Pré-vestibular – Matemática
Caderno 1 – Unidade IV – Série 4
Resoluções
Segmento: Pré-vestibular
Coleção: Alfa, Beta e Gama
Disciplina: Matemática
Volume: 1
Unidade IV: Série 4
Congruência de triângulos
1.
a) 90° + 3x + 2x + x + 30° = 360°
6x + 120° = 360°
6x = 240°
x = 40°
b) 105° + 85° + x + 20° + 3x + 180° – x = 180(5 – 2 )
3x + 390° = 540°
3x = 150°
x = 50°
2. C
A soma dos ângulos inteiros (Si) é dada por: Si = 180(n – 2).
A soma dos ângulos externos (Se) é sempre: 360°.
Assim, temos:
180°(n – 2) – 360° = 180°(n – 2) – 2 · 180° = 180°(n – 2 – 2)
∴ 180°(n – 4)
3. C
Sejam (x – 2°), (x – 1°), x, (x + 1°) e (x + 2°), o s ângulos mencionados.
Assim:
(x – 2°) + (x – 1°) + x + (x + 1°) + ( x + 2º) = 54 0°
5x = 540°
∴ x = 108°
A soma do maior com o menor é:
(108° – 2) + (108° + 2) = 216°
1
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º
0
6
3
º
8
0
1
º
0
x 2 6
3
º
0 º
x 3 º
0 º 8 0
0
3 0 1 2
8
3
º
3 1
1
8
y
7
x
x
1
61
6x x 3y
x 1
1
4. D
−
+
+
+
+
=
=
=
∴ =
+
=
∴ =
5. B
Seja n o número de lados desse polígono. Temos que a soma dos ângulos
internos desse polígono pode ser calculada da seguinte maneira:
2 · 130° + (n – 2) · 128° = 180°(n – 2)
260° + 128°n – 256° = 180°n – 360º
364° = 52n
n=7
6. B
(5x) + (180° – 85°) + (x – 10°) + (180° – 45°) = 36
6x + 240° = 360°
6x = 120°
x = 20°
Do enunciado, temos =
+
º
2
7
e 2
i
7. Sabemos que i + e = 180º
0°
(I)
(II)
º
2
7
e 2
º
0
8
1
e
Observe que i representa a medida do ângulo interno e e representa a
medida do ângulo externo.
Substituindo (II) em (I), temos:


=
− +



º
8
0 º
1 2
7
e
3 2e
=
ângulo externo mede 72º existem
5
º
0 º
6 2
3 7
=
Dado que a soma dos ângulos externos é sempre 360º e, neste caso, cada
=
tem 5 lados (pentágono).
2
ângulos. Portanto esse polígono
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8
º
0 º
6 5
3 4
8. B
Como o polígono é regular, chamamos de i e e as medidas dos ângulos
internos e externos, respectivamente.
Da figura, temos:
90° + 45° + i + 90° = 360°
∴ i = 125º
Então, e = 45°.
=
O número de lados pode ser calculado por:
9. C
O numero de lados desse polígono é:
Cada ângulo externo mede
=
º
0
6
º
0
6 6
3
10. C
8
º
0 º
6 5
3 4
Seja e o valor do ângulo externo do polígono.
Do triângulo BPC, temos:
e + e + 90° = 180°
∴ e = 45°
=
, logo o ângulo interno do hexágono
regular mede 120°.
C
B
D
D
B
E
E
B
F
F
B
A
Colocando o hexágono inscrito em uma circunferência é possível verificar
que ɵ = ɵ = ɵ = ɵ
3
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⇒ ⋅
=
º
2
7
º
0
6 5
3
11. Cada ângulo externo mede
º
0
2
1
=
D
ˆ
B
E
4
D
ˆ
B
E
∴
C
ˆ
º
B 0
A 3
D
ˆ
B
E
4
Assim,
⋅
=
=
, logo x = 72°.
.
Portanto, cada um dos ângulos acima mede
º
6
3
º
8
0 3
1
=
B
A
C
=
Além disso, temos que
C
A
D
D
A
E
Assim, o ângulo interno mede 108°.
=
.
Logo y = z = 36°.
0 0
6 9
E D
A A
B B
=
°,
º
5
1
º
5
7
º
0
9
−
E
D
A
C
D
A
Logo α =
º
5
7
º
0
5 2
1
D
E
A
E
D
A
=
=
= °
Como AE = AD, temos que:
= ɵ =
=
−
⇒
=
= −
Consequentemente,
.
º
0
0
1
i
Assim,
D
A
º B
0
0
1
i
C
D
A
13. C
Seja i a medida do ângulo interno do polígono regular.
= −
.
4
=
0
9
° e BA = AE.
0
3
B
A
E
B
A
D
E
A
D
Como ABCD é um quadrado, temos:
Assim, podemos calcular:
=
C
D
A
12. Como ∆ABC é equilátero temos que
° e BA = AD.
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O número de lados é n =
9
º
0 º
6 0
3 4
Dado que ABCD é um trapézio isósceles, temos:
i + i + (i – 100°) + (i – 100°) = 360°
4i – 200° = 360 ⇒ 4i = 560°
∴ i = 140°
∴ e = 40°
= .
O ângulo externo do pentágono mede:
º
2
7
º
0
6 5
3
14. D
=
.
º
0
8
1
º
2
7
º
2
7
º
0
8
1
º º
4 2
4 3
1
Assim, temos:
θ+
+
=
θ+
=
∴θ =
Como ângulo interno de um pentágono regular mede
º
8
0
1
º
0
4 5
5
15. D
Para recobrir o chão é necessário que, ao colocar as peças, lado a lado,
seja possível somar 360° em torno de um mesmo ponto .
=
, ao
juntar 3, soma-se 324° e, com 4, soma-se 432º. Ou s eja, com 3 ficaria um
vão entre as peças e, com 4 haveria sobreposição. Assim, o pentágono
não serve para ser utilizado.
Cada ângulo interno mede:
º
8
0
1
º
0
4 5
5
16. E
=
.
Seja O, o centro da circunferência.
5
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º
0
9
D
E
O
C
B
O
º
0
4 º
5 0
4
5
B
O B
E O
E
O
E º
D 0
9
º
0
E º 4
D 0
C 8 5
1
B º
D
4
º
O 4
C 8
E 1
B 0
1
º B
C º 6
B 0
9 O
O 9 3 E
Assim, ɵ = ɵ =
Do pentágono OBCDE temos:
ɵ +
+
+ ɵ +
=
+
+
+
+
+
=
=
=
17.
=
5
3
e DA, por exemplo) temos que dividir por dois, isto é, há
0
7 2
a) Tomemos um vértice A. Como não ligaremos ele com ele próprio e
como ligar com os vértices adjacentes é considerado um lado e não
diagonal, ligaremos esse vértice com os 7 que restaram. Assim, há 7
diagonais “partindo” de cada vértice.
b) De cada vértice “partem” 7 diagonais e temos 10 vértice assim:
10 · 7 = 70
Entretanto, para que não contemos duas vezes a mesma diagonal (AD
diagonais.
n
n n n n
3
3 6
0
3
n
n n
3
3 9
2
n 2
2
2
2
n
n
n
n
18. C
Do enunciado temos:
(
−
−
)=
=
=
−
=
=(
=
m
é
v
n
o
c
o
ã
n
0 9
−
)
Logo, esse polígono é um eneágono.
J
E
,
I
D
,
H
C
,
G
B
,
F
A
19. Seja o decágono ABCDEFGHIJ.
As diagonais
passam pelo centro, isto é, há 5 delas.
6
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=
3
n 2
n
D
O número total de diagonais é dado por
(
−
).
Como 5 passam pelo centro, há 30 que não passam.
20.
diagonais que passam pelo centro.
D
=
b) Total de diagonais
3
n
2 2
n
2
=
n
n
2 2
a) Como há um número par de lados, há diagonais que passam pelo
centro. De cada vértice “parte” uma diagonal que passa pelo centro.
Como há 2n vértices, haveria 2n diagonais. Entretanto, para não contar
a mesma diagonal duas vezes é necessário dividir por dois, logo há
(
)
−
D
−
C
a)
b)
c)
º
º
º
6
0
4
3
3
2
º
º
º
0
0
0 5
6 06 26
1
3 13 13
21.
n
C
=
3
n
4
n
2 2
2
n
n
2
2
D
Diagonais que não passam pelo centro: DC
( − )−
=
=
=
=
7
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=
° . Logo α =
º
4
2
=
4
2
Assim o polígono tem
C 5
B 1
º
0 º
6 4
3 2
22. E
Como BAC = 12°, o menor arco
.
lados, ou seja, trata-se de um
pentadecágono.
Como ângulo interno de um hexágono regular mede
º
0
2
1
º
0
2 6
7
23. D
Tome o polígono que dá forma a calçada. Note que ele é composto
por três hexágonos regulares.
=
qualquer rotação de 120º em torno do centro satisfaz a invariância.
24.
a) Como OT = 1 cm, AT = 1 cm.
Logo AB = 2 cm. Ou seja, o lado do quadrado mede 2 cm.
2
1
2
2
1
A
2
A O
O
b) Pelo Teorema de Pitágoras no ∆ATO temos:
= +
=
2
∴
Logo, o raio da circunferência circunscrita é
25.
m
c
3
T T
3 4
O A
2 T
A
2
º
0
B
3
T A
g 3 3 A
t
a) Como OAT = 30° e OT = 2 cm, temos:
=
=
=
=
O lado do triângulo é
m
c
3
4
∴
.
8
cm.
,
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T O
O A
4
º
O
0
3 2 AO
n
e 1 2A
s
b) Do triângulo OAT, temos:
=
=
∴
=
O raio da circunferência circunscrita é 4 cm.
a) Do enunciado,
=
3
T
O
26.
.
3
2
3 T
A1
B
T A
A
°=
T T
O A
0
6
g
t
Como OAT = 60°, temos:
=
=
∴
=
Isto é, o lado do hexágono mede 2 cm.
b) Como o triângulo OAB é equilátero, temos que OA = AB, ou seja, o raio
da circunferência circunscrita mede 2 cm.
9
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27. A
Note que o enunciado pergunta qual a razão entre os segmentos OA
e OT.
Do triângulo OAT, temos:
2
⇒
A T
O O
=
T A
O O
⇒
1 2
T A
O O
º
0
3
n
e
s
=
=
28.
=
=
∴
=
Logo, o lado do hexágono mede 2AT, isto é, 2 cm.
=
º
5
4
a) O ângulo central mede:
º
0
6 8
3
29.
10
=
3
, temos que
T
O
3
2
T T
O A 3 T1
A
º
0
T
6
3 A
g
t
Como a distância entre os lados paralelos é
Do triângulo AOT:
.
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º
5
4
s
o
c
B
O
A 2 2
O
2
2
2
− ⋅ ⋅ ⋅
2 2 2
4 4
2
8 8 2
+
2
2
2
2
2
2
B
B B
A A A
=
2
B
O
A
O
2
B
A
2
2
B
A
Do triângulo OAB temos, pelo Teorema de Pitágoras dos cossenos:
=
+
− ⋅
⋅
⋅
= −
=
−
Ou seja, o lado do octógono tem medida
2
−
2
2
=
−
cm.
+
2
T
O
2
2
4
2
T
O
2
Como AF = FE = 2 cm,
FÂE = FÊA = 30º.
11
. Isto é,
=
º
0
2
1
=
E
ˆ
F
A
Cada ângulo interno mede
= −
cm.
º
0
2
1
º
0
2 6
7
30. C
+
2
Ou seja, o apótema mede
+
⇒
2 2
=

 +


2
⇒
−
2 2
2
T
O
= +
⇒
2
2
2
T
O
⇒

=


2
2
+
2
T
O
2
T
A
2
A
O
=
2
2
b) Do triângulo OAT temos, pelo Teorema de Pitágoras:
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E
A
F
O
Seja T a interseção de
.
0
9
n
3
E
T
2
n
=
E
T 2
⇒
3 2
=
º
0
6
E
ˆ
F
T
=
, logo
E E
T F
º
0
3
s
3
o
c
2
Temos que
Logo AE =
º
0
9
E
ˆ
T
F
=
Note que
com
=
⇒
31. D
Do enunciado temos:
−
+
= ⇒
+ −
=
0
⇒
1
0 1
9 n
=
0
9 n
+
º
4
º
0 1
6
3 n
º
0
6 n
3
−
Como n é positivo, ficamos com n = 9, isto é, múltiplo de 3.
32. D
Calculemos o raio dessa circunferência.
Por Pitágoras temos:
12
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=
+
2
r
( )
+
2
B
O
2
2
r
O
2
A
r
3
2
2
2 1
6
2
4 2
2 2
r r
2
B
A
=
=
=
=
=
T 3
E 2
=
=
T
E 2
⇒
F
E
=
⇒
3
T
E
∴
=
3 2 6
T O
E E
º
0
3
s
o
c
Do triângulo OTE, temos:
33. D
Cada ângulo do octógono mede 135º. Sela L o lado do quadrado e l o
lado do octógono.
Por teorema dos cossenos temos:
AC² = AB² + BC² - 2 · AB · BC · cos 135º
13
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=
+
2
)⇒




2
2
+
)
L l
+
2
(
+
2 2
2 2
2
l
2
2
l
2 l
2
(
=
l
l
2
2
l
2 l
2 L
2
2
L
L

− ⋅ ⋅ ⋅−


+
=
=
2
l
2
L
=
14