Usando Indexação - Modelos Literais
Fazendo uso de indexação e somatórios é possível escrever modelos
matemáticos compactos usando a forma literal. Considere o Problema de
Transporte:
A companhia de eletricidade CPFLL supre 4 cidades com energia. As
potências (103 kWA) de suas 3 subestações são 35, 50 e 40. As demandas de
pico das 4 cidades são: 45, 20, 30 e 30. Os custos de perda para enviar
energia para as cidades são:
Cidade 1
Cidade 2 Cidade 3
Cidade 4
Sub1
8
6
10
9
Sub2
9
12
13
7
Sub3
14
9
16
5
Como distribuir energia de modo a minimizar o custo de perda e suprir a
demanda de pico?
3-16
Usando Indexação - Modelos Literais
3-17
Usando Indexação - Modelos Literais
Variáveis de decisão:
xij = quantidade de energia enviada da subestação i à cidade j
Modelo Matemático:
=
=
=
=
=
=
=
3-18
Usando Indexação - Modelos Literais
Modelo de Transporte em forma literal:
Fica possível a representação compacta de modelos com muitas variáveis
e restrições
3-19
Exercício de Modelagem - Reservatórios d’água
Problema dos Reservatórios
Dois reservatórios d’água capazes de fornecer cada um 50 milhões de
litros/dia abastecem três cidades, cada qual com uma demanda diária de
30 milhões de litros. Os custos de energia para bombear 1 milhão de
litros d’água de cada reservatório para cada cidade são:
Res. 1
Res. 2
Cid. 1
7
9
Cid. 2
8
7
Cid. 3
10
8
Escreva o modelo matemático capaz de suprir as demandas a um custo
mínimo de energia.
3-20
Exercício de Modelagem - Reservatórios d’água
Min 7x11 + 8x12 + 10x13 + 9x21 + 7x22 + 8x23
sujeito a
x11 + x12 + x13
x11
x12
x13
x21 + x22 + x23
+ x21
+x22
+ x23
<= 50
<= 50
>= 30
>= 30
>= 30
xij>= 0 (i=1, 2; j=1,2,3)
Este é um modelo de Transporte desbalanceado (soma das ofertas maior
que a soma das demandas)
3-21
Exercício de Modelagem - Reservatórios d’água
Para se transformar um modelo de Transporte desbalanceado num
balanceado, emprega-se um artifício:
Cria-se um nó de demanda fictício (dummy) com demanda igual à
diferença entre a soma das ofertas e a soma das demandas, e com custos
nulos.
reservatórios
cidades
d1 = 30
s1=50
d2 = 30
s2=50
d3 = 30
0
0
d4 = 100-90=10
3-22
Exercício de Modelagem - Reservatórios d’água
Suponha agora que a demanda de cada cidade seja aumentada para 40
milhões de litros/dia e que o déficit d’água cause às cidades 1, 2 e 3 um
prejuízo por milhão de litro não fornecido de $20, $22 e $23,
respectivamente. Escreva o modelo matemático balanceado que minimiza
o custo total (energia + déficit).
reserv.
cidade
s1=50
d1=40
s2=50
d2=40
20
s3=120-100=20
22
23
d3=40
Deve-se criar igualmente um nó de oferta fictício com oferta igual a
diferença entre a soma das demandas e a soma das ofertas.
3-23
Exercício de Modelagem - Reservatórios d’água
Modelo matemático balanceado
Min 7x11 + 8x12 + 10x13 + 9x21 + 7x22 + 8x23+ 20x31 + 22x32 + 23x33
sujeito a
x11 + x12 + x13
x21 + x22 + x23
x11
+ x21
x12
+x22
x13
+ x23
+ x31 +x32 + x33
+ x31
+ x32
+ x33
xij>= 0 (i=1, 2;
= 50
= 50
= 20
= 40
= 40
= 40
j=1,2,3)
3-24
Programas Lineares, Não-Lineares e Inteiros
Um Modelo Matemático pode ser:
• Linear (Programa Linear): A Função objetiva e todas as restrições são
lineares. Ex: Problema da Recap, Problema de Transporte
• Não-Linear (Programa Não-Linear): Se a função objetiva ou qualquer
restrição for não-linear. Ex: Modelo EOQ, Problema da área máxima.
• Inteiro
(Programa Inteiro ou Discreto; Problema de Otimização
Combinatória): Todas as variáveis de decisão são discretas.
• Inteiro-Misto: (Programa Inteiro-Misto): Há variáveis de decisão
contínuas e discretas.
3-25
Programas Não-Lineares
Exemplo de Programa Não-Linear:
As Lojas Nappin querem lançar uma ampla campanha de
propaganda no valor de $100 mil visando aumentar as vendas em suas lojas.
A Nappin tem 12 seções diferentes, como roupas masc., fem. e infantis, eletro,
móveis, etc. (i=1,...,12), cujos artigos podem ser anunciados através de 15
diferentes formatos de propaganda, que combinam a seção certa com o
veículo certo como TV, rádio, catálogo, etc. (j=1,...,15). Ela sabe que o
investimento feito num formato j aumenta as vendas de forma logarítmica
com o investimento feito. Como distribuir o investimento por formato de
maneira a maximizar o retorno total?
cij = expectativa de aumento de vendas da seção i por dolar investido
no formato j.
li = taxa de lucro da seção j.
xj = investimento no formato j.
função retorno em vendas = log(xj + 1)
3-26
Programas Não-Lineares
Modelo Não-linear:
Max
15
12
j 1
i 1
 l j  cij log(xi  1)
15
sujeito a
 x j  100.000
j 1
xj >= 0 , j=1, ..., 15
3-27