ESCOLA SECUNDÁRIA AFONSO LOPES VIEIRA
FICHA DE TRABALHO – TRIGONOMETRIA
Nome: ....................................................................
Escola Secundária Afonso Lopes Vieira
Data: 11/09/2008
Nº:... 11º Ano Turma A
I
1.
No referencial encontra-se representado o ponto A de coordenads x, y
Marca os pontos:
y
1.1 B simétrico de A relativamente ao eixo Oy.
A
1.2 C simétrico de A relativamente à origem.
α
1.3 D simétrico de A relativamente ao eixo Ox.
o
2.
Considera α = xÔA, em radianos, e indica uma
amplitude de cada um dos ângulos xOB, xOC e xOD.
3.
Relaciona o sen α, cos α e tg α, com o seno, co-seno e tangente de cada um dos ângulos
xOB, xOC e xOD.
II
Os losangos da figura têm lado unitário ( l = 1) e a amplitude do ângulo x varia entre 0 e π .
l
x
l
l
x
l
x
l
l
1.
Descreve como varia a área dos losangos quando x aumenta de 0 a π
2.
Mostra que a área dos losangos pode ser dada, em função de x , por A(x) = sen x
3.
Justifica que a área é máxima quando o losango se transforma num quadrado.
4.
Determina os valores de x para os quais a área do losango é 0,5 (unidades quadradas).
5.
Como deves ter concluído no ponto anterior, há valores de x diferentes que correspondem a
losangos com a mesma área.
Exprime simbolicamente essa conclusão completando a expressão A(x) = A ( . . . . . . ).
x
ESCOLA SECUNDÁRIA AFONSO LOPES VIEIRA
FICHA DE TRABALHO – TRIGONOMETRIA
Escola Secundária Afonso Lopes Vieira
Nome: ....................................................................
Nº:... 11º Ano Turma A
y
1.1 Na figura ao lado
1.2 OA =
Data: 11/09/2008
B
A
(2 2 + 4 2 ) = 20
α
–1
–1
α = sin (4/ 20 ) ≈ 1,11 rad ou α = tan (4/2) ≈ 1,11 rad
x
o
xÔB ≈ 3,14 – 1,11 rad ≈ 2,03 rad
C
xÔC ≈– 2,03 rad
D
xÔD ≈ – 1,11 rad
1.3 sen ( xÔB ) = sen α
cos ( xÔB ) = –cos α
tg ( xÔB ) = – tg α
sen ( xÔC ) = –sen α
cos ( xÔC ) = –cos α
tg ( xÔC ) = tg α
sen ( xÔD ) = –sen α
cos ( xÔD ) = cos α
tg ( xÔD ) = – tg α
2.1 A area do losango aumenta quando x varia de 0 a π/2 e diminui quando x varia de π/2 a π.
2.2 A área do losango é dada por base x altura.
Sendo l = 1, a base tem comprimento 1 e a altura é dada por sen x
1
Assim, A( x ) = 1 . sen x , ou seja A( x ) = sen x
x
sen x
2.3 Variando x entre 0 e π, o sen x varia entre 0 e 1, ou seja x ∈ ]0 , π [ <=> 0 < sen x < 1.
Quando x = π/2 todos os ângulos internos do losango são rectos, transformando-se num quadrado.
Como A( x ) = sen x e sen x é máximo quando x = π/2, a sua área é máxima e igual a 1.
2.4 A( x ) = sen x e sen x = 1/2 <=> x = π/6 v x = 5π/6 , com x ∈ ]0 , π [
5π/6
Assim, quando x = π/6 v x = 5π/6 A( x ) = 1 x 1/2 = 1/2
2.5 Pelo que foi feito antes verifica-se que, sendo x a amplitude de um ângulo no 1º quadrante,
existe um outro ângulo no 2º quadrante com o mesmo seno.
Generalizando, a cada ângulo do 1º quadrante corresponde um outro do 2º quadrante com o
mesmo seno. O seja: sen x = sen (π – x ), logo A( x ) = A (π – x ).
π/6