Elementos de Análise
Numérica
Prof. Carlos Ruberto Fragoso Júnior
11:43
Solução de problemas de Engenharia

Sem computador
Formulação
Solução
Interpretação
11:45

Com computador
Formulação
Solução
Interpretação
Tópicos







Interpolação
Ajuste de equações
Integração numérica
Derivadas numéricas
Raízes de equações
Sistemas de equações lineares
Sistemas de equações não lineares
Aplicações em Recursos Hídricos

Raizes da equação de manning





Canal prismático
Canal com seção dada em tabela
Equação de remanso
Solução da equação para encontrar dx ideal para
muskingun cunge (propagação de vazões)
Solução da propagação de reservatório usando
Newton
Interpolação linear
A forma mais simples de interpolação é a interpolação
linear, em que dois pontos são unidos por uma linha reta
volume

Interpolação numérica
f ( x)  f ( x0 ) 
f ( x1 )  f ( x0 )
 ( x  x0 )
x1  x0
x
cota
Interpolação quadrática
Encontra uma parábola que aproxima 3 dados
consecutivos
f ( x)  b0  b1  x  x0   b2  x  x0  ( x  x1 )
volume

Interpolação numérica
x
cota
Splines




Interpolação numérica
Splines interpolam os dados e garantem a continuidade da função
e da derivada de ordem m. Para assegurar isto, a interpolação
deve ser feita utilizando polinômios de grau m+1.
Para garantir a continuidade da função, basta utilizar retas
(polinômios de primeiro grau)
Para garantir a continuidade da função e da sua primeira derivada,
é necessário utilizar parábolas.
Para garantir a continuidade da função, e das duas primeiras
derivadas, é necessário usar splines cúbicos.
Splines

Interpolação numérica
Alguns softwares de planilha usam splines cúbicos
para suavizar linhas de gráficos.
48
46
44
42
40
38
36
34
32
30
0
20
40
60
80
100
120
140
Splines

Interpolação numérica
Os splines cúbicos podem causar alguns
problemas.
47
45
43
41
39
37
35
0
5
10
15
20
25
Splines

Interpolação numérica
Os splines cúbicos podem causar alguns
problemas.
47
45
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41
39
37
35
0
5
10
15
20
25
Rotinas para interpolação


Interpolação numérica
Existem rotinas prontas em praticamente qualquer
linguagem para interpolação com polinômios e
splines.
Calculadora, Matlab, Excel, etc…
Ajuste de equações



Em alguns casos é necessário gerar funções que aproximam
razoavelmente um conjunto de dados.
Ao contrário da interpolação, no ajuste não é necessário
respeitar todos os pontos.
A idéia é minimizar os erros com uma função simples.
30
25
20
15
10
5
0
0
5
10
15
20
25
Ajuste de equações
Ajuste – exemplo em simulação

Relação entre largura de
um rio e área de drenagem
obtida a partir de seções
transversais em locais de
postos fluviométricos da
ANA
B rio  3.2466  A bacia0.4106
300
250

Utilizada para calcular os
parâmetros do modelo
Muskingum Cunge em
locais sem dados.
Largura do rio (m)
200
150
100
50
0
0
5000
10000
15000
Área da bacia (km2)
20000
25000
30000
Ajuste de equações
Ajuste – exemplo em simulação

Curva chave de um posto pluviométrico é um ajuste de uma
equação pré-determinada aos dados de medição de vazão.
Introdução – Integral Numérica

Em determinadas situações integrais ou derivadas
são difíceis ou mesmo impossíveis de se resolver
analiticamente.
b

a

11:45
df
f ( x) dx ou
dx
x  x0
Forma de obtenção de uma aproximação para a
integral ou diferencial de f(x)  Métodos
Numéricos.
Integração numérica


Os problemas de integração numérica
surgem, por exemplo, quando é necessário
obter informações de área molhada e raio
hidráulico de uma seção transversal de um
rio, definida por pares de pontos x e y.
Também surgem quando é necessário
discretizar uma função analítica contínua, de
forma que sua área seja mantida.
Integração numérica
48
46
44
42
40
38
36
34
32
30
0
20
40
60
80
100
120
140
Integração numérica

11:46
Idéia básica da integração
numérica  substituição da
função f(x) por uma função que
aproxime razoavelmente no
intervalo [a, b].
Integração numérica

Substituição da função por uma função.
b
b
a
a
 f ( x)dx   p( x)dx
onde p  x  é a função

Polinômio de Newton:
px   f x0   x  x0  
f x0 
h  x  x1  x0  x2  x1
11:48
1! h
 x  x0 x  x1  
2 f x0 
2! h
2

Integração numérica

11:49
O uso desta técnica decorre do fato de:

por vezes, f(x) ser uma função muito difícil de
integrar, contrariamente a um polinômio;

a única informação sobre f(x) ser um conjunto de
pares ordenados.
Métodos de integração numérica mais
utilizados

Fórmulas de Newton-Cotes.



11:50
Regra do Trapézio simples, x0=a e xn=b;
Regra do Trapézio composta, x0=a e xn=b;
Regra de Simpson , x0=a e xn=b.
Regra do trapézio simples
f(x)
x1

x0
h
f ( x)dx   f ( x0 )  f ( x1 )
2
f(x1)
f(x0)
I  b  a  
f  a   f b 
2
x0
x1
Aproxima a área sob a curva pela área de um trapézio
11:51
x
Regra do trapézio simples

Intervalo [a, b] relativamente pequeno.


Intervalo [a, b] de grande amplitude.


11:52
aproximação do valor do integral é aceitável.
aproximação inadequada;
pode-se subdividi-lo em n sub-intervalos, e em
cada um a função é aproximada por uma função
linear.
Regra do trapézio composta


11:53
Intervalo [a, b] de grande amplitude.
Soma da área de n trapézios, cada qual
definido pelo seu sub-intervalo.
Regra do trapézio composta

Fórmula:
xm

x0
f ( x)dx 
h
 f ( x0 )  f ( x1 )  h  f ( x1 )  f ( x2 )
2
2
h
 ...   f ( xN 1 )  f ( xN )
2

xN

x0
11:54
Só os termos f(x0) e f(xn) não se repetem,
assim:
h
f ( x)dx   f ( x0 )  2 f ( x1 )  f ( x2 )  ...  f ( xN 1 )  f ( xN )
2
Regra do trapézio composta
Exemplo: Estimar o valor de
 (1  x ) dx
4
2 1 / 2
0



Regra do Trapézio Simples: 2 pontos (x0=0,0 e
x1=4,0)
I=h/2*(y0+y1)=2x(1,00000+0,24254) = 2,48508
Regra do Trapézio Composta: 3 pontos (x0=0,0,x1
=2,0,x2 =4,0)
I=h/2(y0+2y1+y2)=1x(1,00000+2x0,44722+ 0,24254) =
2,1369
Regra do Trapézio Composta: 9 pontos
I=(0,5/2)x(y0+2y1+2y2+2y3+2y4+2y5+2y6+2y7+y8)
=2,0936
A aproximação para 9 pontos é melhor,
dado que o valor real é 2,0947.
11:58
x
y=(1+x²)-1/2
0.0
1,00000
0.5
0,89445
1.0
0,70711
1.5
0,55475
2.0
0,44722
2.5
0,37138
3.0
0,31623
3.5
0,27473
4.0
0,24254
Regra do trapézio composta
11:59
Regra do trapézio - Erro

Erro:
ERRO!
f(x)
E=I–T


11:59
T - valor da integral
numérica.
I - valor da integral
obtida pela
integração de f(x).
f(x1)
f(x0)
x0
x1
x
Regra do trapézio - Erro
Erro da Regra do Trapézio Simples
(b  a)3
h3
E( f )  
f ´´( )   f ´´( ),
12
12
paraum certo   ]a, b[
Erro da Regra do Trapézio Composta
h3
Nh3 f ´´(i )
EN ( f )   f ´´(i )  
12
i 1 12
N
12:01
Regra do trapézio - Erro
1

Exemplo: Seja
I   e dx ,
x
0
calcule uma aproximação para I usando a Regra dos Trapézios
Simples. Estime o erro cometido.
h  b  a  1 0  1
x1

x0
h
f ( x)dx   f ( x0 )  f ( x1 )
2
1
I   e x dx 
0
1

1 0
e e
2

I   e x dx  1,859141
0
12:02
Regra do trapézio - Erro
Estimativa do erro cometido:
ETR
(1)3 

e ,   (0,1)
12
Portanto :
ETR
1
 máx e x  0,226523
12 x[ 0 ,1]
e1  máx e x
x[ 0 ,1]
12:03
Regra de Simpson
f(x)
f(x1)
f(x2)
f(x0)
x0
x1
x2
x
Aproxima a área sob a curva pela área de um polinômio de grau dois.
12:05
Regra de Simpson

Fórmula:
x2

f ( x )dx 
x0

Considerando n sub-intervalos (n deve ser
um número par):
xn

x0
12:06
h
 f ( x0 )  4 f ( x1 )  f ( x2 )
3
f ( x)dx 
h
 f ( x0 )  4 f ( x1 )  2 f ( x2 )   2 f ( xn2 )  4 f ( xn1 )  f ( xn )
3
Regra de Simpson
12:07
Regra de Simpson
Exemplo: Estimar o valor de



1
dx
0 1  x
Dividindo [0,1] em seis subintervalos, temos:
h=1/6
Regra de simpson
S =1/18[1+4(6/7+2/3+6/11)+2(3/4+3/5)+1/2] =
0,69317
Valor da integral
I = ln(2) = 0,69315
12:08
x
y=(1+x)-1
0.0
1,00000
1/6
6/7
2/6
3/4
3/6
2/3
4/6
3/5
5/6
6/11
1
1/2
Regra de Simpson- Erro
Erro da Regra de Simpson
( b  a ) 4 IV
E( f )  
h f (  ),
180
12:09
paraum certo  ]a,b[
Diferenciação numérica

Idéia básica da diferenciação numérica 
Aproximar a derivada real em um ponto
utilizando diferenciais pequenos.
df
f f
f ( x  x )  f ( x )
 lim


dx x0 x x
x

12:11
Utilizando principalmente na solução de
equações diferenciais
Diferenciação numérica
f
df
dx x  x1
f f1  f0

x x1  x0
x0
12:12
x1
x
Diferenciação numérica
Erros de truncamento

As derivadas numéricas são apenas uma
aproximação razoável das derivadas analíticas.
df f

dt t

12:13
É possível avaliar o erro cometido nesta
aproximação utilizando as séries de Taylor
Séries de Taylor

A série de Taylor permite estimar o valor de uma
função num ponto a partir do valor da função e das
suas derivadas em um ponto próximo.
f ( xi ) 2 f ( xi ) 3
f ( xi 1 )  f ( xi )  f ( xi )  h 
h 
 h  ...  Rn
2!
3!



12:13
Onde h é a diferença entre xi+1 e xi.
A série de Taylor é infinita.
A aproximação da derivada numérica é finita
Diferenciação numérica
Séries de Taylor

O resto
f ( xi ) 2 f ( xi ) 3
f ( xi 1 )  f ( xi )  f ( xi )  h 
h 
 h  ...  Rn
2!
3!
O resto é dado por
f n1 ( ) n1
Rn 
h
(n  1)!
Onde fn+1 é a derivada de ordem n+1 e
é um valor entre xi+1 e xi
12:14

Séries de Taylor e derivadas
f ( xi ) 2 f ( xi ) 3
f ( xi 1 )  f ( xi )  f ( xi )  h 
h 
 h  ...  Rn
2!
3!
f ( xi 1 )  f ( xi )  f ( xi )  h  R1
f ( xi 1 )  f ( xi ) R1
f ( xi ) 

h
h
A derivada numérica tem erro de truncamento dado por Rn/h
12:15
Séries de Taylor e derivadas
f ( xi ) 
f ( xi 1 )  f ( xi ) R1

h
h
O valor do erro R1/h é da ordem de h, por isso pode-se expressar
f ( xi 1 )  f ( xi )
f ( xi ) 
 O ( h)
h
Onde O(h) é um erro da ordem de h. Isto significa que quanto menor
o passo (incremento), menor o erro da aproximação.
12:16
Erros de arredondamento
Erros de arredondamento ocorrem porque o computador utiliza
uma representação binária com um número finito de bytes para
representar os números reais.
12:16
Erros – compromisso entre truncamento e
arredondamento
erro
total
truncamento
arredondamento
Incremento
12:16
Tipos de derivadas numéricas
f ( xi 1 )  f ( xi )

f ( xi ) 
 O ( h)
h
Progressiva
forward
f ( xi )  f ( xi 1 )

f ( xi ) 
 O ( h)
h
Regressiva
backward
f ( xi ) 
f ( xi 1 )  f ( xi 1 )
 O(h 2 )
2h
Centrada
Centered
Considerando que h é pequeno, o erro de truncamento da
derivada numérica centrada é menor do que os outros.
12:16
Tipos de derivadas numéricas
Derivada segunda:
f ( xi ) 2 f ( xi ) 3
h 
 h  ...  Rn
2!
3!
f ( xi ) 2 f ( xi ) 3

f ( xi 1 )  f ( xi )  f ( xi )  h 
h 
 h  ... Rn
2!
3!
f ( xi 1 )  f ( xi )  f ( xi )  h 
f ( xi 1 )  2 f ( xi )  f ( xi 1 )
2
f ' ( xi ) 

O
(
h
)
2
h
12:16
Tipos de derivadas numéricas
progressiva
f
analítica
regressiva
x0
centrada
12:17
x1
x2
x
Tipos de derivadas numéricas
12:17
Exemplo derivada numérica


A celeridade cinemática de
propagação de
perturbações no
escoamento é calculada
por:
onde c é a celeridade, Q é
a vazão e A é a área da
seção transversal
dQ
c
dA
Exemplo derivada numérica

Considerando uma
seção prismática
regular:
dQ
c
dA
dQ
h
c
dh
dA
dh
A R 3  S
Q
n
2
1
2
Exemplo derivada numérica

Considerando uma
seção prismática
regular:
dQ
c
dA
dQ
h
A R 3  S
Q
n
2
1
2
c
Qh h   Qh 
h
c
Ah h   Ah 
h
dh
dA
dh
Exemplo derivada numérica

Considerando uma seção
qualquer
dQ
c
dA
48
46
44
42
40
dQ
h
38
c
36
34
32
dh
dA
dh
30
0
20
40
A R  S
Q
n
2
3
1
2
60
80
100
Tabelas de
A; R e Q em
função de h
120
140
interpolação
Qh   Qh  h 
h
c
Ah   Ah  h 
h
Raízes de equações


Em recursos hídricos surgem muitas
equações de difícil solução analítica, com
termos implícitos e não lineares.
Métodos numéricos são úteis para este tipo
de problema.
Métodos numéricos para encontrar raízes
de equações




Bissecção
Falsa posição
Newton-Raphson
Secantes
f(x)
raiz
x
Raízes de equações
Método de bissecção


No método de bissecção é
necessário fornecer duas
estimativas iniciais de valor
de x que “cercam” a raiz.
Dadas as duas estimativas
iniciais xu e xl, uma primeira
estimativa para a raiz é
dada por:
Raízes de equações
xu  xl
xr 
2
Método de bissecção
F(x)
x
Raízes de equações
Método de bissecção
F(x)
Supõe-se que a raiz esteja exatamente
entre xu e xl
xu  xl
xr 
2
x
Raízes de equações
Método de bissecção
F(x)
Raízes de equações
xu  xl
xr 
2
x
Se f(xr).f(xl) negativo, então
Busca entre xr e xl
Se não, busca entre xr e xu
Método de bissecção
F(x)
Raízes de equações
xu  xl
xr 
2
Busca entre xr e xu
x
Busca termina de acordo
Com critério de parada
Método de bissecção

Raízes de equações
Critérios de parada


Incremento de x menor que um dado limite
Diferença entre f(x) no ponto testado e zero é
menor do que um dado limite
Método de falsa posição
F(x)
Raízes de equações
Supõe-se que a raiz esteja onde estaria a raiz de
uma linha reta unindo os dois pontos
x
Método de falsa posição
F(x)
Raízes de equações
Supõe-se que a raiz esteja onde estaria a raiz de
uma linha reta unindo os dois pontos
x
Método de falsa posição
F(x)
Raízes de equações
Supõe-se que a raiz esteja onde estaria a raiz de
uma linha reta unindo os dois pontos
x
Método de falsa posição
F(x)
Raízes de equações
Supõe-se que a raiz esteja onde estaria a raiz de
uma linha reta unindo os dois pontos
x
Problemas dos métodos anteriores


Bissecção e falsa posição sempre encontram
a raiz, mas podem ser demorados
Além disso, exigem que sejam dadas duas
tentativas iniciais com sinais contrários da
função
Raízes de equações
Método de Newton-Raphson
Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma
linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial
F(x)
x
Raízes de equações
Tentativa inicial
Método de Newton-Raphson
Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma
linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial
F(x)
derivada
Raízes de equações
Tentativa inicial
x
Método de Newton-Raphson
Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma
linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial
F(x)
derivada
Raízes de equações
Tentativa inicial
x
Método de Newton-Raphson
Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma
linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial
F(x)
x
derivada
Raízes de equações
Método de Newton-Raphson
Supõe-se que a raiz pode ser encontrada seguindo uma
linha reta dada pela derivada da função no ponto inicial
F(x)
x
Raízes de equações
Método de Newton-Raphson

Novamente a série de
Taylor
f ( xi ) 2 f ( xi ) 3
f ( xi 1 )  f ( xi )  f ( xi )  h 
h 
 h  ...  Rn
2!
3!
se
h  xi 1  xi
então
f ( xi 1 )  f ( xi )  f ( xi )  xi 1  xi 
Raízes de equações
Método de Newton-Raphson

Novamente a série de
Taylor
f ( xi 1 )  f ( xi )  f ( xi )  xi 1  xi 
Supondo que
f ( xi 1 )  0
f ( xi )
xi 1  xi 
f ( xi )
Raízes de equações
(xi+1 é a raiz)
Problemas do método de NewtonRaphson

É melhor que a primeira estimativa não esteja longe demais da
raiz
x
Raízes de equações
Problemas do método de NewtonRaphson

É melhor que a primeira estimativa não esteja longe demais da
raiz
x
Raízes de equações
Raízes de equações
Raízes de equações
Raízes de equações
Raízes de equações
Método das Secantes


Um possível problema do
método de NewtonRaphson, especialmente
em recursos hídricos, é que
pode ser difícil estimar a
derivada da função.
Neste caso é possível
utilizar uma aproximação
numérica para a derivada,
gerando o método das
secantes.
Raízes de equações
f ( xi ) 
f ( xi 1 )  f ( xi )
xi1  xi 
Método das Secantes


Um possível problema do método
de Newton-Raphson,
especialmente em recursos
hídricos, é que pode ser difícil
estimar a derivada da função.
Neste caso é possível utilizar uma
aproximação numérica para a
derivada, gerando o método das
secantes.
f ( xi ) 
f ( xi 1 )  f ( xi )
xi1  xi 
xi 1  xi 
f(x)
f ( xi )  xi 1  xi 
f ( xi 1 )  f ( xi )
x
Tentativa inicial
secante
Raízes de equações
Método das Secantes
f(x)
f ( xi )  xi 1  xi 
xi 1  xi 
f ( xi 1 )  f ( xi )
x
Tentativa inicial
secante
Raízes de equações
Raízes de equações
Comparação de métodos



Newton-Raphson é mais rápido, seguido do
método das secantes, da falsa posição e
finalmente bissecção.
Newton-Raphson e Secantes podem divergir.
Secantes pode ser aplicado para funções em
que é difícil obter derivadas (comuns em
simulação hidrológica).
Raízes de equações
Exemplo

Calcule o nível da água
h se:
h
B
Raízes de equações
A R 3  S
Q
n
2
1
2
Q=15 m3/s
S=0,001 m/m
n=0,02
B=8 m
A R  S
G ( h)  Q 
n
2
3
1
2
0
Exemplo

Calcule o nível da água
h se:
1
m
h
B
A R  S
Q
n
2
1
2
Q=15 m3/s
S=0,001 m/m
n=0,02
B=8 m
m=1,5
A R 3  S
G ( h)  Q 
n
2
Raízes de equações
3
1
2
0
Exemplo

Calcule a vazão de um
vertedor
h
Raízes de equações


Q2

Q  C  L   h 
2
2
2h  L  g 

g=9,81 m/s2
H=20 cm
L=10 m
C=2
3
2
Exemplo

Calcule o nível h para uma dada vazão Q
48
46
44
42
40
h
38
Q=15 m3/s
S=0,001 m/m
n=0,02
36
34
32
30
0
20
40
A R  S
Q
n
2
3
1
2
60
80
100
Tabelas de
A; R e Q em
função de h
120
140
A R  S
G ( h)  Q 
n
2
3
1
2
0
Simples busca e interpolação da tabela
Raízes de equações
Outro exemplo: balanço hídrico de
reservatório com vertedor
dV
 I O
dt
I  f (t )
O  f ( h)
V  g ( h)
Equação de vertedor
dV
 I O
dt
I  f (t )
O  f ( h)
V  g ( h)
Raízes de equações
Q  C  L  h  hs 
3/ 2
Supondo um reservatório
V  200 h  30  h 0,3856

 200 h  30 h 
t
 200 h  30 h   I  C  L  h
dV
200 h t 1  30  h t 1

dt
200 h
t 1
 30  h t 1
0 , 3856
t
0 , 3856
t 0 , 3856
t
t
t 0 , 3856
t 1
 hs

3/ 2

 C  L  h t  hs
2
Como tornar o termo de h no tempo t+1 explícito?
Raízes de equações

3/ 2
Como encontrar raízes de equações
implícitas
200 h
t 1
0,3856
 30 ht 1
 200 h  30 h   I  C  L  h
t
t 0,3856
t
t 1
 hs

3/ 2

 C  L  ht  hs
2
Método de bissecção
Método de Newton-Raphson
Método das secantes
E se houver operação de comportas durante uma cheia?
Raízes de equações

3/ 2
Exemplo

Na aplicação do método de Muskingum-Cunge para a simulação
da propagação de vazão em rios, utiliza-se sub-trechos cujo
comprimento ideal pode ser encontrado resolvendo a equação
abaixo:
Q0
0 ,8
0, 2
x 
 0,8  c0  t   x 
B  S0  c0






Aplique considerando:
Q0=100 m3/s
c0=1,0 m/s
B = 30 m
S0=0,001 m/m
t = 1 hora (3600 s)
Raízes de equações
Use a equação abaixo para
a estimativa inicial
2,5  Q0
x 
B  S0  c0
Solver do Excel



O solver pode ser utilizado para encontrar raízes
de equações.
Não está claro que método que Solver utiliza.
Chute inicial deve estar relativamente próximo da
raiz.
Raízes de equações
Sistemas de equações - Introdução



Problema comum em engenharia;
A utilização do método está liga a dois
condicionantes: (a) matriz de coeficientes, (b)
eficiência da solução;
Classificação:



Quanto ao tipo: (a) linear, (b) não linear;
Quanto ao tipo de solução: (a) direta (ex. Gauss),
(b) iterativa (ex. Gauss-Seidel);
Quanto à solução: (a) compatível e determinada;
(b) compatível e indeterminada; (c) incompatível.
Sistemas de equações lineares

Pode ser definido como:
a11 x1  a12 x2  a13 x3    a1n xn  b1
a21 x1  a22 x2  a23 x3    a2 n xn  b2
a31 x1  a32 x2  a33 x3    a3 n xn  b3





an1 x1  an 2 x2  an 3 x3    ann xn  bn
Sistemas de equações lineares

Em forma matricial:
A X   B
 a11
a
 21
 a31

 
an1
a12
a13
a22
a32
a23
a33


an 2
an 3
 a1n 
 a2 n 
 a3 n 


 
 ann 
Matriz do coeficientes
 x1 
x 
 2 
 x3 

 
 xn 
b1 
b 
 2 
b3 

 
bn 
Vetor das incógnitas
ou vetor solução
Vetor das
constantes
Sistemas de equações lineares

Classificação quanto à solução:

Possível e determinado → Possui uma única
solução.



Possível e indeterminado → Possui infinitas
soluções


Solução trivial → Det(A) ≠ 0 e B = 0;
Solução não trivial → Det(A) ≠ 0 e B ≠ 0
Det(A) = 0 e B = 0 ou B é múltiplo de uma coluna de A
Impossível → Não possui soluções

Det(A) = 0 e B ≠ 0 e B não é múltiplo de nenhuma
coluna de A
Soluções de sistemas de equações lineares


Método de Gauss (direto)
Método de Gauss-Seidel (iterativo)
Método de Gauss
a11x1  a12 x2  a13 x3 ....... a1n xn  b1
~
~
~
~
a22 x2  a23 x3 ....... a2 n xn  b2
~
~
~
a33 x3 ....... a3n xn  b3
...........
~
~
ann xn  bn

Consiste em transformar a matriz A em uma
matriz triangular equivalente através das
seguintes operações:


Subtração de uma linha por outra multiplicada por
uma constante;
Formação de uma matriz diagonal superior.
Método de Gauss
Considere,
onde:
e,
2 x1  4 x2  2 x3  5

4 x1  9 x2  2 x3  7
 2 x  2 x  9 x  3
1
2
3

4  2
2
 x1 
5
 
 
A   4
9  2 , X   x2  e B  7 
x 
3
 2  2 9 
 3
 
4  2 5
2
A   4
9  2 7 
 2  2 9 3
Método de Gauss

1o passo: Definir um multiplicador para cada
linha baseado na primeira


m2 = a21/a11; m3 = a31/a11
2o passo: Subtrair o produto do multiplicador
da 2a e 3a linha pela 1a linha

a’i,j=ai,j- mi . ai-1,j , onde i = 2,3 e j = 1,2,3
Método de Gauss
O multiplicadores são: m2 = a21/a11 = 4/2 = 2 e m3 = a31/a11 = -2/2 = -1
-1)
2 x1  4 x2  2 x3  5 (x 2)

4 x1  9 x2  2 x3  7
 2 x  2 x  9 x  3
1
2
3

2 x1  4 x2  2 x3  5
 x2  2 x3  3
 2 x2  7 x3  8
((-)
Método de Gauss
Os multiplicadores são: m2 = a21/a11 = 4/2 = 2 e m3 = a31/a11 = -2/2 = -1
a21
'
a
a

a

m
a

a

a11  0
2 linha:
21
21
2 11
21
a11
a'22  a22  m2 a12  9  2  4  1
a'23  a23  m2 a13  2  2   2   2
b2'  b2  m2b1  7  2  5  3
3a linha:
a31
a  a31  m3 a11  a31 
a11  0
a11
'
31
'
a32
 a32  m3 a12  2   1  4  2
'
a33
 a33  m3 a13  9   1   2   7
b3'  b3  m3b1  3   1  5  8
Método de Gauss
Após estes passos, a matriz aumentada fica da seguinte forma:
a11
A   0
 0
a12
a13
a' 22
a'32
a' 23
a'33
b1  2 4  2 5 
b' 2   0 1 2  3
b'3  0 2 7
8 
Repentindo os passos de 1 a 3, só que agora tomando como
base a linha 2:
Método de Gauss
Calculando os novos multiplicadores: m’3 = a’32/a22=2/1=2
2 x1  4 x2  2 x3  5

 x2  2 x3  3 (x 2)


 2 x2  7 x3  8

2 x1  4 x2  2 x3  5
 x2  2 x3  3
 3 x3  14
(-)
Método de Gauss
Calculando os novos multiplicadores: m’3 = a’32/a22=2/1=2
3a linha:
'
a
''
'
'
a32
 a32
 m3' a'22  a32
 '32 a'22  0
a22
''
'
a33
 a33
 m3' a'23  7  2  2  3
b3''  b3'  m3' b2'  8  2   3  14
Após estes passos, a matriz aumentada agora tem a seguinte forma:
a11
A   0
 0
a12
a13
a'21
0
a'23
''
a33
b1  2 4  2 5 
b2'   0 1 2  3
b3''  0 0 3 14 
Método de Gauss
Equivalente a:
2 x1  4 x2  2 x3  5

 x2  2 x3  3


 3 x3  14

Resolvendo o novo sistema, obtem-se:
 x3  4 ,67

 x2  12,33
 x  31,83
 1
Método de Gauss
Exercício para casa:
- Desenvolver um algoritmo para resolução de sistemas
lineares pelo método direto de Gauss.
Método iterativo de Gauss-Seidel


É um dos métodos mais comum e simples de
ser programado;
O método converge somente sob certas
condições e normalmente conduz a um
número maior de operações quando
comparado com métodos diretos.
Método iterativo de Gauss-Seidel
A equação utilizada para iterações é a seguinte:
k 1
i
x
1

ai ,i
i 1
n

k 1
 bi   ai , j  x j   ai , j  x kj

j 1
j i 1





Pode-se utilizar um coeficiente para acelerar o processo
de convergência:
k 1
i
x

 
i 1
bi   ai , j  x

ai ,i 
j 1
k 1
j

  ai , j  x 
j i 1

n
k
j
Método iterativo de Gauss-Seidel
Seja o sistema de equações:
a11 x1  a12 x2  a13 x3    a1n xn  b1
a21 x1  a22 x2  a23 x3    a2 n xn  b2
a31 x1  a32 x2  a33 x3    a3 n xn  b3





an1 x1  an 2 x2  an 3 x3    ann xn  bn
Método iterativo de Gauss-Seidel
Obtemos o valor de x1 a partir da primeira equação, o valor de x2 a
partir da segunda equação e assim sucessivamente:
 

x1k 1 
1
b1  a12 x2k  a13 x3k  a14 x4k    a1n xnk
a11
x2k 1 
1
b2  a21 x1k 1  a23 x3k  a24 x4k    a2 n xnk
a22
x3k 1 
1
b3  a31 x1k 1  a32 x2k 1  a34 x4k    a3 n xnk
a33

xnk 1
 
 






1

bn  an1 x1k 1  an 2 x2k 1  an 3 x3k 1    an n 1 xnk11
ann
 

Método iterativo de Gauss-Seidel

Ponto de partida


Conjunto de valores iniciais
Critério de parada


Número de iterações excedeu um determinado
valor m;
A seguinte condição atenta uma precisão adotada:
n
n
 b  a
j 1
i
i 1
i, j
xj  
Método iterativo de Gauss-Seidel

Convergência do método:

É necessário que a matriz de coeficientes seja
positiva definida

Inspeção da diagonal principal (necessária):
ai , j  0 , para i  j

Domínio da diagonal (suficiente):
ai ,i   ai , j e ai ,i   a j ,i
j i

j i
Método dos menores principais (necessária e suficiente):
Ri  0
Método iterativo de Gauss-Seidel
Considere,
2 x1  4 x2  2 x3  5

4 x1  9 x2  2 x3  7
 2 x  2 x  9 x  3
1
2
3

Aplicando o método, tem-se:
k 1
1
x
x2k 1
x3k 1


1
 5  4 x2k  2 x3k
2
1
 7  4 x1k 1  2 x3k
9
1
 3  2 x1k 1  2 x2k 1
9




Método iterativo de Gauss-Seidel
Considerando o ponto de partida com Xk=(x1, x2, x3)=(0, 0, 0),
a primeira iteração fica:
k 1
1
x
x2k 1
x3k 1
1
 5  4  0  2  0   2 ,5
2
1
 7  4  2 ,5  2  0   0 ,333
9
1
 3  2  2 ,5  2   0 ,333  0 ,815
9
Adotando ɛ = 0.0001, após 244 iterações a solução converge para:
 x1  31,83

 x2  12,33
 x  4 ,67
 3
Método iterativo de Gauss-Seidel
Exercício para casa:
- Desenvolver um algoritmo para resolução de sistemas
lineares pelo método iterativo de Gauss-Seidel.
Sistemas de equações não lineares

Pode ser definido como:
f 1  x1 , x2 , x3 ,...,xn   0
f 2  x1 , x2 , x3 ,...,xn   0
f 3  x1 , x2 , x3 ,...,xn   0

f n  x1 , x2 , x3 ,...,xn   0
onde f é uma função não linear em função de x1,x2,…,xn.
Sistemas de equações não lineares

Método iterativo de Newton

Se baseia no método Newton-Rapson para
solução de equações não lineares.
Método iterativo de Newton

Um sistema de equações não lineares:
f 1  x1 , x2 , x3 ,...,xn   0
f 2  x1 , x2 , x3 ,...,xn   0
f 3  x1 , x2 , x3 ,...,xn   0

f n  x1 , x2 , x3 ,...,xn   0
pode ser expandido para série de Taylor de primeira ordem:
Método iterativo de Newton

Resultando em um sistema de equações lineares:
f 1 x1 , x2 , x3 ,...,xn 
k 1
f 2  x1 , x2 , x3 ,...,xn 
k 1
f 3 x1 , x2 , x3 ,...,xn 
k 1
 f 1 x1 , x2 , x3 ,...,xn  
k
 f 2 x1 , x2 , x3 ,...,xn  
k
 f 3 x1 , x2 , x3 ,...,xn 
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
f 1
f
f
x1  1 x2    1 xn  0
x1
x2
xn
f 2
f
f
x1  2 x2    2 xn  0
x1
x2
xn
f
f
f
 3 x1  3 x2    3 xn  0
x1
x2
xn

f n  x1 , x2 , x3 ,...,xn 
k 1
 f n x1 , x2 , x3 ,...,xn  
onde Δxi = xik+1- xik
k
f n
f
f
x1  n x2    n xn  0
x1
x2
xn
Método iterativo de Newton

Em forma matricial:
J   X 
k
 f 1
 x
 1
 f 2
 x1
 f
 3
 x1
 
 f n
 x
 1
f 1
x2
f 2
x2
f 3
x2

f 2
x2
f 1
x3
f 2
x3
f 3
x3

f 3
x2
f 1 
xn 

f 2 

xn 
f 3 


xn 

 
f n 

xn 

Jacobiano (k)
k 1
 B
 x1 
x 
 2 
 x3 

 
 xn 
Vetor das incógnitas
ou vetor solução (k+1)
k












f 1
f
f
x1  1 x2    1
x1
x2
xn
f
f
f
f 2  2 x1  2 x2    2
x1
x2
xn
f
f
f
f 3  3 x1  3 x2    3
x1
x2
xn

f
f
f
f n  n x1  n x2    n
x1
x2
xn
f1 
Vetor das
Constantes (k)

xn 

xn 



xn 


xn 

Método iterativo de Newton

Ponto de partida


Conjunto de valores iniciais
Critério de parada


Número de iterações excedeu um determinado
valor m;
Verifique se a seguinte condição atenda uma
precisão adotada:
n

i 1
f i k 1  f i k  
Método iterativo de Newton

Convergência do método:

É necessário que a matriz de coeficientes seja
positiva definida

Inspeção da diagonal principal (necessária):
ai , j  0 , para i  j

Domínio da diagonal (suficiente):
ai ,i   ai , j e ai ,i   a j ,i
j i

j i
Método dos menores principais (necessária e suficiente):
Ri  0
Método iterativo de Newton
Exercício para casa:
- Desenvolver um algoritmo para resolução de sistemas
não lineares pelo método iterativo de Newton.