidade desconhecida que aparece em
equações, realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos (I4); e
simbolizar as quantidades desconhecidas identificadas em uma situação específica
e utilizá-las para formular equações (I5). Nos itens (b) e (c) são necessários os
aspectos G2, G3 e G5, já que deverão reconhecer interpretar a variável simbólica
(letra) como a representação de uma entidade geral, indeterminada, que pode
assumir qualquer valor (G2); deduzir regras e métodos gerais em famílias de
problemas (G3); e simbolizar enunciados, regras ou métodos gerais (G5).
Já com relação às concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões
da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) temos a concepção de Álgebra como
estudo de relações entre grandezas e a dimensão da Álgebra funcional, visto que
teremos uma relação entre grandezas, neste caso foi utilizada a fórmula de Média
Aritmética. Além disso, nos itens (b) e (c) temos a concepção e dimensão Álgebra
como aritmética generalizada, pois precisarão generalizar modelos. E nos itens (a),
(d) e (e) temos a concepção de Álgebra como um estudo de procedimentos para
resolver certos tipos de problemas e a dimensão da Álgebra das equações, uma vez
que precisarão resolver e apresentar a solução do problema.
Na Figura 12, apresentamos a Pesquisa individual, em que é solicitado aos
alunos fazerem uma pesquisa a respeito do que são os impostos, quem os arrecada,
para onde vai o dinheiro e o que é o Imposto de Renda.
Fórmulas na Economia
5. Faça uma pesquisa sobre o Imposto de renda, tendo como base as seguintes
perguntas: O que são os impostos? Quem arrecada? Para onde vai o dinheiro? O
que é o Imposto de Renda? Registre o resultado de sua pesquisa nas linhas a
seguir.
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________
Figura 12 - Problema 5 da Situação de Aprendizagem 2
Fonte: São Paulo, 2009a, p. 17
29
Já na Figura 13, temos Leitura e Análise do Texto, em que são apresentados
dois textos a respeito do Imposto de Renda:
Para onde vai o dinheiro do seu imposto de renda?
A “mordida do leão” dói todo ano no bolso do contribuinte e todo mundo se pergunta
onde os recursos recolhidos são aplicados. Uma maneira de garantir que pelo menos uma
parte do imposto seja usada para uma causa nobre é doar para entidades de apoio à criança
e ao adolescente. Pouca gente sabe dessa possibilidade, apesar de a lei ser de 1990, mas
qualquer pessoa ou empresa pode abater do Imposto de Renda o valor doado a instituições,
desde que elas estejam cadastradas nos conselhos ligados aos Fundos da Criança e do
Adolescente.
CASALETTI, Danilo. Para onde vai o dinheiro do seu imposto de renda? In: Revista Época.
Disponível em: <http://revistaepoca.globo.com/Revista/Epoca/
0,,ERT 29453- 15201-294553-3934.html>. Acesso em: 21 jul. 2009.
O surgimento do Leão
No final de 1979, a Secretaria da Receita Federal encomendou
uma campanha publicitária para divulgar o Programa Imposto de
Renda. Após análise das propostas, foi imaginado o leão como
símbolo da ação fiscalizadora da Receita Federal e, em especial, do
imposto de renda. De início, a ideia teve reações diversas, mas
mesmo assim, a campanha foi lançada.
A escolha do leão levou em consideração algumas de suas
características:
1) É o rei dos animais mas não ataca sem avisar;
2) É justo;
3) É leal;
4) É manso, mas não é bobo.
A campanha resultou numa identificação pela opinião pública do leão com a Receita
Federal, e em especial com o imposto de renda. Embora hoje em dia a Receita Federal não
use a figura do leão, a imagem do símbolo ficou guardada na mídia e na mente dos
contribuintes.
Disponível em: <http://receita. fazenda.gov.br/Memoria/irpf/curiosidades/
curiosidades.asp#surgimentodoLeão>. Acesso em: 23 jul. 2009.
6. Explique o significado da expressão “mordida do leão”, que aparece na matéria
apresentada na seção Leitura e Análise de Texto.
_____________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________________________________________
Figura 13 - Leitura e Análise de Texto da Situação de Aprendizagem 2
30
Fonte: São Paulo, 2009a, p. 17-18
Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação
5. Procure orientar a pesquisa dos alunos, fornecendo indicações de livros,
dicionários, revistas ou sites que tragam informações sobre impostos. Indicamos
alguns sites que trazem informações a respeito de impostos e do imposto de renda.
O papel dos impostos: http://leaozinho.receita.fazenda.gov.br/escola/default.htm
http://www.alemg.gov.br/cedis/cartilha/Modulo%20Vermelho/Aula4/default.htm
Imposto de renda:
http://www.receita.fazenda.gov.br/Memoria/irpf/historia/historia.asp. Acessado em 29
set. 2009.
A ideia central que deve ser discutida com os alunos é a de que os impostos
são contribuições em dinheiro que os governos cobram dos cidadãos e das
empresas para promover investimentos públicos (construção de ruas, pontes,
usinas, etc.), implantar e manter serviços públicos (água, luz, telefone, etc.). Há
diversos tipos de impostos, cada qual com uma finalidade. Existem os impostos
sobre a venda de produtos, sobre a produção das indústrias, sobre os serviços e
operações financeiras, sobre a propriedade, etc. O imposto de renda é um imposto
cobrado sobre os rendimentos provenientes do trabalho de uma pessoa (como o
salário mensal). Ele é calculado a partir de uma porcentagem (alíquota) cobrada de
forma crescente, isto é, um imposto maior para quem ganha mais.
6. A expressão “mordida do leão” refere-se ao valor que é cobrado por meio do
imposto de renda, considerado muito alto pelos contribuintes.
Análise
Notamos que, embora, durante as resoluções destes problemas envolvendo a
Fórmula do Imposto de Renda sejam utilizada calculadora, acho um pouco
pré-maturo esta abordagem na 6ª série.
Como os problemas 5 e 6 são para apresentar o assunto referente ao Imposto
de Renda não notamos nenhum aspecto de acordo com o Modelo 3UV, nenhuma
das concepções de álgebra de Usiskin (1995) e nenhuma das dimensões da álgebra
segundo os PCN (BRASIL, 1998).
Na Figura 14 é apresentada a seção Você aprendeu? com os problemas 7 e 8
contendo a Fórmula do Imposto de Renda.
31
A fórmula do Imposto de Renda
7. A tabela a seguir mostra o cálculo que deve ser feito para a cobrança do Imposto de
Renda no Brasil (no ano de 2007). Ela informa a porcentagem que deve ser cobrada de
cada faixa de rendimento (salários, aluguéis e outras remunerações). Veja que até
determinado valor o contribuinte é isento, isto é, não precisa pagar Imposto de Renda.
Além disso, existe uma parcela fixa a ser descontada do imposto calculado.
Tabela progressiva para o cálculo mensal do Imposto de Renda de Pessoa
Física para o exercício de 2008, ano-calendário de 2007
Base de cálculo
mensal em R$
Alíquota
%
Parcela a deduzir do
imposto em R$
Até 1313,69
--
--
De 1313,70 até 2625,12
15,0
197,05
Acima de 26
27,5
525,19
Fonte: Secretaria da Receita Federal do Brasil.
Disponível em: <http://www.receita.fazenda.gov.br/aliquotas/ContribFont.htm>.
Acesso em: 27 jul. 2009.
Para efetuar os cálculos propostos a seguir, você poderá usar a calculadora.
a) Calcule o Imposto de Renda de um contribuinte que recebeu R$ 1 500,00 de
rendimento mensal.
b) Escreva uma fórmula para o cálculo do Imposto de Renda com alíquota de 15%.
Represente o imposto a ser pago pela letra I a remuneração pela letra R.
c) Faça o mesmo para a alíquota de 27,5%.
d) Calcule o valor do Imposto de Renda para os seguintes valores:
I.
R$ 2 500,00
II.
R$ 3 000,00
III. R$ 6 000,00
8. Considere os valores obtidos no item d da atividade anterior.
a) Calcule a porcentagem efetiva de imposto cobrado em cada caso:
• Remuneração = R$ 2500,00 → Imposto = R$ _______ →
Imposto
= ___ %.
Remuneração
• Remuneração = R$ 3000,00 → Imposto = R$ _______ →
Imposto
= ___ %.
Remuneração
• Remuneração = R$ 6000,00 → Imposto = R$ _______ →
Imposto
= ___ %.
Remuneração
b) O que você pode concluir com base nesses resultados?
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
c) As remunerações de R$ 3 000,00 e R$ 6 000,00 estão sujeitas à mesma alíquota de
imposto (27,5%). Contudo, a porcentagem efetivamente cobrada não é a mesma. Qual
32
Figura 14 - Problemas 7 e 8 da Situação de Aprendizagem 2
Fonte: São Paulo, 2009a, p. 18-20
Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação
7. a) 1ª etapa: calcular 15% de R$ 1500,00
15
22500
.1500 =
= 225 . São R$ 225,00.
100
100
2ª etapa: parcela a deduzir
225 – 197,05 = 27,95
O imposto a ser retido é de R$ 27,95.
b) I = 15 %. R − 197 ,05 ou I = 0,15 .R − 197 ,05
c) I = 27 ,5 %. R − 525 ,19 ou I = 0,275 .R − 525 ,19
d) Para R$ 2 500,00 usamos a fórmula com alíquota de 15%. O imposto a ser
cobrado é de R$ 177,95. Para os outros dois valores, usamos a fórmula com
alíquota de 27,5%. O imposto sobre R$ 3000,00 é de R$ 299,81, e sobre
R$ 6000,00 é de R$ 1124,81.
8. a)
• Remuneração = R$ 2500,00 → Imposto = R$ 177,95.
Imposto
≅ 7,1 %.
Remuneração
• Remuneração = R$ 3000,00 → Imposto = R$ 299,81
Imposto
≅ 9,9 %.
Remuneração
• Remuneração = R$ 6000,00 → Imposto = R$ 1124,81
Imposto
≅ 18,7 %.
Remuneração
b) Sobre a maior remuneração (R$ 6000,00) incide imposto proporcionalmente
maior (18,7%).
33
c) A razão é que o valor a ser deduzido do imposto (R$ 525,19) é fixo. Dessa forma,
para um salário menor, a parcela a deduzir é proporcionalmente maior que para um
salário maior. Por essa razão, o imposto efetivo sobre o valor de R$ 6000,00 é maior
do que o cobrado sobre o valor de R$ 3000,00.
Análise
Ressaltamos que no problema 8 devemos observar com atenção o registro,
visto que quando aparece
“Remuneração = R$ 2500,00 → Imposto = R$ _______ →
Imposto_ _ = ___ %”,
Remuneração
notamos que ocorreu uma mistura entre a língua portuguesa e a linguagem
matemática. Embora, isto também apareça em alguns livros didáticos como
podemos dividir palavras?, além disso, neste mesmo registro, o sinal de igual que
antecede o símbolo de porcentagem (%), a meu ver, deveria ser substituído pelo
símbolo de aproximadamente ( ≅ ), porém no enunciado do problema temos o sinal
de igual e no gabarito do mesmo, o símbolo de aproximadamente. Ainda no
gabarito, onde aparece I = 15 %. R − 197 ,05 em matemática não é possível operar com
estes símbolos, pois 15% no registro matemático é
15
ou 0,15 e mais uma vez o
100
ponto é utilizado no lugar do sinal de multiplicação.
Nesta seção Você aprendeu? temos os problemas 7 e 8, cujo objetivo é
explorar as letras para representar números e grandezas e ainda o valor numérico
de uma fórmula, que neste caso é utilizada a Fórmula para o Imposto de Renda.
Nestes problemas, segundo o Modelo 3UV, temos os aspectos I1, I2, I4 e I5
da variável como incógnita específica e também os aspectos G2, G3 e G5 da
variável como número genérico. Nos itens (a) e (d) do problema 7 e (a) do 8 é
necessário o aspecto I1, já que deverão reconhecer e identificar a presença de algo
desconhecido que pode ser determinado considerando as restrições do problema; já
no item (d) do 7, são indispensáveis também os aspectos I2 e I5, uma vez que terão
que interpretar a variável simbólica (letra) que aparece em uma equação, como a
representação
de
valores
específicos
(I2);
e
simbolizar
as
quantidades
desconhecidas identificadas em uma situação específica e utilizá-las para formular
equações (I5). Nos itens (d) do 7 e (a) do 8, além do I1 é necessário o aspecto I4,
pois precisarão determinar a quantidade desconhecida que aparece em equações
34
ou problemas, realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos.
Nos itens (b) e (c) do problema 7 são indispensáveis os aspectos G2, G3 e G5, visto
que deverão reconhecer e interpretar a variável simbólica (letra) como a
representação de uma entidade geral, indeterminada, que pode assumir qualquer
valor (G2); deduzir regras e métodos gerais em famílias de problemas (G3); e
simbolizar enunciados, regras ou métodos gerais (G5).
De acordo com as concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões
da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) temos a concepção de Álgebra como
estudo de relações entre grandezas e a dimensão da Álgebra funcional, visto que
teremos uma relação entre grandezas, neste caso foi utilizada a Fórmula para o
Imposto de Renda. Além disso, nos itens (b) e (c) do problema 7
temos a
concepção e dimensão Álgebra como aritmética generalizada, pois precisarão
generalizar modelos; já no item (d) do 7 e no problema 8 temos a concepção de
Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas
e a dimensão da Álgebra das equações, uma vez que precisarão resolver e
apresentar a solução do problema.
Na Figura 15 é apresentada a Leitura e Análise de Texto relacionado ao
Índice de Massa Corpórea (IMC).
Fórmula relacionada à saúde
O Índice de Massa Corpórea (IMC) é uma razão que relaciona a massa em quilograma
de uma pessoa com o quadrado de sua altura em metros. Ele é reconhecido pela
Organização Mundial de Saúde (OMS) como um padrão razoável para avaliar a proporção
saudável entre a massa e altura. O IMC pode ser utilizado como indicador do estado
nutricional de uma pessoa, refletindo possíveis problemas de baixo peso (subnutrição ou
anorexia) ou excesso de peso (obesidade). Ele é calculado dividindo-se o peso da pessoa
pelo quadrado da altura, como mostra a fórmula a seguir:
I=
P
, onde P é o peso, em quilograma, e a é a altura, em metro.
a2
Observação!
Usamos comumente a palavra “peso” para nos referir à massa de uma pessoa, embora,
na Física, tais termos possuam significados distintos.
A tabela a seguir mostra a classificação da OMS para a população adulta, segundo o
valor do IMC.
Classificação
IMC (kg/m2)
Magreza severa
Menor que 16
Abaixo do peso
Menor que 18,5
Peso normal
Entre 18,5 e 24,99
Sobrepeso/pré-obesidade
Entre 25,0 e 29,99
Obesidade
Entre 30,0 e 39,99
Obesidade de alto grau
Maior que 40
Fonte: adaptado da OMS. Disponível em: <http://www.who.int>. Acesso em: 16 jul. 2009.
35
Figura 15 - Leitura e Análise de Texto da Situação de Aprendizagem 2
Fonte: São Paulo, 2009a, p. 21
Na Figura 16, temos e a Lição de casa com o problema 9.
9. Com base nos dados fornecidos, resolva as questões a seguir. Para efetuar os cálculos,
você poderá usar a calculadora.
a) Uma pessoa com 1,60 m e 65 kg está em que categoria da tabela?
Resposta: ______________________________________________________________
b) Os resultados a seguir referem-se às medidas de peso e altura de um grupo de adultos.
Calcule o IMC para cada par de medidas e classifique-os conforme a tabela fornecida.
• Pessoa A: 72 kg e 1,72 m - _________________________________
• Pessoa B: 84 kg e 1,77 m - _________________________________
• Pessoa C: 54 kg e 1,60 m - _________________________________
• Pessoa D: 60 kg e 1,82 m - _________________________________
c) Qual é o maior peso que uma pessoa adulta com 1,73 m de altura pode ter para ficar
dentro da categoria de peso normal segundo a tabela?
Resposta: ______________________________________________________________
Figura 16 - Problema 9 da Situação de Aprendizagem 2
Fonte: São Paulo, 2009a, p. 22
Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação
9. a) I =
65
≅ 25,4
1,6 2
Esse valor encontra-se no intervalo entre 25 e 29,99, cuja classificação é de
sobrepeso.
b) • Pessoa A: IMC ≅ 24,34, peso normal.
• Pessoa B: IMC ≅ 26,81, sobrepeso.
• Pessoa C: IMC ≅ 21,1, peso normal.
• Pessoa D: IMC ≅ 18,11, abaixo do peso.
36
c) Para ser classificada como Normal, o IMC deve ser menor que 25. Substituindose os valores fornecidos na fórmula, temos: 25 =
P
P
ou 25 =
.
2
1,73
2,99
Se aproximarmos o denominador da fração para 3, a solução do problema se
reduz a saber qual é o número que dividido por 3 resulta em 25. A resposta é
aproximadamente 75.
Portanto, uma pessoa com 1,73 m de altura deve pesar no máximo 75 kg
para que seu IMC se situe na categoria de peso normal.
Análise
Observamos na Leitura e Análise de Texto onde aparece a expressão “a é a
altura”, a meu ver, deveria ser substituída por “a é a medida da altura”. Além disso,
acho um pouco delicado o professor abordar este tipo de assunto na 6ª série, será
que ele está preparado para falar a respeito disso?
Nesta seção Lição de casa, temos o problema 9, na qual a intenção é
explorar as letras para representar números e grandezas e ainda o valor numérico
de uma fórmula, neste caso é utilizado a Fórmula do Índice de Massa Corpórea
(IMC).
Neste problema, de acordo com o Modelo 3UV, temos em todos os itens os
aspectos I1, I2, I4 e I5 da variável como incógnita específica, sendo necessário o
aspecto I1, já que precisarão reconhecer e identificar a presença de algo
desconhecido que pode ser determinada considerando as restrições do problema; o
aspecto I2, porque deverão interpretar a variável simbólica (letra), que aparece em
uma equação, como a representação de valores específicos; o aspecto I4, uma vez
que necessitarão determinar a quantidade desconhecida que aparece em equações
ou problemas, realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos; e
o aspecto I5, pois terão que simbolizar as quantidades desconhecidas identificadas
em uma situação específica e utilizá-las para formular equações.
Em relação às concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da
álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) temos a concepção de Álgebra como um
estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas e a dimensão da
Álgebra das equações, uma vez que precisarão resolver e apresentar a solução do
problema. Ainda temos a concepção de Álgebra como estudo de relações entre
37
grandezas e a dimensão da Álgebra funcional, visto que teremos uma relação entre
grandezas, neste caso foi utilizada a fórmula do IMC.
Nas Figuras 17 e 18, apresentamos a Leitura e Análise de Texto, agora com
Fórmulas da Física, e o Você aprendeu? com os problemas 10 e 11.
Fórmulas da Física
Uma das fórmulas mais conhecidas na Física é a que relaciona a distância
aproximada (d), em metros, percorrida por um objeto em queda livre e o tempo (t), em
segundos, de queda:
D = 5 . t2
Os resultados obtidos por meio dessa fórmula são válidos para objetos em queda
livre que estejam próximos à superfície da Terra, desprezando os efeitos de resistência do
ar. A partir dessa fórmula, podemos determinar, com relativa precisão, a distância em
metros que um corpo percorre por segundo ao ser abandonado de certa altura, a partir de
repouso, em função da aceleração provocada pela gravidade terrestre.
10. Uma pedra foi abandonada do alto de uma ponte e demorou 7 segundos para atingir a
água. Use a fórmula citada da seção Leitura e Análise de Texto e calcule a altura
aproximada dessa ponte.
Resposta: ______________________________________________________________
11. Um paraquedista saltou de um avião a 3500 metros de altura. Considerando
desprezível a resistência do ar, calcule a distância percorrida em queda livre pelo
esportista a cada segundo, nos primeiros 5 segundos de queda. Preencha a tabela com
os valores da distância percorrida (d) e do tempo (t) em segundos encontrados.
Tempo t (segundos)
1
2
3
4
5
Distância d (metros)
a) Assinale, no desenho, as distâncias percorridas pelo paraquedista a cada segundo de
queda.
38
Figura 17 - Leitura e Análise de Texto e os problemas 10 e 11 da Situação de
Aprendizagem 2
Fonte: São Paulo, 2009a, p. 23-24
b) Há proporcionalidade direta entre a distância percorrida e o tempo de queda livre?
Justifique.
________________________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
c) O paraquedista deve abrir seu paraquedas quando estiver a uma altura de 1 500 metros
do solo. Sabendo que ele iniciou o salto a 3500 metros de altura, determine o tempo de
queda livre antes que ele acione o paraquedas.
Resposta: ______________________________________________________________
Figura 18 - Continuação do problema 11 da Situação de Aprendizagem 2
Fonte: São Paulo, 2009a, p. 24
Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação
10. Substituindo o tempo de queda na fórmula, obtemos d = 5 .7 2 , ou seja, d = 245 .
Ou seja, a pedra percorreu em queda livre uma distância de 245 m em 7 segundos.
Portanto, a altura aproximada da ponte é de 245 metros.
11.
Tempo t (segundos)
1
2
3
4
5
Distância d (metros)
5
20
45
80
125
a) Entre 0 e 1 segundo, 5 metros; entre 1 e 2 segundos, 15 metros; entre 2 e 3
segundos, 25 metros; entre 3 e 4 segundos, 35 metros; entre 4 e 5 segundos, 45
metros.
b) Não, pois a razão entre a distância percorrida e o tempo não é constante. Se
dobrarmos o tempo (de 1 para 2), a distância aumenta em 4 vezes.
c) Ele vai percorrer 2000 metros (3500 – 1500) em queda livre. Substituindo esse
valor na fórmula, obtemos: 2000 = 5 .d 2 . O valor de t que satisfaz a igualdade acima é
20. Portanto, o tempo de queda livre do paraquedista será de 20 segundos.
39
Análise
Nesta seção Você aprendeu? temos os problemas 10 e 11, cujo intuito é
explorar as letras para representar números e grandezas e o valor numérico de uma
fórmula, nesta atividade é utilizada uma Fórmula da Física.
Nestes problemas, segundo o Modelo 3UV, temos os aspectos I1, I2, I3, I4 e
I5 da variável como incógnita específica e também os aspectos F1, F2, F3 e F4 da
variável como uma relação funcional. Nos problemas 10, e 11 (a) e (c), é necessário
o aspecto I1, já que precisarão reconhecer e identificar a presença de algo
desconhecido que pode ser determinada considerando as restrições do problema; o
aspecto I2, porque deverão interpretar a variável simbólica (letra) que aparece em
uma equação, como a representação de valores específicos; o aspecto I4, pois terão
que determinar a quantidade desconhecida que aparece em equações ou
problemas, realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos; e o
aspecto I5, uma vez que necessitarão simbolizar as quantidades desconhecidas
identificadas em uma situação específica e utilizá-las para construir equações. No
item (c) do problema 11, temos também o aspecto I3, pois deverão substituir a
variável pelo valor que faz com que a equação seja um enunciado verdadeiro, além
disso, é indispensável o aspecto F1, visto que deverão reconhecer a partir do
problema verbal, a existência de uma correspondência entre os valores das duas
variáveis envolvidas; os aspectos F2 e F3, já que precisarão determinar o valor de
uma das variáveis quando se conhece o valor da outra; e o aspecto F4, uma vez que
deverão reconhecer a variação conjunta das duas variáveis envolvidas na expressão
analítica.
40
Com relação às concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da
álgebra segundo os PCN (BRASIL,1998) em ambos os problemas temos a
concepção de Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos
de problemas e a dimensão Álgebra das equações, visto que necessitarão resolver e
apresentar a solução do problema. Ainda temos a concepção de Álgebra como
estudo de relações entre grandezas e a dimensão da Álgebra funcional, uma vez
que teremos uma relação entre grandezas, neste caso foi utilizada uma da Fórmula
da Física.
Nesta Situação de Aprendizagem 2, observamos que no decorrer das
resoluções dos problemas foram necessários os aspectos que constituem a variável
como incógnita específica, número genérico e uma relação funcional, segundo o
Modelo 3UV. Porém os aspectos I1, I2, I4, I5 e G2, G3, G4, G5 apareceram em
quase todos os problemas e sentimos falta do aspecto G1. Já os aspectos F1, F2,
F3 e F4 só apareceram no último problema.
Com relação às concepções de álgebra segundo Usiskin (1995) e as
dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) tivemos: a concepção de
Álgebra como aritmética generalizada, uma vez que precisaram generalizar
modelos; a concepção de Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver
certos tipos de problemas e a dimensão da Álgebra das equações, visto que
necessitaram resolver os problemas; a concepção de Álgebra como estudo de
relações entre grandezas e a dimensão da Álgebra funcional, uma vez que tivemos
relações entre grandezas, em que precisaram utilizar fórmulas.
Situação de Aprendizagem 3 - Equações, perguntas e balanças
Segundo o Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009):
Na Situação de Aprendizagem 3, o foco do trabalho é a resolução de
equações. Exploramos duas linhas principais. A primeira envolve um
tipo de resolução mais imediato, ao enxergar uma equação como
uma pergunta do tipo: Qual é o número que satisfaz determinadas
operações aritméticas? Por meio de um raciocínio aritmético, o aluno
é capaz de resolver determinado tipo de equação usando apenas
operações inversas. A segunda linha de resolução está relacionada à
ideia de equivalência. Faremos uso da analogia com a imagem do
equilíbrio de uma balança, a fim de facilitar a compreensão dos
alunos com relação a certos procedimentos, como somar ou subtrair
um mesmo termo em ambos os lados de uma equação. Nesse caso,
discutiremos as vantagens e os limites do uso dessa imagem para
41
ajudar na compreensão dos processos de resolução de equações.
(SÃO PAULO, 2009, p. 9).
Nesta Situação de Aprendizagem são apresentadas dez atividades,
subdividas em: Você aprendeu?, Lição de casa e um Desafio!. Iniciando-se com a
seção Você Aprendeu? com cinco atividades (1 ao 5), apresentadas na Figura 19.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3
EQUAÇÕES E FÓRMULAS
1. Escreva a equação que representa o problema e descubra a resposta, se houver.
a) Qual é o número cujo dobro somado a 5 resulta em 19?
Equação: __________________________________ Solução: ____________
b) O triplo de um número menos 12 é igual a -3. Qual é esse número?
Equação: __________________________________ Solução: ____________
c) Qual é o número cuja quarta parte menos 5 é igual a zero?
Equação: __________________________________ Solução: ____________
d) O quadrado de um número natural acrescido de 19 é igual a 100. Qual é esse
número?
Equação: __________________________________ Solução: ____________
2. Escreva uma pergunta que represente na equação dada. Em seguida, determine o valor
de x.
a) 3x + 12 = 21
____________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________
b)
x
+4=6
3
____________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________
c) 2 .( x + 1) = 12
____________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________
d) 2 x + 1 = 12
____________________________________________________________________________________________
____________________________________________________________________________________________
e)
x −1
−3 = 0
4
Figura 19 - Atividades 1 e 2 da Situação de Aprendizagem 3
Fonte: São Paulo, 2009a, p. 26-27
Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação
1. a) Equação: 2.x + 5 = 19 . Solução: 7 .
42
b) Equação: 3.x − 12 = −3 . Solução: 3 .
c) Equação:
x
− 5 = 0 . Solução: 20 .
4
d) Equação: x 2 + 19 = 100 . Solução: 9 .
2. a) Qual é o número cujo triplo somado com 12 resulta em 21? x = 3
b) Qual é o número cuja terça parte menos 4 resulta em 6? x = 30
c) O dobro do sucessor de um número vale 12. Qual é esse número? x = 5
d) O sucessor do dobro de um número vale 12. Qual é esse número? x = 5,5
e) A quarta parte do antecessor de um número menos 3 resulta em 0. Qual é esse
número? x = 13
Observação: Oriente os alunos a olharem para as equações como uma
pergunta, cuja resposta eles podem descobrir por meio de um raciocínio aritmético.
Não é necessário exigir nenhum tipo de registro formal. É comum que alguns alunos
registrem as contas, outros façam “de cabeça” e outros tenham um tipo de notação
própria. O mais importante é que eles descubram a resposta sem o uso de uma
técnica específica. Por exemplo, no item e, como a diferença entre
então
x −1
e 3 é zero,
4
x −1
é igual a 3, x − 1 vale 12 e, portanto, x é igual a 13.
4
Análise
Na seção Você aprendeu? temos as atividades 1 e 2, sendo a que a primeira
atividade utiliza a linguagem materna e espera-se que “traduzam” para a linguagem
algébrica, encontrando uma equação e posteriormente descubram o valor que
satisfaça esta equação, ou seja, a solução. Porém, eles podem resolver a atividade
1 por meio de um raciocínio aritmético. A atividade 2 utiliza a linguagem algébrica
(equação) e é solicitado que escrevam uma pergunta (linguagem materna) que
represente a equação dada
e em seguida determinem o valor de x , ou seja,
encontrem a solução. Observamos que tanto em livros didáticos como neste material
o valor a ser descoberto (incógnita), na maioria das vezes, é representado apenas
pela letra x . Achamos importante salientar que atividades do tipo 2 não são
habitualmente pedidas nos livros didáticos.
Segundo o Modelo 3UV, nestas atividades, temos os aspectos I1, I2, I3, I4 e
I5 da variável como incógnita específica. Na primeira atividade é necessário o
43
aspecto I1, pois necessitarão reconhecer e identificar a presença de algo
desconhecido que pode ser determinada considerando as restrições do problema; o
aspecto I2, porque deverão interpretar a variável simbólica (letra) que aparece em
uma equação, como a representação de valores específicos; o aspecto I3, visto que
terão que substituir a variável que faz com que a equação seja um enunciado
verdadeiro; o aspecto I4, já que precisarão determinar a quantidade desconhecida
que aparece em equações ou problemas, realizando operações algébricas,
aritméticas ou de ambos os tipos; e o aspecto I5, visto que necessitarão simbolizar
as quantidades desconhecidas identificadas em uma situação específica e utilizá-las
para construir equações. Entretanto, se resolverem pelo raciocínio aritmético, temos
apenas os aspectos I1 e I4. Já na atividade 2 temos todos estes aspectos com
exceção do I5.
De acordo com as concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões
da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) na atividade 1 temos a concepção e a
dimensão Álgebra como aritmética generalizada, pois necessitarão traduzir o
problema para a linguagem algébrica. Em ambas as atividades 1 e 2 temos a
concepção de Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos
de problemas e a dimensão da Álgebra das equações, visto que terão que resolver o
problema e apresentar sua respectiva solução.
Na sequência temos as Figuras 20 e 21, na qual é apresentada uma analogia
com a imagem do equilíbrio de uma balança de dois pratos e a igualdade da
equação.
O equilíbrio na balança e a igualdade na equação
3. Antigamente, para determinar a massa de um produto qualquer, utilizava-se uma
balança de pratos. Seu funcionamento é bem simples. Em um prato, coloca-se o objeto
cuja massa deseja-se saber. No outro prato, colocam-se peças de diferentes tamanhos,
com massas padronizadas (500 gramas, 300 gramas, etc.). Quando os pratos estiverem
no mesmo nível, em equilíbrio, a massa do abacaxi equivalerá à soma das massas das
peças colocadas no outro prato.
Sabendo que o abacaxi da figura tem massa igual a 1,95 kg, quais peças devem ser
colocadas no outro prato para que a balança fique equilibrada?
________________________________________________________________________________________________
4. Sabendo que a balança de pratos está em equilíbrio e a
massa do melão vale 1,15 kg, descubra a massa da peça
desconhecida.
44
Figura 20 - Atividades 3, 4 e 5 da Situação de Aprendizagem 3
Fonte: São Paulo, 2009a, p. 27-28
a) Se trocarmos os objetos de um prato para o outro de uma balança, o equilíbrio se
mantém.
________________________________
________________________________
Conclusão: __________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
b) Acrescentando-se um mesmo peso em ambos os pratos, o equilíbrio da balança na se
altera.
________________________________
________________________________
Conclusão: ___________________________________________________________
c) Na balança, se retirarmos o mesmo peso de ambos os pratos, o equilíbrio permanece
inalterado.
_____________________________
_____________________________
Conclusão: __________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
d) Se juntarmos os elementos de duas balanças em equilíbrio em uma só balança,
como mostra a figura, o equilíbrio se mantém.
________________________________
________________________________
________________________________
45
Figura 21 - Continuação da atividade 5 da Situação de Aprendizagem 3
Fonte: São Paulo, 2009a, p. 28-29
Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação
3. São várias possibilidades. Uma delas é a seguinte: 2 peças de 500 g, 2 de 300 g,
1 de 200 g, 1 de 100 g e 1 de 50 g.
4. x = 350g .
5. a) 2 x + 1 = 5 e 5 = 2 x + 1 .
Em uma equação, invertendo-se os membros, a igualdade se mantém.
b) x = 2 e x + y = y + 2 .
Em uma equação, adicionando-se um mesmo valor em ambos os membros, a
igualdade se mantém.
c) Em termos algébricos, se x + 1 = 3 , então x + 1 − 1 = 3 − 1 . Portanto, x = 2 .
Em uma equação, subtraindo-se um mesmo valor em ambos os lados, a
igualdade se mantém.
d) Se x = 2000 e 2 y = 300 , então x + 2 y = 2000 + 300 , ou, x + 2 y = 2300 .
A soma de duas equações resulta em uma 3ª equação, mantendo-se a
igualdade.
Análise
Na terceira atividade, temos uma explicação a respeito do funcionamento de
uma balança de pratos. Na quarta atividade, sabendo que a balança de pratos está
em equilíbrio é solicitada descobrir a massa da peça desconhecida chamada de x .
Na quinta, também são apresentas balanças de pratos em equilíbrio, em que
deverão escrever conclusões a respeito das operações realizadas.
Nestas atividades, de acordo com o Modelo 3UV, temos os aspectos I1, I2, I3,
I4 e I5 da variável como incógnita específica e os aspectos F1 e F6 da variável uma
relação funcional. Na atividade 4 é necessário o aspecto I1, pois precisarão
reconhecer e identificar a presença de algo desconhecido que pode ser determinada
46
considerando as restrições do problema; o aspecto I2, já que deverão interpretar a
variável simbólica (letra) que aparece em uma equação, como a representação de
valores específicos; o aspecto I3, visto que terão que substituir a variável que faz
com que a equação seja um enunciado verdadeiro; e o aspecto I4, uma vez que
necessitarão determinar a quantidade desconhecida que aparece em equações ou
problemas, realizando operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos.
Já na atividade 5 (a), (b) e (c) temos apenas os aspectos I2 e I5, porque
deverão interpretar a variável simbólica (letra) que aparece em uma equação, como
a representação de valores específicos (I2); e necessitarão simbolizar as
quantidades desconhecidas identificadas em uma situação específica e utilizá-las
para construir equações (I5). No item (d) são necessários os aspectos F1, pois
deverão reconhecer que as duas variáveis envolvidas na expressão analítica estão
em correspondência; e o aspecto F6, visto que precisarão simbolizar a relação
funcional, com base na análise de dados de um problema.
Segundo as concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da
álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) temos na atividade 4 a concepção de
Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas
e a dimensão da Álgebra das equações, já que terão que resolver o problema e
apresentar sua respectiva solução. Na atividade 5, temos a concepção e a dimensão
Álgebra como aritmética generalizada, pois precisarão traduzir o problema para a
linguagem algébrica.
Na Figura 22, temos a seção Lição de casa e Desafio:
6. Nesta atividade, o quadrado representa uma massa x, o triângulo representa uma massa
y e o círculo representa uma massa z. Represente o equilíbrio da balança por meio de
uma equação e escreva uma conclusão sobre o resultado obtido.
• Se aumentarmos ou diminuirmos proporcionalmente o peso de ambos os pratos de
uma balança, o equilíbrio se mantém.
_____________________
_____________________
_____________________
Conclusão: __________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________________
Desafio!
7. Um problema de peso - Tenho seis bolinhas idênticas em aspecto. Há, porém, uma
pequena diferença entre elas: uma delas tem um peso ligeiramente diferente das
demais, não se sabe se para mais ou para menos. Com o auxílio de uma balança de
pratos, descubra uma estratégia para identificar a bolinha diferente, usando, no
máximo, três pesagens.
47
Figura 22 - Atividades 6 e 7 da Situação de Aprendizagem 3
Fonte: São Paulo, 2009a, p. 30
Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação
6. 2 x + 2 y = 6 z / 4 x + 4 y = 12 z / x + y = 3 z
Em uma equação, se multiplicarmos ou dividirmos ambos os membros por um
mesmo número (diferente de zero), a igualdade não se altera.
Desafio !
7. Uma possível solução para esse problema é a seguinte: numeramos as bolinhas
de 1 a 6. Em seguida, comparamos o peso das bolinhas 1 e 2. Se os pesos forem
diferentes, então, com mais uma pesagem, pode-se descobrir qual é a bolinha
diferente. Se forem iguais, realizamos nova comparação: pesamos as bolinhas 3 e 4.
Se os pesos forem diferentes, a terceira pesagem determinará a bolinha diferente.
Se forem iguais, isso significa que a bolinha diferente é a 5 ou a 6. Como já
sabemos que as bolinhas de 1 a 4 são iguais, basta comparar uma das duas bolas
restantes (5 ou 6) com uma das bolinhas iguais (1 a 4). Por exemplo, compara-se a
4 com a 5. Se forem iguais em peso, a bolinha diferente será a 6. Se forem
diferentes, a bolinha diferente será a 5, pois a 4 é igual em peso às demais.
Análise
Nesta seção Lição de casa, temos as atividades 6 e 7 em forma de Desafio!.
A atividade 6 também apresenta uma balança de pratos em equilíbrio, sendo
necessário a observação, se aumentar ou diminuir proporcionalmente o peso em
ambos os pratos o equilíbrio se mantém.
Segundo o Modelo 3UV, na atividade 6 temos os aspectos F1 e F6 da
variável como uma relação funcional, sendo necessário o aspecto F1, já que
48
deverão
reconhecer
a
correspondência
entre
as
variáveis
relacionadas,
independentemente da representação utilizada; e o aspecto F6, visto que precisarão
simbolizar a relação funcional, com base na análise de dados de uma problema.
De acordo com as concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões
da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) temos na atividade 6 a concepção e a
dimensão Álgebra como aritmética generalizada, pois precisarão traduzir o problema
para a linguagem algébrica.
Na Figura 23, temos novamente a seção Você aprendeu? com as atividades 8
e 9.
8. Vamos utilizar os princípios ilustrados nos exemplos anteriores para resolver equações
com incógnitas em ambos os lados.
a) Resolva a equação 4 x − 7 = x + 11 fazendo as transformações solicitadas.
4 x − 7 = x + 11
Subtraia x em ambos os lados
Adicione 7 em ambos os lados
Divida ambos os lados por 3
Resultado final
b) Faça o mesmo para a equação 5 x − 1 = x + 8 .
2
5x − 1 =
x
+8
2
Multiplique ambos os lados da equação
por 2 para eliminar a fração
Subtraia x de ambos os lados para
eliminar o termo com x do 2º membro da
equação
Adicione 2 em ambos os lados da
equação
Divida ambos os lados por 9
Resultado final
9. Ao distribuir o gabarito de uma prova sobre equações, um professor, acidentalmente,
trocou as respostas de lugar. Organize o gabarito dessa prova associando cada
equação.
Equação
a) 5 x − 12 = 2 x + 27
3x
Gabarito trocado
x = −2
b) x = 5
a)
Gabarito correto
49
Figura 23 - Atividades 8 e 9 da Situação de Aprendizagem 3
Fonte: São Paulo, 2009a, p. 31-32
Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação
8.
a)
4 x − 7 = x + 11
4 x − 7 − x = x + 11 − x
3x − 7 = 11
3x − 7 + 7 = 11 + 7
3x = 18
3 x 18
=
3
3
x=6
Subtraia
x em ambos os lados
Adicione 7 em ambos os lados
Divida ambos os lados por 3
Resultado final
b)
x
+8
2
x
2 .5 x − 1 .2 = .2 + 8 .2
2
10x − 2 = x + 16
10x − 2 − x = x + 16 − x
5x − 1 =
9 x − 2 = 16
9 x − 2 + 2 = 16 + 2
9 x = 18
9 x 18
=
9
9
Multiplique ambos os lados da equação por 2
para eliminar a fração
Subtraia x de ambos os lados para eliminar o
termo com x do 2º membro da equação
Adicione 2 em ambos os lados da equação
Dividir ambos os lados por 9
50
Resultado final
x=2
9.
Equação
a) 5 x − 12 = 2 x + 27
b) x +
3x
= 2x + 2
2
c) 2 ( x − 3) = 4 + 7 x
d) 4 x − 3( x − 1) =
3x
+5
5
Gabarito trocado
Gabarito correto
a) x = −2
b) x = 5
a) x = 13
c) x = 13
c) x = −2
d) x = 4
d) x = 5
b) x = 4
Análise
Nesta seção Você aprendeu? temos as atividades 8 e 9, na qual é solicitada a
resolução de equações do 1º grau.
De acordo com o Modelo 3UV, nestas atividades, temos os aspectos I1, I2, I3
e I4 da variável como incógnita específica, sendo necessário o aspecto I1, pois
necessitarão reconhecer e identificar a presença de algo desconhecido que pode ser
determinado considerando as restrições do problema; o aspecto I2, já que terão que
interpretar a variável simbólica (letra) que aparece em uma equação, como a
representação de valores específicos; o aspecto I3, uma vez que deverão substituir
a variável que faz da equação verdadeira; e o aspecto I4, porque precisarão
determinar a quantidade desconhecida que aparece em equações, realizando
operações algébricas, aritméticas ou de ambos os tipos.
Já segundo as concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da
álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) temos a concepção de Álgebra como um
estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas e a dimensão da
Álgebra das equações, visto que terão que resolver as equações e apresentar sua
respectiva solução.
E para finalizar temos a seção Lição de casa, com a atividade 10 apresentada
nas Figuras 24 e 25.
10. Resolva as equações a seguir e descreva cada etapa de resolução.
a) 5 x + 7 = −2 x − 14
Resolução
5 x + 7 = −2 x − 14
Descrição
51
Figura 24 - Atividade 10 da Situação de Aprendizagem 3
Fonte: São Paulo, 2009a, p. 32
b)
x
+ 2 = 3 x − 26
5
Resolução
Descrição
x
+ 2 = 3x − 26
5
c)
2
5
x−3= x
3
4
Resolução
Descrição
2
5
x−3= x
3
4
d) −
3 5x
1
+
= 2x +
5 4
2
Resolução
3 5x
1
− +
= 2x +
5 4
2
Descrição
52
Figura 25 - Continuação da atividade 10 da Situação de Aprendizagem 3
Fonte: São Paulo, 2009a, p. 33-34
Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação
10. As equações podem ser resolvidas de diferentes maneiras. Apresentamos um
exemplo para cada item.
a)
Resolução
5 x + 7 = −2 x − 14
5 x + 7 + 2 x = −2 x − 14 + 2 x
7 x + 7 = −14
7 x + 7 − 7 = −14 − 7
7 x = −21
7 x − 21
=
7
7
x = −3
Descrição
Somar 2x em ambos os lados para eliminar
o termo com x do 2º membro da equação
Subtrair 7 de ambos os lados
Dividir por 7 ambos ao lados
Obtemos x = −3 como resultado
b)
Resolução
x
+ 2 = 3 x − 26
5
x
5. + 5.2 = 5.3 x − 5.26
5
x + 10 = 15 x − 130
10 = 14 x − 130
14 x − 130 = 10
14 x = 140
x = 10
c)
Descrição
Multiplicar ambos os lados por 5
Subtrair
x de ambos os lados da equação
Inverter os lados da equação (opcional)
Adicionar 130 em ambos os lados
Dividir ambos os lados por 14
53
Resolução
2
5
x−3= x
3
4
2
5
12. x − 12.3 = 12. x
3
4
8 x − 36 = 15x
− 36 = 7 x
7 x = −36
− 7 x 36
=
−7
−7
Descrição
Multiplicar ambos os lados por 12, que
é o m.m.c de 3 e 4
Subtrair 8 x de ambos os lados
Inverter os lados da equação (opcional)
Dividir ambos os lados por 7
d)
Resolução
3 5x
1
+
= 2x +
5 4
2
3
5x
1
− .20 + .20 = 2 x.20 + .20
5
4
2
− 12 + 25x = 40 x + 10
− 12 = 15x + 10
15x + 10 = −12
− 15 x = 22
22
x=−
15
−
Descrição
Multiplicar ambos os lados pelo m.m.c. de
2, 4 e 5: 20
Subtrair 25 x de ambos os lados
Inverter os lados da equação (opcional)
Subtrair 10 de ambos os lados
Dividir ambos os lados por 15
Análise
Nesta seção Lição de casa temos a atividade 10, que são solicitadas mais
resoluções de equações do 1º grau descrevendo cada etapa de sua resolução.
Observamos que nas respostas apresentadas pelo gabarito, nos itens (b) e (c)
precisamos observar com atenção, pois o ponto é utilizado no lugar do sinal de
multiplicação e no item (c) também não temos o resultado final.
Segundo o Modelo 3UV, nesta atividade temos os aspectos I1, I2, I3 e I4 da
variável como incógnita específica, sendo necessário o aspecto I1, pois deverão
reconhecer e identificar a presença de algo desconhecido que pode ser determinado
considerando as restrições do problema; o aspecto I2, já que deverão interpretar a
variável simbólica (letra) que aparece em uma equação, como a representação de
54
valores específicos; o aspecto I3, visto que precisarão substituir a variável que faz
da equação verdadeira; e o aspecto I4, já que terão que determinar a quantidade
desconhecida que aparece em equações realizando operações algébricas,
aritméticas ou de ambos os tipos.
Já de acordo com as concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as
dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) temos a concepção de
Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas
e a dimensão da Álgebra das equações, uma vez que deverão resolver as equações
e apresentar sua respectiva solução.
Notamos, nesta terceira Situação de Aprendizagem, que durante as
resoluções das atividades, foram necessários aspectos que constituem a variável
como incógnita específica, número genérico e uma relação funcional, segundo o
Modelo 3UV. Entretanto o aspecto I2 esteve presente em todas as atividades com
exceção das 6 e 7, e os aspectos F1 e F6, só apareceram na atividade 6.
Com relação às concepções de álgebra segundo Usiskin (1995) e as
dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) tivemos: a concepção e
dimensão de Álgebra como aritmética generalizada, já que precisaram “traduzir” da
linguagem materna para a algébrica; a concepção de Álgebra como um estudo de
procedimentos para resolver certos tipos de problemas e a dimensão da Álgebra das
equações, visto que necessitarão resolver as equações e apresentar suas
respectivas soluções.
Situação de Aprendizagem 4 - Proporcionalidade, equações e a
regra de três
Segundo o Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009):
Por fim, na última Situação de Aprendizagem, retomaremos algumas
das noções de proporcionalidade trabalhadas anteriormente para
introduzir a regra de três. No Caderno do 3º bimestre, a abordagem
dessas noções priorizou a análise de tabelas e o conceito de razão.
Agora, dentro do contexto do estudo das equações, podemos
introduzir o procedimento da regra de três como forma de resolução
de problemas envolvendo proporcionalidade. (SÃO PAULO, 2009,
p. 9).
Nesta
Situação
de
Aprendizagem
são
propostos
cinco
problemas,
subdivididos em Você Aprendeu? e Lição de casa. Tendo início com a seção Você
Aprendeu?, com os problemas 1, 2 e 3, apresentados nas Figuras 26 e 27.
55
1. Uma das equações abaixo foi resolvida de maneira incorreta.
a) Identifique-a e explique por que o erro aconteceu.
I.
II.
IV.
V.
III.
3x
5 x − 3 = 17
2x
2 x 28
x
−2+
=1
= 12
=
1
+
=
3
8
5
5 x = 17 + 3
3
6
2
3x
2 x = 5.12
3.28
5 x = 20
=1+ 2
1 + x = 3 .2
x=
8
2 x = 60
2.6
x = 20 ÷ 5
3 x = 3 .8
1+ x = 6
84
x
=
60
÷
2
x=4
24
x=
x = 6 −1
x=
12
x = 30
3
x=5
x=7
x=8
VI.
15
8
15
x=
5 .8
15
x=
40
3
x=
8
5x =
___________________________________________________________________________________________________
Agora, resolva-a da maneira correta.
Figura 26 - Problema 1 da Situação de Aprendizagem 4
Fonte: São Paulo, 2009a, p. 35
2. Considere o seguinte problema:
João comprou 5 CDs idênticos por R$ 4,80. Quanto João pagaria por uma
dúzia de CDs do mesmo tipo?
a) Represente as informações do problema na tabela, usando a letra x para o valor
desconhecido.
CD
Valor
b) Determine o preço unitário de cada CD.
c) A partir dessa informação, descubra o valor referente à compra de 12 CDs.
d) Agora, resolva o problema por meio da regra de três.
Resposta: ___________________________________________________
3. Considere o seguinte problema: dirigindo a 80 km/h, Mariana vai da cidade onde mora
até a cidade em que reside a mãe dela em 1 hora e meia. Se ela fizesse a mesma
viagem com velocidade constante de 100 km/h, quanto tempo ela demoraria?
a) Represente as informações do problema na tabela, usando a letra x para o valor
desconhecido.
Velocidade
Tempo
b) Se Mariana faz a viagem em 1,5 hora quando está viajando a 80 km/h, qual é a
distância entre as duas cidades?
c) Sabendo a distância entre as duas cidades, calcule o tempo de viagem que ela levaria
se a velocidade fosse de 100 km/h.
d) Identifique o tipo de proporcionalidade existente entre as grandezas nas condições do
problema.
• O tempo de viagem é _____________________ proporcional à velocidade.
• A distância percorrida é _____________________ proporcional à velocidade.
• A distância percorrida é ___________________ proporcional ao tempo de viagem.
e) Resolva o problema usando, adequadamente, a regra de três.
56
Figura 27 – Problemas 2 e 3 da Situação de Aprendizagem 4
Fonte: São Paulo, 2009a, p. 36-37
Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação
x
= 3 . A solução x = 5 não satisfaz à equação dada. O
2
x
e o número 3.
erro foi a “multiplicação em cruz” entre o denominador da fração
2
x
b) Nesse caso, a resolução correta da equação 1 + = 3 .
2
Multiplicando-se os dois lados da igualdade por 2 teremos 2 + x = 6 .
1. a) É a equação IV. 1 +
Subtraindo-se 2 dos dois lados da igualdade teremos x = 6 − 2 e, portanto, x = 4 .
2. a)
CD
5
12
b)
c)
Valor
4,8
x
4 ,8
= 0 ,96 . Cada CD custa R$ 0,96.
5
x = 12 . 0 , 96
x = 11 ,52
Os 12 CDs custam R$ 11,52.
d)
4 ,8
x
. Multiplicando-se os dois lados da igualdade por 12 teremos a equação
=
5
12
equivalente
12 . 4 ,8
= x , cuja solução é x = 11 ,52 .
5
3. a)
Velocidade
80 km/h
100 km/h
Tempo
1,5 h
X
57
b) Basta multiplicar 1,5 por 80. Esse raciocínio que acabamos de fazer remete a
uma regra de três com grandezas diretamente proporcionais: se Mariana faz 80 km
a cada 1 hora, em 1,5 horas ela fará 80 . 1,5 = 120 km .
c) Isso pode ser feito através de outra regra de três com grandezas diretamente
proporcionais: se Mariana percorre 100 km em 1 hora, percorrerá 120 km em 1,2
hora.
d) O tempo de viagem é inversamente proporcional à velocidade.
A distância percorrida é diretamente proporcional à velocidade.
A distância percorrida é diretamente proporcional ao tempo de viagem.
e) Resolução com regra de três:
Obtém-se como solução x = 1, 2 hora, ou seja, 1 hora e mais “dois décimos de
hora”. Como uma hora corresponde a 60 minutos, devemos calcular “dois décimos
de 60 minutos”, que são 12 minutos. Concluímos, portanto, que Mariana levaria 1
hora e 12 minutos na viagem.
Análise
Notamos que no segundo problema, quando apresenta 5 CDs por R$ 4,80, a
meu ver, precisamos observar com atenção o contexto, pois onde vamos encontrar
5 CDs por este preço? No problema 3, temos a expressão “1,5 hora”, acredito ser
mais aconselhável escrever “1 hora e meia”. E tanto no problema 2 como no 3, o
termo desconhecido é chamado de x , poderia deixar em aberto para o aluno
escolher sua representação ou letra. E mais uma vez o ponto é utilizado no lugar do
sinal de multiplicação. Além disso, na resposta 2 (d), onde aparece a expressão
“dois lados da igualdade”, creio ser mais aconselhável escrever “dois membros da
igualdade”.
Nesta seção Você aprendeu?, temos os problemas 1, 2 e 3. No problema 1 é
solicitada a resolução de equações do 1º grau, descobrindo qual esta resolvida de
maneira incorreta, para isto poderão substituir os valores encontrados para verificar
se satisfazem ou não a equação dada. Além disso, neste problema estaremos
58
fazendo a discussão citada anteriormente, antes da apresentação do método prático
da regra de três.
No problema 2 temos sua resolução de duas maneiras diferentes,
primeiramente utilizando o valor unitário do produto, em seguida, o método prático
da regra de três. Tanto no problema 2 como no 3, é solicitada a regra de três, porém
no problema 1 temos grandezas diretamente proporcionais e no problema 3
grandezas inversamente proporcionais, nas quais são utilizadas a linguagem
matemática das equações para modelar e resolver problemas que envolvem
proporcionalidade.
O Caderno do Professor (SÃO PAULO, 2009), chama a atenção:
[...] muitos alunos que mecanizam a regra de “multiplicar em cruz” na
resolução de problemas de regra de três não dão atenção à
verificação inicial se as grandezas analisadas são direta ou
inversamente proporcionais. Aplicar diretamente a regra de
multiplicação em cruz em um problema em que estamos trabalhando
com grandezas inversamente proporcionais é fonte de frequentes
erros dos alunos [...]. (SÃO PAULO, 2009, p. 41).
De acordo com o Modelo 3UV, nestes problemas temos os aspectos I1, I2, I3,
I4 e I5 da variável como incógnita específica. Nos problemas 1, 2 (b), (c) e (d) e 3
(b), (c) e (e) é indispensável o aspecto I1, já que necessitarão reconhecer e
identificar a presença de algo desconhecido que pode ser determinado considerando
as restrições do problema. Nos problemas 1, 2 (d) e 3 (e) também são necessários
os aspectos I2, visto que deverá interpretar a variável simbólica que aparece em
uma equação, como a representação de valores específicos; o aspecto I3, pois terão
que substituir a variável que faz com que a equação seja um enunciado verdadeiro;
o aspecto I4, porque precisarão determinar a quantidade desconhecida que aparece
em equações ou problemas, realizando operações algébricas, aritméticas ou de
ambos os tipos. E os problemas 2 (d) e 3 (d) ainda necessitarão do aspecto I5, pois
terão que simbolizar as quantidades desconhecidas identificadas em uma situação
específica e utilizá-las para construir equações.
Já segundo as concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da
álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) nos três problemas temos a concepção de
Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas
e a dimensão da Álgebra das equações, visto que deverão resolver as equações e
apresentar sua respectiva solução. Nos problemas 2 e 3 temos
também a
59
concepção de Álgebra como estudo de relações entre grandezas e a dimensão da
Álgebra funcional, pois necessitarão observar a variação entre as grandezas.
Nas Figuras 28, 29 e 30, temos os problemas 4 e 5, finalizando esta Situação
de Aprendizagem e também esta sequência de ensino.
4. A tabela mostra os valores de duas grandezas diretamente
proporcionais entre si.
a) Calcule a razão entre os valores da grandeza A. Compare-a com a
razão obtida com os valores da grandeza B. O que você observou?
Razão entre os valores da grandeza A:
A
5
10
B
8
16
Razão entre os valores da grandeza B:
Resposta: ___________________________________________________
Figura 28 - Problema 4 da Situação de Aprendizagem 4
Fonte: São Paulo, 2009a, p. 37
b) Calcule a razão entre os valores correspondentes da grandeza A e grandeza B na 1ª
linha. Compare-a com a razão entre os valores das grandezas da 2ª linha. O que você
observou?
Razão entre os valores da 1ª linha:
Razão entre os valores da 2ª linha:
Resposta: ___________________________________________________
c) Multiplique o valor da grandeza A na 1ª linha pelo valor da grandeza B na 2ª linha.
Compare o resultado com o produto entre o valor da grandeza A na 2ª linha e o valor
da grandeza B na 1ª linha. O que você observou?
Produto A1 . B2 = ____________________________________________
Produto A2 . B1 = ____________________________________________
Resposta: ___________________________________________________
d) Generalize as conclusões obtidas nos itens anteriores, usando as letras x, y, z e w para
representar os valores das duas grandezas.
• ____________________________________
• ____________________________________
• ____________________________________
A
x
z
B
y
w
5. A tabela mostra os valores de duas grandezas inversamente proporcionais entre si.
A
B
5
8
10
4
a) Calcule a razão entre os valores da grandeza A. Compare-a com a razão obtida com os
valores da grandeza B. O que você observou?
Razão entre os valores da grandeza A:
Razão entre os valores da grandeza B:
60
Figura 29 – Continuação do problema 4 e problema 5 da Situação de Aprendizagem 4
Fonte: São Paulo, 2009a, p. 37-39
c) Multiplique o valor da grandeza A na 1ª linha pelo valor da grandeza B na 2ª linha.
Compare o resultado com o produto entre o valor da grandeza A na 2ª linha e o valor
da grandeza B na 1ª linha. O que você observou?
Produto A1 . B2 = ____________________________________________
Produto A2 . B1 = ____________________________________________
Resposta: ___________________________________________________
d) Multiplique o valor da grandeza A pelo valor da grandeza B na 1ª linha. Compare o
resultado com o produto entre o valor da grandeza A e o valor da grandeza B na 2ª
linha. O que você observou?
Produto A1 . B1 = ____________________________________________
Produto A2 . B2 = ____________________________________________
Resposta: ___________________________________________________
e)
Generalize as conclusões obtidas nos itens anteriores, usando as letras x, y, z
e w para representar os valores das duas grandezas.
• ____________________________________
• ____________________________________
• ____________________________________
A
B
x
y
z
w
Figura 30 - Continuação do problema 5 da Situação de Aprendizagem 4
Fonte: São Paulo, 2009a, p. 39
Gabarito apresentado pela Secretaria Estadual de Educação
61
4. a) Razão entre os valores da grandeza A:
10
= 2.
5
Razão entre os valores da grandeza B:
16
= 2.
8
As razões encontradas são iguais.
b) Razão entre os valores da 1ª linha:
Razão entre os valores da 2ª linha:
8
5
= 1,6 ou = 0,625 .
5
8
16
10
= 1,6 ou
= 0,625 .
16
10
As razões encontradas são iguais.
c) Produto A1.B2: 5.16 = 80 .
Produto A2.B1: 10.8 = 80 .
Os produtos são iguais.
d)
I.
x y
=
z w
II.
x z
=
y w
III. x.w = z. y
10
5. a) Razão entre os valores da grandeza A: 5 = 2 .
Razão entre os valores da grandeza B:
4
= 0,5 .
8
As razões encontradas não são iguais.
b) Razão entre os valores da 1ª linha:
Razão entre os valores da 2ª linha:
8
= 1,6 .
5
4
= 0,4 .
10
As razões encontradas não são iguais.
c) Produto A1.B2: 5.4 = 20 .
Produto A2.B1: 10.8 = 80 .
Os produtos não são iguais.
d) Produto A1.B1: 5.8 = 40 .
Produto A2.B2: 10.4 = 40 .
Os produtos obtidos são iguais.
62
e) I.
x y
≠
z w
II.
x z
≠
y w
III. x.w ≠ z. y
IV. x. y = z.w
Análise
Notamos que tanto na apresentação dos problemas como na resolução dada,
mais uma vez o ponto é utilizado no lugar do sinal de multiplicação. Além disso,
achei estes problemas um pouco confuso para os alunos.
Nesta seção Lição de casa, temos os problemas 4 e 5 que os estudantes
deverão calcular a razão entre os valores de duas grandezas, uma diretamente
proporcional e a outra inversamente proporcional, e posteriormente generalizar as
conclusões obtidas.
Segundo o Modelo 3UV, nestes problemas temos os aspectos I1 e I4 da
variável incógnita específica e os aspectos G1, G2, G3 e G4 da variável número
genérico. Nos problemas 4 (a), (b), (c) e 5 (a), (b), (c), (d) são necessários os
aspectos I1, já que necessitarão reconhecer e identificar a presença de algo
desconhecido que pode ser determinado considerando as restrições do problema; o
aspecto I4, visto que precisarão determinar a quantidade desconhecida que aparece
em equações ou problemas, realizando operações algébricas, aritméticas ou de
ambos os tipos.
Já nos problemas 4 (d) e 5 (e) são indispensáveis o aspecto G1, pois
necessitarão reconhecer padrões e perceber regras e métodos em problemas; o
aspecto G2, visto que deverão interpretar a variável simbólica como a representação
de uma entidade geral, indeterminada, que pode assumir qualquer valor; o aspecto
G3, já que precisarão deduzir regras e métodos gerais em problemas; e o aspecto
G5, porque necessitarão simbolizar enunciados, regras ou métodos gerais.
Já segundo as concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da
álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) em ambos os problemas temos a
concepção e dimensão Álgebra como aritmética generalizada, visto que precisarão
generalizar modelos e também a concepção de Álgebra como estudo de relações
63
entre grandezas e a dimensão da Álgebra funcional, pois necessitarão observar a
variação entre as grandezas.
Observamos nesta quarta e última Situação de Aprendizagem, durante a
resolução dos problemas, segundo o Modelo 3UV, foram necessários os aspectos
que constituem a variável como incógnita específica e número genérico. Com
relação às concepções de álgebra segundo Usiskin (1995) e as dimensões da
álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) tivemos: a concepção de Álgebra como
aritmética generalizada, visto que precisaram generalizar modelos; a concepção de
Álgebra como um estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas
e a dimensão da Álgebra das equações, pois necessitaram resolver os problemas; a
concepção de Álgebra como estudo de relações entre grandezas e a dimensão da
Álgebra funcional, já que necessitaram observar a variação entre as grandezas.
64
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Faremos
uma
síntese
de
nossas
análises
em
cada
Situação
de
Aprendizagem apresentada no Caderno do Aluno da 6ª série volume 4-2009.
Situação de Aprendizagem 1 - Investigando sequências por aritmética e
álgebra: o foco destas atividades eram o reconhecimento de padrões em sequências
de padrão figurativo ou numéricas e sua representação era feita por meio de
palavras e/ou letras. Identificamos o Modelo 3UV com os aspectos da variável como
número genérico, entretanto os aspectos mais enfatizados foram G1, G3 e G5. Já
em relação às concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da álgebra
segundo os PCN (BRASIL, 1998) está presente a concepção e dimensão Álgebra
como aritmética generalizada, fazendo parte das duas últimas atividades em que
temos a variável letra.
Situação de Aprendizagem 2 - Equações e fórmulas: o intuito destes
problemas é o de explorar a relação entre fórmulas e equações e fazer com que os
alunos realizem operações com expressões algébricas sem se preocupar com
técnicas e métodos de resolução. Identificamos nesta Situação o Modelo 3UV com
os aspectos da variável como incógnita específica, número genérico e uma relação
funcional, porém este último não foi tão enfatizado como os dois primeiros. Com
relação às concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da álgebra
segundo os PCN (BRASIL, 1998) identificamos as concepções de Álgebra:
aritmética generalizada, estudo de relações entre grandezas e estudo de
procedimentos para resolver certos tipos de problemas. E as dimensões da Álgebra
presentes foram: aritmética generalizada, das equações e funcional.
Situação de Aprendizagem 3 - Equações, perguntas e balanças: a finalidade
destas atividades é a resolução de equações. No primeiro momento estas equações
foram resolvidas por meio de um raciocínio aritmético utilizando operações inversas,
posteriormente tínhamos a resolução pautada na ideia de equivalência, na qual é
utilizada a analogia com a imagem do equilíbrio de uma balança de dois pratos, com
a intenção de facilitar a compreensão dos estudantes em relação a certos
procedimentos, tais como: somar ou subtrair um mesmo termo em ambos os
membros de uma equação.
65
Identificamos nesta Situação o Modelo 3UV com os aspectos da variável
como incógnita específica e uma relação funcional, porém é enfatizada a incógnita
específica. Entre as dez atividades apenas duas apresentam uma relação funcional.
Já de acordo com as concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as dimensões da
álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) observamos a Álgebra como aritmética
generalizada tanto na concepção quanto na dimensão, e também a Álgebra como
um estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas e Álgebra das
equações, as quais ocorrem com maior frequência na concepção e na dimensão
respectivamente.
Situação de Aprendizagem 4 – Proporcionalidade, equações e a regra de
três:
o
objetivo
destes
problemas
é
retomar
algumas
das
noções
de
proporcionalidade trabalhadas anteriormente (no bimestre anterior) para introduzir a
regra de três agora no contexto do estudo das equações. Identificamos nesta
Situação o Modelo 3UV com os aspectos da variável como incógnita específica e
número genérico. Com relação às concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as
dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998) observamos as concepções
de Álgebra: aritmética generalizada, estudo de relações entre grandezas e estudo de
procedimentos para resolver certos tipos de problemas. E as dimensões da Álgebra
presentes foram: aritmética generalizada, das equações e funcional.
Para facilitar a compreensão em relação às análises realizadas, elaboramos o
Quadro 1 com os aspectos das variáveis, segundo o Modelo 3UV, presentes em
cada atividade/problema das Situações de Aprendizagem.
66
Usos da variável – Modelo 3UV
Incógnita específica
Número genérico
Relação funcional
1)
2)
3)
G1, G3 e G5
4)
5)
Situação de
Aprendizagem 1
6) G3
7)
8)
G1, G3 e G5
9)
11)
12)
G1, G2, G3 e G5
13)
2)
3)
I1, I2, I4 e I5
4)
Situação de
Aprendizagem 2
7)
8) I1 e I4
9) I1, I2, I4 e I5
10)
1) G2
2) G2, G3, G4 e G5
3)
11) F1, F2, F3 e F4
4) G2, G3 e G5
7)
11) I1, I2, I3, I4 e I5
1) I1, I2, I3, I4 e I5
2) I1, I2, I3 e I4
Situação de
Aprendizagem 3
4)
5) F1 e F6
5) I2 e I5
6)
8)
9) I1, I2, I3 e I4
10)
1) I1, I2, I3 e I4
2) I1, I2, I3, I4 e I5
Situação de
Aprendizagem 4
3)
4) I1 e I4
4) G1,G2, G3 e G5
5)
5)
Quadro 1 - Aspectos das variáveis segundo o Modelo 3UV, presentes em cada
atividade/problema das Situações de Aprendizagem
67
E no Quadro 2, temos as concepções de álgebra de Usiskin (1995) e as
dimensões da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998), presentes em cada
atividade/problema das Situações de Aprendizagem.
Concepção de álgebra de Usiskin (1995)
Álgebra como
aritmética
generalizada
Situação de
Aprendizagem 1
Situação de
Aprendizagem 2
Situação de
Aprendizagem 3
Situação de
Aprendizagem 4
Álgebra como
estudo de
procedimentos
para resolver
certos tipos de
problemas
Álgebra como
estudo de
relações entre
grandezas
Álgebra como
estudo das
estruturas
Nas atividades
12 e 13
Nos problemas
2, 3, 4 e 7
Nos problemas 2,
3, 4, 7, 8, 9, 10 e
11
Nos problemas
1, 2, 3, 4, 7, 8,
9, 10 e 11
Nas atividades
1, 5 e 6
Nas atividades 1,
2, 4, 8, 9 e 10
Nos problemas
4e5
Nos problemas 1,
2e3
Nos problemas
2, 3, 4 e 5
Álgebra como
aritmética
generalizada
Álgebra das
equações
Álgebra
funcional
Álgebra
estrutural
Dimensão da álgebra segundo os PCN (BRASIL, 1998)
Quadro 2 - Concepções de álgebra de Usiskin e as dimensões da álgebra segundo os PCN,
presentes em cada atividade/problema das Situações de Aprendizagem
Observamos que estão presentes nestas Situações de Aprendizagem,
segundo o Modelo 3UV, a variável como incógnita específica, como número
genérico e como uma relação funcional. Em relação às concepções de álgebra de
Usiskin (1995) temos: Álgebra como aritmética generalizada, Álgebra como estudo
de procedimentos para resolver certos tipos de problemas e Álgebra como estudo de
relações entre grandezas. Com relação às dimensões da álgebra, segundo os PCN
(BRASIL, 1998) temos: Álgebra como aritmética generalizada, Álgebra das
equações e Álgebra funcional. A meu ver estas Situações de Aprendizagem
possibilitam ao aluno a compreensão do conceito de variável.
68
REFERÊNCIAS
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COXFORD, A. F. e SHULTE, A. P. (orgs). As ideias da álgebra. São Paulo: Atual,
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resolução de problemas numéricos. In: COXFORD, A. F. e SHULTE, A. P. (orgs).
As ideias da álgebra. São Paulo: Atual, 1995. p. 70-78.
HOUSE, P. A. Reformular a álgebra da escola média: por que e como? In:
COXFORD, A. F. e SHULTE, A. P. (orgs). As ideias da álgebra. São Paulo: Atual,
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professores da educação básica. Dissertação (Mestrado em Educação
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relativa ao conceito de variável. Dissertação (Mestrado em Educação
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____________. Secretaria da Educação. Caderno do Professor: matemática,
ensino fundamental – 6ª série, volume 4. Coordenação geral Maria Inês Fini. São
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____________. Secretaria da Educação. Caderno do Aluno: matemática, ensino
fundamental – 6ª série, volume 4. Coordenação geral Maria Inês Fini. São Paulo:
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SCARLASSARI, N. T. Um estudo de dificuldades ao aprender álgebra em
situações diferenciadas de ensino em alunos da 6ª série do ensino
fundamental. Dissertação (Mestrado em Educação). Campinas: Universidade
Estadual
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